SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL (SPtKDV) TOPIK DARI MODUL INI Konsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Model Matematika Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel A.
Konsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari sistem persamaan kuadrat dua variabel. Apakah kalian masih ingat tentang materi tersebut? Mari kita ulang sebentar materi tersebut dengan menyelesaikan masalah berikut: Seorang polisi bertugas memonitor kecepatan kendaraan yang melalui suatu jalan. Tiba-tiba seorang pengendara sepeda motor melaju dengan kecepatan tetap melewati mobil patroli. Polisi yang bertugas, melihat ke arah alat monitor kecepatan dan memperoleh informasi bahwa kecepatan motor tersebut adalah 30 m/s. Polisi yang semula dalam keadaan diam kemudian mengejar pengendara motor dengan percepatan tetap sebesar 5 m/s2. Kapan mobil polisi dapat menyalip motor tersebut? Penyelesaian : Mobil patroli akan dapat menyalip motor apabila jarak yang ditempuh oleh kedua kendaraan sama. Dengan kata lain,
Jadi, setelah 12 detik mobil patroli baru dapat menyalip motor.
Jarak yang diperlukan untuk menyalip motor dari posisi semula adalah 360 meter. Sekarang mari kita ingat kembali tentang bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel yang pernah kalian pelajari. Masih ingatkah kalian tentang hal tersebut? Persamaan kuadrat dua variabel mempunyai bentuk umum :
Apabila kalian ingin mengetahui grafiknya, pelajarilah informasi berikut. 1) Jika K = 0 dan A = B ≠ 0, kurva berbentuk lingkaran 2) Jika K2 – 4AB = 0, kurva berbentuk parabola 3) Jika K2 – 4AB < 0, kurva berbentuk elips 4) Jika K2 – 4AB > 0, kurva berbentuk hiperbola Selanjutnya, jika nilai K = 0, maka bentuk Ax 2 + Kxy +By2 + Cx + Dy + E = 0 menjadi :
Mari kita cermati persamaan (2). 1) 2) 3) 4)
Jika A = 0 atau B = 0 tetapi tidak bersamaan sama dengan nol, kurva berbentuk parabola Jika A = B ≠ 0, kurva berbentuk lingkaran Jika A ≠ B dan bertanda sama, kurva berbentuk elips Jika A ≠ B dan berlawanan tanda, kurva berbentuk hiperbola
Berikut ini adalah contoh grafik persamaan kuadrat dua variabel.
Ket 1. Gambar 2. Gambar 3. Gambar 4. Gambar
a adalah parabola dengan persamaan y = x2 – 5x + 6 b adalah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 9 c adalah elips dengan persamaan 9x2 + 16y2 = 144 d adalah hiperbola dengan persamaan 9x2 – 16y2 = 144
Selanjutnya mari kita pelajari topik ini, yaitu tentang sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan kumpulan beberapa pertidaksamaan yang memuat paling sedikit satu pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan perpotongan atau irisan dari beberapa pertidaksamaan yang membentuk sistem tersebut. Adapun grafik daerah himpunan penyelesaian dibatasi oleh kurva yang membentuk sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Selanjutnya pertidaksamaan yang memuat < atau > , kurva pembatas digambar dengan menggunakan garis putus, sedangkan pertidaksamaan yang memuat ≤ atau ≥ , kurva pembatas digambar menggunakan garis utuh. Untuk lebih jelasnya mari kita mencermati contoh di bawah ini. Contoh 1 : Salah satu ukuran tentang berat badan Ideal adalah menggunakan BMI (Body Man Index) dengan rumus sebagai berikut: 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 (𝐾𝑔) BMI : (𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝐵𝑎𝑑𝑎𝑛 (𝑚))2 adapun table BMI sebagai berikut:
Ida mempunyai tinggi badan 155 cm dan berat badan 60 kg. Teman-teman Ida mengatakan bahwa Ida kegemukan. Apabila menggunakan BMI, apakah pernyataan tersebut benar? Penyelesaian : 155 cm = 1,55 m
Berdasarkan hasil perhitungan di atas, nilai BMI Ida terletak pada kategori berat badan ideal 18,5 ≤24,97≤ 25. Dengan kata lain, pernyataan mengenai Ida kegemukan adalah salah. Masalah tersebut merupakan salah satu penerapan tentang pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Selanjutnya kita akan mempelajari masalah tentang sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel berikut.
Contoh 2 : Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan :
Penyelesaian : Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan di atas, ada beberapa langkah yang harus di tempuh. (1) Buat kurva pembatas, yaitu y = x2 (parabola) dengan cara membuat tabel.
Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada kurva sebagai titik uji, kemudian substitusikan ke persamaan kurva. Sebagai contoh, kita akan uji titik (1,2). (1,2) → x = 1 dan y = 2 → x2 = 1 dan 2 > 1 → y > x2 sehingga daerah yang memenuhi y > x2 adalah daerah di dalam kurva. Dengan demikian, gambar daerah himpunan penyelesaian y ≥ x2 sebagai berikut.
(2) Buat garis pembatas, yaitu y = 2x + 3 (garis lurus) dengan cara membuat tabel.
