Skripsi Fungsi Gamma Dan Fungsi Beta Pada Bilangan Kompleks

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS

Skripsi

Untuk memenuhi persyaratan dalam menyelesaikan program sarjana strata-1 Matematika

Oleh

Megawati NIM J1A106023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT M ANGKURAT BANJARBARU AGUSTUS 2010

Create PDF files PDF files without this message by purchasing novaPDF novaPDF printer (http://www.novapdf.com ( http://www.novapdf.com))

SKRIPSI

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS

Oleh Megawati NIM. J1A106023

Telah dipertahankan di depan Penguji pada tanggal 27 Juli 2010. Susunan Penguji: Pembimbing Utama

Penguji: 1. Dewi Sri Susanti, S.Si, M.Si 2. Nur Salam, S.Si, M.Sc

Na’imah Hijriati, S.Si, M.Si NIP. 197911222008012013 197911222008012013

3. Drs. Faisal, M.Si

Pembimbing Pendamping

M. Ahsar Karim, S.Si, M.Sc NIP. 198202082005011003 198202082005011003

Banjarbaru,

Juli 2010

Ketua Program Studi Matematika Mate matika FMIPA UNLAM

Drs. Faisal, M.Si NIP. 196309021992031001 196309021992031001


                        “Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang” S aya memulai memulai menuli menulis s skr skr i psi psi i ni deng dengan an me menyeb nyebut nama nama A llah ll ah,, kar ena setiap setiap peker pekerjaan jaan yang baik, ai k, henda hendaknya knya dimulai di mulai deng dengan an men menyeb yebut ut asma asma A llah. ll ah. A llah ll ah ialah ial ah nama nama zat y ang M aha suci suci,, yang y ang berhak er hak dis di semb embah deng dengan an seb sebenar enar-- benar enar nya, yang y ang ti dak memb membutuhkan utuhkan makh makhlukluk- N ya, tapi tapi makh makhluk luk yang memb membutuhkan utuhkan-- N ya. A r R ahma ahmaan an (M aha aha P emurah mur ah): ): salah salah satu satu nama nama A llah ll ah yang membe mber i peng penge er ti an bahw ahw a A llah ll ah meli mpahka ahkan n karuniakarunia- N ya kep kepada ada mak makh hluk- N ya, se sedan dang A r R ahi ahi i m (M (M aha aha P enyay enyayang ang)) mem memb beri er i peng penger ertiti an bahwa ahw a A llah ll ah senanti enantias asa a bers er si fat r ahmah ahmah yang menye menyeb babkan abkan dia di a se selalu lal u meli meli mpah mpahkan kan r ahma ahmatt- N ya kepada kepada makhlukmakhluk- N ya.

                            “Dan kelak Tuhanmu pasti memberikan karunia-Nya kepadamu, lalu (hati) kamu menjadi puas”. (QS. Adh Dhuhaa: 5)

                        “Segala puji bagi Allah, Tuhan semesta alam”

Kusadari hidup ini indah Penuh dengan karunia Satu yang aku dambakan ‘ MAMP MAMPU MEMB MEMBUAT UAT HI DUP JADI LE LEB BI H BE BERMAKNA. RMAKNA. Melalui skripsi ini yang aku persembahkan teruntuk: te runtuk: 1. Ayah dan Ibuku tercinta yang penuh kasih dan sayang memberikan perhatiannya padaku 2. Kakakku terkasih yang selalu mendukungku dan memberikan arahanarahan dengan pengalaman-pengalamannya 3. Adikku tersayang yang senantiasa dapat membuatku bersemangat dan tersenyum dalam lika-liku perjalanan pembuatan skr ipsi ini. M ott o hi dup: “Sedi kit Bi cara cara Bany Bany ak Be Berkary a”


PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam Daftar Pustaka.

Banjarbaru, 27 Juli 2010

Megawati NIM. J1A106023 J1A106023


ABSTRAK

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS (Oleh Megawati; Pembimbing: Na’imah Hijriati dan M. Ahsar Karim; 2010; 60 halaman)

Himpunan bilangan terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian, yaitu bagian riil dan da n bagian imajiner (khayal), ( khayal), yang secara sec ara matematis mate matis berbentuk a  ib dengan a dan b bilangan-bilangan riil. Bagian imajiner bercirikan adanya bilanga n imajiner i yang didefinisikan sebagai i   1 . Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan karakteristik dari dua fungsi khusus yang terdapat dalam kajian kalkulus tingkat lanjut yang dibangun pada bilangan kompleks, yaitu fungsi gamma  : C → C yang didefinisikan sebagai ( z ) dan fungsi beta B : C  C → sebagai B( z1 , z 2 ) dengan z, z1 , z 2 C . Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur, mengumpulkan berbagai referensi yang terkait dengan materi tentang permasalahan bilangan kompleks, fungsi gamma dan fungsi beta. Dengan mengkaji beberapa karakteristik bilangan kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma, maka selanjutnya fungsi beta pada bilangan kompleks dapat secara langsung dikaji ( z1 )( z 2 ) dengan menggunakan hubungan B( z1 , z 2 )  , untuk setiap z1 , z 2  c ( z1  z 2 ) C yang didefinisikan

dengan z  {{0}  Z  } . Setelah fungsi gamma dan fungsi beta dikaji pada bilangan kompleks,

( z )  ( z )

diperoleh

( z )  Re( z )  yang

yang

berakibat

B( z , z 2 )  B ( z1 , z 2 ) ,

B ( z1 , z 2 )  B Re( z1 ), Re( z 2 )  ,

berakibat

dan dimana

z , z1 , z2  C dengan Re( z )  0, Re( z1 )  0, Re( z 2 )  0 . Jika bilangan kompleks z

2

B(ib1 , ib2 ) 

 (b1  b2 ) sinh  (b1  b2 ) b1b2 sinh  b1 sinh  b2

,

untuk



2

(ib) 

adalah bilangan imajiner murni maka diperoleh

setiap

b sinh  b

b1 , b2  R dengan

b, b1 , b2  0 . Jika Re( z )  12 maka diperoleh sifat khusus ( 12  ib) 2

dan B( 12  ib1 ), ( 12  ib2 )  



sinh  (b1  b2 )

(b1  b2 ) cosh  b1 cosh  b2

dan

.

Kata kunci: bilangan kompleks, fungsi gamma, fungsi beta.


2



 cosh  b

ABSTRACT

GAMMA FUNCTION AND BETA FUNCTION AT COMPLEX NUMBER (By: Megawati; Supervisors: Na’imah Hijriati and M. Ahsar Karim; 2010; 60 pages)

The biggest set of numbers in mathematics is the set of complex number. Generally, complex number consisted of two parts, those are real part and imaginary part (illusion), that mathematically is in the form of a  ib with a and b are real numbers. The imaginary part has characteristic by its its imaginary number i which is defined as i   1 . The objective of this research is to explain the characteristics of two special functions which are in advanced calculus study which constructed on complex complex number, those are gamma gamma function  : C → C which is defined as ( z ) and beta function B : C  C → C which is defined as . B( z1 , z 2 ) with z, z1 , z 2  C This research is conducted with literature study method, by collecting various references which are related to the theories of complex number problems, gamma function and beta function. By observing some characteristics of complex numbers in gamma function, then the observation can be straightaway held in beta function at complex number by using the equation below: ( z1 )( z 2 ) , for each z1 , z 2  c with z  {{0}  Z  } . B ( z1 , z 2 )  ( z1  z 2 ) After the gamma function and beta function are observed at complex

( z )  ( z ) is

numbers,

obtained,

hence

B( z , z 2 )  B( z1 , z 2 ) ,

and

( z )  Re( z )  is obtained, therefore B ( z1 , z 2 )  BRe( z1 ), Re( z 2 )  , where z , z1 , z2  C with Re( z )  0, Re( z1 )  0, Re( z 2 )  0 . If the complex number z is a

pure

imaginary 2

B(ib1 , ib2 ) 

number,


b, b1 , b2  0 . If Re( z )  2

B( 12  ib1 ), ( 12  ib2 )  

1 2

then



2

(ib) 

b sinh  b

and

are obtained, for each b1 , b2  R with 

2

then the special characters ( 12  ib)  

sinh  (b1  b2 )


cosh  b

are obtained.

Keyword: complex number, gamma function, funct ion, beta function.


and

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’ala, atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini yang berjudul Fungsi Gamma da n Fungsi Beta pada Bilangan Kompleks. Sholawat dan salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad Salallahu ‘Alaihi Wasallam yang telah menuntun manusia menuju jalan kebahagiaan hidup di dunia dan akhirat. Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan hingga terwujudnya skripsi ini. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih dan perhargaan yang tulus kepada: 1. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru. 2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru. 3. Ibu Na’imah Hijriati, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing utama skripsi yang telah bersedia meluangkan pikiran dan waktu serta memberikan saran yang berharga serta tidak henti memotivasi penulis hingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 4. Bapak M. Ahsar Karim, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing pendamping skripsi yang telah membimbing dengan sabar dan memberikan banyak masukan dan saran selama penyusunan skripsi ini.


5. Bapak Nur Salam, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan akademik selama penulis kuliah. 6. Dosen-dosen di Fakultas MIPA UNLAM terutama dosen-dosen pengajar di Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis. 7. Ibu dan Ayahku Ayahku serta kakak dan adikku, terima kasih atas segala dukungan, dukungan, doa, dan suasana penuh cinta dan kasih sayang yang selalu dihadirkan di tengah keluarga, terima kasih atas segala kejutan dan kebahagiaan yang senantiasa kalian berikan padaku. 8. Sahabat-sahabat terbaikku Hj. Nor Latifah, Yuana Sukmawaty, dan Hani Ghalib Alkathiri, terima kasih atas segala doa, dukungan semangat, perhatian, dan bantuan ilmunya. 9. Seluruh rekan mahasiswa matematika FMIPA UNLAM, khususnya angkatan 2006 serta semua pihak yang telah memberikan bantuan, baik berupa masukan, saran, maupun nasihat kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini. Semoga segala amal kebaikan kalian mendapat balasan yang setimpal dari Allah Subhanahu Wa Ta’ala. Penulis mohon maaf atas segala kesalahan yang pernah dilakukan baik sengaja maupun tidak sengaja. Penulis sadar bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan tulisan ini. Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. pe mbaca. Banjarbaru, Juli 2010

Penulis


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN HALAMAN JUDUL JUDUL ................................ ................................................. .................................. ................................ ............... i HALAMAN HALAMAN PENGESAHA PENGESAHAN N ................................. .................................................. .................................. ...................

ii

PERNYATAA PERNYATAAN N ................................. .................................................. ................................... .................................. .................... ....

iii

ABSTRAK ABSTRAK ................................. .................................................. .................................. .................................. ............................. ............

iv

ABSTRACT ABSTRACT .................................. ................................................... .................................. .................................. .......................... .........

v

PRAKATA PRAKATA ................................. .................................................. .................................. .................................. ............................. ............

vi

DAFTAR DAFTAR ISI ................................. .................................................. .................................. .................................. .......................... .........

viii

ARTI ARTI LAMBANG LAMBANG DAN SINGKATAN SINGKATAN .................................. ................................................... ...................

x

BAB I

PENDAHULUA PENDAHULUAN N .................................. ................................................... .................................. ...................

