Sistem Persamaan Linear 3 Variabel Variabel omson | omson | September 17, 2014 | Comments Of
Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel Metoda meyelesaikan persamaan 1. Metoda Eliminasi 2. Metoda subtitusi 3. Metoda determinan 4. Metoda matriks 5. Metoda operasi baris elementer
Metoda Eliminasi Supaya lebih mudah langsung saa kita masuk ke !ontoh"!ontoh
Contoh soal 1 : 2# $ 3y % & ' 2( 3# $ 2y $ & ' 2( # $ 4y $ 2& ' 15 Jawab : )etiga persamaan bisa kita beri nama persamaan *1+, *2+, dan *3+ 2# $ 3y % & ' 2( ..*1+ 3# $ 2y $ & ' 2( ..*2+ # $ 4y $ 2& ' 15 ..*3+
Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menadi sistem persamaan linear 2 variabel. -ntuk itu kita eliminasi variabel & Sekarang persamaan *1+ dan *2+ kita umlahkan 2# $ 3y % & ' 2( 3# $ 2y $ & ' 2( $ 5# $ 5y ' 4( # $ y ' / .*4+ Selanutnya persamaan *2+ dikali *2+ dan persamaan *3+ dikali *1+ sehingga diperoleh 0# $ 4y $ 2& ' 4( # $ 4y $ 2& ' 15 5# ' 25 #'5 ilai # ini kita subtitusi ke persamaan *4+ sehingga #$y'/ 5$y'/ y'3 selanutnya nilai # dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan *2+ 3# $ 2y $ & ' 2( 3.5 $ 2.3 $ & ' 2( 15 $ 0 $ & ' 2( & ' "1 adi, himpunan himpunan penyelesaiannya penyelesaiannya adalah adalah *5, 3, "1+ "1+
Contoh soal 2 : entukan himpunan penyelesaian dari 3# $ 4y % 3& ' 3 2# % y $ 4& ' 21 5# $ 2y $ 0& ' 40 Jawab : 6gar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama *1+, *2+, dan *3+ 3# $ 4y % 3& ' 3 .*1+ 2# % y $ 4& ' 21 .*2+ 5# $ 2y $ 0& ' 40 .*3+ Selanutnya persamaan *1+ dikali 1 dan persamaan *2+ dikali 4, sehingga diperoleh 3# $ 4y % 3& ' 3
717 8 3# $ 4y % 3& ' 3
2# % y $ 4& ' 21
747 8 /# % 4y$10& ' /4
.
$
11# $ 13& ' /9 ..*4+
Berikutnya persamaan *3+ dikali 1 dan persamaan *2+ dikali 2, sehingga diperoleh 5# $ 2y $ 0& ' 40 2# % y $ 4& ' 21 .
717 8 5# $ 2y $ 0& ' 40 727 8 4# % 2y $ /& ' 42
$
:# $ 14& ' // ..*5+
Sekarang persamaan *5+ dikali 11 dan persamaan *4+ dikali : sehingga diperoleh :# $ 14& ' // 7117 ::# $154& ' :0/ 11# $ 13& ' /9 7:7 .
::# $ 119&'9/3 39& ' 1/5
.
&'5
ilai &'5 kita subtitusi ke persamaan *4+ 11# $ 13& ' /9 11# $ 13.5 ' /9 11# $ 05 ' /9 11# ' 22 #'2 ilai #'2 dan &'5 kita subtitusikan ke persamaan *3+ sehingga 5# $2y $0& ' 40 5.2 $2y $0.5 ' 40 1( $ 2y $ 3( ' 40 2y ' 0 y'3 adi, himpunan penyelesaiannya adalah *2, 3, 5+
Metoda sbtitsi Contoh soal ! ;impunnan penyelesaian sistem persamaan 2# $ 5y $ 4& ' 2/ 3# % 2y $ 5& ' 1: 0# $ 3y % 2& ' 4 adalah Jawab :
Sekarang setiap persamaan kita beri nama *1+, *2+, dan *3+ 2# $ 5y $ 4& ' 2/ ..*1+ 3# % 2y $ 5& ' 1:.*2+ 0# $ 3y % 2& ' 4*3+
ika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh 12# % /y $ 14( % 1(# % 25y ' 90 2# "33y ' "04 .*5+ Sekarang persamaan *4+ kita subtitusikan ke persamaan *3+ sehingga 0# $ 3y % 2& ' 4
ika kedua ruas dikali 4 maka 24# $ 12y % 50 $ 4# $ 1(y ' 10 2/# $ 22y ' 92 14# $ 11y ' 30 11y ' 30 % 14#
*0+ Sekarang persamaan *0+ kita subtitusikan ke persamaan *5+ sehingga 2# "33y ' "04
2# % 1(/ $ 42# ' "04 44# ' 44 #'1
adi, himpunan penyelesaiaannya adalah *1, 2, 4+ Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.
