2. Fungsi Analitik
2. FUNGSI ANALITIK
f ( z ) ada di semua titik pada suatu lingkungan
Fungsi f(z) f(z) disebut analitik di titik z 0 0 apabila Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
z 0 0.
w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) (x,y) digunakan persamaan Cauchy –
Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks. Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat
Mengerti definisi fungsi analitik
Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks
Menentukan kekontinuan fungsi
Mencari turunan fungsi
Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik
2.1 Fungsi Peubah Kompleks
Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f kompleks f pada pada S adalah aturan yang mengawankan setiap
z S dengan biangan kompleks w .
Notasi w = f(z). f(z). Dalam hal ini, S disebut domain dari f dari f dan dan z dinamakan dinamakan variabel kompleks.
Misalkan w = u + iv adalah adalah nilai fungsi f fungsi f di di z = x + iy , sehingga u + iv = f(x + iy). iy) . Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan dan y , sehingga f(z) f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil x dan dan y , yaitu f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Jika koordinat polar r dan dan θ pada x pada x dan dan y digunakan, digunakan, maka u + iv = f(re iθ), dimana w = u + iv dan dan z = re iθ. Sehingga f(z) Sehingga f(z) dapat dapat ditulis menjadi f(z) = u(r,θ u(r,θ) + iv(r,θ iv(r,θ). Misalkan w = f(z) f(z) = z +3z. +3z. Tentukan u dan v serta serta hitung nilai dari f pada pada z = 1 + 3i . Nyatakan juga u dan v dalam dalam bentuk polar. Penyelesaian:
Misal z = x + iy , sehingga
f ( z ) f ( x iy) ( x iy) 2 3( x iy) x 2 3 x y 2 i(2 xy 3 y ) Jadi
u x 2 3 x y 2 dan v 2 xy 3 y .
Untuk z = 1 + 3i maka maka
f ( z ) f (1 3i) (1 3i ) 2 3(1 3i) 5 15i .
Jadi u(1,3) = -5 dan dan v(1,3) = 15 . i θ θ
Jika koordinat polar digunakan dimana z = re , maka f ( z ) f (re i ) (re i ) 3(re i ) r e
2
2
2 i
3re i
2 r 2 cos cos 2 ir sin 2 3r cos cos 3ir sin
r 2 cos cos 2 3r cos cos i (r 2 sin 2 3r sin ) Jadi
u r 2 cos cos 2 3r cos cos dan v r 2 sin 2 3r sin .
10
2. Fungsi Analitik
2.2 Pemetaan / Transformasi
Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang bukan di garis bilangan. Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w oleh fungsi f .
Pemetaan dapat berupa:
Translasi / pergeseran
Rotasi / perputaran
Refleksi / pencerminan
Sebagai contoh, pemetaan w = z + 1 = (x+1) +iy , dimana z = x + iy , mentranslasikan / menggeser setiap titik z satu satuan ke kanan.
w iz r exp i
, dimana z = re 2
iθ
iπ/2
dan i = e
, merotasi / memutar setiap titik taknol z ke
kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.
w z x iy merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu riil.
2.3 Limit Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x 0 hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z 0 akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks.
lim f ( z ) w0
z z 0
dibaca “limit f(z) untuk z menuju z 0 sama dengan w 0 “, dan
didefinisikan sebagai berikut:
lim f ( z ) w0 0 0 0 z z 0 berlaku
z z 0
f ( z ) w0 . Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan- dari w0, yaitu |w - w 0|< ada suatu lingkungan- dari z 0, yaitu 0 < |z - z 0| < sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada pada lingkungan Dalam hal ini
Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal
z mendekati z 0 dari berbagai arah atau lintasan
Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z 0 berbeda maka
f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z 0
11
lim f ( z ) tidak ada
z z 0
2. Fungsi Analitik
Misalkan
iz
f ( z )
, z 1 . Buktikan lim f ( z ) z 1
2
i 2
.
