Book of study for university 1
1. Sistem Persamaan Persamaan Linear dan Matriks 1.1 PENGERTIAN PENGERTIAN SISTEM SISTEM PERSAMAAN PERSAMAAN LINEAR DAN CARA CARA MENYELESAIKANNYA
Seca Secara ra alja aljabar bar sebu sebuah ah garis garis pada pada bida bidangng- xy dapat dapat dinyat dinyataka akan n oleh oleh sebuah sebuah persamaan yang berbentuk a1 x + a2 y = b (1.1) Persamaan ini dinamakan persamaan linear linear dalam variabel x dan y . Secara umum, Persamaan Linear dengan n variabel x1 , x2 , , xn didefinisikan dengan a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b (1.2) dengan a1 , a2 , , an dan b adalah konstanta – konstanta riil. Perlu dicatat bahwa sebuah persamaan linear tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan derajat pertama dan tidak muncul muncul sebagai sebagai argumen argumen untuk untuk fungsi fungsi trigon trigonomet ometri, ri, fungsi fungsi logarit logaritma, ma, atau atau fungsi fungsi eksponensial . Contoh 1.1 Persamaan – persamaan berikut ini adalah linear : x + 3 y y
=
1 2
=
7
x1 − 2 x2
x + 3 z + 1
− 3 x3 + x4 =
x1 + x2
7
+ + xn = 1
sedangkan berikut ini bukanlah persamaan linear : x + 3 y 2
=
y − sin x
7
=
0
3 x + 2 y − z + xz = 4 x1
+
2 x2
+
x3
=
1
Menyelesaikan persamaan linear (1.2) adalah upaya mendapatkan n bilangan katakan s1 , s2 , , sn sehi sehingg nggaa pers persam amaa aan n (1.2) (1.2) bern bernil ilai ai benar benar.. Arti Artiny nyaa bila bila disubstitusikan nilai-nilai x1 = s1 , x2 = s2 , , xn = sn pada persamaan (1.2) ruas kiri sama sama dengan dengan ruas ruas kanan. kanan. Himpun Himpunan an semua semua bilang bilangan an s1 , s2 , , sn dinamakan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear . Contoh 1.2 Carilah himpunan pemecahan pemecahan setiap persamaan yang berikut : (i) 4 x − 2 y = 1 (ii) x1 − 4 x2 + 7 x3 = 5 Untuk mencari solusi persamaan (i), dapat dilakukan dengan cara menetapkan sembarang nilai untuk x . Kemudian dengan nilai tersebut nilai y dapat diperoleh. Atau
By m.sukma rohim
Book of study for university 2 dengan cara sebaliknya. Sebagai ilustrasi cara yang dimaksud, misalkan sebuah nilai t yang sembarang untuk x , maka diperoleh (1.3)
x
=
t ,
y
=
2t −
1 2
Solusi secara khusus dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai – nilai tertentu untuk t . Misalnya, jika t = 3 maka persamaan persamaan (1.3) menghasilkan menghasilkan x = 3, y = 11 2 dan jika t = −1 2 maka akan diperoleh x = −1 2 , y = −3 2. Untuk mendapatkan solusi dari persamaan (ii) dapat dilakukan dengan cara yang sama sama yait aitu mene meneta tapk pkan an semb sembar aran ang g nil nilai unt untuk dua dua vari variab abel el tert ertentu entu dan dan mensub mensubsit situsi usikan kannya nya ke persam persamaan aan semula semula untuk untuk mendap mendapatk atkan an nilai nilai variab variabel el ketiga ketiga.. Sebagai ilustrasi cara yang dimasksud, misalkan ditetapkan nilai – nilai s dan t untuk masing-masing x2 dan x3 yaitu x2 = s, x3 = t untuk mendapatkan nilai variabel x1 subsitusikan x2 = s dan x3 = t ke persamaan (ii) akan diperoleh x1 = 5 + 4 s − 7t Definisi 1.1 (Sistem Persamaan Linear): Sebuah himpunan berhingga dari persamaan – persamaan linear dalam variabel- variabel x1 , x2 , , xn dinamakan sebuah sistem linear atau sebuah sistem sebuah sistem persamaan linear atau sebuah sistem linear dan ditulis dalam bentuk
(1.4)
a11 x1
+
a12 x2
a21 x1
+
a22 x2
am1 x1
+ +
a1n xn
+ +
a2 n xn
+
=
=
am 2 x2
+ +
b1
amn xn
b2
=
bm
dengan a dan b yang berindeks bawah menyatakan konstanta – konstanta. Persamaan (1.4) disebut sebuah sistem linear yang terdiri dari m persamaan persamaan linear linear dengan n bilangan yang tak diketahui. Berdasarkan definisi di atas sistem linear berikut (1.5)
4 x1
−
x2
+ 3 3 = −1
3 x1
+
x2
+9
x
x3
= −4
mempunyai dua persamaan linear dengan tiga variabel. Persam Persamaan aan (1.5) (1.5) mempuny mempunyai ai solusi solusi x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1 kare karena na nila nilaii – nila nilaii ini ini memenuhi kedua – dua persamaan. Akan tetapi, x1 = 1, x2 = 8, x3 = 1 bukanlah sebuah solusi karena nilai – nilai ini hanya memenuhi persamaan yang pertama dari kedua persamaan di dalam sistem tersebut. Perlu dicatat bahwa tidak tidak semua sistem persamaan linear mempunyai solusi misalnya sistem linear berikut 4
x
+
y
=
x
+
y
=3
Sebu Sebuah ah sist sistem em pers persam amaa aan n yang yang tida tidak k memp mempun unya yaii solu solusi si dika dikata takan kan tak konsist konsisten en (inconsistent ). Seba Sebali likny knyaa sist sistem em yang yang memp mempun unya yaii solu solusi si dina dinama maka kan n konsisten (consistent ).