1

1.1

Latar Belakang Belakang ................................ ................................................. .................................. ................................ ...............

1

1.2

Rumusan Rumusan Masalah ................................. .................................................. .................................. .......................... .........

2

1.3

Tujuan Tujuan Penelitian Penelitian .................................. ................................................... .................................. .......................... .........

2

1.4

Manfaat Manfaat Penelitian Penelitian ................................... ................................................... .................................. ........................ ......

2

BAB II

TINJAUAN TINJAUAN PUSTAKA PUSTAKA ................................ ................................................. ............................. ............

3

2.1

Sistem Bilangan Bilangan Kompleks Kompleks ................................. .................................................. ............................. ............

3

2.2

Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks ................... .......... .................. .................. ................ .......

4

2.3

Geometri Geometri Bilangan Bilangan Kompleks Kompleks ............................... ................................................. ........................... .........

6

2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks .................. ......... .................. .................. ................ .......

6

2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen ................... ......... ................... .................. .................. ................ .......

8

2.4

Limit Limit Fungsi Kompleks Kompleks ................................ ................................................. ................................... ..................

10

2.5

Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks .................. ........ ................... .................. .................. ............. ....

15

2.6

Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks ................... .......... .................. .................. ............. ....

17

2.7

Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks ................... .......... .................. .................. ................ .......

18

2.8

Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks .................. ......... ................... ................... ................. ........

18

2.9

Kekonvergenan Perkalian Tak Hingga .................. ......... ................... ................... ................. ........

19

2.10 Notasi Faktorial Faktorial ................................. .................................................. .................................. ............................. ............

20

2.11 Fungsi Fungsi Gamma ................................ ................................................. .................................. ................................ ...............

20

2.12 Fungsi Fungsi Beta .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................

24


BAB III METODE METODE PENELITIA PENELITIAN N ................................. .................................................. .......................... .........

27

3.1

Materi Penelitian Penelitian ................................ ................................................. .................................. ............................. ............

27

3.2

Cara Penelitian Penelitian ................................ ................................................. .................................. ................................ ...............

27

3.3

Prosedur Prosedur Penelitian Penelitian .................................. .................................................. .................................. ........................ ......

27

BAB IV HASIL HASIL DAN PEMBAHASA PEMBAHASAN N ................................ ................................................. ...................

28

4.1

Karakteristik Dasar ( z ) ................................. .................................................. ................................ ...............

28

4.2

Sifat-Sifat Khusus ( z ) ................................ ................................................. ................................... ..................

41

4.3

Definisi B ( z1 , z 2 ) dan Hubungannya dengan ( z ) .......................... ..........................

49

BAB V

PENUTUP PENUTUP ................................ ................................................. .................................. ................................ ...............

58

5.1

Kesimpulan Kesimpulan .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................

58

5.2

Saran ................................... .................................................... .................................. .................................. .......................... .........

59

DAFTAR DAFTAR PUSTAKA PUSTAKA .................................. ................................................... .................................. ............................. ............

60


ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

Simbol

Arti



Elemen (anggota)



Untuk setiap



Delta



Epsilon

C

Himpunan bilangan kompleks

R

Himpunan bilangan riil

Z , Z



, Z 

Himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat positif, himpunan bilangan bulat negatif



Sama dengan



Tidak sama dengan



Lebih kecil dari



Lebih kecil dari atau sama sa ma dengan



Lebih besar dari



Lebih besar dari atau sama dengan

n

 f i

Jumlah dari f 0 sampai dengan f n

i 0 n

 f

Perkalian dari f 1 sampai dengan f n

lim

Limit

ln

Logaritma natural



Fungsi gamma

B

Fungsi beta

i

i 1


BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan riil yang biasa dipakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks. Secara umum bilangan ko mpleks t erdiri dari dua bagian, yaitu bagian riil dan bagian imajiner (khayal), yang secara matematis berbentuk a  ib dengan a dan b bilangan bilangan riil. Bagian imajiner bercirikan adanya bilangan imajiner i yang didefinisikan sebagai i 

1 .

Dalam kajian kalkulus tingkat lanjut, dikenal dua fungsi khusus yaitu fungsi gamma dan fungsi beta. Kedua fungsi tersebut biasanya digunakan di dalam menyelesaikan permasalahan di bidang fisika dan teknik. Fungsi gamma yang disimbolkan sebagai  dan fungsi beta dengan simbol B pada dasarnya dapat didefinisikan pada bilangan riil dan kompleks dengan beberapa syarat tertentu. Dasar-dasar teori fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan riil akan sangat membantu di dalam mengkaji sifat-sifat fungsi gamma dan fungsi beta yang didefinisikan pada bilangan ko mpleks. Oleh sebab itu, untuk memahami lebih mendalam akibat dari karakteristik bilangan kompleks terhadap nilai fungsi gamma dan fungsi beta, maka perlu dibahas beberapa sifat khusus yang terjadi akibat penurunan rumus-rumus dasar nilai fungsi gamma dan fungsi beta yang dikaji pada bilangan kompleks.


1.2

Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana karakteristik fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks.

1.3

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan karakteristik ( z ) dan B( z1 , z 2 ) dengan z, z1 , z 2  C .

1.4

Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai bahan kajian di dalam mempelajari sifat-sifat fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks yang berguna di dalam menambah pengetahuan di bidang matematika yang dapat diaplikasikan baik di bidang matematika atau at au lainnya seperti fisika dan teknik. t eknik.


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Sistem Bilangan Kompleks

Sistem bilangan kompleks dapat dinyatakan secara formal dengan menggunakan konsep pasangan terurut ( ordered pair ) bilangan riil (a,b). Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks (Wibisono, 1975). Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975) Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan k eseluruhan besaran yang berbentuk a  ib

atau

a  bi ,

dengan a dan b bilangan-bilangan riil dan i 2  1.

Jika z  (a, b)  a  ib merupakan suatu bilangan kompeks, maka a dinamakan bagian riil (real part ) dari z dan b dinamakan bagian imajiner (imaginary part ) dari z yang secara berturut-turut dinyatakan dengan Re( z ) dan Im( z ) . Lambang z yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan

kompleks dinamakan peubah kompleks. Bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari himpunan bilangan kompleks dengan b  0 . Jika a  0 , maka 0  ib atau ib dinamakan bilangan imajiner murni (Spiegel, 1994).


2.2

Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008) Jika z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 adalah bilangan kompleks, maka: i.

z1  z 2  ( a1  ib1 )  ( a 2  ib2 )  ( a1  a 2 )  i(b1  b2 )

ii.

z1 z 2  ( a 1 ib1 )(a 2  ib2 )  ( a1 a 2  b1b2 )  i( a1b2  a 2 b1 ) .

Pada bilangan kompleks juga diperkenalkan suatu operasi yang disebut kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.2.2 (Sardi, 2008) Jika z  (a, b)  a  ib , maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z dan didefinisikan sebagai z  (a,b)  a  ib .

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut: Teorema 2.2.3 (Sardi, 2008) i.

Jika z bilangan kompleks, maka 1). z  z 2). z z   Re( z )   Im( z ) . 2

ii.

2

Jika z1 , z 2 bilangan kompleks, maka 1). z1  z 2  z1  z 2 2). z1 z 2  z1 z 2


 z  z 3).  1   1 , z 2  0.  z 2  z 2 Bukti: i.

Misalkan z  a  ib , maka z  a  ib , maka 1). z  a  ib  a  ib  z . 2). z z  ( a  ib)(a  ib)  a 2  b 2  Re( z )   Im( z )  . 2

ii.

2

■

Misalkan z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 , maka 1). z1  z 2  (a1  ib1 )  ( a 2  ib2 )

 (a1  a 2 )  i (b1  b2 )

 (a1  a 2 )  i(b1  b2 )  (a1  ib1 )  (a 2  ib2 )  z1  z 2 . 2). z1 z 2  ( a1  ib1 )(a 2  ib2 )

 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )

 (a1 a 2  b1b2 )  i(a1b2  a 2 b1 )  (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )  (a1  ib1 )(a 2  ib2 )  z1 z 2 .  z   a  ib1   3).  1    1  z a ib  2   2 2   (a  ib1 )( a 2  ib2 )     1  (a 2  ib2 )(a 2  ib2 ) 


 (a a  b b )  i(a1b2  a 2 b1 )     1 2 1 2 2 2  a 2  b2   

( a1 a 2  b1b2 )  i(  a1b2  a 2 b1 )



( a1 a 2  b1b2 )  i ( a1b2  a 2 b1 )



( a1  ib1 )(a 2  ib2 )





2.3

a 2  b2 2

a 2  b2 2

2

2

( a 2  ib2 )(a 2  ib2 ) ( a1  ib1 ) ( a 2  ib2 ) z1 z 2

, z 2  0.

■

Geometri Bilangan Kompleks

Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a  ib pada bidang datar xy dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a,b) (Wibisono, 1975). 2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks

Untuk sebarang bilangan kompleks z  a  ib , modulus (nilai mutlak) dari bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai berikut:


Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008) Jika z  a  ib bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis ditulis z didefinis didefinisikan ikan sebagai z  a  ib 

a b . 2

2

Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan riil positif atau nol. Arti geometri z menyatakan panjang vektor (a, b) , yaitu jarak dari titik asal O  (0,0) terhadap titik z  (a, b) .

Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks, yaitu: Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008) i.

Jika z Jika z bilangan kompleks, kompl eks, maka 1). z

2

 (Re( z ))2  (Im( z ))2

2). z  z 3). z

2

 z z .

ii. Jika z1 , z 2 bilangan kompleks, maka 1). z1 z 2  z1 z 2

2).

z1



z 2

z1 z 2

,

z 2  0 .

Bukti: i.

Misalkan z  a  ib , maka 1). z

2





a2  b2



2

 a 2  b 2  (Re( z )) 2  (Im( z )) 2 .


2). z  a  ib , sehingga z  3). z ii.

2

a  ( b )  2

2

 a 2  b 2  (a  ib)(a  ib)  z z .

a  b  z . 2

2

■

Misalkan z1 , z 2 bilangan kompleks, maka 1). z1 z 2

2

2

2

 ( z1 z 2 )( z1 z 2 )  z1 z 2 z1 z 2  ( z1 z1 )( z 2 z 2 )  z1 z 2 .

Jadi, z1 z 2  z1 z 2 .

