Persamaan Linear Satu Variabel
Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta
a. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.
b. Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan
c. Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu
Pada kalimat berikut x + 5 = 12
Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan "3" , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas
x+5 +12 (kalimat terbuka)
3+ 5 = 12 (kalimat Salah )
7+5 = 12 (kalimat benar)
Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstanta
PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL(PLSV)
A. Menggunakan Sifat-sifat Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
1. Kalimat benar dan kalimat salah
Dalam matematika kita mengenal istilah pernyataan dimana pernyataan adalah satuan kalimat matematika yang sudah dapat ditentukan nilai kebenaran dan kesalahannya.
Kalimat benar adalah pernyataan yang sesuai dengan kenyataannya (kebenrannya). Misalkan :
a. 3 + 4 = 7
b. Matahari terbit disebalah timur
c. Kucing berkaki empat
d. 2 adalah bilangan prima
Kalimat salah adalah suatu pernyatan yang tidak sesuai dengan sesuai kenyataannya. Misalkan :
a. Besar sudut siku=siku adalah 180%
b. 5 - 8 = 10
c. Kambing adalah hewan yang biasa terbang
d. Matahari beredar mengelilingi bumi
2. Pengertian kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah suata kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salahnya.Misalkan :
a. x + 2 = 5
b. y - 3 = 4
c. m : 4 = 6
d. p × 7 = 2
B. Pengrtian Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Persamaan adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda dengan (=).Persamaan linear atau variabel adalah suatu kalimat yang berhubungan dengan tanda sama dengan (=), dengan satu variabelnya dan variabelnya berpangkat satu. Secara umum persamaan satu variabel ditulis:
ax + b = 0;atau a 0
Dengan x sebagai variable (peubah) dan ; a dan b adalah konstanta
Contoh : persamaan linear satu variabel
a. 2x + 8 = 0
b. 5x - 4 = 16
c. x + 3 = 7
d. 9 – 6 = 5
e.
Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan lain yang bukan persamaan linear satu variabel (bukan
PLSV).Misalkan :
a. x + y = 5 (persamaan dua variabel)
b. x2 + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
c. p2 + q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan tiga varibel)
1
C. Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
1) Pengertian Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian
Penyelesaian (akar-akar penyelesaian) adalah penganti dari variabel (peubah) pada kalimat terbuka sehingga suatu persamaan menjadi kalimat yang benar.
Misalkan : n + 3 = 10, jika n diganti 7 maka menjadi kalimat benar. Berarti n = 7 disebut penyelesaian atau akar-akar penyelesaian.
Himpunan penyelesaian(HP)
Adalah suatu himpunan yang memuat semua penyelesaian tersebut.
Misalkan :jika a = (1, 2, 3, 4, 5, 6) dan x + 8 = 12 , x € A.
Tentukan:
a. Penyelesaian atau akar-akar penyelesaian
b. Himpunan penyelesaian
Jawab :
a. Penyelesaian : x + 8 = 12
Untuk x = 4 4 + 8 = 12
Maka x = 4 adalah penyelesaian atau akar-akar penyelesaiannya
b. Himpunan penyelesaian (HP) = (12)
2) Menyelesaiaan Persamaan Linear Satu Variabel
a) Dengan cara sudstitusi
Artinya menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan-bilangan yang telah ditentukan sehingga menjadi kalimat yang benar.
Contoh:
Jika A = (1, 2, 3, 4, 5) dan x + 2 = 5, x € A
Jawab :
Dengan memilih pengganti x, maka diperoleh:
x + 2 = 5
jika x, diganti 3 maka akan menjadi kalimat benar. Jadi, x = 3 adalah penyelesaian dan jika x diganti dengan 1, 2, 3, 4, 5 menjadi kalimat salah berarti 1, 2, 3, 4, 5 bukan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5.
b) Dengan persamaan ekulivalen (setara)
Persamaan ekulivalen (setara) adalah suatu persamaan-persamaan yang mempunyai penyelesaian yang sama jika dilakukan operasi tertentu persamaan ekulivalen notasinya"".
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
b. Mengalihkan atau membagi kedua rumus dengangn bilangan yang sama yang bukan nol.
Contoh :
1. Persamaan ekulvalen dengan menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.Tentukan HP dari:
a) x + 12 = 20
b) x – 9 = 15
Jawab:
a) x + 12 = 20
x + 12 = 20 – 12
(kedua ruas dikurangi 12)
x = 8
Jadi, HP = {8}
b) x – 9 = 15
x – 9 + 9 = 15 – 9
(kedua ruas ditambah 9)
x = 24
Jadi, HP ={24)
2
D. Penerapan PLSV Dalam Kehidupan Sehari-hari
Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari yang berupa soal cerita adalah sebagai berikut :
1. Buat model atau sketsa terhadap soal yang berkaitan dengan bangun geometri.
2. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk suatu permasalahan.