Perlu diketahui bahwa pada saat membuat grafik berupa garis, kalian cukup mencari dua titik yang terletak pada garis tersebut, misalkan :
Langkah berikutnya adalah mengambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis sebagai titik uji, misalkan titik (0,0) kemudian pada persamaan garis y = 2x + 3 kita substitusikan x = 0 dan y = 0. Oleh karena diperoleh hasil 0 < 3 , maka daerah yang memenuhi y ≤ 2x + 3 adalah daerah di bawah garis.
Gambar daerah himpunan penyelesaian y ≤ 2x + 3 sebagai berikut.
(3) Tentukan irisan dua daerah himpunan penyelesaian tersebut.
Perhatikan bahwa titik (-1,1) dan (3,9) merupakan titik potong kedua kurva. Hal ini berarti bahwa titik (-1,1) dan (3,9) terletak pada parabola maupun pada garis (lihat baris yang berwarna kuning pada tabel). Koordinat titik potong kedua kurva juga dapat ditentukan dengan cara menyelesaikan sistem persamaan :
SOAL-SOAL YANG DISELESAIKAN 1.
Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan daerah himpunan penyelesaian dari suatu SPtKDV.
SPtKDV tersebut adalah ….
a.
b.
c.
d.
e. Penyelesaian Petunjuk Perhatikan persamaan lingkaran besar dan persamaan lingkaran kecil. Daerah yang diarsir berada diantara kedua lingkaran sehingga SPtKDV dapa t dibentuk. Penjelasan Persamaan lingkaran besar adalah x2 + y2 = 9 merupakan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran kecil adalah x2 + y2 = 4 merupakan lingkaran berpusat di O(0,0) jari-jari 2. Daerah yang diarsir berad a diantara kedua lingkaran tersebut sehingga sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel yang memenuhi adalah:
2.
Perhatikan SPtKDV berikut.
Gambar yang tepat untuk daerah himpunan penyelesaian SPtKDV tersebut adalah ….
a.
d.
b.
e.
c.
Penyelesaian Petunjuk Gambarlah masing-masing kurva pembatas kemudian gunakan titik uji untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Selanjutnya tentukan irisan antara kedua daerah himpunan penyelesaian.
Penjelasan 1) Buat garis pembatas yaitu y = x2 (parabola terbuka ke atas) dengan cara membuat tabel:
Daerah yang memenuhi y ≥ x2 adalah:
2)
Buat garis pembatas yaitu y = 2 – x2 (parabola terbuka ke bawah) dengan cara membuat tabel:
Daerah yang memenuhi y ≤ 2 – x2 adalah:
3)
Menentukan irisan dua daerah himpunan penyelesaian tersebut.
3.
Perhatikan gambar berikut ini.
Daerah yang diarsir menyatakan daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan yang sesuai un tuk gambar tersebut adalah …. a.
d.
b.
e.
c.
Penyelesaian Petunjuk Perhatikan persamaan kedua kurva tersebut. Kurva pertama berupa lingkara n berpusat di titik O(0,0) dan mempunyai jari-jari 2 sedangkan kurva kedua a dalah garis putus dengan titik potong kedua sumbu diketahui. Langkah b erikutnya tentukan irisan kedua daerah himpunan penyelesaian. Penjelasan a. Kurva yang terletak di bagian luar adalah lingkaran dengan pusat titik O( 0,0) dan mempunyai jari-jari 2 sehingga persamaan lingkaran yang sesua i adalah x2 + y2 = 4. Daerah yang diarsir berada di dalam lingkaran sehingga diperoleh x2 + y2 ≤ 4. b. Garis yang terbentuk melalui titik (0,-3) dan (½ ,0) sehingga persamaan g aris tersebut adalah y = 2x – 3. Daerah yang sesuai dengan gambar d an memuat garis putus menunjukkan bahwa y > 2x – 3. c. Daerah yang diarsir merupakan irisan dari x2 + y2 ≤ 4 dan bahwa y > 2x – 3.
4.
Perhatikan gambar berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan …. a.
b.
d.
e.
c.
Penyelesaian Petunjuk Daerah yang diarsir berada di dalam lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jarijari 3. Daerah tersebut berada di kanan garis x = 2. Perhatikan garis yang menghubungkan adalah garis putus. Penjelasan Daerah yang diarsir berada di dalam lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jarijari 3, sehingga yang memenuhi adalah x2 + y2 ≤ 9. Selain itu daerah terseb ut berada di kanan garis x = 2. Perhatikan garis yang menghubungkan adalah garis putus. Jadi daerah tersebut memenuhi x > 2.
5.
Perhatikan gambar berikut.
Sistem pertidaksamaan yang tepat untuk daerah himpunan penyelesaian yang disajikan grafik tersebut adalah …. a.
f.
b.
g.
c.
Petunjuk Perhatikan daerah yang 144 dan 9x2 + 16y2 = 144.
diarsir
berada
diantara
kurva
16x2 +9y2 =
Penjelasan Daerah yang diarsir berada diantara kurva 16x2 +9y2 = 144 dan 9x2 +16y2 =14 4 sehingga SPtKDV yang memenuhi adalah
6.
Perhatikan gambar berikut.
Sistem pertidaksamaan yang tepat untuk daerah himpunan penyelesai an yang disajikan grafik tersebut adalah …. a.
d.
b.
e.
c.