2).

z1 z 2

z1

 z1 

1 z 2

2

z 2

 z1 

, sehingga:

1 z 2

2

 1  1    z1   z1    z 2  z 2   z1 



1  z1 

   z 2  z 2 

z1 z1



z 2 z 2

 z z    1 1   z 2 z 2 



z1 z 2

Jadi,

z1 z 2



z1 z 2

2 2

.

, z 2  0 .

■

2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen

Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z  (a, b) dinyatakan dalam r dan θ yaitu yaitu z  (r ,  ) . Pada Gambar 1 diperoleh hubungan sebagai berikut: a  r cos  ; b  r sin  , dengan:


r 

a  b  z 2

2

θ : sudut antara sumbu x positif dengan Oz.

z  (a, b)

r θ

O

Gambar 1.

Untuk z  0 , sudut θ dihitung dihitung dari tan  

b a

dan untuk z  0 maka r  0

dan θ dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks z  a  ib dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu: z  r (cos  i sin sin  ). Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008) Diberikan bilangan bilanga n kompleks z  r (cos  i sin sin  ) . Sudut θ disebu t argument dari z, ditulis   arg z. Sudut

θ dengan 0    2 atau       disebut

argument utama dari z, ditulis   Arg z. Pembahasan untuk θ tersebut dipilih salah satu saja.

Dengan menggunakan rumus Euler e i  cos  i sin  ,

maka bentuk polar bilangan kompleks ko mpleks z dapat diubah menjadi z  r (cos  i sin  )  re i .


Penulisan z  re i merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z. Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari z adalah: z  r (cos  i sin sin  )

 r (cos( )  i sin(  ))  re i .

2.4

Limit Fungsi Kompleks

Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks f ( z ) ditulis sebagai berikut: Definisi 2.4.1 (Sardi, 2008) Diberikan fungsi f:

C → C dan

misalkan fungsi w  f ( z ) terdefinisi pada daerah

D kecuali di z 0 (titik z 0 di dalam D atau batas D). Limit dari f ( z ) adalah w0 untuk z menuju z 0 ,

jika untuk setiap   0 terdapat   0 sehingga

f ( z )  w0   , apabila 0  z  z 0   ditulis lim lim f ( z )  w0 . z  z 0

Teorema berikut menyatakan jika dua fungsi kompleks yang diberikan masing-masing mempunyai limit, maka jumlah, selisih, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi itu mempunyai limit berturut-turut sama dengan jumlah, selisih, perkalian dan pembagian masing-masing limit yang diberikan. diberikan. Teorema 2.4.2 (Saff, 2003) Diketahui lim lim f ( z )  A dan lim lim g ( z )  B , maka z  z0

1).

z  z0

lim lim  f ( z )  g ( z )   lim lim f ( z )  lim lim g ( z )  A  B

z  z0

z  z0

z  z0


2). 3).

4).

lim lim  f ( z )  g ( z )  lim lim f ( z )  lim lim g ( z )  A  B

z  z0

z  z0

z  z0

lim lim f ( z ) g ( z )  lim lim f ( z )  lim lim g ( z )  AB

z  z0

lim lim

z  z0

z  z0

f ( z ) g ( z )



z  z0

lim lim f ( z )

z  z0

lim lim g ( z )

z  z 0



A B

,

jika B  0.

Bukti: 1). Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

 2

adalah positif.

Karena lim lim f ( z )  A , maka terdapat suatu bilangan positif  1 sedemikian z  z0

sehingga 0  z  z 0   1  f ( z )  A 

 2

.

Karena lim lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  2 sedemikian z  z0

sehingga 0  z  z 0   2  g ( z )  B 

 2

.

Pilih   min{ 1 ,  2 }; yaitu pilih  sebagai yang terkecil di antara  1 dan  2 , maka 0  z  z 0   menunjukkan f ( z )  g ( z )  ( A  B )   f ( z )  A   g ( z )  B 

 f ( z )  A  g ( z )  B 

 2



 2

  .

lim  f ( z )  g ( z )   A  B  lim lim f ( z)  lim lim g ( z) . Jadi, lim z  z0

z  z0

z  z0


2). Berdasarkan bukti 1), maka dapat ditunjukkan lim lim  f ( z )  g ( z)   lim lim  f ( z )  ( 1) g ( z ) 

z  z0

z  z0

lim f ( z)  lim lim ( 1) g ( z ) ,  lim z  z0

dengan sifat

bahwa

z  z0

lim lim kg ( z )  k lim lim g ( z ); k konstanta,

z  z0

z  z0

yang

dapat

dibuktikan sebagai berikut: Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

 k  1

adalah positif.


sehingga 0  z  z 0   1  g ( z )  B 

 k  1

.

Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0  z  z 0   yang menunjukkan kg ( z )  kB  k  g ( z )  B 

 k g ( z )  B

 k

 k  1

  . Jadi, lim lim kg ( z)  kB  k lim lim g ( z ); k konstanta. konstanta. z  z0

z  z 0

Oleh karena itu, lim lim  f ( z )  g ( z )   lim lim f ( z )  ( 1) lim lim g ( z )

z  z0

z  z0

z  z 0


 lim lim f ( z )  lim lim g ( z ) z  z 0

z  z0

 A  B . 3). Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

1



2 g ( z )  1

adalah

positif. Karena lim lim f ( z )  A , maka terdapat suatu bilangan positif  1 z  z0

sedemikian sehingga 0  z  z 0   1  f ( z )  A 



1

2 g ( z )  1

.


sehingga 0  z  z 0   2  g ( z )  B 



1

2 A  1

.

Pilih   min{ 1 ,  2 } , maka 0  z  z 0   menunjukkan f ( z ) g ( z )  AB  f ( z ) g ( z )  Ag ( z )  Ag ( z )  AB

 g ( z ) f ( z )  A  A g ( z )  B   g ( z ) f ( z )  A  A g ( z )  B   g ( z ) f ( z )  A  A g ( z )  B 



g ( z )



2

g ( z )  1

 2



 2



A



2 A  1

  .

Jadi, lim lim f ( z ) g ( z )  AB  lim lim f ( z ) lim lim g ( z ) . z  z0

z  z0

z  z0


4). Berdasarkan bukti 3), maka dapat ditunjukkan lim lim

 1   lim  f ( z )  lim g ( z ) z  z  g ( z ) 

f ( z )

z  z0

0

 lim lim f ( z ) lim lim z  z0

lim dengan lim

z  z0

maka

1 2

1 g ( z )



1 lim lim g ( z )

z  z0

1 g ( z )

,

, yaitu dengan diberikan bilangan positif  ,

z  z 0

g ( z ) B  adalah positif. Karena lim lim g ( z )  B , maka terdapat suatu z  z0

bilangan positif  1 sedemikian sehingga 0  z  z 0   1  g ( z )  B 

1 2

g ( z ) B  .

Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0  z  z 0   yang menunjukkan 1



1

g ( z ) B



B  g ( z ) g ( z ) B







  g ( z )  B  g ( z ) B g ( z )  B g ( z ) B g ( z )  B g ( z ) B



1





2

g ( z ) B  

1 g ( z ) B

2

  .


Jadi, lim lim

z  z0

1 g ( z )



1 B



1 lim lim g ( z )

.

z  z 0

Oleh karena itu, lim lim

z  z0

f ( z ) g ( z )

lim f ( z )  lim z  z 0



2.5

A B

.

1 lim lim g ( z )

z  z 0

■

Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks

Fungsi pangkat didefinisikan sebagai: w  e z  e a ib  e a (cos b  i sin b ) ,

dengan e  2,71828... adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a bilangan riil r iil positif, posit if, maka didefinisikan a z  e z ln a , dengan ln a adalah logaritma natural (asli) dari a. Jika a  e maka direduksi kembali menjadi w (Spiegel, 1994).

Berikut ini adalah sifat-sifat aljabar yang paling pokok untuk fungsi pangkat dengan bilangan dasar logaritma natural, natural, yaitu: Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975) i.

Untuk setiap peubah kompleks z1 dan z 2 berlaku sifat-sifat berikut: z1  z2

1). e

z1  z 2

2). e ii.

 e z e z 1



2

z1

e

z 2

e

.

Jika z  a  ib , maka 1). e z  e z


2).

e  e dan arg(e )  b . z

a

z

Bukti: i.

Misalkan z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 , maka z1

e

 e a (cos b1  i sin b1 ) dan e z  e a (cos b2  i sin b2 ) . 1

2

2

z z a a 1). e 1 e 2  e 1 e 2 (cos b1  i sin b1 )(cos b2  i sin b2 )

 e a  a (cos b1 cos b2  sin b1 sin b2 )  i(cos b1 sin b2  cos b2 sin b1 )  1

2

 e a  a cos(b1  b2 )  i sin( b1  b2 )  1

2

 e z  z . 1

2

2). z1  z 2  ( a1  a 2 )  i (b1  b2 ) , maka z1  z 2

e

 e a  a cos(b1  b2 )  i sin( b1  b2 )  1















e

a1

e

a2

e

a1

e

a2

e

a1

e

a2

e

a1

e

a2

e

a1

e

a2

e e

2

(cos b1 cos b2  sin b1 sin b2 )  i(sin b1 cos b2  cos b1 sin b2 )  (cos b1  i sin b1 ) cos b2  (cos b1  i sin b1 )i sin sin b2  (cos b1  i sin sin b1 )(cos b2  i sin b2 )

 e ib e ib 1



e

ib1

e

ib2

2

a1 ib1 a2 ib2

z1

e

z 2

e

.

■


ii.

Misalkan

z  a  ib ,

e z  e a (cos b  i sin b)  e a cos b  i e a sin b ,

maka

sehingga: 1). Karena z  a  ib maka z  a  ib , sehingga: e z  e a ib

 e a e ib  e a (cos b  i sin b)  e a cos b  ie a sin b  e a cos b  ie a sin b  e a (cos b  i sin b)

 e z . z a a 2). e  ( e cos b)  (e sin b) 

2

2

a a (e ) (cos b  sin b)  e ,

2

2

2

 e a sin b    arc tan(tan b)  b . dan arg(e )  arc tan a  e cos b  z

2.6

■

Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks

Definisi yang diberikan cukup konsisten dengan Rumus Euler, yaitu untuk setiap b bilangan riil, e ib  cos b  i sin b dan e  ib  cos b  i sin sin b .

Dengan menjumlahkan dan mengurangkan kedua rumus ter sebut diperoleh

cos b 

e ib  e ib

2

; sin sin b 

e ib  e ib

2i

,

sehingga dapat didefinisikan fungsi trigonometri dengan peubah kompleks z, sebagai berikut:


e iz  e iz

cos z 

2

(2.1)

dan e iz  e iz

sin z 

2i

(2.2)

(Sardi, 2008).

