FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS
Oleh: Endang Dedy
Sistem Bilangan Kompleks (1) • Diskusikan!
Perha rhatikan definisi berik rikut: ”Bilangan kompleks z adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan z=x+iy, x, y R dan i 1 ”.Coba anda analisis definisi tersebut,apa yang dapat anda katakan? Jelaskan yang mendasari jawaban anda!
Sistem Bilangan Kompleks (1) • Diskusikan!
Perha rhatikan definisi berik rikut: ”Bilangan kompleks z adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan z=x+iy, x, y R dan i 1 ”.Coba anda analisis definisi tersebut,apa yang dapat anda katakan? Jelaskan yang mendasari jawaban anda!
Sistem Bilangan Kompleks (2) DEFINISI: Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan dengan lambang z=(x,y). Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai C z : z (x, y) : x, y R a. Pada Pada bilanga bilangan n komple kompleks ks z=(x,y z=(x,y), ), x=Re(z x=Re(z)) dan y=Im(z) b. Bilangan kompleks z disebut bilangan imajiner murni, bila Re(z)=0 c. jika Re(z)=0 dan Im(z)=1, Im(z)=1, maka z disebut satuan imajiner yang dilambangkan dengan i=(1,0).
Sistem Bilangan Kompleks (3) DEFINISI: Diberikan bilangan kompleks z n =(x n ,y n ), n=1,2. Operasi pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan (a) z 1 = z 2 jika dan hanya jika x 1 = x 2 dan y 1 = y 2 (b) z 1 + z 2 = (x 1+x 2 ,y 1+y 2 ) (c) z 1 - z 2 = z 1+(-z 2 )=(x 1-x 2 ,y 1-y 2 ) (d) kz 1 = (kx 1,ky 1 ), k konstanta real (e) z 1z 2 = (x 1x 2 – y 1y 2 ,x 1y 2 +x 2 y 1 )
Sistem Bilangan Kompleks (4) Coba Anda buktikan teorema berikut: ”Sistem bilangan kompleks (C,+,.) merupakan suatu lapangan (field).
Sebelum membicarakan bahwa sistem bilangan kompleks merupakan perluasan dari sistem bilangan real, coba buktikan terlebih dahulu teorema berikut: “Diberikan himpunan C 0
z
C : z
(x,0), x
R
.
Jika f : R C suatu fungsi yang didefinisikan dengan f(x,y)=(x,0), maka f fungsi bijektif. 0
Sistem Bilangan Kompleks (6) Berdasarkan kesimpulan di atas, coba Anda tuliskan definisi operasi pada himpunan bilangan kompleks C. DEFINISI(Operasi Konjuget): Diberikan bilangan kompleks z x iy; x, y R . Bilangan kompleks sekawan (konjuget) dari z didefinisikan dengan z x iy .
Sistem Bilangan Kompleks (7) Coba anda buktikan teorema berikut:
Diberikan z1 , z 2 C . Operasi konjuget pada sistem bilangan kompleks adalah ________
__
__
(a) z1 z2 z1 z2
(e) z z _
(b) z1 z2 z1 z2 ____
__ __
(c) z1 z2 z1 z2 _______
__ __
(d) z1 / z2 z1 / z2 , z2 0
(f) z z Re( z )
2
Im( z )
_
(g) z z 2 Re( z ) _
(h) z z 2i Im( z )
2
Geometri bilangan kompleks (2) Y Sumbu imajiner
.
(x,y)=x+iy=z
z
arg z arg z
Sumbu real
X
Geometri bilangan kompleks (3) Segmen oz menyatakan bilangan kompleks z=x+iy Panjang segmen oz menyatakan modulus dari z 2 2 dan dilambangkan dengan z , dan z x y Untuk sebarang nilai utama argumen z didefinisikan sebagai nilai tunggal argumen z yang memenuhi hubungan __ ( oz , sumbu real positif)
argumen z
arg z
Nilai tunggal argumen z tersebut dilambangkan dengan Arg z.
