Sistem Persamaan Linear

SISTEM PERSAMAAN LINEAR  

Persamaan Linear 



Sistem Persamaan Linear 



Metode Eliminasi



Matriks-Matriks Yang Diperbanyak

Persamaan Linear 

Adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat 1.

Misal : - a1x + a2y = b Sebuah persamaan jenis ini disebut sebuah Persamaan Linear dalam peubah x dan y. Secara lebih umum kita mendefinisikan suatu persamaan linear dalam n peubah x 1,x2, …,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk : a1x1+a2x2+…+anxn = b Dengan a1,a2,…,an dan b konstanta real. Peubah-peubah dalam suatu persamaan linear  kadang-kadang kadang-kadang disebut yang tak diketahui. Contoh-contoh Persamaan Linear Bukan Persamaan Linear  2x + y = 3 (persamaan Linear) x + 3y2 = 7 (bukan persamaan Linear karena y berpangkat 2) Sistem Persamaan Linear  Persamaan Linear yang lebih dari satu persamaan. 







Tidak Tidak semua semua Sistem Sistem Persam Persamaa aann mempu mempunya nyaii penye penyeles lesaia aian. n. Misaln Misalnya ya jika jika kita kita mengalikan persamaan kedua sistem : x+y =4 2x + 2y = 6 dengan dengan ½, akan akan terbukti terbukti bahwa bahwa tidak ada ada penyeles penyelesaian aian karena karena sistem sistem ekuivalen ekuivalen yang yang dihasilkan x +y = 4 x+y=3 mempunyai persamaan yang kontradiksi. Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai persamaan yang tak konsisten  jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka persamaan itu disebut 

 Konsisten.

1



Persam Persamaa aan-p n-pers ersama amaan an linear linear terseb tersebut ut dapat dapat di buat buat dalam dalam suatu suatu grafik grafik yan yangg  berbentuk garis, karena suatu titik(x,y) terletak dalam suatu garis jika dan hanya   jika angka x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, penyelesaian sistem   persamaa persamaann tersebut tersebut berpada berpadanan nan denga dengann titik-titik titik-titik potong potong g1 dan dan g2,sehin g2,sehingga gga terdapat 3 kemungkinan :  Garis g1 dan g2 mungkin sejajar, dimana tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.  Garis g1 dan g2 mungkin berpotongan hanya di satu titik,dimana sistem tersebut tepat mempunyai satu persamaan.  Garis g1 dan g2 mungkin berimpitan,dimana ada tak terhingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.

Metode Eliminasi

Ada 3 Operasi dasar yang dapat dapat dilakukan dilakukan pada sistem persamaa persamaann linear tanpa tanpa mengubah jawaban sistem persamaan tersebut. 1. mengubah urutan persamaan pada sistem tersebut. 2. mengalikan mengalikan sebuah sebuah persamaan persamaan dari sistem sistem dengan dengan bilangan bilangan tak nol. 3. untuk sembarang sembarang bilangan bilangan real, λ ≠ 0. Matriks-Matriks Matriks-Matriks Yang Diperbanyak 

Untuk menyusun menyusun matriks-matriks yang yang diperbanyak diperbanyak peubah-peubah peubah-peubah harus ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus berada disebelah kanan. operasi baris elementer

Ada Tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu system persamaan linear tanpa mengubah jawabannya. jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu : • Menuka Menukarr leta letakk dari dari dua baris baris matrik matrikss terse tersebut but • Mengal Mengalika ikann suatu suatu baris baris deng dengan an kon konsta stanta nta tak nol • Tambah Tambahkan kan perk perkali alian an dari dari sua suatu tu baris baris ke ke baris baris lain lainnya nya Ketiga operasi ini dapat dijalankan pada matriks lengkapnya dan disebut operasi  baris elementer 

2



Persam Persamaa aan-p n-pers ersama amaan an linear linear terseb tersebut ut dapat dapat di buat buat dalam dalam suatu suatu grafik grafik yan yangg  berbentuk garis, karena suatu titik(x,y) terletak dalam suatu garis jika dan hanya   jika angka x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, penyelesaian sistem   persamaa persamaann tersebut tersebut berpada berpadanan nan denga dengann titik-titik titik-titik potong potong g1 dan dan g2,sehin g2,sehingga gga terdapat 3 kemungkinan :  Garis g1 dan g2 mungkin sejajar, dimana tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.  Garis g1 dan g2 mungkin berpotongan hanya di satu titik,dimana sistem tersebut tepat mempunyai satu persamaan.  Garis g1 dan g2 mungkin berimpitan,dimana ada tak terhingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.

Metode Eliminasi

Ada 3 Operasi dasar yang dapat dapat dilakukan dilakukan pada sistem persamaa persamaann linear tanpa tanpa mengubah jawaban sistem persamaan tersebut. 1. mengubah urutan persamaan pada sistem tersebut. 2. mengalikan mengalikan sebuah sebuah persamaan persamaan dari sistem sistem dengan dengan bilangan bilangan tak nol. 3. untuk sembarang sembarang bilangan bilangan real, λ ≠ 0. Matriks-Matriks Matriks-Matriks Yang Diperbanyak 

Untuk menyusun menyusun matriks-matriks yang yang diperbanyak diperbanyak peubah-peubah peubah-peubah harus ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus berada disebelah kanan. operasi baris elementer

Ada Tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu system persamaan linear tanpa mengubah jawabannya. jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu : • Menuka Menukarr leta letakk dari dari dua baris baris matrik matrikss terse tersebut but • Mengal Mengalika ikann suatu suatu baris baris deng dengan an kon konsta stanta nta tak nol • Tambah Tambahkan kan perk perkali alian an dari dari sua suatu tu baris baris ke ke baris baris lain lainnya nya Ketiga operasi ini dapat dijalankan pada matriks lengkapnya dan disebut operasi  baris elementer 

2

Adapun notasi notasi ketiga baris tersebut tersebut adalah : 1. Menuka Menukarr baris baris ke-i ke-i dan ke j : Bij 2. Mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, c ≠ 0 : Bi (c) 3. Mengalika Mengalikann baris ke-i dengan dengan c, ditambahk ditambahkan an pada pada baris ke-j : Bji (c) Contoh 1 :

Contoh 2 :

Contoh 3:

Eselon Baris

Bentuk Eselon-baris Matriks dapat dikatakan  Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut : 1. Di setiap baris, angka angka pertama pertama selain selain 0 harus 1 ( leading 1). 2. Jika Jika ada ada baris baris yang semua semua elemen elemennya nya nol, nol, maka maka harus harus dikelo dikelompo mpokka kkann di baris baris akhir dari matriks. 3. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus  berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya. 4. Jika kolom yang memiliki leading leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut  Eselon-baris tereduksi Contoh : • Sy Syar arat at 1: 1: baris baris pert pertam amaa dise disebu butt lead leadin ingg 1: 1 0   0

8

−5 −2

0

5

2

3

  0  7

• Sya Syarat rat 2: bari bariss ke-3 ke-3 dan ke-4 ke-4 mem memenu enuhi hi syar syarat at 2 1 0   0

8

−5 −2

0

0

2

3

  0  7

3

Contoh • syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 1 0   0

•

3

2

0

1

−2

0

0

  0  7

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut

 Eselon-baris

tereduksi 1 0  0  0

0

0

1

0

0

1

0

0

0 1

 0 0 ,  0 0  1  0

0

0

0

1

2

5

0

3

0

0

  0  6

Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan • 1. Eliminasi Gauss   Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang  Eselonbaris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Contoh : Diketahui persamaan linear   x + 2 y + z = 6  x + 3 y + 2 z = 9 2 x + y + 2 z = 12 • Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Setelah itu operasikan Matriks tersebut : Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

4

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3(Matriks menjadi  Eselon-baris )

• Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu  x + 2 y + z = 6  y + z = 3  z = 3 • Kemudian lakukan  substitusi balik maka didapatkan:  y + z = 3  y + 3 = 3  y = 0  x + 2 y + z = 6  x + 0 + 3 = 6  x = 3 Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan  z = 3 2. Eliminasi Gauss Jordan Contoh: Diketahui persamaan linear   x + 2 y + 3 z = 3 2 x + 3 y + 2 z = 3 2 x + y + 2 z = 5 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1 5

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1 Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi  Eselon baris tereduksi )

Maka didapatkan nilai dari :

 x = 2 ,  y = − 1, 6

z = 1

MATRIKS Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan atau unsur-unsur  (elemen-elemen) yang teratur dalam baris dan kolom. Matriks juga bisa di definisikan sebagai suatu susunan bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. A= Banyaknya elemen dari matriks dinyatakan dengan m x n, dimana m menyatakan  banyaknya baris, dan n menyatakan banyaknya kolom dari matriks tersebut. Notasi Matriks

Elemen matriks dapat ditulis dengan tanda kurung siku “ kurung besar “

” atau dalam tanda

. Notasi matriks dinyatakan dengan huruf capital , sedangkan

elemen-elemennya dengan huruf kecil. Maka matriks A di atas dapat dinotasikan dengan :

m x n atau

ke-I dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan

=

atau elemen baris

Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan sebaliknya. Secara umum matriks baris atau matriks kolom lebih sering dinyatakan dengan huruf kecil

dicetak tebal, missal : a =

;b=

Ukuran dan Operasi pada Matriks

7

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalkan, matriks B =

, mempunyai 2 baris dan 3 kolom, sehingga ukurannya adalah

2x3. Dua ukuran matriks didefinisikan sama jika mempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang berpadanan sama. Jika 2 matriks berukuran sama, maka jumlah dari kedua matriks tersebut adalah menjumlahkan anggota-anggotanya yang sepadan. Matriks yang mempunyai ukuran yang berbeda tidak bias untuk dijumlahkan atau dikurangkan. Jika matriks A = m x r dan meatriks B = r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n. Untuk mencari anggota-anggota dalam baris i dan kolom  j dari AB, pilih  baris i dari matriks A dan kolom  j dan matriks B. Kalikan anggota-anggota yang  berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Partisi Matriks

Sebuah matriks dapat dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil dengan menyisipkan garis horizontal atau vertikal diantara baris atau kolom yang ditentukan. Misalkan matriks A berukuran m x n dapat dipartisi menjadi : A=

=

A=

=

A=

=

Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks

Diasumsikan bahwa matriks memenuhi sehinga operasi aritmatik matriks tersebut valid, meliputi : a. A + B = B + A  b. A +(B+C) = (A+B)+ C c. A(BC) = (AB) C 8

d. A(B+C) = AB + AC e. (B+C)A = BA + CA f. f. A(B-C)=AB-AC g. (B-C)A=BA-BC h. a(B+C)=aB+aC i. (a+b)C=aC+bC  j.(a+b)C=aC-bC k.a(bC)=abC l.a(BC)=(aB)C=B(aC) Invers Matriks

Jika A sebuah Matriks Segi (bujur sangkar), dan matriks B berukuran sama didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut bias terbalik ( invertible ) dan B disebut invers A Contoh : B =

adalah invers dari A =

Teorema : missal A =

maka inversnya adalah

=

=

SIFAT SIFAT INVERS

1.Invers suatu matriks bersifat unik. jika B dan C keduanya merupakan invers dari A maka B=C. 2.Suatu hasil kali berapapun banyaknya matriks yang bisa dibalik adalah matriks yang  bisa dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah hasil kali invers –inversnya dalam ukuran terbalik. a. AB dapat dibalik =

b. c.

Jika =I;

= A. A. A. . . A (n factor, n >0). Jika A bias dibalik, maka : =

=

…

(n factor). 9

=

;

=

JENIS – JENIS MATRIKS

Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain: 1. Matriks Nol Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol. Misalnya, 0 0 

0 0  , 0 0   0

0

0

0

0

0

  0 

2. Matriks Baris Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya [1

7], [5

−3

2

6]

3. Matriks kolom Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya, 3 2   −5, 5    7 

4. Matriks persegi dan matriks kuadrat Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat, jika jumlah  baris pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya. Misalnya, 2 4 

3 −3  , 6  1   −1 

7

−3 8

−5   1  − 2 

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.  a11 a  21 a31

a12 a 22 a32

a13 

  a 33   a 23

Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah a11, a22 dan a33 (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah). 10

Sebaliknya, komponenkomponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini a11, a22, a33. 5. Matriks segitiga Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya)  bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya, −5 0   0