Petunjuk Perhatikan bahwa daerah yang diarsir berada di dalam kurva 25x2 + 16y2 = 40 0 dan di luar kurva y = 2x2 Penjelasan Daerah yang diarsir berada di dalam kurva 25x2 + 16y2 = 400 dan di luar kurv a y = 2x2 sehingga sistem pertidaksamaan yang tepat untuk daerah him punan penyelesaian yang disajikan grafik tersebut adalah:
7.
Perhatikan gambar berikut.
Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel yang mempunyai daerah penyele saian berupa daerah yang diarsir adalah …. a.
f.
b.
g.
c. Petunjuk Perhatikan bahwa daerah yang diarsir berada di dalam lingkaran x2 + y2 = 2 5 dan di luar lingkaran (x – 1)2 + y2 = 25. Penjelasan 1) Kurva berupa lingkaran berwarna biru mempunyai persamaan x2 + y2 = 2 5 dan daerah yang diarsir berada di dalam lingkaran sehingga diperole h x2 + y2 ≤ 25 2) Lingkaran berwarna merah mempunyai persamaan (x – 1)2 + y2 = 25 dan daerah yang diarsir adalah daerah di luar lingkaran sehingga diperole h (x – 1)2 + y2 ≥ 25 Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel yang mempunyai daerah penyele saian berupa daerah yang diarsir adalah:
8.
Perhatikan SPtKDV berikut.
Gambar yang tepat untuk daerah himpunan penyelesaian SPtKDV tersebut ad alah ….
a.
b.
d.
e.
c.
Penyelesaian Petunjuk Perhatikan bahwa x2 – y2 < 10 sehingga daerah yang diarsir berada di luar kurva dan x2 + y2 ≥ 25 berarti daerah yang diarsir berada di luar lingkaran x 2 + y2 = 25 Penjelasan 1) x2 – y2 < 10 berarti daerah yang diarsir berada di luar kurva x2 – y2 = 10 2) x2 + y2 ≥ 25 berarti daerah yang diarsir juga berada di luar lingkaran x 2 + y2 = 25
Jadi, yang memenuhi pertidaksamaan
adalah
9.
Koordinat titik yang merupakan anggota himpunan penyelesaian dari:
adalah …. a. b. c. d. e.
(0,5) (1,3) (2,4) (2,-2) (3,2)
Penyelesaian Petunjuk Substitusikan koordinat titik yang ada dalam masing-masing pertidaksamaa Koordinat titik yang menyebabkan kedua pertidaksamaan tersebut menjadi pe rnyataan yang benar berarti titik tersebut memenuhi SPtKDV.
Penjelasan A. (0,5) disubstitusikan pada 16x2 + 9y2 = 16(0) + 9(5)2 = 225 ≤ 144 (salah). Jadi, (0,5) bukan anggota daerah himpunan penyelesaian. B. - (1,3) disubstitusikan pada 16x2 + 9y2 = 16(1) + 9(3)2 = 97 ≤ 144 (benar) - (1,3) disubstitusikan pada x2 + y2 = 12 + 32 = 10 ≥ 9 (benar) Jadi, (1,3) merupakan anggota himpunan penyelesaian. C. (2,4) disubstitusikan pada 16x2 + 9y2 = 16(2)2 + 9(4)2 = 208 ≤ 144 (salah). Jadi, (2,4) bukan anggota daerah himpunan penyelesaian D. - (2,-2) disubstitusikan pada 16x2 + 9y2 = 16(2)2 + 9(-2)2 = 100 ≤ 144 (benar) - (2,-2) disubstitusikan pada x2 + y2 = 22 + (-2)2 = 8 ≥ 9 (salah) Jadi, (2,-2) bukan anggota daerah himpunan penyelesaian. E. (3,2) disubstitusikan pada 16x2 + 9y2 = 16(3)2 + 9(2)2 = 180 ≤ 144 (salah). Jadi, (3,2) bukan anggota daerah himpunan penyelesaian.
10.
Tinggi Adi 175 cm. Apabila menggunakan tabel BMI berat badan Adi ter masuk ideal.
Rumus untuk mendapatkan nilai
Interval berat badan Adi adalah …. a. b. c. d. e. Penyelesaian Petunjuk Substitusikan berat badan Adi ke rumus
Karena berat badan Adi ideal maka Interval yang diambil adalah:
Penjelasan Substitusikan berat badan Adi ke rumus
Karena berat badan Adi ideal maka Interval yang diambil adalah: 18,5 ≤ BMI ≤ 25 Misal berat badan Adi adalah x kg.
Sehingga diperoleh 56,66 kg ≤ berat Adi ≤ 76,56 kg
B.
Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
Sebelumnya kalian telah mempelajari tentang sistem persamaan kuadrat dua variabel, dan cara menyelesaikan masalah nyata yang model matematikanya berkaitan dengan sistem persamaan tesebut. Dalam topik ini kalian akan belajar tentang cara menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah kumpulan 2 atau lebih pertidaksamaan yang mengandung paling sedikit satu persamaan berderajat dua dalam dua variabel. Berikut ini adalah beberapa contoh sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel : Sistem pertidaksamaan 1 y ≤ x2 y>x+2 Sistem pertidaksamaan 2 y ≤ -x2 + 2x + 1 y ≥ x2 + x + 2 Penyelesaian dari sebuah sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari pertidaksamaan-pertidaksamaan yang membentuk sistem tersebut, biasanya lebih mudah ditunjukkan dalam bentuk grafik. Grafik penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah himpunan titik-titik yang mewakili semua penyelesaian pertidaksamaan dalam sistem pertidakamaan tersebut, dan himpunan titik tersebut dinamakan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP). DHP ini dibatasi oleh kurva pembatas yang dibentuk dari pertidaksamaanpertidaksamaan dalam sistem tersebut. Kurva/garis pembatas dibuat dengan aturan sebagai berikut : Pertidaksamaan yang memuat tanda < atau >, kurva pembatasnya digambarkan dengan garis putus-putus Pertidaksamaan yang memuat tanda ≤ atau ≥, kurva pembatasnya digambarkan dengan garis penuh Bagian yang merupakan daerah himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan biasanya diberi arsiran, untuk membedakannya dengan yang bukan DHP.