2.7

Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks

Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi pangkat (eksponen), sebagai berikut: Sinus hiperbolik didefinisikan dengan

sinh z 

e z  e  z

2

;

 z  C

(2.3)

dan cosinus hiperbolik hiperbo lik dengan

cosh z 

e z  e  z

2

;

 z  C

(2.4)

(Sardi, 2008).

2.8 Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks

Jika z  e w , maka dapat dituliskan w  ln z , yang dinamakan logaritma natural (asli) dari z. jadi fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi pangkat dan dapat didefinisikan sebagai: Definisi 2.8.1 (Boas, 2006) Misalkan bilangan kompleks z  a  bi , yang dalam bentuk eksponen ditulis

z  re i , maka


w  ln z  ln(re i )  ln r  ln e i  ln r  i , dengan ln r adalah logaritma bilangan riil biasa dengan bilangan pokok e, dan r adalah suatu bilangan riil positif.

2.9

Kekonvergenan Perkalian Tak Hingga

Analog dengan deret bilangan (jumlahan yang banyak sukunya tak hingga terhitung), maka pada perkalian n suku pertama juga analog dengan jumlah n suku pertama deret, dengan definisi sebagai berikut: Definisi 2.9.1 Perkalian Parsial (Arfken, 2005) Jika p n adalah suatu perkalian p erkalian parsial, maka p n didefinisikan sebagai:

p n 

n

 f  f  f  f    f ; i

1

2

3

n

n bilangan asli.

i 1

Berdasarkan

kenyataan

tersebut,

dapat

disusun

pengertian

untuk

kekonvergenan perkalian tak hingga sebagai berikut: Definisi 2.9.2 Konvergen (Arfken, 2005) 

Perkalian tak hingga

 f dikatakan konvergen ke suatu bilangan P (P bukan 0 i

i 1

ataupun ∞) jika

lim p n  P n 

n

atau

lim lim

n 

 f  P ; i

n bilangan asli.

i 1

Pada kasus fungsi trigonometri, dipunyai dua pengertian penting dalam bentuk perkalian tak hingga sebagai berikut: Definisi 2.9.3 Sinus dan Cosinus (Arfken, 2005) Dalam perkalian tak berhingga, be rhingga, untuk u ntuk setiap x bilangan bila ngan riil, sin x dan cos co s x pada pa da fungsi trigonometri trig onometri didefinisikan didefinisik an sebagai:


    x 2  4 x 2   sin x  x 1  2 2  ; cos x  x 1  . n   (2n  1) 2  2  n 1  n 1  

2.10 Notasi Faktorial

Definisi dasar untuk notasi faktorial fakt orial dinyatakan sebagai berikut: Definisi 2.10.1 (Siang, 2002) Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n! ) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n.

n! 1.2.3...(n  1).n .

2.11

Fungsi Gamma

Terdapat dua definisi penting pent ing untuk mendefinisikan fungsi gamma, yaitu: Definisi 2.11.1 (Boas, 2006) Diberikan fungsi  : r →

r .

Fungsi gamma pada bilangan riil yang dinyatakan

oleh (n) didefinisikan sebagai: 

(n)   e t t n1dt ;

n  0

(2.5)

0

dengan n dan t adalah sebarang bilangan riil.

Dari persamaan (2.5) di atas ata s diperoleh: 



(1)   e dt ,



 (2)   e t dt ,

 t

t

0

(3)   et t 2 dt ,

0

0

dan seterusnya. Kemudian untuk menentukan nilai integral di atas, d igunakan rumus integral parsial, sehingga se hingga untuk n bilangan bulat positif diperoleh: 





(n)   e t dt    t de  e t  t n 1

0

n 1

0

 t

 t n 1

 0



 (n  1)  e t t n 2 dt . 0


 t n 1

Apabila di dalam bentuk e t

diperoleh bentuk tak tentu

lim lim

f (t )

lim  lim

g (t )

f ' (t ) '

g (t )

atau

t n1 e

t

peubah t diganti dengan  , maka

 , sehingga digunakan aturan De L’Hopital, yaitu 

. Dengan demikian, diperoleh:

t n 1

lim lim (e t )  lim lim t 

t  

 lim lim

t n1 e

 lim lim

t

t  

e

t

Jadi,

e

t



( n  1)( n  2)(n  3) 1 e t

t  



e

(n  1)(n  2)t n 3

t 

 lim lim

(n  1)t n 2

 0.





 t n 1

 t n  2

t dt  (0  0)  (n  1) e t

0

dt atau (n)  (n  1)(n  1) . Dengan

0

demikian diperoleh:

(n  1)  n(n) ;

n  Z .

Dari persamaan (2.5) diperoleh: 

(1)   e t dt   e t

 0

 (0  1)  1 ,

0

sehingga

(1)  1 (2)  1.(1)  1.1  1 (3)  2.(2)  2.1  2! (4)  3.(3)  3.2! 3! (5)  4.(4)  4.3! 4! 

(n  1)  n(n)  n!.


(2.6)

Jadi diperoleh:

(n  1)  n! ;

n  Z .

(2.7)

Selanjutnya n! dapat didefinisikan ke dalam bentuk fungsi integral se bagai berikut: 





t n n!  ( n  1)  e t dt ;

n  1 ,

(2.8)

0

dan 0! dapat didefinisikan sebagai:

0! (1)  1 .

(2.9)

Nilai (n) untuk 1  n  2 dapat dibaca dari tabel. Tabel berikut ini adalah tabel beberapa nilai (n) untuk 1  n  2 .

Tabel 1. Tabel Fungsi Gamma n

( n )

1

1

1,1

0,9513507699

1,2

0,9181687424

1,3

0,8974706963

1,4

0,8872638175

1,5

0,8862269255

1,6

0,8935153493

1,7

0,9086387329

1,8

0,9313837710

1,9

0,9617658319

2

1

Nilai (n) dapat ditentukan untuk semua n  1 , dengan n sebarang bilangan riil dengan menggunakan rumus rekursif rekurs if (n  1)  n (n) .


Contoh 1. Hitunglah nilai (3, 4) . Jawab:

(3,4)  2,4  (2,4)  2,4  1,4  (1, 4)  2,4 1,4  0,8872638175  2,981206427 . Untuk n  1 , nilai (n) dapat dihitung dengan rumus ru mus (n ) 

 (n  1) n

.

Contoh 2. Hitunglah nilai (0,6) dan (1,7) . Jawab:

(0,6) 

(1,6) 0,6

(1,7) 



0,8935153493 0,6

 1,489192249 .

(0,7) 1 (0,3)    1,7  1,7  0,7 



1



1



1

 1,7  0,7 1

 1,7  0,7





(1,3) 0,3 0,8974706963 0,3

 2,513923519. Namun (n) tidak terdefinisi untuk setiap n sama dengan nol atau bilangan bulat negatif, sebab (0) 

 (  2) 

(1) 0



1 0

(tidak terdefinisi). Demikian pula ( 1) 

(0) , 1

(1) , dan seterusnya, dan ini dinamakan sebagai sifat dasar dari fungsi 2

gamma pada bilangan riil (Spiegel, 1990).


Selanjutnya fungsi gamma dapat juga didefinisikan dalam bentuk yang dikenal sebagai rumus Euler sebagai berikut: Definisi 2.11.2 (Arfken, 2005) Fungsi gamma adalah:

( z )  lim lim

n 

1 2  3   n z ( z  1)( z  2)    ( z  n)

n z

dimana z bilangan riil atau kompleks, dan z  {( 0)  Z  } .

2.12

Fungsi Beta

Dari rumus faktorial dapat dituliskan hasil kali dua fungsi faktorial sebagai perkalian dari dua fungsi integral. Dengan mengganti variabel dan integral berbatas, diperoleh: a



a

u



v

m  1, n  1 .

m! n! lim lim e u du e v dv , a

m

0

n

(2.10)

0

Jika u dan v masing-masing diganti dengan x 2 dan y 2 , maka didapatkan: a

a



m! n!  lim lim 4 e a 

 x 2

x

2 m 1



dx e

0

 y 2

y

2 n 1

dy .

(2.11)

0

Dengan memandang x dan y sebagai koordinat-koordinat di dalam sistem koordinat Cartesian serta mentransformasikan persamaan (2.11) ke dalam sistem koordinat

polar,

maka

menurut

hubungan

x  r cos , y  r sin sin  , dan

dx dy  r dr d  diperoleh: a



m! n!  lim lim 4 e a

0

 r 2

2m  2 n3

r

 / 2



dr cos

2 m 1

 sin 2

n 1

 d  .

0


Kemudian dilakukan variasi bentuk lain dari (n) yang dapat dibentuk menjadi persamaan bentuk integral lain dengan dimisalkan t   s 2 . Karena dt  2 s ds , maka diperoleh: 

(n)   e  s (s 2 ) n 1 2s ds 2

0



 2  e  s s 2 n1ds . 2

0

Untuk s  t , maka didapatkan variasi lain dari (n) dengan bentuk sebagai berikut: 

(n)  2  e t t 2n 1 dt ; 2

n0 ,

(2.12)

0

sehingga diperoleh: 



m! n!  2 e

 / 2

 r 2

2 ( m  n  2 ) 1

r



dr  2 cos

0

2 m1

 sin 2

n 1

 d 

0

 / 2

  (m  n  2)  2  cos 2m 1  sin 2 n1  d  0

 / 2

 (m  n  1)!2  cos 2 m1  sin 2n 1  d  0

 (m  n  1)! B(m  1, n  1) ,

(2.13)

 / 2

dengan



B ( m  1, n  1)  2 cos

2 m 1

 sin

2 n 1

 d  .

(2.14)

0

Jadi, B (m  1, n  1) 

m!n!

(m  n  1)!

.

Persamaan (2.15) dikenal sebagai fungsi beta ( Soedojo, 1995).


(2.15)

Selanjutnya dari persamaan (2.14) dimisalkan cos 2   t , jika   0 maka t  1 , dan jika  

 2

maka t  0 , sehingga diperoleh:

 dt

0



B (m  1, n  1)  2 cos

2m

  cos   sin

2n

  sin  

1

2 cos  sin 

1

  t m (1  t ) n dt .

(2.16)

0

Oleh karena itu, jika diberikan B :

R

 R → R , maka fungsi beta yang dinyatakan

dengan B(m, n) dapat ditulis sebagai: 1



m 1

B ( m, n)  t

(1  t )

n 1

m  1 dan n  1 .

dt ;

(2.17)

0

Jika dalam persamaan (2.17) diadakan substitusi subst itusi t  1  s , maka 0



B (m, n )  (1  s )

1

m 1

( s)

1

n 1



1

1

n m (  ds )  s (1  s ) ds  B ( n, m)

(2.18)

0

yang berarti bahwa fungsi beta bersifat simetri terhadap pertukaran peubahnya. Kemudian berdasarkan persamaan (2.15), diperoleh hubungan antara fungsi beta dan fungsi gamma sebagai berikut: ber ikut: B(m, n) 

(m  1)!(n  1)! (m  n  1)!