−1 4 0

2

7 5   − 4

 3  4 

Matriks segitiga bawah

0

0

1

0

−2

  3 

Matriks segitiga atas

6. Matriks Diagonal Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya, −1 0 

0  4

− 4  0   0

0 2 0

0  0  1 

7. Matriks Skalar  Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya, 9 0 

0  9

5  0   0

0 5 0

0  0  5 

8. Matriks Identitas dan materiks satuan Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya, 11

1 0 

0  1

1 0   0

0 1 0

0  0  1 

BAB II DETERMINAN

2.1

FUNGSI DETERMINAN

Fungsi determinan merupakan suatu fungsi bernilai real dari suatu peubah matriks. Fungsi determinan dinyatakan dengan det. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan det(A). Terdapat beberapa konsep-konsep yang perlu dipahami dalam menentukan determinan suatu matriks segi, meliputi : a.Permutasi b. Permutasi dari himpunan bilangan bulat : {1,2,….,n} adalah banyak susunan   berbeda dari bilangan-bilangan integer tersebut tanpa adanya penghilangan atau  pengulangan. Suatu metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistem adalah dengan menggunakan suatu  pohon permutasi. Misalnya permutasi dari bilangan {1,2,3} dapat disusun : (1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1) 1 2 3 2

3

1

3

1

2

3 2 3 1 2 1 Dari pohon permutasi tersebut didapat bahwa ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan {1,2,3}. Secara umum, himpunan {1,2,3} akan mempunyai n!  permutasi yang berbeda ( n= banyak elemen). Untuk himpunan {1,2,3}, 3! = 3.2.1 = 6. c.Inversi

12

Suatu inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi ( j1 , j2 , … , jn) jika suatu bilangan  bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Total jumlah inversi yang terjadi dalam suatu permutasi bisa didapat sebagai berikut : 1) Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari  j1 dan yang mengikuti  j1 dalam  permutasi tersebut, 2) Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari  j2 dan yang mengikuti  j2 dalam  permutasi tersebut, 3) Teruskan proses menghitung ini untuk  j3 , … , jn-1. Total dari jumlah-jumlah tersebut adalah total jumlah inversi dalam permutasi tersebut. Contoh : Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3, 5) adalah : 1 + 2 + 0 + 0 = 3. Dari mariks segi A = (a jj)nxn, unsur-unsur aij dan akl dikatakan  pasangan negatif   jika dan hanya jika kj atau k>i dan li dan l>j.   Permutasi dikatakan genap apabila total inversi jumlahnya genap, dan   permutasi dikatakan ganjil  apabila total inversi jumlahnya ganjil. Contoh : Dalam permutasi (2, 4, 1, 3, 5) , jumlah pembalikannya adalah 3 jadi permutasi tersebut dikatakan  permutasi ganjil.

2.2

MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

a.

Menghitung Determinan Matriks 2 x 2 dan 3 x 3 Matriks 2 x 2  , maka 

Matriks 3 x 3

maka 13

atau dengan menggunakan aturan Sarrus

 b. Teorema-teorema Dasar tentang Determinan • Teorema 1 Bila A adalah matriks segi (bujur sangkar) : a. Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0 Contoh :

b.

det(A) = det(AT) Contoh :

Maka terbukti det (A) = det (A T) Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann . •

14

Contoh :

Teorema 3 Bila A adalah suatu matriks n x n : Jika B suatu matriks yang diperoleh bila satu baris atau baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan skalar k, maka det(B) = k det(A) •

a.

⇒

⇒ ⇒

b.

Jika B suatu matriks yang diperoleh bila dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka det(B) = - det(A)

⇒

15

⇒ ⇒

c.

Jika B suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris atau kolom dengan satu konstanta kemudian ditambahkan pada baris atau kolom yang lain, maka det(B)=det(A)

⇒ ⇒

⇒

a.

Teorema 4 Bila Enxn matriks elementer : Jika E diperoleh dengan mengalikan satu baris  I n dengan k, maka det(E) = k

b.

Jika E diperoleh dengan menukarkan dua baris  I n , maka det(E) = -1

•

16

c.

Jika E diperoleh dengan menambahkan k kali satu baris  I n ke baris yang lain,maka det(E) = 1

Teorema 5 Jika A adalah sebuah matriks segi dengan dua baris/kolom yang proporsional, maka det(A) = 0. •

⇒

c. Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah dengan mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk segitiga atas melalui operasi baris elementer. Kemudian menghitung determinan dari matriks segitiga atas, kemudian menghubungkan determinan tsb dengan matriks aslinya. Contoh : 17

Penyelesaian :

Det (A) = = = -3 = -3 = -3 = (-3) (-55)

Det (A)

= (-3) (-55) (1) = 165 d. Menghitung Determinan dengan Operasi Kolom Contoh :

Penyelesaian : Det (A)

=

18

= Det (A)

= (1) (7) (3) (-26)

SIFAT-SIFAT DETERMINAN, EKSPANSI KOFAKTOR DAN HUKUM CAMER 

1.

 AT 

=

 A

:

 Buktinya  AT  =  A contoh :

1  A =  3

2

 → A = 4 −6 = −2

4

1  AT  =  2

3 4 

→ AT  = 4 −6 = −2

 Jadi ⇔  A =  AT 

2. Bila unsur-unsur salah satu atau kolom dari suatu matriks persegi bernilai nol maka determinan matrik tersebut = 0. Contohnya

:

0  A =  0

1 0 → A =  3 0

1

0  B =  1

0 0 → B =  9 1

0

3

9

=0

=0

3.Jika salah satu baris atau kolom dikalikan dengan konstanta c, maka determinan matrik baru adalah c kali determinan matriks sebelumnya  A*

c  A

=

19

:

Contohnya

1  A =  3

2

1

2

→ A = 4 3 

4

= 4 −6 = −2

misalkan C  = 3

3  A* =  3

6

3

6

→ A* =  4 3

4

=12 −18 = −6

 Jadi :  A* = C  A

−6 = 3( −2) −6 = −6

4. Jika dua baris atau dua kolom dipertukarkan maka

 A

= −

:

Contohnya

1  A =  3

 A*

2

1

2

→ A = 4 3 

3 *  A =  1

4

4 3

= 4 −6 = −2

4

→ A* =  2 1

2

= 6 −4 = 2

 Jadi :  A = − A *

2 = −( −2) 2 =2

5. Jika suatu matriks mempunyai dua baris atau kolom yang sama atau sebanding, maka determinannya adalah nol :

contohnya

kolom ;

baris ; 2

3  A =  2

1

2

 A =

4

8

1  A =  4  A =

 8 =8 −8 = 0

9



6

3

9

2

6

=18 −18 = 0

6.Bila matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambahkan kelipatan suatu  baris/kolom pada baris/kolom yang lain, maka  A