By m.sukma rohim
Book of study for university 3 Tinjau Tinjaulah lah sebuah sebuah sistem sistem umum umum dari dari dua persam persamaan aan linear linear dalam dalam bilanga bilangan n – bilangan yang tak diketahui x dan y : a1 x + b1 y = c1 ( a1 , b1 ≠ 0 ) (1.6) a2 x + b2 y = c2 ( a2 , b2 ≠ 0 ) Kedua persamaan ini memberikan grafik berbentuk garis lurus. Namakan garis–garis tersebut g 1 dan g 2 . Dari posisi posisi letak letak kedua garis, ada ada tiga kemungkinan kemungkinan yang dapat dibuat yaitu kedua garis sejajar atau kedua garis berhimpit/berpotongan di satu titik atau kedua garis berhimpit/berpotongan berhimpit/berpotongan di banyak titik. titik. Perhatikan Gambar 1.1. g 2 g 1
g 1
g 1
g 2 a. Gambar 1.1
g 2 b.
c.
Dari Gambar 1.1 (a) Tidak ada satu titikpun yang yang bersinggungan/berpotongan antara garis g 1 dan g 2 . Sebagai konsekuensi kondisi ini tidak ada solusi untuk sistem sistem tersebut. (b) Hanya ada satu titik singgung/potong. Konsekuensi kondisi ini ini adalah sistem sistem tersebut persis mempunyai satu solusi. (c) Ada banyak titik singgung/potong yang diberikan kedua garis g 1 dan g 2 . Di dalam kasus ini maka ada banyak solusi untuk sistem tersebut. Dari kemungkinan (b) (b) dan (c), titik ( x, y ) dikatakan terletak pada garis g 1 dan g 2 jika dan hanya jika x dan y memenuhi persamaan-persaman garis pada persamaan (1.6). Hasil yang sama berlaku untuk sembarang sistem. Singkatnya, ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi di dalam mendapatkan solusi sistem persamaan linear yaitu sistem mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi . Kemb Kembal alii kepa kepada da sist sistem em pers persam amaa aan n line linear ar (1.4 (1.4). ). Jika Jika semu semuaa suku suku kons konsta tan n bi ( i = 1, 2,L , m ) sama dengan nol yaitu sistem tersebut mempunyai bentuk
(1.7)
a11 x1
+
a12 x2
a21 x1
+
a22 x2
am1 x1
+ +
a1n xn
=0
+ a2 n xn
=0
+
+
am 2 x2
+ +
amn xn
=0
maka maka sist sistem em persa persama maan an linea linearr (1.7 (1.7)) dika dikata taka kan n seba sebaga gaii Sistem Sistem Persamaa Persamaan n linear linear Homogen. Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa tiap–tiap sistem persamaan linear mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi sama sekali. Berkenaan Berkenaan dengan konsisten konsisten atau tidak konsisten, konsisten, sistem persamaan persamaan (1.7) adalah sistem sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0, , xn = 0 selalu merupakan sebuah solusi. Solusi
By m.sukma rohim
Book of study for university 4 tersebut dinamakan dinamakan solusi trival ( trival (trival solution). solution). Selanjutnya jika ada solusi lain, maka non-trivial (non-trival solution). solution). solusi tersebut dinamakan solusi dinamakan solusi non-trivial ( Untuk sebuah sistem persamaan linear homogen salah satu diantara pernyataan berikut bernilai benar. 1. Sistem Sistem tersebu tersebutt hanya mempun mempunyai yai pemecah pemecahan an trivial trivial.. 2. Sistem Sistem tersebut tersebut mempunya mempunyaii tak terhin terhingga gga banyaknya banyaknya pemecah pemecahan an yang tak trivial trivial sebagai tambahan kepada pemecahan trivial tersebut. Pada kasus khusus dimana sebuah sistem homogen dipastikan mempunyai solusi nontrivial yaitu ketika sistem tersebut memiliki variabel lebih banyak daripada persamaan yang dilibatkan.
1.2 PENULISAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BENTUK MATRIKS Definisi 1.2 (Matriks}: Sebuah matriks adalah sebuah susunan segi empat siku–siku dari bilangan–bilangan yang disebut entri. entri.
Contoh 1.3: Susunan berikut adalah matriks.
By m.sukma rohim
Book of study for university 5
1 2 −2 π e 1
[] [
3 0 2 1 0 −3 3 2 0 4 3 −1 4 0 0 0 1
Dari contoh matriks di atas, ukuran sebuah matriks dinyatakan dengan menyatakan baris (arah horisontal) dan banyaknya kolom (arah vertikal) yang terdapat di dalam matriks tersebut. Matriks pertama di dalam Contoh 1.3 mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya dinyatakan dengan "3x2". Angka "3" menunjukan banyaknya baris dan angka "2" menun menunju jukk kkan an bany banyak akny nyaa kolom kolom.. Lebi Lebih h lanj lanjut ut,, pada pada Cont Contoh oh 3 matr matrik ikss yang yang berikutnya berturut – turut berukuran "1x4", "3x3", "2x1", dan "1x1". Pada Pada kont kontek ekss matr matrik ikss umum umumny nyaa digun digunak akan an huru huruf– f–hu huru ruf f bold-uppercase (misalnya, A, B, C, dst) untuk menyatakan suatu matriks dan digunakan huruf–huruf lowercase (a, b, c, dst) untuk menyatakan skalar menyatakan skalar (kuantitas–kuantitas (kuantitas–kuantitas numerik). Sebagai contoh dari ketentuan ini penulisan matriks 2 i 7 a b c atau = A= C d e f 3 4 2 adalah dibenarkan. Sebaliknya penulisan matriks sebagai berikut 2 I 7 A b c atau c = A= D 4 2 d e F adalah salah.