Contoh Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut : y ≥ x2 y ≤ 2x+3 Penyelesaian Kurva Pembatas : y = x 2 Untuk menggambar kurva di atas, dapat diambil beberapa nilai absis (x), kemudian kita hitung nilai ordinatnya (y), sehingga diperoleh sebuah titik. Selanjutnya, titik-titik yang diperoleh kita hubungkan. x x x x x
= = = = =
-2 => y = 4 => (-2,4) -1 => y = 1 => (-1,1) 0 => y = 0 => (0,0) 1 => y = 1 => (1,1) 2 => y = 4 => (2,4)
Garis Pembatas : y=2x+3 Untuk menggambar garis di atas, dapat diambil beberapa nilai absis (x), kemudian kita hitung nilai ordinatnya (y), sehingga diperoleh sebuah titik. Selanjutnya, titik-titik yang diperoleh kita hubungkan. x x x x x
= = = = =
-2 => y = -1 => (-2,-1) -1 => y = 1 => (-1,1) 0 => y = 3 => (0,3) 1 => y = 5 => (1,5) 2 => y = 7 => (2,7)
Titik Potong Titik potong diperoleh dengan cara mensubtitusikan persamaan y = x 2 ke dalam persamaan y = 2x + 3, sehingga diperoleh : x2 = 2x + 3 <=> x2 - 2x - 3 = 0 <=> (x-3)(x+1) = 0 <=> x = 3 atau x = -1 Jika x = -1 maka y = 1 dan jika x = 3 maka y =9. Dengan demikian titik potongnya adalah (-1,1) dan (3,9). Daerah Himpunan Penyelesaian Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, kita perlu melakukan uji titik. y ≥ x2 Ambil sebarang titik, misal titik (0,1). Karena x 2 = 0, maka titik (0,1) memenuhi pertidaksamaan y ≥ x2, sehingga daerah penyelesaian berada diatas kurva y = x2. y ≤ 2x + 3
Ambil sebarang titik, misal titik (0,1). Karena 2x+3 =3, maka titik (0,1) memenuhi pertidaksamaan y ≤ 2x + 3 sehingga daerah penyelesaian berada dibawah garis y = 2x + 3. Dengan demikian, daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah :
c
SOAL-SOAL YANG DISELESAIKAN 1.
Jika sumbu vertikal adalah sumbu Y dan sumbu horisontal adalah su mbu X, maka daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksama an berikut ini adalah…
a.
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian Petunjuk Langkah penentuan DHP : tentukan garis/kurva pembatas dan jenisnya (perh atikan tanda pertidaksamaan untuk menentukan jenis garis/kurva pembatas nya ; tentukan titik potong, kemudian arsir DHP. Penjelasan Kurva Pembatas : y = x 2 + 2x + 1 Untuk menggambar kurva di atas, dapat diambil beberapa nilai absis (x), kem udian kita hitung nilai ordinatnya (y), sehingga diperoleh sebuah titik. Selanj utnya, titik-titik yang diperoleh kita hubungkan. x x x x x
= = = = =
-2 ⟹ y = 1 ⟹ (-2.1) -1 ⟹ y = 0 ⟹ (-1,0) 0 ⟹ y = 1 ⟹ (0,1) 1 ⟹ y = 4 ⟹ (1,4) 2 ⟹ y = 9 ⟹ (2,9)
Garis Pembatas : y = -2x + 1 Untuk menggambar garis di atas, dapat diambil beberapa nilai absis (x), kemu dian kita hitung nilai ordinatnya (y), sehingga diperoleh sebuah titik. Selanj utnya, titik-titik yang diperoleh kita hubungkan. x = -2 ⟹ y = 5 ⟹ (-2,5) x = -1 ⟹ y = 3 ⟹ (-1,3) x = 0 ⟹ y = 1 ⟹ (0,1) x = 1 ⟹ y = -1 ⟹ (1,-1) x = 2 ⟹ y = -3 ⟹ (2,-3) Titik Potong Titik potong diperoleh dengan cara mensubtitusikan persamaan ke dalam per samaan, sehingga diperoleh : x2 + 2x + 1 = -2x + 1 ⟺ x2 + 4x = 0 ⟺ x(x+4) = 0 ⟺ x=0 atau x=-4 Jika x = 0 maka y = 1 dan jika x = -4 maka y = 9. Dengan demikian, titik potongnya adalah (0,1) dan (-4,9). Daerah Himpunan Penyelesaian y ≥ x2 + 2x + 1 Uji salah satu titik di bawah kurva, misalnya (0,0). Karena diperoleh hasil 0 ≥ 1 (pernyataan salah), maka daerah penyelesaian bukan berada di bawah kurva, melainkan berada diatas kurva y = x2 + 2x + 1.
y < -2x + 1 Uji salah satu titik di bawah garis, misalnya (0,0). Karena diperoleh hasil 0 < 1 (pernyataan benar), maka daerah penyelesaian berada di bawah garis y = -2x + 1. 2.
