Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV) Bentuk Umum:
Penyelesaian: → Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh: 2 mx + n = ax + bx + c 2 ax + (b –m)x + (c – n) = 0 2 2 Nilai diskriminannya: D = b – 4.a.c = (b – m) – 4.a.(c – n)
D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata
→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik Contoh:
Substitusi persamaan 1 ke 2 2 2–x=x 2 x +x–2=0 (x + 2).(x – 1) = 0 x + 2 = 0 atau x – 1 = 0 x = –2 atau x = 1 untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2) untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1 Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)} Grafik: → cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT → cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK) Bentuk umum:
Penyelesaian: → Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh: 2 2 ax + bx + c = px + qx + r 2 (a – p)x + (b – q)x + (c – r) = 0 2 Hitung nilai Diskriminan: D = (b– q) – 4.(a – p).(c – r)
D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real → dapat juga diselesaikan dengan cara grafik Contoh 1:
Substitusi persamaan1 ke 2: 2
2
x – 2x – 3 = –x – 2x – 5 2
2
x – 2x – 3 + x + 2x + 5 = 0 2
2x + 2 = 0 Semua dibagi 2: 2
x +1=0 Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D: 2
2
D = b – 4.a.c = 0 – 4.1.1 = a – 4 Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real Grafik :
Contoh 2:
Substitusi persamaan 1 ke 2: 2
2
x – 2x = –1/2 x + 4x – 6 Semua dikalikan 2: 2
2
2x – 4x = –x + 8x – 12 2
2
2x – 4x + x – 8x + 12 = 0 2
3x – 12x + 12 = 0 Semua dibagi 3: 2
x – 4x + 4 = 0 (x – 2).(x – 2) = 0 2
2
x = 2 → y = x – 2x = 2 – 2.2 = 4 – 4 = 0 Jadi penyelesaiannya: {(2, 0)} Grafik:
RINGKASAN
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua varibel adalah:
Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dinamakan penyelesaian sistem persamaan linear. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. a. Metode Substitusi Yaitu metode yang dilakukan dengan cara mengganti salah satu varabel dengan varibel yang lain. b. Metode Eliminasi Yaitu metode dengan menghilangkan salah satu variabel untuk memperoleh nilai dari variabel yang lain. c. Metode Campuran Substitusi dan Eliminasi
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk umum:
Nilai x, y, z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut dinamakan penyelesaian sistem persamaan linear.
Metode Penyelesaian: 1. Eliminasi 2. Metode Substitusi 3. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
3. Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat
4. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat Bentuk Umum system persamaan kuadrat dan kuadrat adalah:
a, b, c, p, q, r merupakan bilangan real. Banyak anggota dalam penyelesaian ditentukan oleh Diskriminan (D).
Kemungkinan-kemungkinan nilai D sebagai berikut: 1. D > 0, kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan HP 2. D = 0, kedua parabola berpotongan pada satu titik yang juga merupakan HP. 3. D < 0, kedua parabola tidak berpotongan sehingga HP adalah himpunan kosong atau ()
5. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dalam Kehidupan Dalam kehidupan sehari-hari digunakan model matematika yang berbentik persamaan linear dan kuadrat. Langkah-langkah penyelsaian masalah: 1. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variable, misalnya x, y atau z. 2. Hubungkan variable-variabel tersebut dalam suatu persamaan dengan mengingat syaratsyarat berlakunya variable. 3. Selesaikan system persamaan tersebut. System persamaan linear dan kuadrat juga apat digunakan untuk menganalisis hubungan antara garis dengan parabola atau kurva kuadrat lainnya, apakah garis parabola tersbut berpotongan, bersinggungan atau tidak memotong dan tidak pula menyinggung serta bagiamana cara menentukan titik singgung, titik potong dan persamaannya
Contoh SOAL ‘’Sistem persamaan linier kuadrat” Persamaan linier dua variabel x dan y digabungkan dengan persamaan yang mengandung x2 atau y2 SPLK dan SPLDV. Terdapat beberapa soal dan cara pembahasannya : Soal No. 1 Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut: (i) y = 2x + 3 (ii) y = x2 − 4x + 8 Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas! Pembahasan Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar. x2 − 4x + 8 = 2x + 3 x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0 x2 − 6x + 5 = 0 Berikutnya faktorkan: x2 − 6x + 5 = 0 (x − 1)(x − 5) = 0 Dapatkan nilai x yang pertama: x−1=0 x=1 Dapatkan nilai x yang kedua: x−5=0 x=5 Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i): Untuk x = 1 maka y = 2x + 3 y = 2(1) + 3 y=2+3 y=5 Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)
Untuk x = 5 maka y = 2x + 3 y = 2(5) + 3 y = 10 + 3 y = 13 Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13) Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)} Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, Soal No. 2 Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut: (i) y = 5x + 4 (ii) y = x2 + 13x − 16 Pembahasan x2 + 13x − 16 = 5x + 4 x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0 x2 + 8x − 20 = 0 (x + 10)(x − 2) = 0 Nilai x yang pertama x + 10 = 0 x = − 10 Nilai x yang kedua x−2=0 x=2 Nilai-nilai y, dari persamaan pertama: Untuk x = − 10 didapat nilai y y = 5x + 4 y = 5(−10) + 4 = − 46 Untuk x = 2, didapat nilai y y = 5x + 4 y = 5(2) + 4 = 14 Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}
Soal No. 3 Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Ini Contohnya... Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut: (i) x − y = 5 (ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas! Pembahasan (i) x − y = 5 (ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk "kuadrat dalam kuadrat" seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut: Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut: x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 a=1 b = − 6y c = 9y2 − 9 Sehingga: x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 (x − 3y − 3)(x − 3y + 3) = 0 Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu: x − 3y − 3 = 0 .....(iii) x − 3y + 3 = 0 .....(iv) Dari persamaan (ii) dan (iii) x−y=5 x − 3y = 3 _________ _ 2y = 2 y=1
x−y=5 x−1=5 x=6 Dari persamaan (ii) dan (iv) x−y=5 x − 3y = − 3 ___________ _ 2y = 8 y=4 x−y=5 x−4=5 x=9 Sehingga penyelesaiannya adalah {(6, 1), (9, 4)}
