SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Disusu Disusun n oleh oleh kelo kelompo mpok k5
: Novit Novita a Reski Reskiyah yah Sari Sari (!!" (!!""5# "5##$% #$% Riatna (!!""5#"&% Su'riah arianti (!!""5#!#% (!!""5#!#% Arum )ahyuni (!!""55"!% De)i ayu s)astika (!!""5#"5% Nur Aysyah Aysyah (!!""5#!*% De)i +aillah +aill ah (!!""5#!,% +atma -amil (!!""5#!"% (!!""5#!"% .husnul atimah (!!""55"5%
MAT MATA ./LIA MET0DE N/MERI. N /MERI. DEPARTEMEN 1E0+ISI.A +A./LTAS MATEMATI.A DAN ILM/ PEN1ETA/AN ALAM /NI2ERSITAS ASAN/DDIN MA.ASSAR !#"*
.ATA PEN1ANTAR
Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan karunia-Nyalah kami dapat menyelesaikan tugas pembuatan Makalah yang berjudul Sistem Persamaan Linear. Makalah ini kami tulis bertujuan guna memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Met!de Numerik". Disamping itu makalah ini diharapkan dapat menjadikan
sarana
pembelajaran
serta
dapat
menambah
#a#asan
dan
pengetahuan. Disamping itu kami
juga menyadari akan segala kekurangan dan
ketidaksempurnaan$ baik dari segi penulisan maupun dari %ara penyajiannya. &leh karena itu kami dengan senang hati menerima kritik dan saran demi perbaikin makalah ini di masa yang akan datang. Kami berharap mudah-mudahan makalah ini dapat berman'aat khususnya bagi kami dan pemba%a.
DA+TAR ISI
SAMP(L..........................................................................................................i KATA P)N*ANTA+......................................................................................ii DA,TA+ S.....................................................................................................iii A P)NDA/(L(AN.................................................................................0 A. Latar elakang......................................................................................0 . Tujuan...................................................................................................0 A P)MA/ASAN..................................................................................1 A. Pengertian Sistem Persamaan Linear....................................................1 . )liminasi *auss-2!rdan........................................................................3 4. )liminasi *auss Nai''...........................................................................5 A P)N(T(P.......................................................................................... 00 A. Kesimpulan...........................................................................................00 . Saran ....................................................................................................00 DA,TA+ P(STAKA........................................................................................01
3A3 I PENDA/L/AN A4 Latar 3elakan
Met!da numerik sangat diperlukan dalam meng!lah data ge!'isika. Karena lmu *e!'isika adalah ilmu yang mempelajari bumi ba#ah permukaan berdasarkan '!rmulasi'!rmulasi ,isika. Sehingga diperlukan met!da numerik untuk menyelesaiakan '!rmula'!rmula 'isika untuk mendapatkan parameter 'isis dan m!del. lmu *e!'isika dibangun atas parameter-parameter 'isis mekanika$ listrik$ magnetik$ elektr!magnetik$ panas$ radiasi$ dan parameter-parameter lain yang senantiasa dikembangkan untuk dapat diterapkan dalam rangka mengetahui segala sesuatu yang terdapat di ba#ah permukaan bumi baik yang bersi'at padat maupun %air. Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa %ara$ yaitu dengan eliminasi *auss atau dapat juga dengan %ara eliminasi *auss-2!rdan. Namun$ suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi *auss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk esel!n-baris tanpa menyederhanakannya. 4ara ini disebut dengan substitusi balik. 34 Tu-uan
Adapun tujuan dari makalah ini diharapkan setelah memba%a makalah ini$ mahasis#a dapat menjelaskan Met!da Penyelesiaan Sistem Persamaan Linier.
