Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv

Sistem persamaan linear dua variabel adlh sistem persamaan yg mengandung dua variabel yg tdk diketahui.

Bentuk Umumnya : ax + by = c … persamaan (1) px + qy = r … persamaan (2) Dg a, b, c, p, q & r ϵ R a, p = koefisien dari x b, q = koefisien dari y

Ada 4 metode penyelesaian SPLDV tsb, yaitu : 1) Metode Eliminasi 2) Metode Substitusi 3) Metode Campuran 4) Metode Determinan

1. Metode Eliminasi Metode ini digunakan dg cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya, shg diperoleh sebuah persamaan dg satu variabel. Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dg metode eliminasi ! 2x + 3y = 1 … pers.(1) 3x + y = 5 … pers.(2) Jawab : Mengeliminasi x 2x + 3y = 1 x3 6x + 9y = 3 3x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 – 7y = - 7 y = -1

Mengeliminasi y 2x + 3y = 1 x1 3x + y = 5 x3

2x + 3y = 1 9x + 3y = 15 – - 7x = - 14 x=2

Jd, HP = { 2, -1 } Catatan : “ Jika kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel x maka yg akan kita dapatkan nantinya adlh nilai dari variabel y dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yg akan kita dapatkan nantinya adlh nilai dari variabel x “

Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode eliminasi ! 1) 2x – y = 2 3x – 2y = 1 Jawab 2) 3x + 5y = 4 3x – y = 10 Jawab 3) 5x + y = 5 17x + y = - 5 Jawab 4) 2p – 3q = 4 7p + 2q = 39 Jawab Ke slide Metode Substitusi

Jawab 1) * Mengeliminasi variabel y 2x – y = 2 x2 4x – 2y = 4 3x – 2y = 1 x1 3x – 2y = 1 x=3 * Mengeliminasi variabel x 2x – y = 2 x3 3x – 2y = 1 x2

6x – 3y = 6 6x – 4y = 2 y=4

Jd, HP = { 3, 4} Kembali ke slide soal

Jawab 2) * Mengeliminasi variabel x 3x + 5y = 4 3x – y = 10 6y = - 6 y=-1

* Mengeliminasi variabel y 3x + 5y = 4 x 1 3x – y = 10 x5

3x + 5y = 4 15x – 5y = 50 + 18x = 54 x=3 Jd, HP = { 3, - 1} Kembali ke slide soal

Jawab 3) * Mengeliminasi variabel y 5x + y = 5 17x + y = - 5 - 12x = 10 10 5 x   12 6

* Mengeliminasi variabel x 5x + y = 5 x 17 17x + y = - 5 x 5

85x + 17y = 85 85x + 5y = - 25 12y = 110 110 2 1 y 9 9 12 12 6 5 1 HP  { ,9 } Kembali ke slide soal 6 6

Jawab 4) * Mengeliminasi variabel p 2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28 7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 - 25q = - 50  50 q 2  25

* Mengeliminasi variabel q 2p – 3q = 4 x 2 7p + 2q = 39 x - 3

4p – 6q = 8 - 21p - 6q = - 117 25p = 125 125 p 5 25

Jd, HP = { 5, 2}

Kembali ke slide soal

2. Metode Substitusi Pada metode ini, salah satu variabel dari salah satu persamaan disubstitusikan shg diperoleh sebuah persamaan dg satu variabel saja Contoh : a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi !

3x + 4y = 11 … pers.(1) x + 7y = 15 … pers.(2) Jawab : Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3) Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x + 4y = 11 Harga y = 2 kmd ⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan

ke

pers(3) :

⇔ 45 – 21y + 4y y= 11 34  2  17 ⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 ⇔ - 17y = - 34 ⇔

x = 15 – 7y x = 15 – 7(2) x = 15 – 14

2x + 3y = 1 … pers.(1) 3x + y = 5 … pers.(2) Jawab : Dari pers.(2) didapat : y = 5 – 3x … pers.(3). Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :

Harga x = 2 kmd disubstitusikan ke pers.(3) :

2x + 3y = 1 2x + 3(5 – 3x) = 1 2x + 15 – 9x = 1 2x – 9x = 1 – 15 - 7x = - 14 x=2

y = 5 – 3x y = 5 – 3(2) y=5–6 y=-1 Jd, HP = { 2, - 1}

1)

2)

3)

4)

2x – y = 2 3x – 2y = 1

Jawab

3x + 5y = 4 3x – y = 10

Jawab

5x + y = 5 17x + y = - 5

Jawab

2p – 3q = 4 7p + 2q = 39

Jawab

Jawab 1)

2x – y = 2 … pers.(1) 3x – 2y = 1 … pers.(2)

Dari pers.(1) didapat :

Harga x = 3 kmd disubstitusikan

- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3)

ke pers.(1) :

Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) :

2x – y = 2 ⇔ 2(3) – y = 2 ⇔6–y=2 ⇔-y=2–6 ⇔-y=-4 ⇔y=4

⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔-x=-3 ⇔x=3

Jd, HP = { 3, 4}

Jawab 2)

3x + 5y = 4 … pers.(1) 3x – y = 10 … pers.(2) Harga x = 3 kmd disubstitusikan

Dari pers.(2) didapat :

- y = 10 – 3x ⇔ y = - 10 + 3x … pers.(3) ke pers.(2) : Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :

⇔ 3x + 5y = 4 ⇔ 3x + 5(-10 + 3x) = 4 ⇔ 3x – 50 + 15x = 4 ⇔ 3x + 15x = 4 + 50 ⇔ 18x = 54 ⇔x=3