By m.sukma rohim
Book of study for university 6 Bila digunakan notasi notasi aij untuk menyatakan entri dengan posisi baris ke- i dan kolom ke- j dari matriks A , maka sebuah matriks A matriks A berukuran 3x4 dapat ditulis sebagai a11 a12 a13 a14
a23 a24 a31 a32 a33 a34
A = a21 a22
Deng Dengan an cara cara yang yang sama sama sebu sebuah ah matr matrik ikss B berukuran bij ( i = 1, 2,L , n; j = 1, 2,L , m ) dapat dituliskan sebagai
m x n
deng dengan an entr entrii
b11 b12 L b1n b b L b 21 22 2n B= MM M bm1 bm2 L bmn Tinjau kembali sistem persamaan linear (1.4). Penulisan indeks bawah ganda pada skalar aij adalah menyatakan posisi di dalam sistem tersebut. Indeks bawah pertama (i (i) pada skalar aij menunjukan letak persamaan dimana bilangan tersebut muncul dalam hal ini aij berada pada persamaan ke-i ke-i. Selanjutnya indeks bawah kedua ( j) j) menunjukan j. Sebaga koefisi koefisien en untuk untuk variab variabel el ke- j. Sebagaii contoh contoh,, skalar skalar a12 terdapat terdapat dalam persamaan pertama dan merupakan koefisien dari variabel x2 . Dengan beranggapan bahwa pada sistem persamaan (1.4) tanda "+ ", dan tanda " = " sebagai pemisah pemisah antar kolom, maka sistem sistem tersebut tersebut dapat disingkat disingkat dengan hanya menuliskan susunan empat persegi panjang dari skalar-skalarnya:
a a am
a a1n b1
1 1 1 2
a
2 1 2 2
(1.8)
1
am2
an b am bn m 2
2
matrikss yang yang diperbe diperbesar sar (augmen (augmented ted matrix matrix)) untuk sistem Susuna Susunan n ini dinama dinamakan kan matrik sistem terseb tersebut. ut. Perlu Perlu diingat diingat bahwa bahwa anggapa anggapan n di atas bukanla bukanlah h alasan alasan matemat matematis is untuk untuk menulis matriks augmented tersebut. tersebut. Alasan yang sebenarnya akan dibicarakan dibicarakan pada bab berikutnya. Untuk sistem sistem persamaan linear berikut berikut
By m.sukma rohim
Book of study for university 7 x1
(1.9)
+
x2
x3
+2
x2
=
9
2 x1
+4
−3 3 =1
3 x1
+6
−5
x2
x
x3
=
0
matriks yang diperbesar adalah
1 1 2 9 2 4 − 3 1 3 6 − 5 0 Ide dasar untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear adalah mengganti sistem tersebut dengan sebuah sistem yang baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama, tetapi lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem baru yang dimaksud umumnya diperoleh dengan operasi-operasi: 1. Mengalikan Mengalikan sebuah sebuah persamaa persamaan n dengan sebuah sebuah konstanta konstanta yang yang tak sama sama dengan dengan nol. 2. Memper Mempertuk tukark arkan an dua persam persamaan. aan. 3. Menambahkan Menambahkan kelipat kelipatan an dari satu persamaan persamaan kepada kepada yang lainnya. lainnya. Operasi – operasi ini dinamakan operasi baris elementer. Contoh berikut melukiskan bagaimana operasi – operasi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear linear (disad (disadur ur dari dari buku Element Elementary ary Linear Linear Algebr Algebraa by Howard Howard Anton Anton alih alih bahasa bahasa Pantur Silaban, 1981). Contoh 1.4 Pada kolom sebelah kiri sebuah sistem persamaan linear (persamaan (1.8)) diselesaikan dengan melakukan operasi – operasi pada persamaan tersebut. Sedangkan pada kolom sebelah kanan sistem yang sama terlebih dahulu diterjemahkan dalam bentuk matriks yang diperbesar lalu dilakukan operasi–operasi pada baris-baris dari matriks tersebut.
x + y
+ 2 z = 9
2 x + 4 y
− 3 z = 1
3 x + 6 y − 5 z = 0
By m.sukma rohim
1 1 2 9 2 4 − 3 1 3 6 − 5 0
Book of study for university 8 Tambahkan –2 kali persamaan pertama kepada persamaan kedua untuk mendapatkan
+2
z = 9
x + y 2 y
−7
z = −17
3 x
+6
y
−5
z = 0
Tambahkanlah –3 kali persamaan pertama kepada persamaan ketiga untuk mendapatkan
x
2 z =9
y
+
+
2 y
−
7 z = −17
3 y
−
11 z = −27
Kalikanlah persamaan kedua dengan ½ untuk mendapatkan
x + y
z = 9
+2
17 z = − 2 2 3 y −11 z = −27
y
−
7
Tambahkanlah –3 kali persamaan kedua kepada persamaan ketiga untuk mendapatkan
By m.sukma rohim
Tambahkanlah –2 kali baris pertama kepada baris kedua untuk mendapatkan
1 1 2 0 2 − 7 3 6 − 5
9
− 1 0
Tambahkanlah –3 kali baris pertama kepada baris ketiga untuk mendapatkan
1 1 2 9 0 2 − 7 − 1 0 3 − 1 1 − 2 Kalikanlah baris kedua dengan ½ untuk mendapatkan
1 0 0
1 2 1 3
9
7 1 − − 2 2 − 1 1 − 2
Tambahkanlah –3 kali baris kedua kepada barais ketiga untuk mendapatkan
Book of study for university 9 x + y + 2 z = 9 17 z = − 2 2 1 3 − z = − 2 2
y −
1 0 0
1 1
7
9 1 7 − 2 3 − 2
2
−
7 2
0
−
1 2
Kalikanlah persamaan ketiga dengan -2 untuk mendapatkan x + y y
1 0 0
−
1 2 1 0
Kalikanlah baris ketiga dengan –2 untuk mendapatkan
z = 9
+2
7
17 z = − 2 2 z = 3
9
7 1 − − 2 2 1 3
Tambahkanlah –1 kali persamaan kedua kepada persamaan pertama untuk mendapatkan
By m.sukma rohim
Tambahkanlah –1 kali baris kedua kepada baris pertama untuk mendapatkan
Book of study for university 10
x
11 35 z = 2 2 7 17 y − z = − 2 2 z = 3 +
11
Tambahkanlah −
2
kali persamaan
baris Ketiga kepada persamaan pertama dan
7 2
kali persamaan ketiga persa-
kepada maan kedua untuk mendapatkan
x
=1 y =2 z = 3
1 0 0
3 5
1 1
0
1 7 − 2 3
2 1
−
2
7 2
0
1
11
Tambahkanlah −
2
kali
ketiga kepada baris pertama dan
7 2
kali
baris
ketiga
baris kedua untuk mendapatkan
1 0 0
0 0 1 1 0 0 1
2 3
Jadi, solusi sistem persamaan linear (1.9) adalah x = 1, y = 2, z = 3 Contoh berikut ditujukan kepada sistem persamaan linear homogen. Pada contoh ini akan diperlihatka diperlihatkan n bahwa mengapa sistem sistem dengan variabel lebih banyak daripada persamaan memiliki solusi non-trivial. Contoh 1.5 Selesaikanlah sistem persamaan linear homogen berikut dengan menggunakan operasi baris elementer.