 B

=

contohnya

1  A =  3

2

1

 →  A = 3 4

2 4

=4 −6 =

B diperoleh dengan menambahkan 2x baris ke I pada baris ke II pada matriks A 1  B =  5

2

1

→B = 5 8

2 8

= 8 −10 = −2

7.E matriks yang dihasilkan dari oprasi dasar pada matriks Identitas 20

A) Bila

matriks E diperoleh dgn mengalikan satu baris matriks Identitas dgn konstanta k maka Contoh ; E dengan mengalikan K = 7 pada baris ke I 7  E  =  0

0

maka

=

7

0

 → E  = 0 1

jadi  E 

B) Bila

 E 

 K 

1

= 7 −1 = 7

 K 

=

matrik E diperoleh dengan menukarkan dua baris matrik identitas

 E 

1

=−

Contoh ; E diperoleh dari menukarkan baris ke I dengan baris ke II pada matriks identitas 0  E  =  1 jadi

 E 

1

0

 → E  = 1 0

1 0

= 0 −1 = −1

1

= −

C) Bila matriks E diperoleh dengan menambahkan K kali satu baris pada  pada yang lain suatu matrik identitas maka  E  = 1

1  E  =  2 jadi

 E 

0

1

 → E  = 2 1

1

= 1 − 0 =1

1

=

8.Jika A memiliki invers, maka contoh

0

det(  A −1 ) =

1 det(  A)

;

2 1 2 → = = 4 − 6 = −2  A 4 3 4  − 2 1 4 −1 =  A  3 1  4 − 6 −  − 2 14 −1  A =−  1  2 − 3  −2 1  1 − 2 3 1 −1 −1 3 1 3 1 =1 − = −  →  A =  A = − − 2 2  2 2 2  2  1 1 1 −1  Jadi  A = →  A −1 = =− −2 2  A  A

1 = 3

9.Bila A adalah matriks (n x n) dan k suatu konstanta, maka det (kA)= det (A) x k  berpangkat n 21

contohnya

2  A =  3

1

2

→ A = 4 3 

1 4

= 8 −3 = 5

 K  =.......

2  KA = K  3

1

2 K 

 K 

3 K 

4 K 

 KA =

2 K  =  4  3 K 

 K  



4 K 

= 8 K 2 −3 K 2 = K 2 (8 −3) = K 2 5

 Jadi det(  KA ) = K n det(  A)

10.Jika A, B dan C matriks berukuran n x n, unsur-unsurnyahanya berbeda pada satu baris ( misalnya baris ke-r ), diasumsikan bahwa baris ke-r dari matriks C diperoleh dengan menambahkan baris ke-r matriks A dan baris ke-r matriks B maka det (C)= det (A) + det (B) contoh

2  A =  3

3

2 ⇔ B =   2 1

3

 2 ⇔C  =   1 3 +1

3 



2 +1

maka C  =  A +  B

2

3

4

3

=

2

3

3

2

+

2

3

1

1

6 −12 = ( 4 −9) +( 2 −3)

−6 = −5 −1 −6 = −6  Jadi det( C ) = det(  A) + det(  B)

22

11.Jika A dan B matriks segi dengan ukuran sama, maka det (AB)= det (A) det(B)

contoh  A, B = matiks 2 x 2

1  A =  4

3

2 ⇒ B =   2 3

2 +9 ⇔ AB =   4 8 +6

5

5 +12 

11 =  20 +8 14

17 



28 

maka  AB =  A  B

11

17

14

28

=

1

3 2

5

4

2 3

4

308 −238 = ( 2 −12 )( 8 −15 )

−70 = −70 JADI 

det(  AB ) = det(  A) det(  B)

12. Determinan matriks diagonal, matriks segitiga atas da matriks segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya . contoh

2   A = 0   0 3   B = 0   0 1  C  = 3   6

0 7 0 1 5 0 0 9 4

0  0 → A = 2.7.4 = 56  4  1  2 → B = 3.5.6 = 90  6  0  0 → C  =1.8.9 = 72  8 

EXPANSI /PERLUASAN KOFAKTOR  Apa itu kofaktor???

Jika A adalah suatu matrik bujur sangkar, maka minor anggota dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatrik yg masih tersisa setelah baris ke- i dan kolom ke-j dihilangkan dari matrik A. Bilangan dinyatakan oleh disebut kofaktor anggota secara singkat dan untuk menentukan tanda + atau – gunakan “papan periksa” Papan Periksa 23

C 11 C   21 C 31  C 41 C 51   .  . 

C 12

C 13

C 14

C 15

. .

C 22

C 23

C 24

C 25

. .

C 32

C 33

C 34

C 35

.

C 42

C 43

C 44

C 45

.

C 52

C 53

C 54

C 55

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

 .  . .  . .

+ − + − + . − + − + − .  + − + − + .  − + − + − . + − + − + .  . . . . . . . . . . . . 

Contoh :

M 11

M 32

C 32

=

=

3   A = 2   1

1 5 4

3

1

−

2

5

6

1

4

8

3

1

−

2

5

6

1

4

8

= ( −1) 3

+2

4

4

M 32

=

  .  . .  . .  .

−4   6  8   5

=

.

6

16

=

4

8

3

−

2

6

4 =

C 11

= ( −1)

1+1

M 11

= M 11 = 16

26

= −M 32 = −26

PERLUASAN KOFAKTOR 

Perluasan kofaktor dari suatu matrik A ialah cara mencari determinan dari matrik A dengan mengalikan anggota- anggota pada suatu kolom/suatu baris dari matrik A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang di dapat. Pemahaman

misalkan matrik A dngn ordo 3x3 berikut : a11

a12

a13

 A = a21

a22

a23

a31

a32

a33

24

 A

=

a11 a 22 a33

a12 a 23 a31

+

a13 a 21 a31

+

a13 a 22 a31

a12 a 21 a33

−

−

a11 a 23 a32

−

 A = a11 ( a22 a33 −a23 a32 ) + a12 ( a23 a31 −a21a33 ) + a13 ( a21a32 −a22 a31 )  A

=

a11 C 11

a12 C 12

+

a13 C 13

+

Contoh misal matrik ordo 3x3 berikut : kita akan mencari det nya dngn perluasan kofaktor  2   A = 4   2  A

=

 A

=2

 A  A

4

2

2

4

  4 

2

a11 C 11

 A

=

 A

=2

2 +2.12 =2.0 −4.1

 A

=2.0 −4.8 +2.4

=− 24

 A

=− 24

2

a21 C 21

+

4

2

:

4

4 −4

2

a31 C 31

+

2 4

4 +2

2

a11 C 11

2 4

2 2

a12 C 12

+

4 4

4 −4

2

a13 C 13

+

4 4

+2

4

2

2

2

Adjoin Suatu Matrik 

Def:  jika A adalah sembarang matrik n x n dan C(ij) adalah kofaktor dari a(ij) maka matriks C 11 C   21  ..   ..  C n1

C 12

..