 (m)(n) ( m  n )

(Arfken, 2005).


(2.19)

BAB III METODE PENELITIAN

3.1

Materi Penelitian

Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah buku-buku dan jurnal yang terkait dengan materi permasalahan bilangan kompleks, fungsi gamma dan fungsi beta.

3.2

Cara Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari materi penelitian baik buku maupun jurnal serta referensi pendukung yang digunakan pada penelitian ini.

3.3

Prosedur Penelitian

Prosedur penelitian yang dilakukan meliputi langkah-langkah sebagai berikut: 1. Mempelajari sifat-sifat sifat-s ifat bilangan kompleks 2. Mempelajari dasar-dasar teori fungsi gamma 3. Mempelajari dasar-dasar teori fungsi beta 4. Mempelajari hubungan antara fungsi gamma dan fungsi beta 5. Melakukan pengkajian karakteristik bilangan kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma dan selanjutnya dikaji pada fungsi beta dengan menggunakan hubungan antara kedua fungsi tersebut.


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1

Karakteristik Dasar

(z)

Fungsi gamma merupakan generalisasi bentuk n! , dengan n adalah sebarang bilangan rill atau bilangan kompleks dengan syarat tertentu. Dalam hal n sebagai bilangan bulat positif, fungsi gamma dari n ditulis sebagai (n)  (n  1)! (Renreng, 1990). Pengertian di atas digeneralisasi oleh Euler pada Definisi 2.11.2. Berdasarkan definisi tersebut, dapat diturunkan hubungan dasar fungsi gamma sebagai berikut: Dengan mensubstitusi z  1 ke z, diperoleh persamaan:

( z  1)  lim lim

n 

 lim lim

n 

1 2  3    n ( z  1)( z  2)( z  3)    ( z  n  1) nz



n z 1

1 2  3    n

z  n  1 z ( z  1)( z  2)    ( z  n)

n z

 z ( z ) .

(4.1)

Persamaan (4.1) merupakan rumus rekursif untuk fungsi gamma (Arfken, 2005). Proses selanjutnya dapat dilakukan secara terus-menerus sehingga diperoleh hubungan ( z  1)  z( z )  z ( z  1)( z  1)  z ( z  1)( z  2)    3.2.1  z!, jika z bilangan bulat positif, sehingga pada perhitungan berikutnya dengan z bilangan kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma dapat digunakan hubungan

( z )  ( z  1)! sebagai generalisasi dari bentuk z!.


Dari Definisi 2.11.2 tersebut, dapat dinyatakan bahwa:

(1)  lim lim

n 

1 2  3    n 1  2  3    n(n  1)

n  1.

Kemudian dengan menggunakan persamaan (4.1), dipero leh:

(2)  1(1)  1 (3)  2(2)  2 

(n)  1  2  3    (n  1)  (n  1)! , untuk n bilangan bulat bulat positif. Pada bilangan kompleks dikenal istilah bilangan kompleks sekawan dari z menurut Definisi 2.2.2. Jika dikenakan bilangan kompleks z  a  ib pada fungsi gamma, maka dari definisi 2.11.2, dapat diperlihatkan sifat sekawan dari nilai

( z ) sebagai berikut: Sifat 4.1.1

Untuk sebarang bilangan kompleks z, maka ( z )  ( z ) . Bukti: Diambil sebarang z 

, maka C z   n! n  lim  ( z )  lim n  z ( z  1)( z  2)    ( z  n )   

 lim lim n! n z z ( z  1)( z  2)    ( z  n) n 

z

 lim lim

n 

n! n

z ( z  1)( z  2)    ( z  n)

.

z

Karena n z  e ln n  e z ln n , dengan z  a  ib sehingga z  a  ib , maka


e z ln n  e( a  ib ) ln n  e a ln n  ib ln n

 e a ln n ib ln n  e ( a ib ) ln n  e z ln n z

 e ln n . Diklaim bahwa:

ln z  ln z ;

 z  C ,

yang dapat dibuktikan sebagai berikut: Berdasarkan Definisi 2.8.1, ln z  ln( re i )  ln r  i maka ln z  ln(re  i )  ln r  i

 ln r   i  ln re i  ln z . z

z

z

Dengan demikian, secara analog dapat ditunjukkan bahwa e ln n  e ln n  e ln n , sehingga n z  n z . Jadi, z

lim ( z )  lim

n 

n! n

z ( z  1)( z  2)    ( z  n)

 ( z ) .

■

Pembuktian Sifat 4.1.1 di atas akan sama saja jika digunakan hubungan

( z )  ( z  1)! dengan berdasarkan sifat kesekawanan bilangan kompleks pada Teorema 2.2.3, yaitu:


Jika diambil sebarang z  C , dengan z  a  ib , maka

( z )  ( z  1)!  (a  ib  1)!  (a  ib  1)( a  ib  2)(a  ib  3)... (a  ib  m)( a  ib  m  1)( a  ib  m  2)!  (a  1  ib) (a  2  ib) (a  3  ib).. . (a  m  ib) (a  m  1  ib) (a  m  2  ib)!

 (a  1  ib)(a  2  ib)(a  3  ib)... (a  m  ib)(a  m  1  ib)(a  m  2  ib)!  (a  ib  1)(a  ib  2)(a  ib  3)... (a  ib  m)(a  ib  m  1)(a  ib  m  2)!  (a  ib  1)!

 ( z  1)!  ( z ) . Kemudian, untuk setiap z bilangan kompleks dengan sifat kesekawanan yang dimilikinya pada Teorema 2.2.3 dapat diperoleh sifat kesekawanan pada fungsi gamma sebagai berikut: Sifat 4.1.2.

Untuk setiap z1 , z 2  C , dengan z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 maka berlaku: i.

( z1 )( z 2 )   ( z1 )   ( z 2 )

 ( z1 )  ( z1 )   . ( )  z ( )  z  2  2

ii. 

Bukti: Diambil sebarang z1 , z 2  C , dengan z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 , maka i.

( z1 )( z 2 )  ( z1  1)!( z 2  1)!  (a1  ib1  1)!(a2  ib2  1)!


 (a1  ib1  1)(a1  ib1  2)( a1  ib1  3)...(a1  ib1  m)(a1  ib1  m  1)      (a1  ib1  m  2)!(a 2  ib2  1)(a 2  ib2  2)(a 2  ib2  3)...(a 2  ib2  m)     (a 2  ib2  m  1)(a 2  ib2  m  2)!   (a1  1  ib1 )(a1  2  ib1 )( a1  3  ib1 )...(a1  m  ib1 )(a1  m  1  ib1 )      (a1  m  2  ib1 )!(a 2  1  ib2 )(a 2  2  ib2 )(a 2  3  ib2 )...(a 2  m  ib2 )     (a 2  m  1  ib2 )(a 2  m  2  ib2 )!   (a1  1  ib1 ) (a1  2  ib1 ) (a1  3  ib1 ) ...(a1  m  ib1 ) (a1  m  1  ib1 ) ( a1  m  2  ib1 )!(a 2  1  ib2 ) ( a 2  2  ib2 ) ( a 2  3  ib2 )...( a 2  m  ib2 ) ( a 2  m  1  ib2 ) ( a 2  m  2  ib2 )!

 (a1  1  ib1 )(a1  2  ib1 )( a1  3  ib1 )...(a1  m  ib1 )(a1  m  1  ib1 ) ( a1  m  2  ib1 )!( a 2  1  ib2 )(a 2  2  ib2 )( a 2  3  ib2 )...(a 2  m  ib2 ) ( a 2  m  1  ib2 )(a 2  m  2  ib2 )!  (a1  1  ib1 )!(a 2  1  ib2 )!  (a1  ib1  1)!(a 2  ib2  1)!  (a1  ib1  1)!(a 2  ib2  1)!

 ( z1  1)!( z 2  1)!  ( z1 )( z 2 )   ( z1 )  ( z 2 ) .

 ( z1 )    1  1     ( z1 )   ( z1 )     ( z 2 )   ( z 2 )     ( z 2 ) 

ii. 

 1    ( z1 )    ( 1 )! z  2    1   ( z1 )    (a 2  1  ib2 )( a 2  2  ib2 )(a 2  3  ib2 )! 


  ( z1 ) 

 ( z1 ) 

  ( z1 ) 

1 (a 2  1  ib2 )(a 2  2  ib2 )(a 2  3  ib2 )! 1 ( z 2  1)! 1

( z 2 )



( z1 ) .  ( z 2 )

■

Selanjutnya, fungsi gamma berdasarkan Definisi 2.11.1 sebagai bentuk integral Euler dengan peubah kompleks, yaitu jika diberikan fungsi  : C →

, C

maka fungsi gamma pada bilangan kompleks dapat ditulis sebagai: 

( z )   e t t z 1dt ,

Re( z )  0

(4.2)

0

(Arfken, 2005). Pada bilangan kompleks telah didefinisikan modulus (nilai mutlak) yang terdapat pada Definisi 2.3.1.1. Jika bilangan kompleks z  a  ib dikenakan pada fungsi gamma, maka berdasarkan persamaan (4.2) di atas dapat diperoleh sifat berikut ini: Sifat 4.1.3

Jika diberikan z  C dengan Re( z )  0 , maka berlaku

( z )  Re( z )  . Bukti: Diambil sebarang z  C dengan Re( z )  0. Kemudian dituliskan modulus dari nilai fungsi gamma sebagai berikut:




( z )   e t t z 1dt . 0

Karena berdasarkan persamaan (2.7) dari perhitugan berturut-turut untuk z  n , dengan n  Z menghasilkan (n)  (n  1)! yang kemudian direduksikan ke dalam ( z )  ( z  1)! , dengan z  C , maka diperoleh: 

( z )   e t t z 1 dt 0



  e t t z 1 dt . 0

Karena z 1

t

z 1

 e ln t  e ( z 1) ln t  e ( a ib 1) ln t  e ( a 1) ln t  ib ln t  e ( a 1) ln t  e ib ln t  e ( a 1) ln t cos(b ln t )  i sin( b ln t )  ,

sehingga z 1

t

 e ( a 1) ln t cos(b ln t )  i sin( b ln t )   e ( a 1) ln t a1

 eln t

 t a 1  t Re( z ) 1 . Dengan demikian, 

( z )   e t t Re( z )1 dt 0




  e t t Re( z ) 1 dt 0



  e t t Re( z )1 dt 0



  e t t Re( z )1dt 0

  Re( z )  . Jadi, ( z )  Re( z )  .

■

Contoh 3. Tentukan

nilai

perkiraan

yang

lebih

tepat

untuk

(2,9  6i) dan

(3,3  4i ) dengan membandingkan perhitugan secara langsung dan perhitungan tak langsung menggunakan Tabel 1. Jawab: 1. Perhitungan langsung

(2,9  6i )  (2,9)  1,9   (1,9)  1,9  0,9617658319  1,827355081  1,827355081 .

