KARYA ILMIAH Tentang
BILANGAN KOMPLEKS OLEH : Masrianni & Mirna Alvita Sari
Prodi : Pendidikan Matematika VII C Dosen Pembimbing : Zulfahmi , S.Pd
STKIP “TAPSEL” PADANGSIDIMPUAN 2011-2012
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Karya ilmiah ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “BILANGAN KOMPLEKS”. Karya Ilmiah ini berisikan tentang informasi Pengertian BILANGAN KOMPLEKS .Diharapkan dapat memberikan informasi kepada kita. Kami menyadari bahwa Karya Ilmiah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak
yang
bersifat membangun selalu
kami
harapkan
demi
kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin. Padangsidimpuan, 29 Desesmber 2011
Penyusun
2
PENDAHULUAN
Sistem bilangan sudah dikenal sekitar 3500 tahun silam oleh orang-orang Babilonia Setelah itu sistem ini dikembangkan oleh orang-orang Romawi kuno penguasa dunia, Waktunya sekitar lima ratus tahun sebelum kelahiran nabi Isa dan itulah sebabnya Mengapa angka romawi tetap digunakan sampai sekarang oleh semua umat manusia.Tiga ratus tahun kemudian orang Hindu juga ikut mengembangkan bilangan dan angka .Dan dari sinilah bilangan dan angka latin dikenal ke seluruh penjuru alam semesta. Itulah sejarah yang berkaitan dengan bilangan, kata sang guru muda dengan bangga, Bangga pada kemampuannya, bangga pada harapannya, bangga pada para siswanya. Bilangan dan angka juga berjenis-jenis meskipun jumlahnya jelas bukannya tak terkira, Ada bilangan asli yang berfaktor satu, juga ada bilangan asli yang konon berfaktor dua, Bilangan asli dengan lebih dari dua faktor tidak ketinggalan ikut meramaikan suasana. Sedangkan bilangan riil dan bilangan kompleks perannya jelas tidak lagi perlu ditanya Mereka sama pentingnya, mereka sama bergunanya, mereka juga bagian matematika, Karenanya sang guru muda tidak salah ketika berkata dengan bangga berbunga-bunga Bahwa bilangan itu ada tujuh jenisnya dan mereka semua sama-sama suka berkata Dan menyebut dirinya bilangan asli, cacah, bulat, rasional, riil, dan kompleks adanya. Mereka semua adalah titik tolak banyak kemajuan teknologi peradaban umat manusia.
3
Kemudian seperti yang menjadi adat dunia yang juga ternyata ada dalam matematika .Meskipun telah dibagi tetapi tetap saja masih dapat dirinci dan meluas ke mana-mana, Seperti bilangan asli dengan dua faktor umpamanya, memang lebih lebih suka disapa Dengan nama keren yang dahsyat tak terkira-kira sebagai SANG BILANGAN PRIMA Sementara bilangan asli lainnya yang faktornya dalam realita memang lebih dari dua Juga tidak mau kalah dalam hal gaya dan dengan bangga dia pun menyebutnya dirinya Bilangan komposit atau bilangan tersusun yang perannya juga penting tak perlu ditanya. Tetapi catat baik-baik wahai siswa harapan bangsa, khususnya yang gemar matematika Apa yang dituangkan dalam baris-baris indah berirama ria hanyalah sebagian kecil saja Yang dapat diungkap dari ranah ilmu yang luas dan dalamnya bak samudera antariksa, Karenanya kalian harus terus menerus menggali, mengeksplorasi dan tak lupa menyapa Semua yang ada dalam kawah candradimuka tempat pada dewa menempa ilmu dunia Semua ilmu pengetahuan yang sekarang dikenal sebagai samudera raya matematika. Karena melalui inilah cara berpikir yang runtut dalam naungan apa yang disebut logika Dapat dikembangkan bersama-sama dengan etika agar melahirkan insan-insan budaya Yang tidak hanya cinta pada ilmu pengetahuan semata tapi juga pada sesama manusia Karena inilah sebenarnya esensi pendidikan kita, bukan hanya menguasai ilmu semata, Tetapi juga bagaimana kiat usaha mengubah sikap dan empati memperlakukan sesama Dapat dicapai seiring sejalan dengan dikuasainya ranah matematika, logika, dan etika. Perhatian terhadap sesama manusia seharusnya
4
esensi pelajaran dari ilmu apa saja . Dan bukannya hanya menjadi milik ilmu humaniora seperti klaim mereka pada dunia. Oleh penjelasan di atas maka penulis tertarik mengangkat judul karya ilmiah seputar “BILANGAN KOMPLEKS”.
5
PEMBAHASAN
Hakikat Bilangan Kompleks
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks. Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
dimana a dan b adalah bilangan riil,
dan i adalah bilangan imajiner
tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real bdisebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian. Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.
6
Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C , atau . Bilangan real, R , dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: a = a + 0i.
Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat
aljabar
seperti
asosiatif,
komutatif, dan
distributif,
dan
dengan
persamaan i 2 = −1: (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i (a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup. Dalam matematika, adjektif “kompleks” berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks. a. Definisi
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:
•
•
7
Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C. Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi
unik
yang
berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks. Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C. Dalam C, berlaku sebagai berikut: •
identitas penjumlahan (“nol”): (0, 0)
•
identitas perkalian (“satu”): (1, 0)
•
invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
•
invers
perkalian
(reciprocal)
bukan
nol
(a, b):
8
b. Notasi 1. Bentuk Penjumlahan
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner. a + bi 2. Bentuk Polar
Dengan menganggap bahwa:
dan
maka a + bi = r(cosθ + isinθ) Untuk mempersingkat penulisan, bentuk r(cosθ + isinθ) juga sering ditulis sebagai
.
3. Bentuk Eksponen
Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu: reiθ = r(cosθ + isinθ)
9
c. Bidang kompleks
Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.
Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:
Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.
10
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen). Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:
Penjumlahan
dua
bilangan
kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan. Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (π / 2 radian). Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (π radian).
11
PENUTUP KESIMPULAN
Bilangan Kompleks adalah gabungan dari bilangan nyata (Riil) dengan bilangan i Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif
Bilangan kompleks (z) terdiri dari gabungan bilangan Real dan Imajiner. Oleh karena itu, dapat kita notasikan dengan hubungan penjumlahan
z=x+y
Bilangan kompleks selain di tulis dalam bentuk z = x + y dapat pula ditulis dan di ubah dalam bentuk bentuk Polar dan Euler.
Daftar Pustaka
12
B a r t l e , R . G . ( 1 9 8 5 ) , Introduction to Real Analysis, Joh n Wil ey & Sons. Inc.
Churchill, Ruel V. (1978),Compleks Variables andApplications, Mc GR AW-HILL.
Wa de , W.R . (20 00 ), An Introduction to Analysis,
Prentice
Hall
Zeidler, Eberhard(1995),Applied Functional Analysis, SpringerVer lag New York, Inc.
http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/mengenal-bilangan-kompleks.html
http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/bilangan-kompleks-ii-dalil-demoivre.html
13