..

C 22

..

..

..

..

..

C n 2

C 1n 

  ..    C nn  

C 2 n

disebut matrik kofaktor dari A. transpos dari matrik ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj (A) Contoh adjoin matriks, misalkan A adalah matrik 3x3 maka adjoin matrik A diperlihatkan dibawah sbg berikut; C 11 = −1 C 12 = 3 C 13 = −1    1 2 ⇒ C 21 = −1 C 22 = −1 C 23 = 3     1 1   C 31 = 3 C 32 = −1 C 33 = −1  −1 3 −1   mk ( A) = −1 −1 3     3 −1 −1 

1   A = 1   2

2

1

−1  adj ( A) = [mk ( A)] = 3   −1 T 

−1 −1 3

3

−1  −1 

25

Aplikasi rumus Yaitu sebagai berikut  A −1 =

1 det(  A)

adjoin

untuk

invers

suatu

matrik.

adj ( A)

Contoh : kita ambilnilai adjoin matrik A pada contoh diatas lalu kita cari inversnya Catatan; untuk perhitungan di bawah nilai det (A) dianggap sudah dipahami betul  1 2 1 − 1 − 1 3       A = 1 1 2 ⇒ ad j( A) = 3 − 1 − 1      2 1 1  − 1 3 − 1 3  1 1  − 1 − 1 3   − 4 − 4 4  1  −1 maka( A ) = −1 −1  3 −1 −1 =  3   4 4 4 4  3  − 1 3 − 1  − 1 −1  4 4  4

Aturan Cramer  Jika Ax=b merupkan suatu sistem n persamaan linier dalamn peubah sedemikian hingga (A) tidak 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian unik, yaitu sebagai  beriut; dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks b1  b  2 b=   ..    bn 

Contoh selesaikanlah

penerapan spl x 2x 4x

aturan berikut + y + + 3y + +2y +z

Cramer   ; z = 3 z = 6 = 7

 jawab;

26

1   A = 2   4

1 3 2

3   A1 = 6   7

1

1  A2 = 2   4 1   A3 = 2   4

3

3 2

6 7 1 3 2

1  1 ⇒det(  A) = −5  1 

  jadi

1  1 ⇒det(  A1 ) = −5  1  1  1 ⇒det(  A2 ) = −5  1  3  6 ⇒det(  A3 ) = −5  7 

 x =

det(  A1 )

 y =

det(  A2 )

 z  =

det(  A3 )

=

−5 =1 −5

=

−5 =1 −5

=

−5 =1 −5

det(  A) det(  A) det(  A)

VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI-2 (R 2 ) DAN BERDIMENSI-3 (R 3)

Vector adalah suatu besaran yang memiliki besar atau panjang dan arah.Vector    bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang  berdimensi-2 dan berdimensi-3, arah panah menunjukkan arah vector. vector dalam R2

Komponen vector = (u1,u2) = Vektror vector ekuivalen •

panjang dan arahnya sama.

Dua buah vector u dan v ekuvalen bila diletakkan sehingga initial pointnya berada  pada pusat koordinat atau titik asal (0,0) maka pash terminal poitnya berimpit

u

dan v memiliki komponen komponen yang sama. •

Dua buah vector u dan v memiliki panjang dan arah yang sama

Norm Vektor & Aritmatika Vektor

Sifat-sifat vector pada R 2 dan R 3 diuraikan dalam teorema berikut : Jika U, V, dan W adalah vector-vektor pada R2 atau R3, k dan l adalah scalar, maka memenuhi hubungan- hubungan berikut : 27

a) u + v = v + u  b) (u+v) + w = u + (v+w) c) u + 0 = 0 + u = u d) u + (-u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k(u+v) = ku + lu g) (k+l)u = ku + kl h) 1u = u Panjang vector ( Norm Vektor ) u dinotasikan sbg ║u║ Jadi, ║u║= Contoh : Bila u = (2,4,4) , ║u║= ? Jawab : ║u║= = =6

Hasil kali silang

Jika U dan V adalah vektor-vektor dalam ruang  berdimensi 3,maka hasil kali silang U V adalah vector yang didefinisikan sebagai U V Teorema. Jika U, V dan W adalah vector-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka: 28

a.

(U V orthogonal terhadap U) (U V orthogonal terhadap V) (identitas lagrange) (hubungan antara hasil kali silang dan hasil

b. c. d. kali titik) e. kali titik)

(hubungan antara hasil kali silang dan hasil

Vektor satuan standar  Setiap vektor dalam ruang berdimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk I,  j dan k karena kia bisa menuliskan

DOT PRODUCT( HASIL KALI TITIK/SKALAR)

Bila u dan v

R 2, R 3 ; diasumsikan bahwa initial point kedua vector berimpit dengan

sudut antara kedua vector sebesar θ ; 0≤ θ ≤ . Dot poduct atau Euclidean Inner Product

didefinisikan sebagai: cos θ ;

= ;

0

Teorema Dot Product: =

a)

vektor - vector tak nol , dan θ sudut antara kedua vector , maka:

b) i.

θ mirip sudut lancip jika dan hanya jika 29

ii.

θ mirip sudut tumpul jika dan hanya jik

iii.