Geometri bilangan kompleks (4) Buktikan sifat-sifat modulus dari suatu bilangan kompleks berikut ini. Jika z , w C , maka berlaku _
(a) z
z
(b) z (c) z
w 2
(d ) zw
(e)
z w z
z
2
z w
z
z
w
w
( f ) z
w
,w z
0 w
_
z z
(g)
z
w
(h) z
w
z z
w w
Akar Bilangan Kompleks (1) Coba Anda buktika teorea De Moivre :” Jika z C dengan z r cos i sin maka n n z r cos n i sin n untuk setiap n Z
.
DEFINISI (Akar): Diberikan z , w C . Akar pangkat n dari w ditulis 1 w n didefinisikan sebagai bilangan kompleks z sehingga berlaku n z w , n N , dan n 2.
Akar Bilangan Kompleks (2) a. Hitunglah i1/3 b. Berdasarkan penyelesaikan yang anda kerjakan, simpulkan bagimana cara menyelesaikan akar bilangan kompleks. Nyatakan kesimpulan tersebut dalam bentuk teorema, kemudian buktikan !
FUNGSI KOMPLEKS [1] DEFINISI (Fungsi bernilai tunggal): Diberikan himpunan A C dan B C . Fungsi kompleks bernilai tunggal f : A B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap z A dengan tepat satu w B yang dinotasikan dengan w = f(z). Berdasarkan definisi diatas, tuliskan domain dan range fungsi f, kemudian berikan contoh fungsi bernilai tunggal. Sekarang bandingkan apakah definisi berikut bertentangan dengan definisi fungsi bernilai tunggal? Berika penjelasan secukupnya.
FUNGSI KOMPLEKS [2] DEFINISI ( Fungsi Bernilai Banyak ): Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi kompleks bernilai banyak f :A B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap z A dengan paling sedikit satu w B dan terdapat z A yang dipasangkan dengan paling sedikit dua w B. Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f(z),z A dan s=g(z), z B. Tulisakan operasi dari fungsi f dan g padaD=A B.
FUNGSI KOMPLEKS [3] Diberikan f : D f R f dan g : D g R g adalah fungsi kompleks. Tuliskan definisi fungsi komposisi dari f dan g. Kemudian definisikan domain dan range fungsi komposisi g o f. Diskusikan! Diberikan fungsi f(z) = 3z+i dan g(z) = z2+z+1 –i a. Tentukan (f + g)(z) b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
FUNGSI KOMPLEKS [4] Diberikan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f(z) , z A dan s=g(z) , z B. Tuliskan Operasi dari fungsi f dan g pada D = A B Diberikan f : D f R f dan g : D g R g adalah fungsi kompleks. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar fungsi komposisi f dan g terdefinisi. Kemudian tuliskan persamaan fungsi komposisi f dan g, domain dan range gof Diskuskan! Diberikan fungsi f(z) = 3z+i dan g(z) = z 2 +z+1 –i a. Tentukan ( f + g ) (z) b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
FUNGSI EKSPONEN z Fungsi yang berbentuk f ( z ) e , z C disebut fungsi eksponen. DEFINISI: Untuk bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan ez = ex(cos y + i sin y). Gunakan definisi di atas untuk membuktikan teorema berikut: Jika z,w C, maka z z z (a) e 0 (d) e e z
z+w
z w
(b) e z
(c) e
z w
e
=e .e
(e) e
z 2 i
(f) Jika z=x+iy , maka e
e
e
w
z
x
z
e dan Arg(e )=y
FUNGSI TRIGONOMETRI [1] DEFINISI: Untuk bilangan kompleks z didefinisikan ( a ) cos z
( b ) sin z
(c) tan z (d ) cot z (e) sec z ( f ) csc z
e
iz
e
iz
2 e
iz
e
2i sin z
cos z cos z sin z 1 cos z 1 sin z
iz
FUNGSI TRIGONOMETRI [2] Berdasarkan definisi di atas buktikan Teorema berikut: Jika z,w C, maka berlaku
( a)
sin z
0 jika dan hanya jika z
(b)
cos z
0 jika dan hanya jika z
(c)
sin( z )
(d )
cos( z )
(e)
sin z
2
sin z cos z 2
cos z
1
k , k Z 2
k , k Z
