Persamaan Linear Satu Variabel

PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL(PLSV) A. Menggunakan Sifat-sifat Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) 1. Kalimat benar dan kalimat salah Dalam matematika kita mengenal istilah pernyataan dimana pernyataan adalah satuan kalimat matematika yang sudah dapat ditentukan nilai kebenaran dan kesalahannya.  Kalimat benar adalah pernyataan yang sesuai dengan kenyataannya (kebenrannya). Misalkan : a. 3 + 4 = 7 b. Matahari terbit disebalah timur c. Kucing berkaki empat d. 2 adalah bilangan prima  Kalimat salah adalah suatu pernyatan yang tidak sesuai dengan sesuai kenyataannya. Misalkan : a. Besar sudut siku=siku adalah 180% b. 5 - 8 = 10 c. Kambing adalah hewan yang biasa terbang d. Matahari beredar mengelilingi bumi 2. Pengertian kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah suata kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salahnya.Misalkan : a. b. c. d.

x+2=5 y-3=4 m:4=6 p×7=2

B. Pengrtian Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Persamaan adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda dengan (=).Persamaan linear atau variabel adalah suatu kalimat yang berhubungan dengan tanda sama dengan (=), dengan satu variabelnya dan variabelnya berpangkat satu. Secara umum persamaan satu variabel ditulis: ax + b = 0;atau a ≠ 0 Dengan x sebagai variable (peubah) dan ; a dan b adalah konstanta Contoh : persamaan linear satu variabel a. b. c. d. e.

2x + 8 = 0 5x - 4 = 16 x+3=7 9–6=5

Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan lain yang bukan persamaan linear satu variabel (bukan PLSV).Misalkan : a. x + y = 5 (persamaan dua variabel)

b. x2 + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel) c. p2 + q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel) d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan tiga varibel) 1 C. Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel 1) Pengertian Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Penyelesaian (akar-akar penyelesaian) adalah penganti dari variabel (peubah) pada kalimat terbuka sehingga suatu persamaan menjadi kalimat yang benar. Misalkan : n + 3 = 10, jika n diganti 7 maka menjadi kalimat benar. Berarti n = 7 disebut penyelesaian atau akar-akar penyelesaian. Himpunan penyelesaian(HP)

a. b. a. b.

Adalah suatu himpunan yang memuat semua penyelesaian tersebut. Misalkan :jika a = (1, 2, 3, 4, 5, 6) dan x + 8 = 12 , x € A. Tentukan: Penyelesaian atau akar-akar penyelesaian Himpunan penyelesaian Jawab : Penyelesaian : x + 8 = 12 Untuk x = 4 → 4 + 8 = 12 Maka x = 4 adalah penyelesaian atau akar-akar penyelesaiannya Himpunan penyelesaian (HP) = (12)

2) Menyelesaiaan Persamaan Linear Satu Variabel a) Dengan cara sudstitusi Artinya menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan-bilangan yang telah ditentukan sehingga menjadi kalimat yang benar. Contoh: Jika A = (1, 2, 3, 4, 5) dan x + 2 = 5, x € A Jawab : Dengan memilih pengganti x, maka diperoleh: x+2=5 jika x, diganti 3 maka akan menjadi kalimat benar. Jadi, x = 3 adalah penyelesaian dan jika x diganti dengan 1, 2, 3, 4, 5 menjadi kalimat salah berarti 1, 2, 3, 4, 5 bukan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5. b) Dengan persamaan ekulivalen (setara) Persamaan ekulivalen (setara) adalah suatu persamaan-persamaan yang mempunyai penyelesaian yang sama jika dilakukan operasi tertentu persamaan ekulivalen notasinya””. a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