θ

jika dan hanya jika

Teorema Jika

adalah vector pada

atau

, suatu scalar maka:

a. b. c. d. VEKTOR - VEKTOR ORTOGONAL

Vector tegak lurus disebut juga vector orthogonal. Dua vector tak nol dimana

jika dan hanya jika

Theorema Jika  

adalah vector - vector dalam ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 jika

maka:

Contoh :

30

VEKTOR PADA GARIS DAN BIDANG DALAM

RUANG TIGA DIMENSI A. Vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 Suatu vektor v dalam ruang berdimensi 3 yang titik pangkalnya pada titik asal sistem koordinat (titik 0,0,0), maka koordinat titik ujungnya disebut komponen v dan dapat ditulis v = (v1,v2,v3)  jika v = (v 1,v2,v3) dan w = (w1,w2,w3) adalah 2 vektor dalam ruang berdimensi 3.  jika titik pangkal suatu vektor tidak berada pada titik asal misalkan p 1= ( x1, y 1, z1) dan titik ujungnya misalkan p 2=(x2, y 2, z 2) maka vektor v = p 1  p2 = (x2 - x 1, y 2 - y 1, z2 - z1) 31

B. Norma suatu vektor dan aritmatika vektor 

Dan jika p 1= ( x 1, y1, z1) dan p2=(x2, y2, z2) adalah dua titik dalam ruang berdimensi 3, maka jarak ( d ) adalah :

Contoh : norma vektor u = (1,-2,-3) adalah :

 jarak d antara titik P 1 = (2, - 1, - 5) dan P 2 = (4, - 3, 1) adalah :

C. Hasil kali titik ; proyeksi Definisi jika u dan u adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ sudut antara u dan v, maka hasil kal titik atau hasil kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai :

Teorema 1 : anggap u dan v adalah vektor – vektot dalam ruang berdimensi 2 dan 3 a)

v.v = ║v║2 ; yaitu ║v║ = (v.v) 1/2

 b) jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0 θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 32

θ = phi / 2 jika dan hanya jika u.v = 0 Teorema 2 : jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan 3 dan k adalah scalar, maka : a)

u.v = v.u

 b) u.(v+w) = u.v + u.w c) k(u.v) = (ku)v = u.(kv) d) v.v > 0 jika v ≠ 0 dan v.v = 0 jika v = 0 Teorema 3 : teorema berikut ini memberikan rumus untuk menghitung vektof proy a u dan u – proy a u. jika u dan a adalah vektor – vektor dalam ruang berdimensi 2 atau3 dan jika a ≠ 0 maka :

D. Hasil kali silang Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v 1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai u x v = (u 2 v3- u3 v2, u3 v1- u1 v3, u1 v2 - u2 v1) Contoh : cari u x v dimana u = (3,4,2) dan v = (0,3,2) Penyelesaian:

33

u x v = (2, -2, 3) Teorema 1 : jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka : a) u.(u x v) = 0   b) v. (u x v) = 0 c)

║u x v║2 = ║u║2║v║2 – (u . v)2

d) u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w hasil

(u x v orthogonal terhadap u ) (u x v orthogonal terhadap v) (identitas lagrange) (hubungan antara hasil kali silang dan kali titik )

e) (u x v) x w = (u.w)v – (v.w).u hasil

(hubungan antara hasil kali silang dan kali titik )

Teorema 2 : jika u, v, dan w adalah vektor sembarang dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sembarang scalar  Tinjau vektor i = (1,0,0) j = (0,1,0) dan k = (0,0,1). Ketiga vektor ini masingmasing mempunyai panjang 1 dan terletak di sumbu koordinat. Vektor vektor ini disebut vektor satuan standar dalam ruang berdimensi 3. Setiap vektor v = (v1,v2,v3) dalam ruang berdimensi 3 dapat dinya takan dalam bentuk i,j, dan k karena kita bisa menuliskan v = (v1,v2,v3) = v1(1,0,0) + v 2(0,1,0) + v3(0,0,1) = v1i + v2 j + v3k Teorema 3 : teorema berikut ini memberikan suat interpretasi geometris yang  berguna dari determinan 2 x 2 dan 3 x 3 : a) Nilai mutlak determinan

34

Sama dengan luas jajaran genjang dalam ruang berdimensi 2 yang dibentuk oleh vektor u = (u 1,u2) dan v = (v1,v2).

 b) Nilai mutlak determinan

Teorema 4 : jika vektor – vektor u = (u 1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) dan w = (w1,w2,w3) mempunyai titik pangkal yang sama, maka ketiganya terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika

E. Bidang-bidang dalam ruang berdimensi 3 Sebuah bidang dalam ruang berdimensi tiga didapatkan dengan menentukan inklinasi dan salah satu titiknya. Sebuah metode yang mudah untuk menguraikan inklinasi adalah dengan menentukan suatu vector tidak nol (disebut suatu normal) yang tegak lurus dengan bidang tersebut. Persamaan bidang yang melalui titik P0(x0,y0 ,z0) dengan vector normal n=(a,b,c) contoh soal : cari sebuah persamaan bidang yang melalui titik (-5,8,2) dan tegak lurus terhadap vector n = (5,-2,1)  penyelesaian : a(x-x 0)+b(y-y0)+c(z-z0) = 0 5(x+5) -2 (y-8)+1 (z-2) = 0 5x + 25 - 2y + 16 + z -2 = 0 5x - 2y + z + 39 = 0 Teorema : Jika a, b , c, dan d adalah konstanta dan a, b, c, tidak semuanya nol, maka grafik persamaanya : ax + by + cz + d = 0 35

adalah sebuah bidang yang mempunyai vector n = (a, b, c) sebagai normal. ax + by + cz + d = 0 => bentuk umum dari persamaan sebuah bidang

Ruang Berdimensi-n Euclidean

Pasangan n bilangan berurutan (ganda-n berurut) adalah n bilangan real (a 1, a2, a3, …, an) sebagai titik ruang berdimensi-n (R n).

Beberapa definisi vektor dalam Rn. •

u1=v1, u2=v2, u3=v3, …, un=vn

•

u+v= (u1+v1, u2+v2, u3+v3, …, un+vn)

•

ku= (ku1, ku2, ku3, …, kun)

•

-u = (-u 1, -u2, -u3, …, -un)

•

v-u= (v1-u1, v2-u2, v3-u3, …, vn-un)

•

u-v= (u1-v1, u2-v2, u3-v3, …, un+vn)

•

u₀v = u1v1+u2v2+u3v3+…+unvn

36

•

u₀v = 0

Contoh soal: 1. Anggap u=(1, 2, 3, 4), v=(-3, 2, 3, 4), dan w=( 1, 1, 2, 0), carilah: a. (3v+w).(2u+v) b. 2(u-v)