Jika sumbu vertikal adalah sumbu Y dan sumbu horisontal adalah sumbu X, maka daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksa maan berikut ini adalah…
a.
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian Petunjuk Karena gambar kurva di semua pilihan sama, yang berbeda hanya DHP, maka untuk menentukan pilihan yang benar, cukup melakukan uji titik untuk men entukan DHP. Penjelasan -x 2 -x - y ≥ -2 Uji salah satu titik di daerah bawah kurva, misalnya (0,0). Karena hasilnya 0 ≥ -2 (pernyataan benar), maka daerah penyelesaian berada di bawah kurv a. x + y ≤ -2 Uji salah satu titik di daerah atas garis, misalnya (0,0). Karena hasilnya 0 ≤ -2 (pernyataan salah), maka daerah penyelesaian berada di bawah garis.
3.
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut ini ditunjukkan oleh daerah berwarna…
a. b. c. d. e.
Jingga Ungu Merah muda Kuning Hijau
Penyelesaian Petunjuk Karena gambar kurva di semua pilihan sama, yang berbeda hanya DHP, maka untuk menentukan pilihan yang benar, cukup melakukan uji titik untuk men entukan DHP. Penjelasan y ≥ -x 2 + 4x + 5 Uji salah satu titik di daerah bawah kurva, misalnya (0,0). Karena hasilnya 0 ≥5 (pernyataan salah), maka daerah penyelesaian berada di atas kurva. y ≥ x2 Uji salah satu titik di daerah atas kurva, misalnya (0,1). Karena hasilnya 1 ≤ 0 (pernyataan benar), maka daerah penyelesaian berada di atas kurva
4.
Jika sumbu vertikal adalah sumbu Y dan sumbu horisontal adalah su mbu X, maka daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksama an berikut ini adalah…
a.
d.
b.
e.
c.
Penyelesaian Petunjuk Karena gambar kurva di semua pilihan sama, yang berbeda hanya DHP, maka untuk menentukan pilihan yang benar, cukup melakukan uji titik untuk men entukan DHP. Perhatikan pula jenis kurva pembatas, apakah berupa garis pu tus-putus ataukah berupa garis penuh. Penjelasan Garis pembatas kurva y ≥ x2 + 2x - 3 -> garis penuh y < -x2 + 2x + 4 -> garis putus-putus
Titik potong kurva -> tidak perlu ditentukan, karena semua opsi jawaban memberikan titik poton g yang sama Daerah himpunan penyelesaian y ≥ x2 + 2x - 3 Uji salah satu titik di atas kurva, misalnya (0,0). Karena hasilnya 0≥-3 (pernya taan benar), maka daerah penyelesaian berada di atas kurva. y < -x2 + 2x + 4 Uji salah satu titik di bawah kurva, misalnya (0,0). Karena hasilnya 0 < 4 (per nyataan benar), maka daerah penyelesaian berada di bawah kurva.
5.
a.
Jika sumbu vertikal adalah sumbu Y dan sumbu horisontal adalah su mbu X, maka daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksama an berikut ini adalah…
d.
b.
c.
Penyelesaian Petunjuk Lakukan uji titik untuk menentukan DHP Penjelasan Kurva/garis pembatas x2 + y2 ≤16 -> berupa garis penuh y > 2x - 3 • berupa garis putus-putus • Titik potong dengan sumbu x : (3/2,0) • Titik potong dengan sumbu y : (0,-3)
e.
Daerah himpunan penyelesaian x2 + y2 ≤ 16 Uji salah satu titik dalam kurva, misalkan (0,0). Karena diperoleh hasil 0 < 16 (pernyataan benar), maka (0,0) memenuhi pertidaksamaan. Dengan demikian, daerah penyelesaiaannya di dalam kurva. y > 2x - 3 Dari hasil uji titik (0,0), diperoleh hasil 0 > -1 (pernyataan benar). Dengan dem ikian, titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan. Jadi daerah penyelesaiannya be rada di atas kurva.
6.
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut ini d itunjukkan oleh daerah berwarna…
a. b. c. d. e.
Merah Jingga Ungu Kuning Hijau
Penyelesaian Petunjuk Lakukan uji titik untuk menentukan DHP. Penjelasan x2 -y + 2x ≤ 3 Uji titik (0,0) yang berada di atas kurva. Karena hasilnya 0<3 (pernyataan ben ar), maka titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan (daerah penyelesaian di ata s kurva). x2 + y2 ≤ 16 Uji titik (0,0) yang berada dalam lingkaran. Karena hasilnya 0<16 (pernyataan benar), maka titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan (daerah penyelesaian di da lam lingkaran). Jadi, daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas ditu njukkan oleh daerah berwarna ungu.
7.
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut ini d itunjukkan oleh daerah berwarna…
a. b. c. d. e.