b. Mengalihkan atau membagi kedua rumus dengangn bilangan yang sama yang bukan nol. Contoh : 1. Persamaan ekulvalen dengan menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.Tentukan HP dari: a) x + 12 = 20 b) x – 9 = 15 Jawab: a) x + 12 = 20  x + 12 = 20 – 12 (kedua ruas dikurangi 12) x=8 Jadi, HP = {8} b) x – 9 = 15  x – 9 + 9 = 15 – 9 (kedua ruas ditambah 9)  x = 24 Jadi, HP ={24) 2 D. Penerapan PLSV Dalam Kehidupan Sehari-hari Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari yang berupa soal cerita adalah sebagai berikut : 1. Buat model atau sketsa terhadap soal yang berkaitan dengan bangun geometri. 2. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk suatu permasalahan. 3. Menyelesaikan persamaan itu. Contoh : 1. Keliling persegi panjang 64 cm. Jika ukuran panjang dari lebarnya, Tentukanlah : a. Panjang dan Lebarnya b. Luasnya Jawab : Misalnya, panjangnya = x cm L = ( x -8) cm Maka lebarnya = (x-8) a.

Keliling = 2p + 2l K= 2 (p + l) 64 = 2 (x + x – 8) 64 = 2 (2x – 8)

64 = 4x – 16 64 + 16 = 4x – 16 + 16 80 = 4x Jadi, Panjang = x = 20 Lebar = (x – 8) Lebar = 20 – 8 = 12 cm b. Luas = p x l = 20 x 12 = 240 cm 20 = x

3 PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL(PTLSV) A. Pengrtian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV) 1. Pengertian Ketidaksamaan Ketidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang dihubungkan dengan tanda ; >, <, ≥ atau ≤ misal : a) b) c) d)

a) b) c) d) a.

2+3<8 6+7>4+5 2≤6+8 9+5≥7+3 Untuk sembarangan bilangan m dan n dengan m ≠ n maka selalu berlaku salah satu hubungan sebagai berikut : m <, n (m “kurang dari” n) m >, n (m “lebih dari” n) m ≤ n ( m ”lebih dari atau dengan” n) m ≥ n (m ”lebih dari atau sama dengan” n) Contoh : Tulislah dalam bentuk ketidaksamaan dari : 5 kurang dari 8 Jawab : 5 < 8

b. 4 terletak di antara 3 dan 5 Jawab : 3 < 4 < 5 c. x tidak kurang dari 7 jawab : x ≥ 7 d. 2 kurang dari 3 dan 3 kurang dari 4 Jawab : 2 < 3 < 4 2. Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ( PTLSV ) PTLSV adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda >, <, ≥, atau ≤ dengan satu variabel dan variabelnya berpangkat satu. Contoh : a. b. c. d.

x+2>9 m–4<3 4p + 3 ≥ 2p +7 5n – 6 ≤ 12

B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel(PTLSV) 1. Dengan substitusi Contoh : jika a = {3, 4, 5, 6, 7} dan x + 5 > 10,x € A. tentukan himpunan penyelesaian dari x ! Jawab: Ditentukan , x + 5 > 10 maka Untuk x = 3 maka 3 + 5 > 10 (salah) x = 4 maka 4 + 5 > 10 (salah) x = 5 maka 5 + 5 > 10 (salah) x = 6 maka 6 + 5 > 10 (benar) x = 7 maka 7 + 5 > 10 (benar) jadi, HP ={6, 7}

4 Bentuk setara dari pertidaksamaan linear satu variabel (PTLSV) adalah pertidaksamaanpertidaksamaan linear satu variabel yang mempunyai penyelesaian yang sama. Contoh : a. x + 6 ≥ 10 b. 2x – 5 ≥ 3