Jawab: 1.a. (3v+w).(2v+w) =(3v).(2v+w) + (w).(2v+w) =[(3(-3,2,3,4)).(2(-3,2,3,4)+(1,1,2,0)]+ [(1,1,2,0).(2(-3,2,3,4)+(1,1,2,0)] =[(9,6,9,12).(6,4,6,8)+(1,1,2,0)]+[(1,1,2,0). (6,4,6,8)+(1,1,2,0)] =[(-54,24,54,96)+ (1,1,2,0)]+[(6,4,12,0)+(1,1,2,0)] =(-53,25,56,96)+(7,5,14,0) =(-46,30,70,96) c. 2(u-v) = 2 [(1, 2, 3, 4) - (-3, 2, 3, 4)] = 2(4, 0, 0, 0) = (8, 0, 0, 0) Teorema 4.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam R n) Teorema 4.4

Jika U, V € R n dan k adalah sembarang skalar, maka ||U|| 0  b) ||U||=0 jika dan hanya jika u=0 c) ||kU||=|k||U|| d) ||U+V|| ||U||+||V|| (ketaksamaan segitiga) a)

Teorema 4.5

Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor dalam R n dan k adalah sembarang sekalar, maka: d(U,V) 0  b) d(U,V)=0 jika dan hanya jika U=V c) d(U,V)= d(U,V) d) d(U,V) d(U,W)+ d(W,V) (ketaksamaan segitiga) a)

37

Teorema 4.6

Jika U dan V adalah vektor-vektor dalam R n dengan hasil kali dalam Euclidean, maka U.V=

1 4

|| U  + V  ||2 −

1 4

|| U  − V  ||2

KEORTOGONALAN

Definisi: Dua vektor dan dalam

disebut ortogonal jika

.

Contoh: Dalam ruang Euclidean R 4 vektor – vektor u=(1,2.3,8); v=(1,2,3,4) adalah orthogonal karena u.v= (1)(1)+(2)(2)+(3)(3)=0 Bila tegak lurus maka: 2

=

2

2

+

Karena Jika A suatu matriks

maka:

T 

u

T 

u

38

Contoh:

Jadi

Transformasi Linear Dari R n ke R m 

Fungsi – fungsi dari R n ke R  Fungsi adalah suatu aturan f yang menghubungkan setiap unsure dalam A ke satu dan hanya satu unsur dalm B Jika f menghubungkan unsur b dengan unsur a, maka ditulis b = f(a), dikatakan : (-) b adalah bayangan dari a dibawah f  (-) f (a) adalah nilai f di a

Dua buah fungsi dikatakan sama, f1 = f2 jika kedua fungsi memiliki dominant yang sama dan f1 (a) = f2 (a) suatu fungsi f : R n → R, ditulis sebagai : w = f (x1, x2, …., xn) 39

Contoh : f(x) = x 2

=> f : R → R 

f(x,y) = 2x – 4y

=> f : R2 → R 

f (x,y,z) = x + 2y –z

=> f : R 3  → R 

OPERATOR PENCERMINAN z

y

(-x,y)

(x,y,z)

(x,y)

w = T(x)

x

x

y

Pencerminan terhadap sumbu y

x Pencerminan terhadap bidang -x y

OPERATOR PROYEKSI y

Proyeksi orthogonal pada sumbu –x x,y

w1 = x

x

w2 = 0

 Y x,0 w (w1,w2)

x

θ r zα

x

0

0

y

x = r cosα

X

Proyeksi orthogonal pada sumbu –xy y = r sin α

r y

0

W=

OPERATOR ROTASI w

1

w1 = x w1 = r cos (α+θ) x

(x,y) (x,y,o) (x,y,z)

y

x

w2 = rWsin = (α+θ) w2 = y

1

0 0

0

0 0

40

w1 = r [cosα . cosθ – sinα sinθ] = cosα . cosθ – sinα sinθ w1 = x cos θ – y sin θ w2 = r [sinα cosθ + cosα sinθ] = r sinα cosθ + r cos α sinθ = Y cosθ + x sin θ w1 = x cosθ – y sin θ

W=

w2 = x sin θ + y cos θ

cosθ – sinθ

x

sinθ

y

cosθ

≈ Pelebaran ≈ Penyempitan w= k

o x

o

k y

w= k

o o x

o

k o y

o

o

(k) ≥ 1 → Pelebaran

d ≤ | k | < 1 → Penyempitan

k z

RUANG – RUANG VEKTOR UMUM A.

Aksioma Ruang Vektor

Anggap V  adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan yaitu penjumlahan dan perkalian dengan scalar ( bilangan ). Jika Devinisi

41

aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V  dan semua skala k  dan l , maka disebut V sebagai ruang vektor dan disebut objek dalam V sebagai vektor. 1) 2) 3) 4)

Jika u dan v adalah ojek – objek dalam V, maka u + v berada dalam V. u+v=v+u u + (v + w) = (u + v) + w Ada suatu objek 0 dan V, yang disebut suatu vector nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V. 5) Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek –u daam V, yang disebut negative dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka ku ada dalam V. 7) k(u + v) = ku + kv 8) (k + l)u = ku + lu 9) k(lu) = (kl)u 10)lu = u

Beberapa Sifat Vektor

Anggap V adalah suatu ruang vector u suatu vector dalam V, dan k suatu scalar; maka: a) b) c) d)

B.

0u = 0 K0 = 0 (-1)u = -u Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

Sub-Ruang

Devinisi suatu himpunan bagian w dari suatu ruang vector V disebut suatu sub-ruang dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vector dibawah penjumlahan dan perkalian scalar  yang didefinisikan pada V. Teorema 42

Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vector dari ruang vector V, maka W adalah suatu sub-ruang dari V jika dan hanya jika syarat syarat berikut ini terpenuhi. a) Jika u dan v adalah vector – vector dalam W, maka u + v ada dalam V.  b) Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebrang vector dalam W, maka ku ada dalam W. C. Kombinasi Linear Vektor-Vektor

Jika r=1, maka persamaan dalam definisi di atas menjadi w= k 1v1; yaitu,w adalah suatu, w adalah suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v 1 jika w adalah suatu  pengandaan skala dari v 1 Rentang

Jika v1,v2…,v, adalah vector-vektor dalam suatu ruang vector  V , maka secara umum beberapa vector dalam V mungkin merupakan kombinasi linear dari v 1,v2…,v, dan yang lainnya mungkin tidak. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa jika menyusun suatu himpunan W yang terdiri dari suatu vector-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari v1,v2…,v, itu, maka W membentuk suatu sub-ruang dari V. Teorema Jika v1,v2…,v, adalah vector-vektor dala suatu ruang vector V, maka (a) Himpunan

W semua kombinasi linear dari v 1,v2…,v, merupakan suatu sub-ruang dari v1,v2…,v,.