Ungu Jingga Hijau Kuning Merah muda
Penyelesaian Petunjuk Lakukan uji titik untuk menentukan DHP. Penjelasan 9x2 + 16y2 ≤ 144 Uji titik (0,0) yang berada dalam kurva. Karena hasilnya 0 < 144 (pernyataan benar), maka titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan (daerah penyelesaian di da lam kurva). x+y≤0 Uji titik (-1,-1) yang berada di bawah garis. Karena hasilnya -2 < 0 (pernyataa n benar), maka titik (-1,-1) memenuhi pertidaksamaan (daerah penyelesaian b erada di bawah garis). Jadi, daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas ditu njukkan oleh daerah berwarna merah muda. 8.
Sistem pertidaksamaan yang benar untuk grafik dengan DHP di bawah ini adalah…
a. b. c. d. e.
x > 2 dan x 2 + y2 ≥ 9 y > 2 dan x2 + y2 ≥ 9 x > 2 dan x2 + y2 ≤ 9 y > 2 dan x2 + y2 ≤ 9 x ≥ 2 dan x2 + y2 ≥ 9
Penyelesaian Petunjuk Terlebih dahulu tentukan persamaan yang memenuhi kurva yang ada, kemud ian, perhatikan daerah arsiran untuk menentukan tanda pertidaksamaan yan g tepat. Penjelasan Grafik terdiri atas 2 bagian, garis lurus dan lingkaran. Garis lurus : x = 2 Karena daerah penyelesaian di sebelah kanan garis dan garis pembatasnya be rupa garis putus-putus, maka pertidaksamaannya adalah x>2 Lingkaran Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9. Karena daerah penyelesaiaannya di luar lingkaran, maka pertidaksamaan yan g dimaksud adalah x2 + y2 ≥ 9. 9.
Sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk grafik dengan DHP di bawah ini adalah…
a.
d.
b.
e.
Penyelesaian Petunjuk Terlebih dahulu tentukan persamaan yang memenuhi kurva yang ada, kemud ian, perhatikan daerah arsiran untuk menentukan tanda pertidaksamaan y ang tepat. Penjelasan Kurva 1 : Karena kurva melalui titik (0,-3), (-1,0), dan (3,0) maka persamaan kurva adalah : y = x2 - 2x - 3. Garis pembatas kurva berupa garis penuh. Karena dari hasil uji titik (2,0) (salah satu titik di DHP) : x2 - 2x - 3 = -3, m aka y > x2 - 2x - 3 Dengan demikian, pertidaksamaan yang tepat adalah : y ≥ x 2 - 2x -3 Kurva 2 : Karena kurva melalui titik (0,-2), (-2,0), dan (1,0) maka persamaan kurva yang tepat : y = x2 + x – 2 Garis pembatas kurva berupa garis penuh Karena dari hasil uji titik (2,0) (salah satu titik di DHP) x 2 + x - 2 = 4, artii nya y < x2 + x - 2 Dengan demikian, pertidaksamaan yang tepat adalah : y ≤ x 2 + x – 2 10.
Sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk grafik dengan DHP di bawah ini adalah…
a.
b.
d.
e.
c.
Penyelesian Petunjuk Terlebih dahulu tentukan persamaan yang memenuhi kurva yang ada, kemud ian, perhatikan daerah arsiran untuk menentukan tanda pertidaksamaan y ang tepat. Penjelasan Kurva 1 : Karena kurva melalui titik (0,-8), (-4,0), dan (2,0), maka persamaan kurva yang tepat : y = x2 + 2x – 8 Garis pembatas kurva berupa garis putus-putus. Karena dari hasil uji titik (0,0) (salah satu titik di DHP) : x 2 + 2x - 8 = -3, maka y > x2 + 2x - 8 Dengan demikian, pertidaksamaan yang tepat adalah : y > x2 + 2x - 8 Kurva 2 : Karena kurva melalui titik (0,3), (-3,0), dan (1,0) maka persamaan kurva yang tepat : y= -x2 + 2x + 3 Garis pembatas kurva berupa garis penuh. Karena dari hasil uji titik (0,0) (salah satu titik di DHP) -x2 + 2x + 3 = 3, maka y < -x2 + 2x + 3 Dengan demikian, pertidaksamaan yang tepat adalah : y ≤ -x 2 + 2x + 3
C.
Model Matematika Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
Pada topik sebelumnya kita telah mempelajari konsep pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Dalam topik ini kita akan mempelajari model matematika sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sebelum kita memulai topik model matematika sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel, marilah kita mengingat kembali konsep dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Langkah-langkah dalam menyelesaikan model matematika sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel yaitu : 1. Mencari kata – kata seperti “ kurang dari”(<), “lebih dari”(>), “tidak lebih dari”(≤), tidak kurang dari”(≥). 2. Setelah menemukan kata – kata tersebut merumuskan model matematika dari masalah 3. Menentukan penyelesaian dari model matematika 4. Memberikan penafsiran dari hasil yang didapat Agar lebih memahami marilah kita mencermati contoh dibawah ini: Contoh: Panjang dan lebar dari persegi panjang ABCD masing – masing 30 cm dan 20 cm. bagian tepi persegi panjang tersebut dipotong selebar x 2 sehingga diperoleh persegi panjang PQRS. Jika keliling persegi panjang PQRS tidak kurang dari 52 cm maka tentukan batas – batas x yang dapat dilakukan. Penyelesaian: Misal panjang persegi panjang PQRS = 30- 2x2 , lebar persegi panjang PQRS = 20 – 2x2 Keliling persegi panjang PQRS ≤ 52 2( p + l) ≤ 52 2(30 – 2x2 + 20 -2x2 ) ≤ 52 2( 50 – 4x2 ) ≤ 52 100 – 8x2 ≤ 52 -8x2 ≤ 52 -100 8x2 ≥ 48 x2 ≥ 6 Panjang persegi panjang PQRS ≥ 0 30 – 2x2 ≥ 0 -2x2 ≥ - 30 2x2 ≤ 30 x2 ≤ 15 Batas – batas yang dapat dilakukan
SOAL-SOAL YANG DISELESAIKAN 1. a. b. c. d. e.