Eliminasi Substitusi =ra>k Matriks ?nvers Eliminasi =auss@ Eliminasi =auss"ordan
soal no 1A
Penyelesaian:
"asil perhitn#an den#an dolinear
Ba!a ugaAMen!iptakan !ode
aplikasi !al!ulator S< Menggunakan
Bahasa Celphi @pas!al soal no 2: 2a+b+c=d a+2b+c=e jika soalnya seperti ini.. ini hanya bisa diselesaikan apabila salah satu nilai variabelnya diketahui karna dalam penyelesaian PL3 pada prinsi!nya adalah menyederhanakan PL3 menjadi PL2 untuk menemukan nilai setiap variabelnya.. contoh: nilai var a ="# soal 2a+b+c=3# a+2b+c=$% 2&"#'+b+c=3# (( b+c=3#)2# ((( b+c="# "#+2b+c=$% (( 2b+c=$%)"# (((2b+c=3% ********************************nah sekarang sudah menjadi PL2 bisa langsung eliminasi b+c="# pers&"' 2b+c=3% pers&2'
********** )"b=)2% b=)2% /)"
b'25 subtitusi b ke pers&"' atau pers&2' b+c="# 2%+c="# c="#)2%
!'"15 subtitusi b dan c ke pers a+2b+c=$% a+2&2%'+&)"%'=$% a+%#)"%=$% a+3%=$% a=$%)3%
a'1( uji kebenaran nilai variabel 2a+b+c=3# 2&"#'+2%)"%=3# 2#+"#=3# 3# ,=( 3# ((((sama
Soal no !: -entukan p dari PL 0 2y + 1 = #.&Pers"' 30 + y 1 = %.&Pers2' 0 3y 21 = "%.&Pers3' Penyelesaian:
lan#$ah1: eleminasi pers" dan pers2 ====(((eleminasi variabel 0 2y + 1 = # 30 + y 1 = % ************ +
4# % y ' 5
..==(( kenapa &+' bukannya&)'4itu dikarenakan kedua varibel
..*
memiliki tanda yg berbeda *$&+ dan *"&+
lan#$ah2%eleminasi pers" dan pers 3 ..eleminasi var 1 &eleminasilah yg menurut anda lebih mudah dihilangkan seperti variabel 0 4lebih mudah dieleminasi . .
0 2y + 1 = # 5025 20 $y +2 1 = # 0 3y 21 = )"% 50"5 0 3y )21 = )"%
$
3# % 9y ' "15
*pers5+
lan#$ah!%eleminasi pers$ dan pers% &ingat :6selalu pilih yg paling mudah dieleminasi karna dapat mempersingkat 7aktu pengerjaan6' eleminasi var y
4# % y ' 5
7#97 2/# "9y ' 35
3# % 9y ' "15
7#17
3# % 9y ' "15 % 25# ' 5( # ' 5( @ 25 #'2
lan#$ah4%subtitusi nilai var yang didapat kepers 4 atau pers 5 *karna hanya 2 variabel'' lebih !epat+ 3# % 9y ' "15 pers5 3*2+ % 9y ' "15 0 "9y ' "15 "9y ' "15 "0 "9y ' "21 y '"21 @ "9 y'3 lan#$ah&%subtitusi nilai var yang didapat kepers 1 atau pers 2 '( 2 % 2*3+ $ & ' ( 2 % 0 $ & '( "4 $ & ' ( &'4 8aka kita dapatkan ;< 2,3,49untuk ketiga persamaan 0 2y + 1 = #.&Pers"' 30 + y 1 = %.&Pers2' 0 3y 21 = "%.&Pers3'
# % 2y $ &
;asil perhitungan dengan Coinear
Ba!a ugaA!ontoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear 2 variabel Ba!a ugaAsour!e !ode !al!ulator sistem persamaan linear 2 variabel
agi sobat yang suka cara praktis ;-system;< telah menciptakan kalkulator untuk menghitung P34 saya akan kasih link calculatornya disini ntuk kalkulator offline nya sedang saya kembangkan .insyaallah akan segera saya upload.. erikut >?@@ABB- software kalkulator persamaan linear 3 variael ala ITsystemID :
impunan penyelesaian
entukan persamaan linear tiga variabel 2&$y$&'1/ 3#"y$2&'19 4#$2y"&'1 entukan #,y,& 21+y+1="D ====( y + 31 = "D artinya kita harus eleminasi 0 30)y+21="E $0+2y)1=" -entukan 04y41