3x – y = 10 ⇔ 3(3) – y = 10 ⇔ 9 – y = 10 ⇔ - y = 10 – 9 ⇔-y=1 ⇔y=-1

Jd, HP = { 3, - 1 }

Jawab 5x + y = 5 … pers.(1) 17x + y = - 5 … pers.(2) Dari pers.(1) didapat : 3)

y = 5 – 5x … pers.(3)

5 Harga x   6

kmd disubstitusikan ke pers.(1) :

5x + y = 5 5 17x + y = - 5  5( )  y  5 6 ⇔ 17x + 5 – 5x = - 5 25  ( )  y  5 ⇔ 17x – 5x = - 5 – 5 6 ⇔ 12x = - 10 ⇔ - 25 + 6y = 30  10 5 ⇔ 6y = 30 + 25 x  12 6 ⇔ 6y = 55 55 1  y 9 6 6 5 1 HP  { ,9 } 6 6 Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) :

(x6)

Jawab 4)

2p – 3q = 4 … pers.(1) 7p + 2q = 39 … pers.(2) Harga q = 2 kmd disubstitusikan ke pers.(1) :

Dari pers.(1) didapat : 2p – 3q = 4 ⇔ 2p = 4 + 3q

 p

4  3q ...pers.(3) 2

Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) :

⇔ 7p + 2q = 39 4  3q  7( )  2q  39 2 28  21q ( )  2q  39 2

⇔ 28 + 21q + 4q = 78 ⇔ 21q + 4q = 78 – 28 ⇔ 25q = 50 ⇔ q = 2

2p – 3q = 4 ⇔ 2p – 3(2) = 4 ⇔ 2p – 6 = 4 ⇔ 2p = 4 + 6 ⇔ 2p = 10 ⇔p=5

( x 2)

Jd, HP = { 5, 2 }

3. Metode Campuran Pada metode ini, merupakan gabungan dari cara eliminasi dan substitusi. Contoh : a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode campuran !

3x + 4y = 11 … pers.(1) x + 7y = 15 … pers.(2) Jawab : 3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11 x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 - 17y = - 34 ⇔y=2 Harga y = 2 kmd substitusikan ke pers(2) : x + 7y = 15 ⇔ x + 7(2) = 15 ⇔ x + 14 = 15 ⇔ x = 15 – 14 ⇔x=1

Jd, HP = { 1,

b) Tentukan HP Dari Persamaan Linear Berikut Dg Metode Campuran ! 2x + 3y = 1 … pers.(1) 4x – 3y = 11 … pers.(2) Jawab : 2x + 3y = 1 4x – 3y = 11 + ⇔ 6x = 12 ⇔x=2 Harga x = 2 kmd substitusikan ke pers.(1) : 2x + 3y = 1 ⇔ 2(2) + 3y = 1 ⇔ 4 + 3y = 1 ⇔ 3y = 1 – 4 ⇔ 3y = - 3 ⇔y=-1 Jd, HP = { 2, -1 }

1)

2)

5x + y = 5 17x + y = - 5

Jawab

2p – 3q = 4 7p + 2q = 39

Jawab

1)

5x + y = 5 … pers.(1) 17x + y = - 5 … pers(2)

5x + y = 5 17x + y = - 5 - 12x = 10 10 5 x   12 6

5 x 6

Harga kmd disubstitusikan ke pers(1) : 5x + y = 5 5  5( )  y  5 6 25  ( )  y  5 (x6) 6 ⇔ - 25 + 6y = 30 ⇔ 6y = 30 + 25 55 1 ⇔ 6y = 55  y 9 6 6 5 1 HP  { ,9 } 6 6

2)

2p – 3q = 4 … pers.(1) 7p + 2q = 39 … pers(2)

2p – 3q = 4 x 7 7p + 2q = 39 x 2

2p – 3q = 4 ⇔ 2p – 3(2) = 4 ⇔ 2p – 6 = 4 ⇔ 2p = 4 + 6 ⇔ 2p = 10 ⇔p=5

14p – 21q = 28 14p + 4q = 78 - 25q = - 50  50 q 2  25

Jd, HP = { 5, 2 }

4. Metode Determinan Sistem persamaan, misalkan : ax + by = c px + qy = r Menurut aturan determinan diubah mjd : a

b

p q



a b Artinya   p q  a.q  b. p

dan y didefinisikan : c b

dan utk variabel x

a c p r a.r  c. p y   a.q  b. p

r q c.q  b.r x   a.q  b. p

,

4x – 5y = 22 7x + 3y = 15 Kita cari dl determinannya :

4 5   4.3  (5)7  12  35  47 7 3

22  5 x

15

3 

22 .3  (5)15 66  75 141    3 47 47 47

4 22 y

7 15 4.15  22 .7 60  154  94     2  47 47 47

Jd, HP = { 3, -2}

2x – y = 2 3x – 2y = 1 Kita cari dl determinannya : 1)

2

2 1   2(2)  (1)3  4  3  1 3 2

1

1  2 2(2)  (1)1  4  1  3    3  1 1 1 2 2 3 1 2.1  2.3 2  6  4 y    4  1 1 1

x

Jd, HP = { 3, 4}

2)

3x + 5y = 4 3x – y = 10 Kita cari dl determinannya : 4

3 5   3(1)  5.3  3  15  18 3 1

5

10  1 4(1)  5.10  4  50  54    3   18  18  18 3 4 3 10 3.10  4.3 30  12 18 y     1   18  18  18

x

Jd, HP = { 3, -1}