Suatu persegi panjang dengan panjang a cm dan lebarnya (a - 5) cm. L uas persegi panjang kurang dari 6 cm2 dan panjang diagonalnya leb ih dari 5 cm. Batas nilai a yang memenuhi adalah …. 0
6 a>3 a<0 a>0
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah–langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidaks amaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran: (x+a)(x+b)= x2 +(a+b)x+ab Penjelasan Panjang = a cm dan lebar = (a - 5) cm Luas kurang dari 6 cm2 sehingga L < 6 a(a - 5) < 6 a2- 5a < 6 a2- 5a – 6 < 0 (a - 6)(a + 1) < 0 Pembuat nol (a -6)(a + 1) = 0 a = 6 atau a = - 1 ambil titik a = 0 maka a2 + 5a – 6 < 0 panjang diagonalnya lebih dari 5 cm sehingga d > 5 ( a 2 )+( a 2 −10a+25) >5 a2 + a2 - 10 a + 25 > 25 2a2 - 10 a > 0 2a( a - 5) > 0 Pembuat nol 2a( a - 5) = 0 a = 0 atau a = 5 batas – batas nilai a 0
2.
Alas sebuah segitiga sama kaki adalah t – 3, sisi yang lain adalah t dan tinggi nya adalah t. Luas segitiga sama kaki tersebut kurang dari 27 c m dan kelilingnya tidak kurang dari 9 cm. Batas nilai t yang mungkin a dalah …. a. b. c. d. e.
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah–langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidaks amaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan Alas = t – 3 Kedua sisi yang yang masing-masing adalah t (karena segitiga sama kaki) Luas < 27
Pembuat nol (t – 9)(t – 6) = 0 t = 9 atau t = - 6 ambil titik x = 0 maka t2 – 3t – 54 < 0 keliling ≥ 9 cm t + t + (t – 3) ≥ 9 2t + t – 3 ≥ 9 3t ≥ 12 t≥4 maka batas nilai t adalah 4≤t<9
3.
Ada dua bilangan dimana bilangan pertama adalah x + 1 sedangkan bil angan kedua adalah x + 2. Hasil perkalian lebih dari 30 dan perjumla han kuadratnya lebih dari 41. Nilai batas x yang mungkin adalah …. a. b. c. d. e.
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah-langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidaks amaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan Hasil perkalian > 30 (x + 1)(x + 2) > 30 x2 + 3x + 2 > 30 x2 + 3x – 28 > 0 (x + 7)(x – 4) > 0 Pembuat nol (x + 7)(x – 4) = 0 x = -7 atau x = 4 ambil titik x = 0 maka x2 + 3x – 28 < 0 perjumlahan kuadrat > 41 (x + 1)2 + (x + 2)2 > 41 x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 > 41 2x2 + 6x + 5 > 41 2x2 + 6x – 36 > 0 (2x – 6)(x + 6) > 0 Pembuat nol : (2x – 6)(x + 6) = 0 x = 3 atau x = -6 ambil titik x = 0 maka 2x2 + 6x – 36 < 0 batas nilai x adalah x < -7 atau x > 4
4.
Segitiga siku-siku dengan alas (a – 1) cm, tinggi a cm dan sisi miring (2 a -1) cm. Jika luasnya tidak lebih dari 6 cm dan sisi miringnya lebih da ri 11 cm maka batas nilai a yang memenuhi adalah .… a. b. c. d. e.
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah –langkah dalam men yelesaikan model matematika pertidaks amaan kuadrat dua variabel dan gunak an sifat pemfaktoran: Penjelasan Luas ≤ 12 a(a-1) ≤ 12 a2 – a – 12 ≤ 0 (a – 4)(a + 3) ≤ 0 Pembuat nol : (a – 4)(a +3) = 0 a = 4 atau a = -3 ambil titik x = 0 maka a2 – a – 12 < 0 sisi miring > 12 2a – 1 > 11 2a > 12 a>6 batas nilai a adalah x>6
5.
Suatu pekarangan rumah berbentuk persegi panjang dengan panjang x dan lebarnya x +1 jika kelilingnya lebih dari 14 cm dan luasnya kurang dari 20 cm2 maka tentukan batas – batas x yang memenuhi a. b. c. d. e.
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah-langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidaks amaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan Panjang = x Lebar = x + 1 Keliling > 14 2 (x + (x + 1) > 14 2(2x + 1) > 14 4x + 2 > 14 4x > 12 x3 luas < 20 x(x + 1) < 20 x2 + x – 20 < 0 (x + 5)(x – 4) < 0 Pembuat nol (x + 5)(x – 4) = 0 x = -5 atau x = 4 ambil titik x = 0 maka x2 + x – 20 < 0 maka batasannya adalah 3 < x < 4
6.