FUNGSI TRIGONOMETRI [3] ( f ) sin( z
w)
sin z cos w
(g)
cos( z
(h)
sin z
sin x cosh y
i cos x sinh y, z
x
iy
(i)
cos z
cos x cosh y
i sin x sinh y, z
x
iy
( j )
sin z
(k )
cos z
w)
cos z sin w
2 2
cos z cos w sin z sin w
2
sin x 2
cos x
2
sinh y, z 2
sinh y, z
x x
iy iy
FUNGSI HIPERBOLIK [1] DEFINISI : Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi hiperbolik z
e
z
z
e
z
( a ) sinh z
1 2
e
( b ) cosh z
1 2
e
( c ) tanh z
sinh z cosh z
FUNGSI HIPERBOLIK [2] DEFINISI : Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi hiperbolik
( d )
coth z
(e)
sec z
( f )
csh z
cosh z sinh z 1 cosh z 1 sinh z
FUNGSI HIPERBOLIK [3] Berdasarkan definisi di atas, buktikan Teorema berikut: Jika z,w C, maka berlaku sifat-sifat (a)
cosh2 z
sinh 2 z
1
(b) 1 tanh 2 z
sec h 2 z
(c )
2 coth z 1
2 csch z
( d )
sinh( z )
sinh z
( e)
cosh( z )
( f )
tanh( z )
cosh z tanh z
FUNGSI HIPERBOLIK [4] (g)
sinh( z
(h)
cosh( z
w) w)
sinh z cosh w cosh z cosh w
(i )
sinh z
sinh x cos y
( j )
cosh z
cosh x cos y
( k ) (l )
sinh z cosh z
2
2
sinh 2 x cosh 2 x
cosh z sinh w sinh z sinh w
i cosh x sin y , z
x
i sinh x sin y , z
sin 2 y , z sin 2 y , z
x x
iy
x
iy
iy iy
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [1] DEFINISI : Diberikan zo C, r R,dengan r>0. (a) N(zo,r)={z C: z – zo < r} disebut lingkungan r dari zo (b) N*(zo,r)={z C:0< z – zo < r} disebut lingkungan r dari zo tanpa zo
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [2] DEFINISI : Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik dalam himpunan A, jika terdapat bilangan r>0, sehingga berlaku N(p,r) A . b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan A0 = {p C: p titik dalam himpunan A}. c. Titik p C disebut titik luar himpunan A, jika terdapat bilangan r>0, sehingga berlaku N(p,r) AC . d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku A0=A, yaitu setiap z A merupakan titik dalam himpunan A .
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [3] DEFINISI : Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik limit himpunan A, jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku N(p,r) A – {p} . b. Himpunan titik limit A didefinisikan dengan A’ = { p C: p titik limit himpunan A } c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku A’ A. d. Titik p C disebut titik terasing (terpencil) himpunan A, jika dan p bukan titik limit A, yaitu terdapat bilangan r>0 sehingga berlaku N(p,r) A= .
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [4] DEFINISI: Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku N(p,r) A dan N(p,r) Ac . b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan (A) = {p: p titik batas himpunan A} c. Interior himpunan A didefinisikan dengan Int(A) = {z: z titik dalam A} d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan Eks(A) ={z: z titik luar A} e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan A
A A
A
( A )
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [5] Definisi : Diberikan himpunan A C a. Himpunan A dikatakan terhubung (connected), jika setiap z1,z2 A dapat dihubungkan oleh suatu lengkungan kontinu C yang seluruhnya terkandung di A b. Himpunan A dikatakan daerah (domain) di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka dan terhubung di C. Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasnya. Catatan: Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasnya disebut region tertutup.