30 y + 21 = "E 50$5 "20 $y + D1 = CD $0 + 2y )1 = " 5035 "20 + Cy )31 = 3 FFFFF )"#y + ""1 = C% y + 31 ="D 50"#5 "# y + 3#1 ="D# )"#y + ""1 = C% 50" 5 )"#y + ""1 =C% FFFF $"1 =2$% 1=%4G y + 31 = "D y + 3&%4G' = "D y = "D "E.E y =#.3 $0+2y)1=" $0 + 2y )1 =" $0 +2 &#.3' "E.E =" $0 + #4C "E.E = " $0 = )"E.E + " )#.C $0="D." 0="D/$ 0=$4% dicek lagi pekerjaannya bro mahmud dan mbak eva.. 21+y+1="D 30)y+21="E $0+2y)1=" FFFFF perhatikan persamaan pertama4 &21+y+1="D 'itu tidak sesuai rumus umum PL3. sekedar mengingat kembali rumus umum PL3 a"H + b"I + c"1 =d" a2H + b2I + c21 =d2 a3H + b3I + c31 =d3 FFFFFFFF) artinya dalam setiap persamaan4harus memiliki variabel 04y4dan 1. tapi jika mbak eva salah ketik4itu 0 bukannya 1 maka dapat diselesaikan 20+y+1="D 30)y+21="E $0+2y)1=" 20+y+1="D .. 502 5 . $0 + 2y + 21 = 3C 30)y+21="E . 50" 5 . 30 y + 21 ="E
FFFFFFFFFFFFFF .0 + 3y = "G 20 + y + 1="D $0 + 2y 1=" FFF + C0 + 3y ="G 0 + 3y = "G C0 + 3y ="G FFFF )%0=# 0=#/)% 0=# 0 + 3y = "G # + 3y = "G 3y ="G y="G/3 y=C43 $0+2y)1=" $&#' + 2&C43' )1 =" # + "2.C )1 =" # +"2.C)" =1 "".C =1 1="".C uji validasi variabel $0+2y)1=" $&#' + 2&C43' )"".C=" # + "2.C "".C =" "=" ..benar 20+y+1="D 2&#' + C43 + "".C ="D "E.G ="D "D="D benar 30)y+21="E 3&#' C43 + 2&"".C'="E #) C43 + 23.2 ="E "C4G = "E "E="E benar jadi nilai 04y41 adalah C.34"".C'
kalo pake kalkulator dolinear..hasilnya juga sama kok.. ini saya bukan ngasih ja7aban ya.. J)& anggap aja sebagai contoh soal. 30)y+21=" 0+2y)31=)"" )20+2y)$1=)"# 30 y + 21=" 5035 G0 3y + C1=3 0 + 2y) 31=)"" 5025 20 + $y C1=)22 ..FFFFF + .. ""0 +y = )"G 30 y + 21=" 5025 C0 )2y + $1 =2 )20 + 2y $1=)"# 50"5 )20 + 2y $1 =)"# FFFF + $0 + # =)D $0=)D 0=)D/$ 0=)2 ""0 +y =)"G ""&)2' +y =)"G y=)"G +22 y=3 30 y + 21 =" 3&)2' 3 +21=" )C )3 +21=" 21 =" +G 21="# 1=% validasi hasil pekerjaan: 30 y + 21=" 3&)2' )3 +2&%'=" )C )3 +"#=" "="..benar 0+2y)31=)"" )2 + 2&3' )3&%' =)"" )2+C )"%=)"" C )"E = )"" )""=)""..benar )20+2y)$1=)"#
)2&)2' + 2&3' )$&%' =)"# $ + C )2# =)"# "#)2#=)2# )"#=)"#..benar
sebuah toko alat tulis menyediakan spidol aneka Darna perbandingan antara bnyak spidol biru dan merah adalah 3A4 perbandingan antara spidol kuning adalah 4A5 umlh ketiga spidol tersebut 43( buah ika # mnyatakan bnyak spidol biru, dan & mnyatakan bnyak spidol kuning, S< yg mnyatakan ketiga enis spidol adalah
entukan himpunan penyelesaian #, y dan & dari persamaan berikutF 3# " y $ 2& ' 15 ........*i+ 2# $ y $ & ' 13 ........*ii+ 3# $ 2y $ 2& ' 24 .......*iii+
'en(elesaian: =unakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahuluA 3# " y $ 2& ' 15 7 G 1 8 3# " y $ 2& ' 15 2# $ y $ & ' 13 7 G 2 8 4# $ 2y $ 2& ' 20 " "# " 3y ' "11 ..........*iv+ 2# $ y $ & ' 13 7 G 2 8 4# $ 2y $ 2& ' 20
3# $ 2y $ 2& ' 24 7 G 1 8 3# $ 2y $ 2& ' 24 " # ' 2.......*v+ )arena dari persamaan *v+ kita sudah mendapatkan nilai ), sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan *iv+ "# " 3y ' "11 "*2+ " 3y ' "11 3y ' "11 $ 2 3y ' : y '3 Sekarang kita sudah mendapat nilai (. angsung saa subtitusikan nilai ) dan (pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai *A 2# $ y $ & ' 13 2*2+ $ 3 $ & ' 13 4 $ 3 $ & ' 13 9 $ & ' 13 & ' 13 " 9 & '0 Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah +2 ! -.
2.