By m.sukma rohim
Book of study for university 11 2 x1
(1.10)
2 x2
−
x3
x1 + x2
+
2 x3
x1 + x2
−
2 x3
−
+
x3
−
+
3 x4
+
x5
=
0
+
x5
=
0
x5
=
0
−
x4
+
x5
=
0
variabel dan empat persamaan persamaan.. Matriks Perhatikan bahwa sistem (1.11) memiliki lima variabel yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
2 2 −1 0 1 − 1 − 1 2 − 3 1 1 1 −2 0 −1 0 0 1 1 1
0
0 0 0
Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris yang direduksi, maka kita mendapatkan
1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0
Sistem persamaan yang bersangkutan adalah x1 + x2
(1.11)
+
x3
+
x4
x5
x5
=
0
=
0
=
0
Dengan memecahkannya untuk variabel – variabel utama maka akan menghasilkan
By m.sukma rohim
Book of study for university 12 (1.12)
x1
=−
x2
x3
=− 5
x5
−
x 0
x4 =
Dengan demikian himpunan penyelesaian sistem (1.10) adalah x1 = − s − t , x2 = s, x3 = −t , x4 = 0, x5 = t (1.13) Dengan memilih nilai s = t = 0 , pemecahan trival dapat diperoleh.
m Cont Contoh oh 1.5 1.5 memb member erik ikan an gamb gambar aran an bahw bahwaa sist sistem em homoge homogen n denga dengan n persamaan dan n peubah (bilangan yang tidak diketahui) dan m < n . Dalam hal ini jika ada r baris yang tidak nol di dalam bentuk eselon baris yang direduksi dari matriks yang diperbesar maka r < n yang berarti akan ada banyak solusi solusi yang diperoleh. Dari kondisi ini lahirlah teorema berikut: Teorema 1.1. Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan bila banyak bilangan yang yang tak diketa diketahui hui melebi melebihi hi banyakn banyaknya ya persama persamaan an selalu selalu mem mempun punyai yai tak terhin terhingga gga banyaknya solusi. 1.3 METODE METODE MENYELESAIK MENYELESAIKAN AN SISTEM PERSAMAAN LINEAR: ELIMINASI GAUSS
Metode Eliminasi Eliminasi Gauss didasarkan didasarkan pada pemikiran untuk mereduksi mereduksi matriks yang dipe diperb rbes esar ar menj menjadi adi sebu sebuah ah bent bentuk uk yang yang cukup cukup sede sederh rhan anaa sehi sehingg nggaa suat suatu u sist sistem em persamaan dapat diselesaikan dengan memeriksa sistem tersebut. Di dalam langkah terakhir dari Contoh 1.4 diperoleh bentuk matriks berikut ini
1 0 0
0 0 1 1 0 0 1
2 3
Bentuk matriks seperti ini adalah sebuah contoh dari suatu matriks yang dikatakan dalam bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form). Perhatikan bentuk-bentuk matriks dalam contoh berikut Contoh 1.6 Diberikan sejumlah matriks dalam bentuk sebagai berikut
By m.sukma rohim
Book of study for university 13 0 0 4 1 0 1 0 7 , 0 0 1 −1
0 1 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 1 0
1 −2 0 1
, 0 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3
Matriks–matriks tersebut dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi . Kemudian sejumlah contoh matriks dalam bentuk berikut
1 4 3 7 10 012 60 0 1 6 2, 0 1 0, 0 1 0 0 150100 1 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris . Dari dua bentuk matriks yang berbeda di atas, suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi bila entri aij tersusun sebagai berikut 1. Entri pada baris ke-i ke-i tidak seluruhnya bernilai nol tetapi bilangan tak nol pertama di j terkecil adalah 1 (baca: 1 utama). utama). Bila dalam baris tersebut untuk urutan kolom ke- j kondisi ini terpenuhi maka baris tersebut ditempatkan di baris ke-i ke- i terkecil. Hal yang sama dilakukan pada kolom ke- j j terkecil berikutnya untuk diletak pada baris ke-i ke-i terkecil berikutnya lagi. Demikian untuk seterusnya.
By m.sukma rohim
Book of study for university 14 2. Jika Jika ada satu atau lebih lebih baris baris yang seluruh seluruh entri-e entri-entr ntriny inyaa bernil bernilai ai nol, maka baris tersebut ditempatkan di baris-baris akhir matriks. 3. Matriks Matriks pada sembarang sembarang dua baris baris yang yang berturutan berturutan yang yang tidak tidak terdiri terdiri seluruhnya seluruhnya dari dari nol, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari pada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. 4. Setiap Setiap kolom yang yang mengandung mengandung sebuah sebuah 1 utama utama mempunyai mempunyai nol nol ditempat ditempat lain. lain. Sebuah matriks yang mempunyai sifat–sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris (row-echelon form). Contoh 1.7 Matriks–matriks berikut berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi.
By m.sukma rohim
Book of study for university 15
1 0 0 4 10
01 201
0 013 0 0 1 0 7, 0 1 0, , 0 00 0 0 1 01 0 00
Matriks – matriks yang berikut berada di dalam bentuk eselon baris.