(3,3  4i )  (3,3) 



(1,3) ( 3,3)(2,3)( 1,3)(0,3) 0,8974706963

 2,9601

  0,3031893167

 0,3031893167 .


2. Perhitungan tak langsung langsung

(2,9  6i )  (1,9  6i )(1,9  6i )  1,9  6i (1,9  6i)

 (1,9) 2  (6) 2 (1,9)  3,61  36  0,9617658319  6,293647591 0,9617658319  6,053015211 . (3,3  4i) 

(1,3  4i) ( 3,3  4i )(2,3  4i)( 1,3  4i )(0,3  4i )



 (1,3  4i ) ( 3,3  4i)( 2,3  4i )(1,3  4i)(0,3  4i )



(1,3)  3,3  4i  2,3  4i  1,3  4i 0,3  4i





0,8974706963 (3,3) 2  4 2 (2,3) 2  4 2 (1,3) 2  4 2 (0,3) 2  4 2 0,8974706963 (10,89  16)(5,29  16)(1,69  16)(0,09  16)

 0,00223284841 . Jadi, nilai perkiraan yang lebih tepat adalah 0   ( 2,9  6i )  1,827355081 dan 0   ( 3,3  4i )  0,00223284841 . Hal ini dikarenakan sifat ( z )  Re( z )  dapat digunakan secara langsung jika Re( z )  0 . Akibat dari Sifat 4.1.3, diperoleh sifat sebagai berikut:


Sifat 4.1.4

Jika diberikan bilangan kompleks z  a  ib , maka a!  (a  ib)! untuk setiap a dan b bilangan riil. Bukti: Diambil sebarang z  C dengan z  a  ib, a, b  R . Berdasarkan z!  ( z  1) , maka diperoleh: z! (a  ib)!  (a  ib  1)  (a  1  ib) .

Misal w  (a  1)  ib, maka Re(w)  a  1, dan berdasarkan Sifat 4.1.3 diperoleh:

( w)  Re( w)    (a  1  ib)   (a  1)  a! . Dengan demikian, a!  ( a  ib)! .

■

Selanjutnya dengan meninjau kembali Definisi Definis i 2.11.2 bahwa,

( z )  lim lim

n 

1 2  3    n z ( z  1)( z  2)    ( z  n)

 lim

n 

1

n

 m 

n z

   m  z  n z

z

m1

1

 z   lim lim n  1   . z n  m 1  m  1

n

z

(4.3)

Berdasarkan invers persamaan (4.3), dan diketahui bahwa n  z  e  z ln n , maka diperoleh: 1

( z )

lim e  z lim n 

(  ln n ) z

n



z 

  1  m  m 1


 z lim e

(  ln n ) z

n 

lim lim

n 

n

 z lim  e e n 

z

m



n

z 

  1  m  m1

(  ln n ) z

m 1



n

lim lim

n 

z 

  1  m  e

 z

m

.

(4.4)

m 1

n  1 1 1   z / m exp 1       z    e , maka persamaan (4.4) dapat n   m 1  2 3

Karena

dituliskan sebagai berikut: n   1 1 1      z   z / m   z lim lim exp 1       ln n  z     lim lim  1   e . n  n  n ( z ) 2 3 m      m 1    

1

n 1 1  1 1    1       ln n   lim lim   ln n  0,5772156619... yang n  2 3  n m 1 m

dengan

dikenal sebagai tetapan Euler. Dengan demikian dapat didefinisikan: 1

( z)



 ze

 z

 z   z / n 1   e .  n  n 1 

(4.5)

Persamaan (4.5) dikenal sebagai bentuk Weiertrass (Arfken, 2005). Kemudian dengan menggunakan bentuk Weiertrass di atas, diperoleh sifat sebagai berikut: Sifat 4.1.5

Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau bilangan bulat negatif, berlaku

( z )(1  z ) 

 sin z

.

Bukti: Diambil sebarang bilangan z dengan z  {{0}  Z  } , maka




1

( z) 

 ze

 z



z 

  1  n  e

 z / n

n 1

    z  ( z )   ze z  1   e  z / n  n  n 1   

1

1



   z   z   z / n     z   z ( z ) ( z )   ze  1   e   ze  1   e z / n  n  n  n 1  n 1     

   z   z   z / n   z   z    ze  1   e  ze  1   e z / n  n  n  n 1  n 1   

1

1

1

 2   z 2      z  1  2  .  n 1  n   Kemudian dari Definisi 2.9.3 diperoleh:

  2 z 2  sin  z   z  1  2 2  n   n 1  





 z 2   z  1  2  . n  n 1 

;

 z  {{0}  Z  } .

z sin  z



2

Dengan demikian,

( z )( z )  

 z sin  z

(4.6)

Karena dari persamaan (4.1) telah ditunjukkan bahwa ( z  1)  z( z ), maka dengan pengembangan matematik diperoleh ( z  1)   z( z ) . Jadi,

( z )(1  z )  ( z ) z( z )    z( z )( z )   z  

 z sin  z


(akibat 4.6)



 sin  z

 z  {{0}  Z  } .

;

■

Akibat dari Sifat 4.1.5, diperoleh sifat sebagai berikut: Sifat 4.1.6

Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau bilangan bulat negatif , negatif , berlaku

( z  1)(1  z ) 

 z sin  z

.

Bukti: Diambil sebarang bilangan z dengan z  {{0}  Z  } , dan berdasarkan persamaan (4.1), maka diperoleh:

( z  1)(1  z )  z  ( z ) (1  z)  z 

Untuk

1 2

,

maka 2

 12 (1  12 )   12  

 z sin  z

; z  {{0}  Z  } .

dengan

 sin 

menggunakan

■

Sifat

4.1.5,

  . Jadi,  12    . 2

Contoh 4. Hitunglah nilai ( 52 ) dan (  32 ) . Jawab:

( 52 ) 

3 2

 ( 32 ) 

3 1

3

2 2

4

  ( 12 ) 

 .

( 12 ) 2 ( 12 ) 4  . (  )    1  3 2 3  32 3 2


diperoleh

4.2

Sifat-Sifat Khusus

(z )

Fungsi gamma pada dasarnya dapat didefinisikan pada bilangan kompleks dengan syarat tertentu yang kemudian akan didapatkan beberapa sifat penting sebagai akibat sifat-sifat mendasar dari dari bilangan kompleks kompleks dan sifat-sifat fungsi gamma yang telah terbentuk sebelumnya. Pada bilangan kompleks, salah satu sifat modulusnya yang terdapat pada Teorema 2.3.1.2 adalah z

2

 z  z . Jika bilangan kompleks z  a  ib dikenakan

pada fungsi gamma, maka diperoleh sifat berikut: Sifat 4.2.1

Jika diberikan fungsi  : C → C , maka i.

Untuk sebarang bilangan kompleks z  a  ib , dengan a dan b bilangan riil, 2

berlaku ( z )  ( z )  ( z ) . ii. Untuk setiap z1 , z 2  C , berlaku: a. ( z1 )( z 2 )  ( z1 ) ( z 2 )

b.

( z1 ) ( z1 ) .  ( z 2 ) ( z 2 )

Bukti: i.

Diambil sebarang bilangan kompleks z  a  ib , dengan a, b  R , maka 2

( z )  (a  ib)

2

 (a  ib  1)!

2

 (a  ib  1)(a  ib  2)(a  ib  3)... (a  ib  m)(a  ib  m  1)(a  ib  m  2)!


2

2

2

2

2

2

 a  1  ib a  2  ib a  3  ib ... a  m  ib a  m  1  ib (a  m  2  ib)!  (a  1  ib)(a  1  ib)(a  2  ib)(a  2  ib)(a  3  ib)(a  3  ib) ... (a  m  ib)( a  m  ib)(a  m  1  ib)(a  m  1  ib) (a  m  2  ib)!

2

 (a  1  ib)( a  2  ib)(a  3  ib) ... (a  m  ib)( a  m  1  ib)(a  m  2  ib)! ( a  1  ib)( a  2  ib)(a  3  ib) . .. (a  m  ib)(a  m  1  ib)(a  m  2  ib)!  (a  ib  1)!(a  ib  1)!   (a  ib) (a  ib)   ( z ) ( z ) .

■

ii. Akibat bukti (i), dapat ditunjukkan ditunjukkan bahwa: a.

2

( z1 )( z 2 )  (a1  b1  1)!(a1  b1  1)!

2

 (a1  b1  1)!(a1  b1  1)!(a1  b1  1)!(a1  b1  1)!   ( z1 )( z 2 ) ( z1 )( z 2 )   ( z1 )( z 2 )( z1 )  ( z 2 )

(Sifat 4.1.2)

  ( z1 )( z1 ) ( z 2 ) ( z 2 ) 2

2

 ( z1 ) ( z 2 ) . Jadi, ( z1 ) ( z 2 )  ( z1 ) ( z 2 ) . 2

b.

2

( z1 ) 1 1  1   ( z1 )   ( z1 )   ( z1 ) ( z 2 ) ( z 2 ) ( z 2 )  ( z 2 )  

( z1 )  ( z1 )    ( z 2 )  ( z 2 ) 



 ( z1 ) ( z1 )  ( z 2 )  ( z 2 )


(Sifat 4.1.2)

2





Jadi,

( z1 ) ( z1 ) .  ( z 2 ) ( z 2 )

( z1 )( z1 ) ( z 2 )( z 2 )

( z1 )

2

( z 2 )

2

.

■

Selanjutnya, jika bilangan kompleks z yang diberikan adalah bilangan imajiner murni, artinya Re( z )  0 , maka diperoleh: Sifat 4.2.2

Jika b  R sebarang dengan b  0 , maka 

2

(ib) 

b sinh  b

.

Bukti: Diambil sebarang b  R , dengan b  0 . Berdasarkan Sifat 4.2.1, diperoleh: 2

(ib)  (ib)(ib) . Dengan menggunakan persamaan (4.6), maka 

2

(ib)   



ib sin  ib



 1  ib e i ( ib )  e i ( ib )   2i  

 1 ( b ) e  e ( b )    2 

b


(akibat 2.2)





 1 ( x ) e  e ( x )    2 

b 



 b sinh  b

, b  0. ■

(akibat 2.3)

Dengan demikian, untuk setiap bilangan kompleks z dengan Re( z)  Z dapat ditentukan nilai ( z ) berdasarkan Sifat 4.2.2 dan persamaan (4.1). Contoh 5. Tentukan nilai dari: 1. (5  i) dan ( 2  3i ) 2. ( 5  i ) dan ( 3  2i) Jawab: 1. (5  i )  ( 4  i )(3  i )(2  i )(1  i )(i ) (i )

 (4  i ) (3  i ) (2  i) (1  i ) (i ) (i)

 4 2  12 3 2  12 2 2  12 12  12 12

 (17)(10)(5)(2)(1)



 sinh 

 sinh 

1700 sinh 

 10

17 sinh 

.