c. x + 3 ≥ 7 d. x + 16 ≥ 12 2. Menyelesaikan PTSLV yang setara dengan menambahkan atau mengurangi dengan bilangan yang sama. Jika a = (1, 2, 3, 4,……., 10) tentukan HP dari x dengan x € A. contoh : 6x – 2 ≥ 5x + 6 Jawab : 6x – 2 ≥ 5x + 6  6x – 2 +2 ≥ 5x + 6 + 2(kedua ruas ditambah 2) 6x ≥ 5x + 8 6x - 5x ≥ 5x – 5x + 8(kedua ruas dikurang 5x) x ≥ 8 Jadi HP :{8, 9, 10) 3. Menyelesaikan PTLSV yang setara dengan menbagi dan mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.Contoh :tentukan HP dari: 3x – 2 < x + 8 , x € A = (1, 2, 3, 4, 5,6, 7) Jawab: 3x + 2 – 2 < x + 2 + 8(kedua ruas ditamabh 2) 3x < x + 10 3x – x < x – x + 10(kedua ruas dikurang x) 2x < 10 ½ . 2x < ½ . 10 (kedua ruas dikali ½) C. Penerapaan PTLSV Dalam Kehidupan Sehari-hari Contoh : Suatu persegi panjang, Lebarnya kurang 5 cm dari Panjangnya. Jika keliling persegi panjang kurang dari 50 cm. Tentukan ukuran maksimum dari persegi panjang itu dan beberapa luasnya. Jawab : L = (x – 5) cm

Misalkan : p = x cm

P=x

L = (x – 5) cm Kelilingnya kurang dari 50 cm 2(p x l) < k Lebar = x – 5 2(x + x – 5) < 50 = 15 – 5 2(2x – 5) < 50 = 10 cm 4x – 1 < 50 Luas p x l 4x < 60 L=15 x 10 x < 15 L=150 cm2

5 PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL(PLDV) 1. Persaman linaer dua variabel (PLDV) Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.Persamaan dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum PLDV adalah: ax + by + c = 0, dengan a, b tidak semuanya nol dan a, b, c merupakan bilangan riil. x dan y disebut variabel, a dan b disebut koefisien, dan c disebut konstanta. Penyelesaian atau akar PLDV ax + by + c = 0 adalah bilangan-bilangan pengganti x dan y, sehingga PLDV tersebut bernilai benar. Misalnya salah satu penyelesaian adalah x = p,maka penyelesaian yang lainnya adalah y = . Dengan demikian, himpunan penyelesaian PLDV ax + by + c = 0 adalah:

{(x, y) | x = p dan y = ; p € R } 2. Sistem dan bentuk persamaan linear dua variabel (SPLDV) Sistem persamaan linear dua variabel adalah satu kesatuan (system) dari dua atau lebih persamaan dua variabel.  Bentuk Umum Dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat –x adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu -x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus –c/a. Bila B ≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat –y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu –y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus –c/b. Bentuk umum SPLDV adalah: Dengan : x dan y disebut variabel/peubah

a, b, m dan n disebut koefisien c dan p disebut konstanta 6  Bentuk standar Di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol. Penyelesaian atau akar SPLDV Adalah bilangan pengganti x dan y yang memenuhi kedua persamaan padaSPLDV itu. Jika hanya memenuhi salah satu persamaan saja, maka bilangan pengganti tersebut bukan merupakan akar SPLDV itu. Misalkan SPLDV : 1) Jika , maka SPLDV-nya memiliki satu penyelesaian atau akar tunggal. 2) Jika , maka SPLDV-nya memiliki penyelesaian. 3) Jika , maka SPLDV-nya memiliki banyak penyelesaian.  Bentuk titik potong gradien 

Sumbu –y

Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu –y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu –y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan x merupakan koordinat x yang 

Sumbu –x

Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong –x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.

