Portofolio tentang Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel ( SPtK2V )
SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL ( SPtKDV ) Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan. Solusi / penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah perpotongan ( irisan ) dari pertidaksamaan – pertidaksamaan yang membentuk sistem tersebut. Grafik dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari masing – masing pertidaksamaan membentuk sistem tersebut. Grafiknya dapat berupa bidang kosong atau bidang yang diarsir. Grafik penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah himpunan titik – titik yang mewakili semua penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Himpunan titik – titik ini disebut daerah himpunan penyelesaian ( DHP ). Daerah tersebut dibatasi oleh kurva pembatas yang membentuk sistem tersebut. Gambar kurva pembatas dibuat dengan aturan sebagai berikut : i. Pertidaksamaan yang memuat lambang
¿ atau< ¿
digambar dengan garis putus – putus. ii.
Pertidaksamaan yang memuat lambang
kurva pembatasnya
≥ dan≤
kurva pembatasnya
digambarkan dengan garis penuh. Selanjutnya, bagian yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu pertidaksamaan biasanya ditandai dengan arsiran atau diwarnai. Hal ini untuk membedakan dengan bagian yang bukan daerah penyelesaian. CONTOH 1 ( Kuadrat – Linear ) Lukislah grafik dari sistem pertidaksamaan kuadrat – linear berikut.
{
2
y ≥ x (Pertidaksamaan Kuadrat ) y< x +2( Pertidaksamaan Linear)
Jawab :
Garis Pembatas buatlah tabel garis pembatas.
y≥ x
2
y < x+ 2
Garis Pembatas X -2 -1 0 1 2
Y 4 1 0 1 4
Sama
Garis Pembatas X -2 -1 0 1 2
Y 0 1 2 3 4
Garisnya putus putus Titik potong
Penentuan titik potong penentuan titik potong dapat dilakukan dengan menggunakan sistem persamaan kuadrat – linear berikut ini.
{
2
y=x y=x+ 2
x 2=x+2
x 2−x−2=0
x=−1→ y=(−1 )2=1 → (−1.1 )
x=2 atau x=−1
x=2 → y=22=4 →(2,4)
Penetapan daerah himpunan penyelesaian (DHP)
+¿ ¿ +¿ ¿ +¿ ¿ y ≥ x2 → ¿
( x−2 ) ( x +1 )=0
+¿ ¿ −¿ ¿ −¿ ¿ y < x+ 2→ ¿
Sketsa grafik Dengan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut disajikan grafik seperti dibawah ini.
CONTOH 2 Gambarlah grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut. 2
y ≥ x + x−2 , Untuk x dan y ϵ R y ≤−x 2+2 x+ 1
Jawab : Garis pembatas Parabola : y = x2 + x – 2 Parabola : y = -x2 + 2x + 1 Titik Potong antarparabola
x 2+ x−2=−x2 +2 x+ 1
2 x 2−x −3=0
3 2 3 3 → y= + −2=1 2 2 4
3 2 Subtitusi x= ke y=x + x−2 2
() () 2
Subtitusi x=−1 ke y =x2 + x−2
→ y =(−1 ) + (−1 )−2=−2
3 x= atau x =−1 2 →
( 32 , 74 ) → (−1,−2 )
Penetapan daerah himpunan penyelesaian (DHP)
parabola :
Parabola :
( 2 x−3 )( x +1 )=0
y ≥ x 2+ x−2
y ≤−x 2+2 x+ 1
+¿ ¿ +¿ ¿ +¿ ¿ →¿ +¿ ¿ −¿ ¿ −¿ ¿ →¿
Sketsa grafik Dengan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut disajikan grafik seperti dibawah ini.
CONTOH 3 ( Lingkaran – Lingkaran ) Lukislah sketsa grafik sistem pertidaksamaan berikut.
x 2+ y 2 ≥ 1 x 2+ y 2 ≤ 9 Jawab.
Lingkaran 1 :
x 2+ y 2 =1→ pusat ( 0,0 ) dan jari− jari=1
Lingkaran 2 :
x 2+ y 2 =9 → pusat ( 0,0 ) dan jari− jari=3
Penentuan daerah himpunan penyelesaian (DHP)
1)
+¿ ¿ +¿ ¿ +¿ ¿ 2 2 x + y ≥1 → ¿
2)
+¿ ¿ −¿ ¿ −¿ ¿ 2 2 x + y ≤ 9→ ¿
Sketsa Grafik Dengan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut disajikan grafik seperti dibawah ini.
CONTOH 4 ( Elips – Kuadrat – Linear ) Lukislah sistem pertidaksamaan berikut. 2
2
9 x +16 y <144 (elips) parabola ¿ ¿ x 2− y +2 x ≤ 3 ¿ ¿ Jawab : Kita melukiskan masing – masing pertidaksamaan dalam satu bidang koordinat.
a. Elips :
9 x 2+16 y 2 <144 ( kurva putus− putus )
Garis pembatas 2
2
9 x +16 y =144 Tes titik (0,1)
0+16<144 16
< 144 ( benar )
b. Parabola : 2
x − y +2 x ≤3
Garis Pembatas
x 2− y +2 x =3 Tes titik (0,1)
0−1+ 0 ≤3
−1 ≤ 3(benar )
c. Garis Lurus
y−x ≥0
Garis pembatas
y−x=0 Tes titik (0,1)
1−0 ≥ 0
1≥ 0( benar)
Sketsa Grafik Dengan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut disajikan grafik seperti dibawah ini.