(2  3i )  (1  3i )(3i )(3i )  (1  3i ) (3i ) (3i )


 12  (3) 2 (3) 2



2. ( 5  i) 

( 3) sinh  ( 3)

  3 12 (e 3  e 3 

 (10)(9)





 30  12 (e 3  e 3 ) 30 sinh 3

.

 ( 4  i ) (i )  ( 5  i ) ( 5  i )(4  i )(3  i )(2  i)( 1  i ) 

 (i ) ( 5  i ) ( 4  i) (3  i ) ( 2  i) ( 1  i )  sinh 



(5) 2  12 ( 4) 2  12 ( 3) 2  12 ( 2) 2  12 ( 1) 2  12





(26)(17)(10)(5)( 2) sinh  





(3  2i) 



44200 sinh  1



10

442 sinh 

.

(2i) (3  2i )(2  2i )(1  2i )  (2i ) (3  2i ) ( 2  2i ) ( 1  2i )


 ( 2) sinh  ( 2)



( 3) 2  ( 2) 2 (2) 2  ( 2) 2 ( 1) 2  (2) 2

 



(13)(8)(5)(2)12 (e  2  e 2 

  4 65 12 (e 2  e 2 )



1



1



4

65 sinh 2

.

Sesuai bentuk generalisasi ( z  1)  z! dan ( z  1)   z! , melalui Sifat 4.1.6 diperoleh bentuk sebagai berikut: ber ikut: z!(  z )!

 z sin  z

;  z  C dengan z  {{0}  Z  } .

(4.7)

Kemudian, berdasarkan Sifat 4.2.1 dan persamaan (4.7) di atas, terbentuk sifat berikut ini: Sifat 4.2.3

Jika b  R sebarang dengan b  0 , maka 2

(ib)! 

 b sinh  b

.

Bukti: Diambil sebarang b  R , dengan b  0 . Berdasarkan bentuk ( z  1)  z! dapat dibentuk hubungan sebagai berikut:

(ib)! (ib  1)  (1  ib) , sehingga dengan mengunakan Sifat 4.2.1 diperoleh:


2

(1  ib)   (1  ib)(1  ib)  (ib  1)(ib  1)  (ib)!(ib)! . 2

2

2

2

Karena (ib)!  (ib  1)  (1  ib) , maka (ib)!  (ib)!(ib)! . Berdasarkan persamaan (4.7) diketahui bahwa:  ib

(ib)!( ib)!

sin  ib

,

sehingga diperoleh:  ib

2

(ib)! 



sin  ib  ib 1 2i



e

 i (  ib )

(akibat 2.2)



  b 1 2

e 

( b )

 e ( b ) 

  b

  

e

i ( ib )

1 2

e

( b )

 b sinh  b

 e ( b) 

, b  0.

■

(akibat 2.3)

Selanjutnya, jika bilangan kompleks z yang dikenakan pada fungsi gamma ke dalam Sifat 4.2.1 adalah bilangan kompleks dengan Re( z ) 

1 2

diperoleh sifat khusus berikut ini:


, maka akan

Sifat 4.2.4

Diberikan sebarang bilangan kompleks z  a  ib . Jika a  

2

( 12  ib) 

cosh  b

1 2

maka

, b  R .

Bukti: Diambil sebarang z  C dengan z  a  ib . Ditentukan Re( z )  a  12 dan b  R , maka berdasarkan Sifat 4.2.1 dan Sifat 4.1. 5 diperoleh: 2

( 12  ib)  ( 12  ib)( 12  ib)

(Sifat 4.2.1)

 ( 12  ib)1  ( 12  ib)  





 sin





2

 2

sin i b

 1

e

i ( i b )

e

 i ( i  b )

(akibat 2.1)



 1

e 

 b

 e  b 

 1 2



cos i b  cos

cos i b

2







2



(Sifat 4.1.5)

sin  ( 12  ib)

e

 b

 e  b 

 cosh  b

, b  R .

■


(akibat 2.4)

Contoh 6. Hitunglah nilai  32  2i  dan  12  i  . Jawab:

 32  2i    12  2i  1  ( 12  2i ) 12  2i  

1 2

 

=

 2i  12  2i 

4

1 4

1

17

2

 cosh 2

 cosh 2

1

17

2

cosh 2

.

 ( 12  i ) ( 12  i )   i     12  i  12  i 1 2



 cosh  1 4

2

4.3

1  5 cosh 

.

Definisi B( z 1 , z 2 ) dan Hubungannya dengan

Misalkan fungsi B :

C

C →

C

z1 , z 2 

C

(z)

adalah suatu fungsi yang didefinisikan

sebagai berikut: 1



z 1

z 2 1

B ( z1 , z 2 )  t 1 (1  t )

dt ;

dengan Re( z1 )  0, Re( z 2 )  0 .

0


(4.8)

B disebut sebagai fungsi beta, dan persamaan (4.8) merupakan fungsi beta pada

bilangan kompleks (Remmert, 1996). Sebelumnya karakteristik bilangan kompleks telah diuji pada fungsi gamma, maka selanjutnya untuk menguji karakteristik bilangan kompleks pada fungsi beta dapat digunakan hubungan langsung antara fungsi beta dan fungsi gamma berdasarkan persamaan (2.19) dengan ketentuan peubahnya berupa bilangan kompleks yang dapat dituliskan sebagai sebagai berikut: B ( z1 , z 2 ) 

( z1 ) ( z 2 ) ( z1 )( z 2 )  B( z1 , z 2 ) ; ( z1  z 2 ) ( z1  z 2 )

 z1 , z 2  C

(4.9)

Berikut ini sifat-sifat yang dapat diperoleh pada fungsi beta sebagai akibat hubungannya hubungannya dengan fungsi gamma pada bilangan kompleks. Sifat 4.3.1

Untuk setiap z1 , z 2  C dengan Re( z1 )  0, Re( z 2 )  0 , berlaku: i. ii.

B ( z1 , z 2 )  B ( z1 , z 2 ) B ( z1 , z 2 )  B Re( z1 ), Re( z 2 )  .

Bukti: Diambil sebarang z1 , z 2  C dengan Re( z1 )  0 dan Re( z 2 )  0 . i. Berdasarkan Sifat 4.1.1 yaitu ( z )  ( z ) , maka untuk z  z1  z 2 berakibat

( z1  z 2 )  ( z1  z 2 ) , sehingga dengan mengunakan persamaan (4.9) diperoleh:

  ( z1 ) ( z 2 )     ( ) z z  1 2 

B( z1 , z 2 )  




( z1 ) ( z 2 ) ( z1  z 2 )

(Sifat 4.1.2)



( z1 ) ( z 2 )   z1  z 2 

(Sifat 4.1.2)



( z1 ) ( z 2 ) ( z1  z 2 )

(Sifat 4.1.1 dan Teorema 2.2.3)

 B( z1 , z2 ) .

■

ii. Berdasarkan Sifat 4.1.3, bahwa ( z )  Re( z )  maka untuk z  z1  z 2 berakibat

( z1  z 2 )  Re( z1  z 2 )  , sehingga pada fungsi beta juga

berlaku B ( z1 , z 2 ) 

( z1 ) ( z 2 ) ( z1  z 2 )



( z1 ) ( z 2 ) ( z1  z 2 )

(Sifat 4.2.1)



( z1 ) ( z 2 )  ( z1  z 2 )

(Sifat 4.2.1)



Re( z1 )  Re( z 2 ) Re( z1  z 2 )

(Sifat 4.1.3)



Re( z 1 )Re( z 2 )  Re( z1  z 2 ) 



Re( z1 ) ( z 2 )  .  Re( z1  z 2 ) 

 B Re( z1 ), Re( z 2 )  .

■


Sifat 4.3.2

Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau bilangan bulat negatif, berlaku B( z  1,1  z ) 

 z sin  z

.

Bukti:  Diambil sebarang bilangan z dengan z  {{0}  Z } . Dengan menggunakan

persamaan (4.9) dan Sifat 4.1.6, maka maka diperoleh: B( z  1,1  z) 

( z  1)(1  z) (2)

 ( z  1)(1  z ) 

 z sin  z

; z  {{0}  Z  } .

■

(Sifat 4.1.6)

Selanjutnya, beberapa karakteristik bilangan kompleks yang membentuk sifat-sifat khusus pada fungsi beta dapat diperlihatkan sebagai akibat sifat-sifat khusus fungsi gamma pada bilangan kompleks, sebagai berikut: Sifat 4.3.3

Jika diberikan bilangan-bilangan kompleks z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 , maka B( z1 , z 2 )

2

 B( z1 , z 2 ) B ( z1 , z 2 ) , a1 , a 2 , b1 , b2  R .

Bukti: Diambil

sebarang

z1 , z 2  C , dengan

z1  a1  ib1 ,

z 2  a 2  ib2 ,

dan

a1 , a 2 , b1 , b2  R , maka berdasarkan hubungan fungsi beta terhadap fungsi gamma

dari persamaan (4.9), dapat dituliskan sebagai berikut:


( z1 )( z 2 ) B( z1 , z 2 )  ( z1  z 2 )

2

2

(a1  ib1 ) (a 2  ib2 )  (a1  a 2 )  i (b1  b2 )  



2

( a1  1  ib1 )!( a 2  1  ib2 )!

2

(a1  a2  1)  i (b1  b2 ) ! ( a1  1  ib1 )!( a 2  1  ib2 )!

2

(a1  a 2  1)  i(b1  b2 )! 2 2





( a1  1  ib1 )! ( a 2  1  ib2 )!

2

(a1  a 2  1)  i(b1  b2 ) ! 2 ( a1  1  ib1 )!( a1  1  ib1 )!( a 2  1  ib2 )!( a 2  1  ib2 )!

(a1  a2  1)  i (b1  b2 ) !(a1  a 2  1)  i (b1  b2 ) !



(a1  ib1 )(a1  ib1 ) (a 2  ib2 )(a 2  ib2 ) (a1  a 2 )  i (b1  b2 ) (a1  a 2 )  i (b1  b2 ) 



( z1 )( z1 )( z 2 )( z 2 ) ( z1  z 2 ) z1  z 2 



( z1 )( z 2 ) ( z1 )( z 2 )  ( z1  z 2 ) ( z1  z 2 )

 B( z1 , z 2 ) B( z1 , z 2 ) .

(Sifat 4.2.1)

■

Jika bilangan imajiner murni dikenakan pada Sifat 4.3.3, maka akan diperoleh sifat berikut: Sifat 4.3.4

Jika b1 , b2  R sebarang dengan b1 , b2  0 , maka 2

B (ib1 , ib2 ) 


.