7 3. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) Menyelesaikan SPLDV berarti menentukan akar dari SPLDV ini. Beberapa metode yang harus ditempuh untuk menyelesaikan SPLDV adalah : a. Metode grafik Langkah- langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah: 1) Menggambarkan grafik himpunan penyelesaian dari masing-masing PLDV. 2) Menentukan titik potongan dari grafik-grafik pada langkah 1) y y ax + by = c ax + by = c x 0

x 0

mx + ny = p (akar tunggal)

mx +ny = p (tidak memiliki akar)

y ax + by = c x 0 mx + ny = p (banyak akar) b. Metode substitusi Menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi dilakukan dengan cara menggantikan satu variabel dari persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan yang lain. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi adalah: 1) Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ….. atau x =….. 2) Substitusikan (masukan ) bentuk tersebut ke persamaan kedua. c. Metode eliminasi Menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel. d. Metode gabungan eliminasi dan substitusi Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi: 1) Mengeliminasi salah satu variabel. 2) Mensubstitusikan nilai variabel pada langkah 1) ke salah satu persamaan. 8 4. Penerapan SPLDV dalam kehidupan sehari-hari Masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menerapkan SPLDV di antaranya masalah perhitungan umur dan masalah bisnis. Sedangkan dalam bidang matematika, SPLDV dapat digunakan untuk menentukan koordinat titik potongan dua garis,menentukan suatu bilangan, dan sebagainya.

Langkah pertama untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut adalah dengan menyusun model matematika. 5. Sistem persamaan non-linear dua variable SIstem persamaan nonlinear dua variabel adalah sistem persamaan yang mengandung dua variabel, dengan pangkat dari variabel-nya lebih dari satu. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan non-liear dua variabel dengan menggunakan konsep SPLDV adalah: a) Mengubah salah satu persamaan menjadikan bentuk y =….. atau x =….. b) Mensubstitusikan bentuk tersebut ke persamaan lainnya.

9

PERTIDAKPERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL(PTLDV) 1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Dengan Dua Variabel Persamaan seperti 2x + y = 5 disebut persamaan linear dengan dua variabel. Apabila tanda sama dengan ( = ) pada persamaan itu, kita ganti dengan salah satu dari ketidaksamaan linear dengan dua variabel. 2x + y < 5 2x + y > 5 2x + y ≥ 5 2x + y ≤ 5 Sekarang perhatikan pertidaksamaan linear dengan dua variabel. Berikut :

x + y ≤ 3 dengan x € {0, 1, 2, 3, } dan y bilangan cacah. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu berarti menentukan pasangan pengganti x dan y yang mengubah x + y ≤ 3 menjadi kalimat yang benar dengan memilih pengganti x kemudian menentukan y kita memperoleh pernyataan berikut : Jika x = 0, maka 0 + y ≤ 3 sehingga nilai y yang menentukan adalah 0, 1, 2 dan 3. Jika x = 1, maka 1 + y ≤ 3 sehingga nilai y yang menentukan adalah 0, 1, 2. Jika x = 2, maka 2 + y ≤ 3 sehingga nilai y yang menentukan adalah 0, 1. Jika x = 3, maka 3 + y ≤ 3 sehingga nilai y yang menentukan adalah 0 Pengganti x dan y yang mengubah x + y ≤ 3 menjadi kalimat yang benar bila dinyatakan sebagai pasangan berurutan yaitu : (0, 0), (0, 1), (0, 2),(0, 3), (1,0), (1, 1), (1, 2), (2,0), (2, 1) dan (3, 0) Jadi himpunan penyelesaian dari x + y ≤ 3 dengan x € { 0, 1, 2, 3 } dan y bilangan cacah adalah (0, 0), (0, 1), (0, 2),(0, 3), (1,0), (1, 1), (1, 2), (2,0), (2, 1) dan (3, 0) Grafik himpunan penyelesaian diperoleh dengan menggambar pasangan berurutan sehingga koordinat titik pada bidang koordinat.

y x 0

§

2. Sistem pertidaksamaan linear dengan dua variable System pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu system yang terdiri atas pertidaksamaan linear atau lebih dan setiap peridaksamaan menjadi dua variabel dengan menentukan irisan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan itu.jika tidak beririsan, maka himpunan pernyelesaian adalah himpunan kosong.