Diketahui tiga buah bilangan berurutan x, y, dan z. Hasil kali bilangan kedua dan bilangan ketiga lebih dari 20 sedangkan hasil kali bilangan pertama dan kedua lebih dari 12. Batas – batas bilangan tersebut yang mungkin adalah …. a. b. c. d. e.
lebih kecil dari – 6 atau lebih besar dari -3 lebih kecil dari – 6 atau lebih besar dari 3 lebih kecil dari 6 lebih besar dari -4 antara –4 dan –3
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah –langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidak samaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan bilangan pertama adalah x bilangan kedua y = (x + 1) bilangan ketiga z = (x + 2) Hasil kali bilangan kedua dan bilangan ketiga lebih dari 20 diperoleh: (x + 1)(x + 2) > 20 x2 + 3x + 2 > 20 x2 + 3x – 18 > 0 (x + 6)(x – 3) > 0 Pembuat nol (x + 6)(x – 3) = 0 x = -6 atau x = 3 ambil titik x = 0 maka x2 + 3x – 18 > 0 Hasil kali bilangan pertama dan kedua lebih dari 12 diperoleh: (x)(x + 1) > 12 x2 + x > 12 x2 + x – 12 > 0 (x + 4)(x – 3) > 0 Pembuat nol (x + 4)(x – 3) = 0 x = -4 atau x =3 ambil titik x = 0 maka x2 + x – 12 < 0 maka batas bilangan tersebut adalah x < -6 atau x > 3
7.
Panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah (x + 1) cm. Bila panjan gnya ditambah 3 cm dan lebarnya ditambah 1 cm maka luasnya menja di lebih besar dari 35 cm2 sedangkan apabila panjang dikurangi 2 cm d an lebarnya dikurangi 1cm luasnya menjadi lebih kecil dari 72 cm2. Bat as nilai x agar menjadi ukuran maksimum adalah …. a. b. c. d. e.
lebih besar 2 lebih besar 3 antara 5 dan 9 antara 2 dan 3 lebih besar 5
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah –langkah dalam menyel esaikan model matematika pertidaksamaa n kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan
Panjang dan lebar = (x + 1) Jika panjang (x + 1) + 3 dan lebar (x + 2) + 1 maka luas > 35
Pembuat nol (x + 9)(x – 3) = 0 x = -9 atau x =3 ambil titik x = 0 maka x2 + 6x – 27 < 0 jika panjang (x + 1) – 2 dan lebar (x + 1) - 1 maka luas < 72
Pembuat nol (x – 9)(x + 8) = 0 x = 9 atau x = -8 ambil titik x = 0 maka (x – 9)(x + 8) < 0
8.
Panjang dan lebar dari persegi panjang ABCD masing-masing 20 cm da n 10 cm bagian tepi persegi panjang tersebut dipotong selebar 2x2 sehi ngga diperoleh persegi panjang PQRS. Keliling persegi panjang PQRS tid ak kurang dari 12. Batas nilai x yang memenuhi adalah …. a. b. c. d. e.
Penyelsaian Petunjuk Gunakan langkah –langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidak samaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan 2(p +l) < 12 2((20 – 4x2 ) + (10 – 4x2)) < 12 2(30 – 8x2 ) < 12 60 – 16x2 < 12 -16x2 < -48 16x2 > 48 x2 > 3 10 – 4x2 > 0 -4x2 > -10 4x2 < 10
Syarat bahwa x > 0 Jadi batasannya adalah
9.
Selisih kuadrat suatu bilangan dengan tiga kali bilangan itu kurang dar i 25 sedangkan jumlah kuadrat bilangan itu dengan lima kali bilanga n tersebut lebih dari 9. Batas nilai bilangan itu adalah…. a. b. c. d. e.
Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah –langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidak samaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan
Pembuat nol: (x – 8)(x + 2) = 0 x = 8 atau x = -2 ambil titik x = 0 maka x2 – 6x – 16 < 0
Pembuat nol (x + 8)(x + 2) = 0 x = -8 atau x = -2 ambil titik x = 0 maka x2 + 5x – 150 < 0 maka batasan x adalah -2 < x < 8. 10.
Kuadrat suatu bilangan tidak lebih dari bilangan itu sendiri. Sedangka n selisih kuadrat bilangan itu dengan 3 kali bilangan tersebut tidak lebi h dari 4. Batas bilangan itu adalah …. a. b.
c. d. e. Penyelesaian Petunjuk Gunakan langkah –langkah dalam menyelesaikan model matematika pertidak samaan kuadrat dua variabel dan gunakan sifat pemfaktoran:
Penjelasan x2 – x ≤ 0 x(x – 1) ≤ 0 Pembuat nol x(x – 1) = 0 x = 0 atau x = 1 ambil titik x = 2 maka x(x – 1) > 0 x2 – 3x ≤ 4 x2 – 3x – 4 ≤ 0 (x – 4)(x + 1) ≤ 0 Pembuat nol (x – 4)(x + 1) = 0 x= 4atau x = -1 ambil titik x = 0 maka x2 – 3x – 4 < 0 maka batas – batas bilangan itu adalah 0 ≤ x ≤ 1.