3. Menyelesaikan persamaan itu.
Contoh :
1. Keliling persegi panjang 64 cm. Jika ukuran panjang dari lebarnya,
Tentukanlah :
a. Panjang dan Lebarnya
b. Luasnya
Jawab :
Misalnya, panjangnya = x cm
L = ( x -8) cm Maka lebarnya = (x-8)
a. Keliling = 2p + 2l
K= 2 (p + l)
64 = 2 (x + x – 8)
64 = 2 (2x – 8)
64 = 4x – 16
64 + 16 = 4x – 16 + 16
80 = 4x
Jadi, Panjang = x = 20
Lebar = (x – 8)
Lebar = 20 – 8 = 12 cm
b. Luas = p x l
= 20 x 12
= 240 cm
20 = x
3
PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL(PTLSV)
A. Pengrtian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)
1. Pengertian Ketidaksamaan
Ketidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang dihubungkan dengan tanda ; >, <, atau misal :
a) 2 + 3 < 8
b) 6 + 7 > 4 + 5
c) 2 6 + 8
d) 9 + 5 7 + 3
Untuk sembarangan bilangan m dan n dengan m n maka selalu berlaku salah satu hubungan sebagai berikut :
a) m <, n (m "kurang dari" n)
b) m >, n (m "lebih dari" n)
c) m n ( m "lebih dari atau dengan" n)
d) m n (m "lebih dari atau sama dengan" n)
Contoh :
Tulislah dalam bentuk ketidaksamaan dari :
a. 5 kurang dari 8
Jawab : 5 < 8
b. 4 terletak di antara 3 dan 5
Jawab : 3 < 4 < 5
c. x tidak kurang dari 7
jawab : x 7
d. 2 kurang dari 3 dan 3 kurang dari 4
Jawab : 2 < 3 < 4
2. Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ( PTLSV )
PTLSV adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda >, <, , atau dengan satu variabel dan variabelnya berpangkat satu.
Contoh :
a. x + 2 > 9
b. m – 4 < 3
c. 4p + 3 2p +7
d. 5n – 6 12
B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel(PTLSV)
1. Dengan substitusi
Contoh : jika a = {3, 4, 5, 6, 7} dan x + 5 > 10,x € A. tentukan himpunan penyelesaian dari x !
Jawab:
Ditentukan , x + 5 > 10 maka
Untuk x = 3 maka 3 + 5 > 10 (salah)
x = 4 maka 4 + 5 > 10 (salah)
x = 5 maka 5 + 5 > 10 (salah)
x = 6 maka 6 + 5 > 10 (benar)
x = 7 maka 7 + 5 > 10 (benar)
jadi, HP ={6, 7}
4
Bentuk setara dari pertidaksamaan linear satu variabel (PTLSV) adalah pertidaksamaan-pertidaksamaan linear satu variabel yang mempunyai penyelesaian yang sama.
Contoh :
a. x + 6 10
b. 2x – 5 3
c. x + 3 7
d. x + 16 12
2. Menyelesaikan PTSLV yang setara dengan menambahkan atau mengurangi dengan bilangan yang sama. Jika a = (1, 2, 3, 4,……., 10) tentukan HP dari x dengan x € A.
contoh :
6x – 2 5x + 6
Jawab :
6x – 2 5x + 6
6x – 2 +2 5x + 6 + 2(kedua ruas ditambah 2)
6x 5x + 8
6x - 5x 5x – 5x + 8(kedua ruas dikurang 5x)
x 8
Jadi HP :{8, 9, 10)
3. Menyelesaikan PTLSV yang setara dengan menbagi dan mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.Contoh :tentukan HP dari:
3x – 2 < x + 8 , x € A = (1, 2, 3, 4, 5,6, 7)
Jawab:
3x + 2 – 2 < x + 2 + 8(kedua ruas ditamabh 2)
3x < x + 10
3x – x < x – x + 10(kedua ruas dikurang x)
2x < 10
½ . 2x < ½ . 10 (kedua ruas dikali ½)
C. Penerapaan PTLSV Dalam Kehidupan Sehari-hari
Contoh :
Suatu persegi panjang, Lebarnya kurang 5 cm dari Panjangnya. Jika keliling persegi panjang kurang dari 50 cm. Tentukan ukuran maksimum dari persegi panjang itu dan beberapa luasnya.
Jawab :
L = (x – 5) cm
Misalkan : p = x cm
L = (x – 5) cm
Kelilingnya kurang dari 50 cm
2(p x l) < k Lebar = x – 5
2(x + x – 5) < 50 = 15 – 5
2(2x – 5) < 50 = 10 cm
P = x 4x – 1 < 50 Luas p x l
4x < 60 L=15 x 10
x < 15 L=150 cm2