Bukti: b1 , b2  R , dengan

Diambil sebarang

b1 , b2  0 . Berdasarkan Sifat 4.3.3,

diperoleh: 2

B(ib1 , ib2 )  B(ib1 , ib2 ) B(ib1 ,ib2 )



(ib1 )(ib2 ) (ib1 )(ib2 )  (ib1  ib2 ) (ib1 )  (ib2 ) 



(ib1 )(ib1 )(ib2 )(ib2 ) i(b1  b2 )  i (b1  b2 )  2



(ib1 ) (ib2 ) i (b1  b2 )  



(akibat 4.9)

2

(Sifat 4.2.1)

2





b1 sinh  b1 b2 sinh  b2

(Sifat 4.2.2)

 (b1  b2 ) sinh  (b1  b2 )




;

b1 , b2  0 .

■

Kemudian, jika masing-masing bilangan kompleks z1 dan z 2 yang dikenakan

pada

Re( z1 )  Re( z 2 ) 

fungsi 1 2

beta

adalah

bilangan

kompleks

dengan

, maka akan diperoleh sifat khusus berikut ini:

Sifat 4.3.5

Jika diberikan bilangan-bilangan kompleks z1  a1  ib1 dan z 2  a 2  ib2 , dengan Re( z1 )  Re( z 2 ) 

1 2

, maka dapat ditunjukkan ditunjukkan bahwa:


sinh  (b1  b2 )



2

B( 12  b1 ), ( 12  b2 )  

, b1 , b2  R .


Bukti: Diambil

sebarang

, z1 , z 2  C

dengan

z1  a1  ib1 ,

z 2  a 2  ib2 ,

1

. Ditentukan Re( z1 )  a1  Re( z 2 )  a 2  a1 , a 2 , b1 , b2  R

2

dan

maka berdasarkan

hubungan fungsi beta terhadap fungsi gamma dari persamaan (4.9), diperoleh: B( z1 , z 2 )

2

 B( 12  ib1 ), ( 12  ib2 ) ( 12  ib1 )( 12  ib2 )  1  i (b1  b2 ) 

2

2

2



( 12  ib1 )( 12  ib2 )



( 12  ib1 ) ( 12  ib2 )

 1  i (b1  b2 ) 

(Sifat 4.2.1)

2

2

1  i (b1  b2 )  



(akibat 4.9)

2

(Sifat 4.2.1)

2



cosh  b1 cosh  b2

(Sifat 4.2.4)

i (b1  b2 ! 2  2



cosh  b1 cosh  b2  (b1  b2 )

(Sifat 4.2.3)

sinh  (b1  b2 )





sinh  (b1  b2 )


.

Contoh 7. Hitunglah: 1. B 2  13 i ,  1  7i 


■

2. B  52  16 i , 32  4i  3. B 1  3i ,  72  14 i  Jawab:

(2  13 i)  (1  7i) 1. B 2  i ,  1  7i   (1  223 i) 1 3

 ( 7i ) ( 1  7i )

(1  13 i )( 13 i )( 13 i ) 



i) ( 223 i )( 22 3

(1  13 i)( 13 i)

( 13 i )(7i )  ( 1  7i)( 223 i ) ( 13 i  7i ) 

(1  13 i ) ( 13 i ) ( 1  7i) ( i )

109 19    (50) 784 9 





B 13 i , 7i 

22 3

22 3

 ( 13  7) sinh  ( 13  7) 7 3

 sinh

22 3

sinh  3 sinh 7



82320 sinh  3 sinh 7

28



(105)(3) sinh  3 sinh 7 22 sinh

1 28

22 3

22 sinh

1

22 3



315 sinh  3 sinh 7

.

( 52  16 i)  ( 32  4i ) 2. B   i ,  4i   (4  236 i ) 5 2

1 6

3 2



( 32  16 i )( 12  16 i )( 12  16 i )  ( 12  4i ) ( 12  4i ) (3 

23 6

i )( 2 

23 6

i )(1 

23 6

i )(1 

23 6

i)




( 32  16 i ) ( 12  16 i )  ( 12  4i )  ( 12  16 i) ( 12  4i) (3 









6

23 6

i) ( 2 

i ) (1 

23 6

23 6

 (1  i ( 16  4)

i)

( )  ( ) ( )  ( ) ( )  (4)   B  3  ( ) 2  ( ) 1  ( )  3 2 2

1 2 6

1 2 2

2

23 2 6

2

( 94  (9 

1 36

)( 14 

1 36

529 36

)(4 

529 36

1 2 6

1 2 2

23 2 6

2

)( 14  16) )(1 

529 36

)

23 2 6



1 2

 

23 6

(e  4  e 4 )

(853)(673)(565)(23) cosh  6 23 6

 16 i , 12  4i 

( 16  4) cosh  6 cosh( 4 )



(36)(6)(205)(65)  sinh  236  

15990 sinh

1 2

sinh  ( 16  4)



( 82 )( 10 )( 65 ) sinh  36 36 4 ( 853 )( 673 )( 565 )(  23 ) cosh  6 36 36 36 6

2





1492005331cosh  6 cosh 4

1 2

(e 4  e 4 )



.

(1  3i )  ( 32  14 i ) 3. B 1  3i ,   i   ( 12  134 i) 3 2

1 4

( 12  14 i) ( 32  14 i)(  12  14 i) ( 12  134 i ) (  12  134 i)

(3i) (3i) 







(3i )( 12  134 i ) (3i) ( 12  14 i ) (  32  14 i)(  12  14 i) ( 12  134 i) (3i) (  12  134 i ) (3i ) ( 12  14 i ) ( 32  14 i ) (  12  14 i ) ( 12  134 i)        1  13 3 sinh 3  cosh    4   3 173 cosh 4  . 4 3 sinh 3 cosh 14        cosh 13   4  

(9)( 173 ) 16 




BAB V PENUTUP

5.1

Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian tentang fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks ini adalah: 1.

Karakteristik dasar yang dapat dibangun oleh bilangan kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma dan fungsi beta adalah sebagai ber ikut: a.

Jika

( z )  ( z )

maka

z  z1  z 2

untuk

berakibat

( z1  z 2 )  ( z1  z 2 ) , sehingga B ( z1 , z 2 )  B ( z1 , z 2 ) , untuk setiap z, z1 , z 2  C .

b.

Jika

( z )  Re( z ) 

maka

untuk

z  z1  z 2

berakibat

( z1  z 2 )  Re( z1  z 2 )  , sehingga B ( z1 , z 2 )  BRe( z1 ), Re( z 2 )  , untuk setiap z, z1 , z2  C dengan Re( z )  0, Re1 )  0, Re( z2 )  0 . 2.

Sifat-sifat khusus fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks dengan syarat tertentu dapat diberikan sebagai berikut: a.

Jika Re( z )  0 , atau dengan kata lain bilangan kompleks z adalah 

2

bilangan imajiner murni maka diperoleh sifat (ib) 

B(ib1 , ib2 )

2




,

untuk

b sinh  b

setiap

dengan b, b1 , b2  0 .


dan

b1 , b2  R ,

b.

Jika Re( z ) 

1 2

, dengan z bilangan kompleks, maka dapat diperoleh

sifat khusus berikut: i.

2

( 12  ib) 

 cosh  b 2

ii. B ( 12  ib1 ), ( 12  ib2 )  

5.2



sinh  (b1  b2 )


.

Saran

Penelitian lebih lanjut untuk dikaji karakteristik fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan ko mpleks hingga dapat diperluas ke dalam bentuk bidangnya yang berhubungan dengan diagram Argand yang ada pada bilangan kompleks yang dapat dihubungkan dengan keanalitikan berdasarkan bentuk-bentuk fungsi kompleks.


DAFTAR PUSTAKA

Arfken, G.B. dan Hans J.W. 2005. Mathematical Methods for Physicist. Elsevier Academic Press, United States of America. Boas, M.L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Sciences. DePaul University, United States of America. Pallouras, J.D. 1975. Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur . Terjemahan Wibisono Gunawan. Erlangga, Surabaya. Sur abaya. R emmert, emmert, R. 1996. Wielandt's Theorem About the Γ -Function. The American Mathematical Monthly; March 1996; 103, 3; Mathematical Association of America; pg. 214-220. Renreng, A. 1990. Asas-Asas Metode Matematika dalam Fisika. Angkasa, Bandung. Saff, E.B. dan A.D. Snider. 2003. Fundamental of Complex Analysis with Aplications to Engineering and Science. Pearson Educational International, New Jersey. Sardi, H. 2008. Fungsi Kompeks. Universitas Terbuka, Jakarta. Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer . ANDI, Yogyakarta. Soedojo, P. 1995. Asas-Asas Matematika, Fisika, dan Teknik. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada, Yogyakarta. Spiegel, M.R. 1990. Advanced Calculus. McGraw-Hill, New York. Spiegel, M.R. 1994. Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal dan Penerapannya. Terjemahan Koko Martono. Erlangga, Jakarta.


RIWAYAT HIDUP

Megawati dilahirkan di Kertak Hanyar, tepatnya pada tanggal 14 Februari 1988 dari pasangan Bapak H. Husni Tamberin dan Ibu Hj. Arbayah. Mega merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Mega memulai pendidikan formalnya di TK Dolog pada tahun 1993, kemudian melanjutkan ke SD Negeri Kertak-Hanyar I-I pada tahun 1994. Setelah lulus SD, Mega melanjutkan sekolahnya di SLTP Negeri 3 Banjarmasin pada Tahun 2000. Mega melewati masa SLTAnya di SMA Negeri 3 Banjarmasin dan menyelesaikan studinya pada tahun 2006. Pada tahun 2006, Mega melanjutkan studinya di FMIPA program studi S-1 Matematika Universitas Lambung Mangkurat dan menyelesaikan kuliahnya pada tahun 2010. Pengalaman organisasi Mega selama kuliah, yaitu anggota HIMATIKA “REAL” staf Departemen Pendidikan, Sains dan Teknologi. Dalam masa perkuliahan Mega diberi kepercayaan sebagai asisten dari beberapa matakuliah wajib, yaitu Kalkulus 1, Kalkulus 2, Kalkulus Peubah Banyak, Statistika Elementer, Statistika Matematika, Statistika Inferensi, dan Analisis Riil 2, serta sebagai asisten pelatihan SPSS dalam Rancangan Percobaan. Mega juga termasuk penerima beasiswa PPA. Alamat orang tua Mega adalah JL. Mahligai RT.05 Kertak-Hanyar II, Komplek Mahligai Permata 2, Kabupaten Banjar. Untuk menghubungi Megawati bisa melalui email: [email protected] [email protected]..


Skripsi Fungsi Gamma Dan Fungsi Beta Pada Bilangan Kompleks

Recommend Documents