3A3 II PEM3AASAN A4 Penertian Sistem Persamaan linear
Sistem persamaan linier merupakan salah satu m!del dan masalah matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu$ termasuk matematika$ statistika$ 'isika$ bi!l!gi$ ilmu-ilmu s!sial$ teknik dan bisnis. Met!de Penyelesaian Sistem Persamaan Linear 6SPL7 Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah men%ari nilai-nilai 8ariabel- 8ariabel tersebut yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.. Pada dasarnya terdapat dua kel!mp!k met!de yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier. Met!de pertama dikenal sebagai met!de langsung$ yakni met!de yang men%ari penyelesaian suatu sistem persamaan linier dalam langkah berhingga. Met!de-met!de ini dijamin berhasil dan disarankan untuk pemakaian se%ara umum. Kel!mp!k kedua dikenal sebagai met!de tak la ngsung atau met!de iterati'$ yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian a#al dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namunlangkah k!n8ergen. Met!de-met!de iterati' digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berukuran besar dan pr!p!rsi k!e'isien n!lnya besar$ seperti sistem-sistem yang banyak dijumpai dalam sstem persamaan di'erensial. erikut diuraikan beberapa %ara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier 6Sahid$ 199:7. Pers!alan sistim persamaan linier yang memiliki n persamaan dan n bilangan tak diketahui sering dijumpai dalam permasalahan teknik. entuk umum persamaan linier tersebut sebagai berikut ; a00<0 = a01<1 = ...... = a0n
b0 a10<0 = a11<1 = ...... = a1n b1 an0<0 = an1<1 = ...... = ann bn
dengan a adalah k!e'isien k!nstan $ b adalah k!nstan$ n adalah jumlah persamaan $ dan <0 $ <1 ...
Dalam aljabar linear$ eliminasi *auss-2!rdan adalah 8ersi dari eliminasi *auss. Pada met!de eliminasi *auss-2!rdan kita membuat n!l elemen-elemen di ba#ah maupun di atas diag!nal utama suatu matriks. /asilnya adalah matriks tereduksi yang
berupa matriks diag!nal satuan 6semua elemen pada
diag!nal utama bernilai 0$ elemen elemen lainnya n!l7. Dalam bentuk matriks$ eliminasi *auss-2!rdan ditulis sebagai berikut.
a00 a 10 aA0 ... a n0
a01
a0A
...
a0n
a 11
a 1A
...
a1n
aA1
a AA
...
a An
...
...
...
...
an1
anA
...
a nn
b0
bA ... bn b1
0 9 9 ... 9
9
9
...
9
d 0
0
9
...
9
d 1
9
0
...
9
...
...
...
...
9
9
...
0
d A ... d n
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d0$d1$d$B$dn
Langkah-langkah !perasi baris yang dikemukakan !leh *auss dan disempurnakan !leh 2!rdan sehingga dikenal dengan )liminasi *auss-2!rdan$ sebagai berikut; 07 2ika suatu baris tidak seluruhnya dari n!l$ maka bilangan tak n!l pertama pada baris itu adalah 0. ilangan ini disebut 0 utama 6leading 07. 17 2ika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari n!l$ maka baris-baris ini akan dikel!mp!kkan bersama pada bagian paling ba#ah dari matriks. 7 2ika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari n!l$ maka 0 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada k!l!m yang lebih kanan dari 0 utama pada baris yang lebih tinggi. :7 Setiap k!l!m memiliki 0 utama memiliki n!l pada tempat lain.
Alg!ritma Met!de )liminasi *auss-2!rdan adalah sebagai berikut; 07 Masukkan matriks A dan 8e%t!r beserta ukurannya n 17 uat augmented matriks CA namakan dengan A 7 (ntuk baris ke-i dimana i>0 sEd n a7 Perhatikan apakah nilai $ sama dengan n!l; ila ya; Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i=kFn$ dimana =$ tidak sama dengan n!l$ bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan pr!ses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. ila tidak; Lanjutkan b7 2adikan nilai diag!nalnya menjadi satu$ dengan %ara untuk setiap k!l!m k dimana k>0 sEd n=0$ hitung $ > $ $ :7 (ntuk baris ke j$ dimana j>i=0 sEd n Lakukan !perasi baris elementer untuk k!l!m k dimana k>0 sEd n /itung > $ /itung $ > $ G .$ @7 Penyelesaian$ untuk i>n sEd 0 6bergerak dari baris ke n sampai baris pertama7
> $=0 (Hamzah, 2015). 4!nt!h ; x
1 z I 1 x : y A z 0 A x 3 y @ z 9
0 1 A
x y 1 z
y
0
1
I
:
A @
0
3
I 0 0 1 9 1 H 0H 0 0 1 I 9 9A 000 1H
9
9
H
0H
1
1
0 1
1 y H z
0 H
A x 3 y @ z
9
0 9 A
9
A 1
I
0
1
1
H @
3
0H 9 I
0 0 1 I 9 0 H 0H 0 01 11 I 9 A9 000 1H 9
9
H
0H
1
1
0
A
0 9 9
9
00
A@
1
1
0 9
H 1
0
0H 1
A
0 9 9
9
9
0
0
9
1
9
0
A
S!lusi < > 0$ y>1 dan ?> 74 Eliminasi 1auss Nai''
Met!de )liminasi *auss merupakan met!de yang dikembangkan dari met!de eliminasi$ yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah 8ariable sehingga dapat diper!leh nilai dari suatu 8ariable bebas. matrik diubah menjadi augmented matrik ;
[
a11
a12
...
a1 n
a21
a22
...
a2 n
...