By m.sukma rohim
Book of study for university 16
1 4 3 7 10 012 60 0 1 6 2, 0 1 0, 0 1 0 0 150100 1 Melalui pemeriksaan setiap matriks di atas memenuhi semua p ersyaratan yang perlu. Perlu Perlu diinga diingatt bahwa bahwa sebuah sebuah matrik matrikss dikata dikatakan kan dalam dalam bentuk bentuk eselon eselon baris baris ia harus harus mempunyai nilai nol di bawah setiap 1 utama. Sebaliknya suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris yang direduksi ketika ia mempunyai nilai nol di atas dan di bawah setiap 1 utama. Suatu Suatu siste sistem m persam persamaan aan linear linear yang yang diterj diterjema emahka hkan n ke dalam dalam matrik matrikss yang yang diperbesar yang oleh sebuah urutan operasi baris elementer matriks tersebut berbentuk eselon baris baris yang direduksi direduksi maka solusi solusi untuk sistem sistem tersebut tersebut dapat dengan dengan mudah diperoleh. Perhatikan contoh berikut. Contoh 1.8 Matriks yang diperbesar berikut merupakan hasil reduksi oleh operasi baris elementer dari suatu sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti apa yang diberikan. Tentukan solusi sistem tersebut.
By m.sukma rohim
Book of study for university 17
a)
c)
1 0 0 1 0 0 0
0 0 5 1 0
0 −2 1 4
b)
6 0 0 4 − 2 0 1 0 3 0 0 1 5 0 0 0 0
1 2 0
1 0 0
d)
0 0 4 − 1
1 0 0
1 0 2 0 1 3
6 2
0 0 0
0 1
1 2 0 0
Penyelesaian: (a). (a). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah = 5
x1
= −2
x2
x3 = 4
Dengan pemeriksaan maka, x1 = 5,
x2 = −2,
x3 = 4
(b). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah x1 x2 x3
+
4 x4
=
−1
+
2 x4
=
6
+
3 x4
=
2
Karena x1 , x2 dan x3 bersesuaian dengan 1 utama di dalam matriks augmented, variabels). Dengan memecahkan maka ia dinamakan variabel–variabel utama (leading variabels) variabel – variabel utama tersebut dalam x4 diperoleh (1.14)
By m.sukma rohim
1 − 4 x4
x1
= −
x2
=
6 − 2 x4
x3
=
2 − 3 x4
Book of study for university 18 Karena x4 dapat dapat diberi diberikan kan sebara sebarang ng nilai, nilai, katanl katanlah ah t , maka maka kita kita memp mempuny unyai ai tak tak terhin terhingga gga banyakn banyaknya ya pemecah pemecahan. an. Himpuna Himpunan n pemeca pemecahan han ini diberi diberikan kan oleh oleh rumus rumus – rumus x1 = −1 − 4t , x2 = 6 − 2t , x3 = 2 − 3t , x4 = t (1.15) (c). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah x1 + 6 x2 x3
(1.16)
x4
+
4 x5
+
3 x5
=
1
+
5 x5
=
2
=
−
2
Di sini variabel–variabel utama adalah x1 , x3 dan x4 . Dengan memecahkan variabelvariabel dalam variabel lainnya maka akan memberikan (1.17)
x1
= −2 − 4
x3
=
1 − 3 x5
x4
=
2 − 5 x5
x5
−6
x2
Karena x5 dapat diberikan sebarang nilai t , dan x2 dapat diberika sebarang nilai s , maka maka akan akan ada tak terhin terhingga gga banyak banyaknya nya pemeca pemecahan han.. Himpuna Himpunan n pemeca pemecahan han terseb tersebut ut diberikan oleh rumus – rumus x1 = −2 − 4t − 6 s, x2 = s, x3 = 1 − 3t , x4 = 2 − 5t , x5 = t (1.18) (d). (d). Persam Persamaan aan terakhi terakhirr di dalam dalam sistem sistem persam persamaan aan – persam persamaan aan yang yang bersan bersangkut gkutan an adalah 0 x1 + 0 x2
+
0 x3
=
1
Karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut. Dari uraian di atas, sebuah sistem persamaan linear akan mudah diselesaikan ketika ketika matrik matrikss augmen augmented ted berada berada dalam dalam bentuk bentuk eselon eselon baris baris yang yang direduk direduksi. si. Untuk Untuk sampai kepada matriks eselon baris tereduksi ada prosedur yang biasanya dipakai yang eliminasi Gauss-Jordan Gauss-Jordan Prosed dikenal dikenal dengan dengan nama nama eliminasi Prosedur ur ini dapat dapat digunak digunakan an untuk untuk mereduksi sebarang matriks menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Contoh berikut mendemonstrasikan prosedur yang dimaksud.
0 0 − 2 0 7 1 2 4 − 1 06 1 22 2 4 − 5 6 − 5 − 1 Langkah 1.
Letakkanlah kolom yang paling kiri (garis vertikal) yang tidak terdiri seluruhnya dari nol.
By m.sukma rohim
Book of study for university 19
0 0 − 2 0 7 1 2 4 − 1 06 1 22 2 4 − 5 6 − 5 − 1 Perhatikan bahwa baris pertama tidak bernilai nol pada kolom pertama (paling kiri).
Langkah 2.
Pertukarkanlah baris atas dengan sebuah baris lain, jika perlu, membawa sebua sebuah h entr entrii tak tak nol nol ke atas atas kolom kolom yang yang didap didapat atkan kan di dala dalam m
langkah 1.
2 4 − 1 06 1 2 2 0 0 − 2 0 7 1 2 4 − 5 6 − 5 − 1 Langkah 3.
Baris
pertama
di dalam
matriks
dipertukar
kan
dan baris
kedua
terdahulu
Jika Jika entr entrii yang yang seka sekara rang ng ada ada diat diatas as kolo kolom m yang yang dida didapat patka ka di dala dalam m a 1 langkah 1 adalah , kalikanlah baris pertama dengan untuk memperoleh sebuah 1 utama. a
1 2 − 5 3 6 1 0 0 − 2 0 7 1 2 4 − 5 6 − 5 − 1 By m.sukma rohim
Baris pertama dari matriks terdahulu dikalikan dengan 1
2
Book of study for university 20 Langkah 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris atas kepada baris – baris yang dibawah sehingga entri di bawah 1 utama menjadi nol.