Bukti: Ambil ε > 0 sebarang. Pilih
f ( z )
i
2
iz 2
i
z 1 2
2
2 z 1 berlaku
i ( z 1) 2
2
2 2
i z 1 2
1 z 1
2
Jadi untuk setiap z dan positif berlaku
f ( z )
i 2
bila 0 z 1 2 , lihat
gambar 2. Sehingga menurut definisi limit terbukti
Misalkan
f ( z )
z
i
lim f ( z )
z 1
2
.
lim f ( z ) tidak ada.
. Buktikan
z 0
z
Bukti: Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda. Pendekatan sepanjang sb- x positif, dalam hal ini y = 0 .
lim f ( z )
z 0
lim
( x , y ) ( 0, 0)
x iy x iy
lim ( x , 0)
x i.0 x i.0
lim 1 1. x 0
Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0 .
lim f ( z )
z 0
lim
( x , y ) ( 0, 0 )
x iy x iy
lim
( 0, y )
0 i. y 0 i. y
lim 1 1. y 0
Pendekatan sepanjang garis y = x .
lim f ( z )
z 0
lim
( x , x ) ( 0, 0 )
x iy x iy
lim x 0
x i. x x i. x
lim x 0
x(1 i) x(1 i)
1 i 1 i
Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama maka
lim f ( z ) tidak ada.
z 0
Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z 0 = x 0 + iy 0 , ω 0 = u0 + iv 0 maka
lim f ( z ) 0
z z 0
lim
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
u( x, y ) u0
dan
lim
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
v( x, y ) v0
Bukti:
( ) Misalkan
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
u ( x, y) u 0
0 1 , 2 u u 0 v v0 Pilih
2
2
dan
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
v( x, y) v0
,0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 1
,0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2
min( 1 , 2 ) . 12
, artinya
.
2. Fungsi Analitik
Karena
(u iv) (u 0 iv0 ) (u u 0 ) i(v v0 ) u u 0 v v0 dan
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( x x0 ) i ( y y0 ) ( x iy) ( x0 iy0 ) maka Jadi
(u iv) (u 0 iv0 )
2
2
bila 0 ( x iy) ( x0 iy0 ) .
lim f ( z ) 0 .
z z 0
() Misalkan lim f ( z ) 0 , artinya z z 0
0 (u iv) (u0 iv0 ) bila 0 ( x iy) ( x0 iy0 ) . Perhatikan bahwa
u u 0 (u u 0 ) i(v v0 ) (u iv) (u 0 iv0 ) v v0 (u u 0 ) i(v v0 ) (u iv) (u 0 iv0 ) dan
( x iy) ( x0 iy0 ) ( x x0 ) i ( y y0 ) ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 Sehingga
u u 0 dan
v v0 bila
0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 . Jadi
Andaikan
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
u( x, y) u 0
dan
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
v( x, y) v0
.
lim f ( z ) A , lim g ( z ) B maka
z z 0
z z 0
lim f ( z ) g ( z ) A B .
z z 0
lim f ( z ) g ( z ) AB .
z z 0
lim
z z 0
f ( z ) g ( z )
A B
.
2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas. Jika z 0 dan w 0 titik-titik pada bidang z dan w , maka 1)
2)
3)
lim f ( z )
z z 0
lim f ( z ) w0
z
lim f ( z )
z
lim
jhj
z z 0
1 f ( z )
0
1 lim f w0 z 0 z 1 0 jhj lim z 0 f (1 / z ) jhj
Bukti:
13
2. Fungsi Analitik
1)
Misalkan
lim f ( z ) ,
z z 0
artinya
0 f ( z )
1
bila 0 < |z – z 0| < δ
............…………………………………..(#). Akan dibuktikan
lim
z z 0
1
f ( z )
0.
Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z 0| < δ dari z 0. Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi
1 f ( z ) Jadi 2)
0 bila 0 < |z – z | < δ . 0
lim
z z 0
Misalkan
1
f ( z )
0.
lim f ( z ) w0 ,
z
0 f ( z ) w0 bila |z| >1/δ .............(*).
artinya
Akan dibuktikan
1 lim f w0 . z 0 z
Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z , maka akan diperoleh
1 f w0 bila 0 z
< |z – 0| < δ . Jadi 3)
1 lim f w0 . z 0 z
Misalkan
artinya
lim f ( z ) ,
z
0 f ( z )
Akan dibuktikan
lim
z 0
1
f (1 / z )
1
bila |z| > 1/δ ……………....(**).