Limit Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah D C dan z0 D’. f ( z ) Ljika dan hanya jika untuk setiap a. zlim z bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehingga jika 0< z-zo < , z D berlaku f(z)-L < f ( z ) L jika dan hanya jika untuk setiap b. zlim z lingkungan N(L, ) terdapat lingkungan terhapuskan N*(z0, ) sehingga jika z N*(z0, ) D berlaku f(z) N(L, ). 0
0
Limit Fungsi Kompleks [2] Buktikan bahwa: a.
lim
z
1
iz
i
2
2
b. zlim2i( 2 x
2
iy )
4i
TEOREMA : Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada daerah D C dengan zo D’ dan L,M C. f ( z ) L dan lim f ( z ) M , maka L = M a. jika zlim z z z f ( z ) L jika dan hanya jika terdapat bilangan b. zlim z k>0 dan bilangan >0 sehingga berlaku o
o
o
f ( z )
*
k untuk set iap z N ( z o , ) D
Limit Fungsi Kompleks [3] TEOREMA: Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah D=Df Dg C dengan zo D’. Jika lim f ( z) L dan lim g ( z) M , maka z z0
a.
z z0
lim [ f ( z ) g ( z )] L M z z0
b. lim kf ( z ) z
kL, k C
z 0
c. zlim z [ f ( z ). g ( z )] LM 0
d. lim
z z0
f ( z )
L
g ( z )
M
, M 0
Limit Fungsi Kompleks [4] TEOREMA : 1. Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada daerah D C dengan z o D’. a. zlim z f ( z ) 0 jika dan hanya jika zlimz f ( z ) 0 b. jika lim f ( z) L, L 0 maka lim f ( z) L 0
0
z z0
z
zo
2. Diberikan fungsi f, g, dan h didefinisikan pada daerah D=Df Dg C dan zo D’. Jika f ( z ) g( z ) f ( z ) L dan untuk setiap z N*(zo, ) D, zlim z lim h( z ) L, maka lim g( z ) L 0
z
z 0
z z 0
h( z )
Limit Fungsi Kompleks [5] TEOREMA : 1. Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi pada daerah D C dan zo=a+ib D’. lim f ( z ) A iB jika dan hanya jika lim u ( x, y ) A z z0
( x, y ) (a,b)
dan ( x, y )lim( a,b ) v( x, y ) B 2. Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi pada daerah D C dan zo=a+ib D’. Jika lim f ( z ) L , maka lim f ( z ) selalu ada dengan z z0
nilai L untuk z suatu titik limit S.
z z 0
z o sepanjang kurva S D dan z o
Limit Fungsi Kompleks [6] Diskusikan ! 2 xy
ix
1. Diketahui f(z)= 2 2 x y
y 1 2
2. Buktikan bahwa lim( z
0
x y x
z
2
2
2
. Selidiki apakah lim f ( z ) ada. z
2
y
xyi 4
x
1 Selidikilah apakah lim ada? z i x y 1
2
y
2
)
0
0
Kekontinuan Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : a. Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada region D C yang memuat zo dengan zo suatu titik limit dari D. Fungsi f dikatakan kontinu di zo jika lim f ( z) f ( z0 ) z z0 b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C yang memuat z0 . Fungsi f dikatakan kontinu di zo jika untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehingga jika z z0 , z D berlaku f ( z ) f ( z0 ) c. Fungsi f dikatakan kontinu pada region D C jika f kontinu di setiap titik pada D
Kekontinuan Fungsi Kompleks [2] Diskusikan bukti teorema berikut: a. Diberikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) terdefinisi pada region D C yang memuat zo= a + ib. Fungsi f kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (a,b). b. Diberikan fungsi f dan g terdefinisi pada region D C dan zo D dan k suatu konstanta kompleks. Jika f dan g kontinu di zo, maka fungsi f + g, kf, dan fg semuanya kontinu di zo. Sedangkan fungsi f/g kontinu di zo asalkan g(zo) 0.