1 2 − 5 3 6 1 0 0 − 2 0 7 1 0 0 5 0 − 1 7− 2
−2 kali
baris
terdahulu baris
pertama
ditambakan
dari
matriks
kepada
ketiga
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 yang dipakaikan kepada submatriks yang masih sisa. Teruskanlah dengan cara ini sampai keseluruhan matriks matriks tersebut tersebut berada di dalam bentuk eselon baris.
1 2 − 5 3 6 1 0 0 − 2 0 7 1 0 0 5 0 − 1 7− 2 Perhatikan baris kedua kolom paling kiri ia harus menjadi 1 utama
By m.sukma rohim
Book of study for university 21
1 2 − 5 3 6 1 0 0 1 0 − −6 0 0 5 0 − 1 7− 2 7 2
Baris pertama di dalam submatriks dikalikan dengan − 12
untuk mendapatka n
sebuah 1 utama
1 2 − 5 3 6 1 0 0 1 0 − − 6 0 0 0 0 1
baris
1 2 − 5 3 6 1 0 0 1 0 − − 6 0 0 0 0 1
ditutupi
7
2
5 kali
−
Baris
submatriks untuk
pertama
dari
ditambahka
kedua
n kepada
dari
submatriks
mendapatka
n sebuah
dibawah
1 utama .
1
2
7
2
Baris sekali
atas
didalam
dan lagi
kita
submatriks kembali
ke langkah
1.
1
2
Perhatikan bahwa baris terakhir kolom paling kiri tidak bernilai 1 utama
By m.sukma rohim
nol
Book of study for university 22
1 2 − 5 3 6 1 0 0 1 0 − −6 0 0 0 0 1 2
Baris
7
pertama
pertama
) di dalam
yang baru
2
untuk
( dan hanya
submatriks
dikalikan
mendapatka
baris
dengan
2
n sebuah
1 utama
Keseluruhan matriks tersebut sekarang berada dalam bentuk eselon baris. Untuk mencari bentuk bentuk eselon eselon baris baris yang yang direduk direduksi si maka maka kita kita memerl memerluka ukan n langkah langkah tambah tambahan an yang yang berikut. Langkah 6.
Dengan Dengan memula memulaii dari dari baris baris tak nol terakh terakhir ir dan bekerj bekerjaa kearah kearah atas, atas, tambahkanlah angka pengali yang sesuai dari setiap baris kepada baris – baris yang diatas diatas untuk mendapatkan nol diatas 1 utama.
1 2 − 5 0 0 1 0 0 0
3 6 1 0 0 0 1
1 2 − 5 3 0 0 1 0 0 0 0 0 By m.sukma rohim
1 2
7
2
kali baris ketiga dari matriks
terdahulu ditambahka n kepada baris kedua.
0 2 0 1
1 2
6 kali
−
baris
ditambahka baris
ketiga
n kepada
pertama
.
Book of study for university 23
1 2 0 0 0 0
0 3 0 7 1 0 0 0 0 1
1 2
5 kali baris
kedua
ditambahka
n kepada
baris
pertama
.
Matriks yang terakhir berada dalam bentuk eselon e selon baris yang direduksi. Contoh 1.9 Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
(1.19)
x1
+
3 x2
−
2 x3
2 x1
+
6 x2
−
5 x3
5 x3 2 x1
+
6 x2
+ − +
2 x4
2 x5 +
4 x5
10 x4
+
8 x4
− +
+
4 x5
0
=
3 x6
1
= −
15 x6
=
5
18 x6
=
6
+
Matriks yang diperbesar untuk sitem tersebut adalah.
1 2 0 2
3 − 2 0 2 0 0 6 0 6
− 5 − 2 4 − 3 − 1 5 1 0 0 1 5 5 0 8 4 1 8 6
Dengan menambahkan –2 kali baris pertama kepada baris pertama dan keempat maka akan memberikan
By m.sukma rohim
Book of study for university 24
1 0 0 0
3 − 2 0 2 0 0 0
−1 −2
0
0
5 1 00
0 4 8 0
− 3 − 1 1 5 5 1 8 6
Dengan mengalikan baris kedua dengan –1 dan kemudian menambahkan –5 kali baris kedua kepada baris – baris ketiga dan –4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan
1 3 − 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 2 0 3 0 0 0 0 0 6
1 0 2
Dengan mempertukarkan baris ketiga dan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris
By m.sukma rohim
Book of study for university 25
1 3 − 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 2 0 3 0 0 1 0 0 0
1 1 3 0
Deng Dengan an mena menamb mbah ahka kan n – 3 kali kali bari bariss keti ketiga ga kepa kepada da bari bariss kedu keduaa dan dan kemu kemudi dian an menambahkan menambahkan 2 kali baris baris kedua kedua dari matri matriks ks yang dihasil dihasilkan kan kepada baris pertam pertamaa maka akan menghasilkan bentuk eselon baris yang direduksi
1 0 0 0
3 0 4 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0
1
3
Sistem persamaan – persamaan yang bersangkutan adalah x
1
+
3 x2 x
3
+
4 x4
+
2 x4
+
2 x5
x
6
=
0
=
0
=
1 3
(Persamaan (Persamaan terakhir, terakhir, 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 0, diabaikan diabaikan karena persamaan tersebut akan secara otomatis dipenuhi oleh pemecahan persamaan lainnya). Dengan memecahkannya untuk variabel – variabel utama, maka diperoleh
By m.sukma rohim
Book of study for university 26
(1.20)
3 x2
x1
= −
x3
= −
x6
=
−
4 x4
+
2 x5
2 x4
1 3