0.
Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z , maka akan diperoleh
1 f (1 / z )
0 bila
0 < |z – 0| < δ . Jadi
lim
z 0
1
f (1 / z )
0.
2.5 Kekontinuan Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z 0 jika
lim f ( z ) ada
z z 0
f(z 0) ada
lim f ( z ) f ( z 0 )
z z 0
Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z 0 jika
lim f ( z ) f ( z 0 ) 0 0 z z 0 berlaku
z z 0
f ( z ) f ( z 0 ) .
14
2. Fungsi Analitik
Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z 0 = x 0 + iy 0 ,
u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x ,y ) 0
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
0
u ( x, y) u ( x0 , y 0 )
lim
dan
( x , y )( x0 , y0 )
v( x, y) v( x0 , y 0 ) .
1)
Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks
2)
Jika f dan g kontinu pada daerah D maka a)
f+g kontinu
b)
f-g kontinu
c)
f.g kontinu
d)
f/g kontinu kecuali di
z 0 D sehingga g(z 0 ) = 0.
2.6 Turunan Turunan fungsi f di z 0, ditulis dengan
f ( z 0 ) lim
f ( z 0 ) didefnisikan sebagai berikut:
f ( z 0 z ) f ( z 0 )
z
z 0
Notasi untuk turunan f di z adalah
jika limitnya ada.
f ( z )
d dz
f ( z ) .
Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
d dz d dz d dz d dz d dz d
(c) 0 ( z ) 1
c( f ( z ) c f ( z )
( z n ) nz n 1 , z 0, n
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) dz d f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
g ( z )2
dz g ( z )
Tentukan turunan dari fungsi berikut: 1.
f(z) = (2z 2 + i) 5
15
2. Fungsi Analitik
2.
f ( z )
( z i) z i
pada i
Penyelesaian : 1.
Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai diperoleh
f ( z ) 5(2 z 2 i ) 4 .4 z 20 z (2 z 2 i) 4 . 2.
Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh
f ( z )
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
g ( z )2
1( z i) ( z i)1
z i 2
2i ( z i) 2
Sehingga untuk z = i diperoleh
f (i)
2i (i i) 2
2i 4i 2
1
i. 2
Misalkan f mempunyai turunan di z 0, dan g mempunyai turunan di f(z 0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai turunan di z 0, dan
F ( z 0 ) g [ f ( z 0 )]. f ( z 0 ). Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka menurut aturan rantai
dW dz
dW dw dw dz
.
Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z + i)5 dengan menggunakan aturan rantai!
Penyelesaian: Misalkan w = 2z 2 + I dan W = w 5. Maka menurut aturan rantai
dW dz
dW dw dw dz
= (5w 4)(4z) = 20z(2z 2 + i)4.
2.7 Persamaan Cauchy – Riemann Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
u x v y dengan
u y v x
u x
u u v v u y v x v y . x y x y
16
2. Fungsi Analitik
Misalkan f(z) = z 2 = x 2 – y 2 + 2ixy . Apakah f(z) analitik untuk semua z ?
Penyelesaian : f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,
u x v y
u y v x .
Perhatikan bahwa u = x 2 – y 2 dan v = 2xy . Maka u x = 2x = v y dan uy = -2y = -v x . Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z .
Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan di z maka u x , v y , uy , v x ada dan memenuhi persamaan Cauchy - Riemann
u x v y
u y v x .
Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y) mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.
Apakah f(z) = z analitik? Penyelesaian Perhatikan bahwa u = x 3 – 3xy 2 dan v = 3x 2y – y 3. Maka u x = 3x 2 – 3y 2 = v y dan
uy = -6xy = -v x . Karena
memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z .
2.8 Fungsi Analitik Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik z 0 apabila f’(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z 0. Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan i.
u x , v y , uy , v x kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu N dari titik z 0
ii.
persamaan Cauchy- Riemann
u x v y
u y v x berlaku di setiap titik di
N maka f(z) analitik di z 0.