Kekontinuan Fungsi Kompleks [3] c. Jika fungsi kompleks f kontinu di zo dan fungsi g kontinu f(zo), maka fungsi komposisi g o f kontinu di zo. d. Fungsi polinom f kontinu pada seluruh bidang kompleks. h( z ) e. Fungsi rasional f ( z ) (h dan g fungsi g( z )
polinom) kontinu pada C – {z C: g(z) = 0}
Turunan Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : a. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C dan zo D. Turunan fungsi f di zo didefinisikan dengan f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z ) f ( z0 ) ' f ( z0 ) lim lim z z 0 z z z0 z 0 jika limit ini ada. b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C. Turunan fungsi f pada D didefinisikan dengan '
f ( z )
lim z 0
f ( z
z ) f ( z ) z
jika limit ini ada.
lim w z
f ( w) f ( z ) w z
Turunan Fungsi Kompleks [2] Diskusikan bukti teorema berikut: Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C dan z o D. Jika f ’(z o ) ada, maka f kontinu di z o . 2 Perlihatkan bahwa f ( z ) z kontinu di seluruh bidang kompleks, tetapi f hanya dapat diturunkan di z = 0. Diberikan fungsi f dan g dapat diturunkan pada region D C, tuliskan turunan fungsi f + g, f – g, kf (k konstanta ) dan fg pada D.
Turunan Fungsi Kompleks [3] Buktikan teorema berikut: Diberikan fungsi f yang dapat ditunkan pada C. a. Jika f(z) = k untuk setiap z C dengan k suatu konstanta, maka f ’(z) = 0 b. Jika f(z) = z untuk setiap z C, maka f ’(z) = 1 c. Jika f(z) = zn untuk setiap z C, n N, maka f ’(z) = nzn-1 d. Jika f(z) = aozn + a1zn-1 + …+ an-1z + an untuk setiap z C, n N, maka f ’(z) = aonzn-1 + a1(n-1)zn-2 + …+ an-1 e. Jika f(z) = zn untuk setiap z C, n Z, maka f ’(z) = nzn-1
Persamaan Cauchy Reimann [1] Buktikan teorema berikut: a. Diberikan terdefinisi pada region D C dan ' zo=xo+iyo D. Jika f ( zo ) ada, maka '
f ( zo )
u x
( xo , yo )
i
v x
( xo , yo )
v y
( xo , yo )
i
u y
( xo , yo )
sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu u x
( xo , y o )
v y
( xo , y o ) dan
u y
( xo , y o )
v x
( xo , y o )
Persamaan Cauchy Reimann [2] b. Diberikan f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) terdefinisi pada region D C dan zo=xo+iyo D. Jika (1) fungsi u(x,y), v(x,y), ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y),dan vy(x,y) semuanya kontinu di titik zo= (xo,yo) (2) Memenuhi persamaan Cauchy Reimann ux(xo,yo) = vy(xo,yo) dan uy(xo,yo) = - vx(xo,yo) maka f’(zo) ada dan f ’(zo) = ux(xo,yo)+i vx(xo,yo) = vy(xo,yo)-i uy(xo,yo)
Persamaan Cauchy Reimann [3] Diskusikan ! 1. Diberikan fungsi f dengan aturan 2
f ( z )
x sin
0
1 x
, ( x, y) , ( x, y)
(0,0) (0,0)
Perlihatkan bahwa f ’(0) ada tetapi tak kontinu di (0,0).
Persamaan Cauchy Reimann [4] 2. Diberikan fungsi f dengan aturan
z f ( z )
2
z
0
,z , z
0 0
Tunjukkan bahwa persamaan C –R dipenuhi di z = 0, tetapi f ’(0) tidak ada.
Persamaan Cauchy Reimann [5] 3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya. a. f(z) = x2 – iy2 b. f(z) = z c. f(z) =
z
2