.. .
an1
a n2
. . . .. . . . . a nn
b1
|
b2
.. . bn
]
Mengubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga ba#ah dengan menggunakan &) 6&perasi aris )lementer7.
[
a11
a12
a 13
. ..
a1 n
b1
a 21
a22
a 23
. ..
a2 n
b2
a 31
a32
a 33
. ..
a3 n
b3
...
.. .
...
. ..
. ..
.. .
an 1
an2
an 3
. ..
a nn
bn
]
Sehingga penyelesaian dapat diper!leh dengan;
x n=
dn c nn
x n− 1 =
1 c n −1, n− 1
(−c −1, x +d −1 ) n
n
n
n
..................................... 1 x 2= d 2 − c 23 x 3 − c24 x 4 − . .. − c 2 n x n c22
x 1=
1 c11
(
)
( d 1− c12 x 2− c13 x 3 −.. .− c1 x ) n
n
Al!ritma gauss nai'' adalah sebagai berikut; 07 Membagi persamaan pertama dengan k!e'isien a00. Langkah tersebut disebut n!rmalisasi. Tujuan n!rmalisasi ini adalah agar k!e'isien dari <0 berubah menjadi 0. 17 Kalikan persamaan yang telah din!rmalisasi 6dalam hal ini persamaan pertama7 dengan k!e'isien pertama dari persamaan kedua 6yaitu a107. 7 Mengurangkan baris kedua dan ketiga dengan baris pertama. :7 Kalikan persamaan pertama yang sudah din!rmalisasi dengan k!e'isien tertentu sehingga a00 > a0. @7 Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil dari yang didapat dari langkah :. 37 aris kedua dibagi dengan k!e'isien a11. Langkah ini disebut N&+MALSAS untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar k!e'isien <1 berubah menjadi 0. H7 Kalikan persamaan kedua yang sudah din!rmalisasi pada langkah ke-3 dengan suatu k!e'isien tertentu sehingga a11 > a1. 57 Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua hasil dari langkah keH.
4!nt!h; Selesaikan sistem persamaan berikut;
x 1 + x 2 + x 3 =6 x 1 + 2 x 2 − x 3 =2 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 =10
Penyelesaian ; Mengubah persamaan tersebut menjadi matriks
[
1
1
1
6
1
2
−1
2
2
1
2
10
]
Melakukan !perasi baris elementer B 2− B1 B 3 −2 B 1
x 3=
−6 = 3 −2
1 ( −4 −( 2 ) 3 )=2 1 1 x 1= ( 6 − 2− 3 )= 1 1 x 2=
6yuliana$ 199H7.
3A3 III PEN/T/P A4 .esimpulan
Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah sebagai berikut; 07 met!de eliminasi *auss-2!rdan kita membuat n!l elemen-elemen di ba#ah maupun di atas diag!nal utama suatu matriks. /asilnya adalah matriks tereduksi yang
berupa matriks diag!nal satuan 6semua elemen pada
diag!nal utama bernilai 0$ elemen elemen lainnya n!l7. 17 Met!de )liminasi *auss merupakan met!de yang dikembangkan dari met!de eliminasi$ yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah 8ariable sehingga dapat diper!leh nilai dari suatu 8ariable bebas. matrik diubah menjadi augmented matrik. Mengubah
matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga ba#ah dengan menggunakan &) 6&perasi aris )lementer7. 34 Saran
Apabila ada kesalahan-kesalahan dalam pembuatan makalah ini$ di harapkapkan dapan menjadi pelajaran kedepannya$ dan sem!ga materi yang kami sajikan dapat berman'aat.
DA+TAR P/STA.A
Sahid.1901. Pengantar Komputasi Numerik. Seti!#ati$ yuliana.199H. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL).P)NSTS.Surabaya. Syahruddin$
muhammad
[email protected]!de
*e!'isika.(nhas.Makassar.
Numerik
untuk