Buktikan f(z) = | z | tidak analitik
Bukti: Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0 . Beberapa hal yang perlu diperhatikan
Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.
Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function).
Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f analitik.
17
2. Fungsi Analitik
Misalkan
f ( z )
z 3 z 1 z 2 1
. Apakah f(z) analitik?
Penyelesaian: f’(z) ada di semua z kecuali di z 2 + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i. Titik z 0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f gagal menjadi analitik pada z 0 tetapi setiap lingkungan z 0 memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.
Misalkan
f ( z )
2 z 1 z z 3
. Tentukan titik singular dari f dan tentukan dimana saja
f(z) analitik! Penyelesaian: f’(z) ada di semua z kecuali di z 3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f adalah di
z = 0 dan
di z = ± i. f(z) analitik di semua z
kecuali di z 3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i .
2.9 Fungsi Harmonik Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan memenuhi persamaan Laplace
H xx ( x, y) H yy ( x, y ) 0 disebut fungsi Harmonik. Misalkan u(x,y) = x – y dan v(x,y) = 2xy . Apakah u dan v fungsi harmonik?
Penyelesaian: Perhatikan bahwa: u x = 2x
v x = 2y
u xy = 0
v xy = 2
uy = -2y
v y = 2x
uyx = 0
v yx = 2
u xx = 2
v xx = 0
uyy = -2
v yy = 0
Karena u x = 2x = v y , uy = -2y = -v x , u xx + u yy = 2 + (-2) = 0 dan v xx + v yy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.
Misalkan f(z) = u + iv.
v disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u fungsi
harmonik dan v fungsi harmonik.
Misalkan u(x,y) = y – 3x y . Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u.
Penyelesaian: u x = -6xy dan uy = 3y 2 – 3x 2. Menurut persamaan cauchy – Riemann diperoleh -6xy = u x
18
2. Fungsi Analitik
= v y. Sehingga
v( x, y) (6 xy)dy 3 xy 2 h( x)
……….(1)
atau
2 v x = -3y + h’(x).
Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua harus dipenuhi, yaitu uy = -v x. Sehingga
3 y 2 3 x 2 3 y 2 h( x)
3 y 2 3 x 2 3 y 2 h( x) ..........…………………………(2)
h( x) 3 x 2
h( x) 3 x 2 dx x 3 c Dari (1) dan (2) diperoleh v(x,y) = -3xy 2 + x 3 + c yang merupakan fungsi harmonik sekawan dari u.
v x 2 y 2
2
Misalkan
. Apakah fungsi tersebut harmonik? Jika
ya,
tentukan
fungsi analitik sekawan dari f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Penyelesaian: Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi harmonik atau bukan. Perhatikan bahwa: 2 2 3 2 v x = 2(x – y )2x = 4x – 4xy
v y = 2(x 2 – y 2 )(-2y) = -4x 2 + 4y 3 2 2 2 2 v xx = 12x – 4y dan v yy = -4x + 12y .
v xx dan v yy kontinu pada semua z , tetapi tidak memenuhi persamaan Laplace, yaitu 2 2 2 2 v bukan fungsi harmonik. xx + v yy = 8x + 8y = 8(x +y ) ≠ 0 . Jadi v
Soal – soal Latihan
1
, z 0
2.
Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk membuktikan
b)
z
kedalam
bentuk
f(z) = u(r,θ) + iv( r,θ).
Tuliskan
a)
fungsi
f ( z ) z
1.
lim (az b) az 0 b
z z 0
lim ( z 2 b) z 0 b 2
z z 0
3.
Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3
4.
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan
19
lim z n z 0
z z 0
n
dimana n bilangan asli.
2. Fungsi Analitik
5.
Tentukan a)
b)
6.
f ( z ) pada persamaan f ( z ) (1 4 z 2 ) 3 f ( z )
(1 z 2 ) 4 2
z
, z 0
Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan
z 2 f ( z ) z 0
tersebut memenuhi persamaan Cauchy – Riemann pada z = (0,0).
20
bila z 0 . bila z 0
Buktikan bahwa fungsi