Jika kita menetapkan nilai – nilai sebarang r , s, dan t berturut – turut untuk x2 , x4 , dan x s , maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus – rumus (1.21)
x1
=
−
3r 4 s 2t , −
−
x2
=
r , x3
=
−
2 s,
x4
=
s, x5
=
t ,
x6
=
1 3
Selain metode yang telah dikemukan di Contoh 1.9, metode lain yang dapat digunakan substit titusi usi balik balik ( back back subst substitu itutio tion n ). Metode adalah metode metode subs Metode ini bekerja bekerja dengan dengan baris. Untuk mengubah matriks yang diperbesar ke dalam bentuk eselon bentuk eselon baris. jelasnya berikut diperagakan metode subsitusi balik untuk sistem yang ada pada Contoh 1.9. Dari perh perhit itung ungan an di dala dalam m Cont Contoh oh 1.9, 1.9, sebua sebuah h bent bentuk uk esel eselon on bari bariss dari dari matr matrik ikss yang yang diperbesar adalah
1 3 − 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0
1 1 3 0
2 0 3 0 0 1 0 0 0
Sistem persamaan yang diberikan oleh matriks di atas ad alah x + 1
3 x2
−
2 x3 x + 3
+
2 x4
2 x5 +
=
0
3 x6
=
1
x
=
6
1 3
Metode subsitusi balik dapat dijelaskan sebagai berikut: Langkah 1. Selesaikanlah persamaan – persamaan tersebut untuk variabel – variabel utama yaitu x1 = − 3 x2 + 2 x3 − 2 x5
x3 = 1 − 2 x4 − 3 x6 x6 =
By m.sukma rohim
1 3
Book of study for university 27 Langkah 2. Dimulai Dimulai dengan persamaan persamaan terakhir terakhir kemudian secara bertahap bertahap menuju ke persamaan persamaan paling paling atas, atas, substitusi substitusikan kan berturut–t berturut–turut urut nilai masing-masi masing-masing ng peubah terkait terkait ke setiap persamaan di atasnya. =1
Dengan mensubstit mensubstitusika usikan n x6 menghasilkan
3
keda kedala lam m pers persam aman an kedu keduaa maka maka akan akan
x1 = − 3 x2 + 2 x3 − 2 x5 x3 = − 2 x4 x6 = Dengan mensubstit mensubstitusika usikan n menghasilkan
1 3
x3
= −2
x1
= −
x3
= −
x6
=
x4
3 x2
keda kedala lam m −
4 x4
pers persam amaa aan n
pert pertam amaa
maka maka akan akan
2 x5
−
2 x4
1 3
Langkah 3. Tetapkanlah nilai – nilai sebarang kepada setiap variabel yang tak utama. Jika nilai – nilai sembarang katakanlah r , s, dan t berturut – turut untuk x2 , x4 , dan x5 , himpunan penyelesaian tersebut diberikan oleh rumus – rumus berikut
(1.22)
x1
=
−
3r 4 s 2t , −
−
x2
=
r , x3
=
2 s,
−
x4
=
s, x5
=
t ,
x6
=
1 3
Bandingkan hasil ini dengan hasil sebelumnya pada Contoh 8. Pada kedua metode yang telah dibicarakan di atas, upaya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris Gauss. dinamakan Eliminasi dinamakan Eliminasi Gauss. Contoh 1.10 Gunakan Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut x + y
(1.23)
+2
z = 9
2 x
+4
y
−3
z = 1
3 x
+6
y
−5
z = 0
Penyelesaian. Penyelesaian. Ini adalah sistem di dalam Contoh 1.3. Di dalam contoh tersebut kita mengubah matriks yang diperbesar
By m.sukma rohim
Book of study for university 28
1 1 2 9 2 4 − 3 1 3 6 − 5 0 menjadi bentuk eselon baris
1 1 2 7 0 1−2 0 0 1
9
− 2 3
1 7
Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah x + y + 2 z = 9 y − 72 z = 1 z = 3
Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk peubah-peubah utama diperoleh x = 9 − y − 2 z y = − 172 + 72 z z = 3
Mensubstitusikan persamaan terakhir ke persamaan kedua diperoleh bentuk x
=3 −
y
=
y
2
z = 3
Mensubstitusikan persamaan terakhir dan kedua ke persamaan pertama diperoleh x
(1.24)
y z
By m.sukma rohim
=
1
=
=
2
3
Book of study for university 29 Bandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh dalam Contoh 3.
1.4 OPERASI OPERASI MATRIKS MATRIKS
Dua matriks dikatakan sama dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai sama ukuran dan sama nilai entri – entrinya di baris-kolom yang bersesuaian dikedua matriks.
Contoh 1.11 Perhatikan tiga matriks berikut
2 1 B= 3 4
A=
2 1 3 5 C =
2 1 0 3 4 0
Di sini A ≠ C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena alasan yang sama maka B ≠ C . Juga, A ≠ B karena tidak semua entri yang bersangkutan sama.
Definisi 1.3 (Pejumlahan Dua Matriks): Jika A dan B adalah matriks yang berukuran sama, maka jumlah maka jumlah kedua matriks ( A + B ) adalah matriks baru yang diperoleh dari menambahkan nilai-nilai entri pada baris-kolom yang bersesuaian. Matriks – matriks matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan. dijumlahkan.
