2. 1 Definisi fungsi eksponen
Fungsi eksponensial dalam peubah kompleks z x yi didefinisikan dengan e z
e x (cos y i sin y) .
Kita akan melihat bahwa dalam dalam pengertian tertentu, fungsi yang baru didefinisikan tersebut merupakan “perluasan alami” fungsi kompleks. Kita perhatikan, misalnya, jika
,maka
pada kasus peubah
merupakan bilangan nyata dengan
. Ini menunjukkan bahwa kelakuan eksponensial kompleks yang
didefinisikan diatas merupakan bentuk umum eksponensial nyata. Jika
adalah khayal murni
, kita mempunyai
, yang
dikenal sebagai rumus euler. Bentuk ini dapat diterapkan untuk menuliskan bentuk kutub
. Bagi bilangan kompleks
.
Kita telah membuktikan dalam contoh 4 pasal 7 bahwa fungsi eksponensial adalah fungsi menyeluruh dan benar bahwa
.
Kenyataan ini menunjukkan lebih jauh bahwa definisi pilihan kita untuk
mempertahankan semua sifat sifat umum eksponensial nyata, yang telah dikenal baik oleh pembaca dari buku kalkulus. 2. 2 Contoh dan noncontoh fungsi eksponen Contoh : f ( z ) e
z
1, z C .
g ( z ) e z 2 , z C . Misal z
x yi ,
x k ( z ) x e ln , x 0 .
Non contoh :
Pada dasarnya semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksponen asalkan nilai fungsi tersebut lebih dari samadengan 0. h( z ) | x | , nilainya selalu negatif sehingga tidak dapat dituliskan dalam bentuk
eksponen. 2. 3 Sifat-sifat fungsi eksponen a. e z
0
Bukti:
1
Ambil z x yi sebarang, akan ditunjukkan e z Andaikan e z
0.
0 maka
e x cos cos y ie x sin y
0
Berdasarkan persamaan bilangan kompleks diperoleh e x cos cos y
0 dan ie x sin y
0 secara bersama-sama.
Tetapi karena eksponensial nyata e x tidak pernah nol, maka cos cos y
0 dan sin y
0.
Tetapi hal ini tidak mungkin terjadi untuk setiap nilai y . Jadi e z b. e 0
1
Bukti : eo
e 0 (cos 0 i sin 0) 1(1 0) 1 1 1
z w
c.
e
z
e e
w
Bukti:
Misal z e z w
x yi
dan w a bi
e ( x a )i ( y b )
e x a (cos( y b) i sin( y b))
e
e e (cos y cos cos b i sin y cos cos b i cos cos y sin b sin y sin b)
e (cos y i sin y)e (cos b i sin b)
e z e w
x a
x
(cos y cos cos b sin y sin b i (sin y cos cos b cos cos y sin b))
a
x
d. e z w
a
e z / e w
Bukti :
Misal z
x yi
dan w a bi
2
0 untuk semua z .
e z
e.
e z
Bukti :
Misal z e z
x yi
e x yi
e x (cos( y) i sin( y))
e x (cos y i sin y)
e
f.
z
e z
e z 2
i
Bukti :
Misal
g. z
x yi ,
| e z | e x , arg( e z ) y
| e z || e x (cos y i sin y) | x
x
(e cos cos y ) 2
cos 2 y e 2 x sin 2 y e 2 x cos
e 2 x (cos 2 y sin 2 y )
(e
sin y ) 2
3
e
2 x
e x
2. 4 Contoh Soal 1. Cari semua a. b.
z
yang memenuhi setiap persamaan berikut:
Pembahasan : a. e z
3i
e x (cos y i sin y) 3i e x cos cos y ie x sin y
0 3i
Diperoleh e x cos cos y cos cos y y
2
0
0
k , k
Dan ie x sin y
3i
x e sin y 3
e
x
3
4
Yang mungkin hanya e x b. e z
3 . Jadi x ln 3 , z
ln 3 i (
2
k ), k .
1 i
e x (cos y i sin y) 1 i e x cos cos y ie x sin y
1 i
Diperoleh x cos y e cos
1
dan e x sin y 1
e 2 x (sin 2 y cos cos 2 y) 1 1 e 2 x
2
e2x
e ln 2
2 x
x
ln 2
1
ln 2
2
Masukkan x ke persamaan cos y e x cos 1
1
ln 2
e2
cos y
2 cos cos y cos y
y
1
1
1
4
2
2k , k
2. Buktikan bahwa Pembahasan :
,
3.
Buktikan bahwa fungsi fungsi berikut tidak analitik dimanapun
5
c. d. e.
Pembahasan :
a. Ambil sebarang
Misal
, akan dibuktikan
tidak analitik di
berarti
Maka
,
,
,
,
Andaikan
b. Buktikan
tidak analitik dimanapun
Misal
berarti
Maka
,
,
,
,
berarti
Jadi
tidak analitik dimanapun
c. Ambil sebarang
Missal
adit
tidak analitik di
,
,
,
6
– ,
,
Andaikan
Tidak terpenuhi dimanapun
Jadi
tidak analitik di
. Karena
sebarang maka
dimanapun
4. Nyatakan kebenaran bahwa Pembahasan :
Diketahui
, misal
adit
7
tidak analitik