Contoh 1.12 Tinjaulah matriks – matriks
2 1 0 3 A = −1 0 2 4 4 −2 7 0
−4 3 5 1 B = 2 2 0 −1 3 2 − 4 5
1 1 2 2
C=
Maka
−2 4 5 4 A+B= 1 2 2 3 7 0 3 5 sedanngkan A + C dan B + C tidak didefinisikan. Definisi 1.4 (Perkalian Matriks dengan sebuah Skalar/Konstanta): Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar/ko skalar/konstant nstanta, a, maka hasil kali matriks dengan kalar/konstanta tersebut ( c A ) adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri dari A dengan sklar c . By m.sukma rohim
Book of study for university 30 Contoh 1.13 Jika A adalah matriks
4 2 A= 1 3 −1 0
maka
8 4 2Α = 2 6 −2 0
dan
−4 − 2 ( − 1) A = − 1 − 3 1 0
Catatlah bahwa jika B adalah sembarang matriks, maka −B akan menyatakan ( −1) B dan jika A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A - B didefinisikan sebagai jumlah A + ( -B ) = A + ( -1 ) B. Contoh 1.14 Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut
2 3 4 1 2 1
A=
dan
0 2 7 B= 1 −3 5
Dari catatan di atas maka
0 −2 −7 −B = −1 3 −5 dan
2 3 4 0 −2 − 7 2 1 − 3 A-B = + = 1 2 1 −1 3 −5 0 5 − 4 atau
2 3 4 0 2 7 2 − 0 3 − 2 4 − 7 2 1 − 3 A-B = − 1 3 5 = 1 − 1 2 + 3 1− 5 = 0 5 − 4 1 2 1
Definisi 1.5 (Perkalian Dua Matriks):
By m.sukma rohim
Book of study for university 31 Pertimbangkan A dan B adalah adalah dua buah buah matri matriks ks yang yang berukur berukuran an masing masing-ma -masin sing g m x r dan r x n yaitu a11 a12 L a1 r b11 b12 L b1n
a a22 L 21 A= M M O am1 am2 L
M amr a2 r
b b L 21 22 B= M M O br1 br 2 L
dan
Perhatikan ukuran kolom A = ukuran baris B . Hasil kali A dengan B (katakanlah C ) yaitu yaitu didefinisikan sebagai
AB = C
M brn
b2 n
adalah adalah matrik matrikss baru baru yang yang
r C = cij = ∑ ail blj l 1 =
dengan i = 1,2,K m j = 1,2,K n Untuk pemahaman sederhana, misalkan ingin diketahui entri c23 dari matriks c21 =
r
∑a
b = a21 b11 + a22 b21 + L + a2 r br1
2 l l1
C
yaitu
l =1
sebagai ilustrasi dengan bentuk matriks adalah sebagai berikut
a11 a12 L a1r b11 b12 a a a b b22 L 2 r 21 21 22 AB = M M O M M M am1 am2 L amr br1 br 1
L L O L
c11 c12 b2 n c21 c22 = M M M brn c m1 cm2 b1n
L
c1 n
L
c2 n
O L
=C M c21
Contoh 1.15 Tinjaulah matriks – matriks
4 1 4 3 1 2 4 A= B = 0 −1 3 1 2 6 0 2 7 5 2 Di sini A berukuran berukuran 2x3 dan B berukuran 3x4, maka hasil kali AB = C berukuran 2x4. Pada C , misalnya entir di dalam baris 1 dan kolom 3 dengan cara sebagai berikut c13 =
r =3
∑a b 1l
l 3
= a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 = 1⋅ 4 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 = 30
l =1
Dengan cara yang sama akan diperoleh hasil sebagai mana ditunjukkan berikut ini
By m.sukma rohim
Book of study for university 32 c11 = ( 1 ⋅ 4 ) + ( 2 ⋅ 0 ) + ( 4 ⋅ 2) = 12 c12 = ( 1 ⋅1) − ( 2 ⋅ 1) + ( 4 ⋅ 7 ) = 27 c14 = ( 1 ⋅ 4 ) + ( 2 ⋅ 3) + ( 4 ⋅ 5) = 30 c21 = ( 2 ⋅ 4 ) + ( 6 ⋅ 0 ) + ( 0 ⋅ 2) = 8 c22 = ( 2 ⋅ 1) − ( 6 ⋅ 1) + ( 0 ⋅ 7 ) = − 4 c23 = ( 2 ⋅ 4 ) + ( 6 ⋅ 3) + ( 0 ⋅ 5) = 26 c24 = ( 2 ⋅ 3) + ( 6 ⋅ 1) + ( 0 ⋅ 2 ) = 12
Secara keseluruhan hasil
AB = C dalam
bentuk matriks ditulis sebagai
4 1 1 2 4 AB = 0 −1 2 6 0 2 7
3
4
12 27 1 = 8 −4 2
3 5
13
30
=C
26 12
(yang diberi tanda bujur sangkar) merupakan hasil kali untuk entri c13 . Definisi perkalian matriks mengharuskan banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya banyaknya baris dari B supaya membentuk hasil perkalian AB . Jika kondisi ini tidak dipenuhi, maka hasil perkalian tersebut tidak didefinisikan. Contoh 1.16 Misalkan A adalah matriks berukuran 3x4, B adalah matriks berukuran 4x7, dan C adal adalah ah sebu sebuah ah matr matrik ikss 7x3. 7x3. Maka Maka AB didefi didefinis nisika ikan n sebagai sebagai matrik matrikss 3x7; CA didefinisikan sebagai matriks 7x4; BC didefinisi didefinisikan kan sebagai matriks matriks 4x3. Hasil – hasil perkalian AC , CB , dan BA semuanya tidak didefinisikan. Perkal Perkalian ian matri matriks ks mempuny mempunyai ai sebuah sebuah pemaka pemakaian ian penting penting kepada kepada sistem sistem – sistem sistem persamaan linear. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m persamaan linear di dalam n bilangan yang tak diketahui.
(1.25)
a11 x1
+
a12 x2
+ +
a21 x1
+
a22 x2
+ +
am1 x1
+
am 2 x2
a1n xn
=
a2 n xn
+ +
amn xn
b1
=
b2
=
bm
Kare Karena na dua dua matr matrik ikss dika dikata takan kan sama sama jika jika dan dan hany hanyaa jika jika entri entri – entr entrii yang yang bersangkuta bersangkutan n sama, maka kita dapat menggantikan menggantikan persamaanm di dalam sistem ini dengan sebuah persamaan matriks tunggal
By m.sukma rohim
Book of study for university 33
(1.26)
a x + a x + + a xn n b a x + a x + + a x b nn = a m x + am x + + am xn n bm 1 1 1 1 22
1
1
2 1 1 2 22
2
2
11 22
Matriks m x 1 pada pada ruas ruas kiri kiri persam persamaan aan ini dapat dapat dituli dituliska skan n sebagai sebagai sebuah hasil hasil perkalian yang memberikan
By m.sukma rohim