(b) W

adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi v 1,v2…,v, dalam pengertian bahwa setiap sub-ruang lain dari V yang berisi v 1,v2…,v, pasti mengandung W.

Merentang

Definisi : jika S={v1,v2,....,vr } sejumlah vektor pada ruang vektor V, maka subruang W dari V mengandung semua kombinasi linier vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang (ruang yang dibangun) oleh v 1,v2,...,vr  dan kita katakan bahwa vektor-vektor v 1,v2,...,vr  adalah rentang W.

43

Untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={ v1,v2,...,vr  } ditulis : W = rent (S) atau W = rent {v 1,v2,...,vr }

Contoh : Tentukan apakah v 1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) dan v 3 = (2,1,3) merentangkan ruang vektor R 3. Penyelesaian : Kita harus menentukan apakah suatu vektor sebarang b = (b 1,b2,b3) dalam R 3 bosa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier   b = k1v1+k2v2+k3v3 dari vektor v1,v2,v3. Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponenkomponen akan didapatkan :

(b1,b2,b3)=k1(1,1,2)+k2(1,0,1)+k3(2,1,3)

(b1,b2,b3)=(k1+k2+2k3,k1+k3,2k1+k2+3k3)

k1+k2+2k3 = b1 k1+

k3 = b2

2k1+k2+3k3 = b3

Dalam matriks :

lalu kita cek apakah v 1,v2,v3 merentangkan ruang vektor 

R 3 dengan cara

44

B31(-2)

B21(-1)

B3-B2

dari hasil di atas kita asumsikan

≠ 0 sehingga dari hasil di atas dapat kita

lihat bahwa matriks tersebut tidak memiliki spl konsisten sehingga v 1,v2,v3 tidak merentangkan terhadap R 3. Bebas Linear

Definisi : Jika S={v 1,v2,...,vr } adalah himpunan vektor tak nol, maka : k1v1 + k2v2 + ….+ kr vr  = 0 hanya mempunyai satu solusi : k 1 = 0 , k2 = 0, ... , k r  = 0 Maka S disebut himpunan yang bebas linear. Bila ada solusi lain, dinamakan himpunan  bergantung linear. Contoh : Buktikan jika v 1=(2,-1,0,3), v 2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektorvektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v 1+v2-v3=0

Penyelesian :

B42(3)

B43(-1)

B12(2)

B31(-1)

B1(1/5)

B21(-2)

45

Maka : k2+k3=0 , k2 = - k3 -k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3 Sehingga : -3k3v1 – k3v2 + k3v3 = 0 (dikali -1/k3) 3v1+v2-v3 = 0 Jadi terbukti, v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v 1+v2-v3=0 Basis dan Dimensi BASIS Basis untuk sebuah ruang vektor

Definisi: Jika adalah sembarang ruang vektor dan

adalah suatu

himpunan vektor – vektor dalam , maka disebut suatu basis untuk , jika dua syarat berikut ini dipenuhi: 

bebas secara linier 



merentangkan

Teorema: Jika vektor

adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka setiap dalam bisa dinyatakan dalam bentuk

dalam tepat satu cara. Koodinat – Koordinat Relatif Terhadap Sebuah Basis

Jika

adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor dan vektor – 

vektor dalam dapat dinyatakan dengan

46

Dimana

adalah ekspresi untuk suatu vektor dalam bentuk

  basis , maka skalar dalam

disebut koordinat relatif terhadap basis . Vektor ( yang tersusun dari koordinat – koordinat ini disebut koordinat

vektor relatif terhadap dinyatakan dengan:

Basis Standar Untuk 

Contoh: Jika

maka adalah himpunan yang bebas secara linier dalam

Himpunan ini juga merentangkan dalam

.

karena sebarang vector 

bisa dituliskan sebagai:

Jadi, adalah basis untuk

, ini disebut basis standar untuk

Dari

.

kita dapatkan bahwa koordinat relatif terhadap basis standar adalah

sehingga

Sehingga suatu vektor dan vektor koordinatnya relative terhadap basis standar  untuk

adalah sama.

Contoh : Anggap

tunjukkan bahwa himpunan adalah suatu basis untuk

.

Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang sembarang vektor

kita harus menunjukkan bahwa

bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier:

Dari vektor – vektor dalam . Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen  – komponen, kita akan mendapatkan: 47

Atau dengan menyamakan komponen – komponen yang berpadanan

Jadi, untuk menunjukkan bahwa merentang

, kita harus menunjukkan bahwa sistem

 persamaan diatas mempunyai suatu penyelesaian untuk semua pilihan Jika persamaan diatas kita ubah ke dalam bentuk matriks dan digandengkan dengan hasilnya lalu kita umpamakan dengan nama maka akan menjadi:

dari hasil reduksi matriks diatas kita lihat bahwa sistem persamaan linier tersebut memiliki suatu penyelesaian untuk semua pilihan b = Untuk membuktikan bahwa bebas secara linier kita harus menunjukkan bahwa satu –  satunya penyelesaian dari: adalah jika kita nyatakan dalam bentuk komponen – komponen,  pembuktian kebebasan berubah menjadi menunjukkan bahwa sistem homogen.

48

Hanya mempunyai penyelesaian trivial. Untuk membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang matriks koefisien

dengan menunjukkan bahwa

mempunyai determinan tak nol. Akan tetapi, setelah kita mencari determinan A hasilnya adalah

Sehingga S adalah suatu basis untuk DIMENSI Definisi :

Suatu ruang vector tak nol disebut berdimensi terhingga jika berisi suatu himpunan vektor terhingga

yang membentuk suatu basis. Jika tidak

ada himpunan yang seperti itu, maka disebut berdimensi tak-hingga. Disamping itu, kita akan menganggap ruang vector nol sebagai berdimensi terhingga. Teorema:

Jika adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan

adalah

sebarang basis, maka: 1. Setiap Setiap himpunan himpunan dengan dengan lebih lebih dari dari n vektor vektor adalah adalah tak bebas bebas secara secara linier  linier  2.

Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang

Teorema:

Semua basis untuk suatu ruang vector berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama. 49

Teorema:

Jika adalah suatu ruang vektor berdimensi , dan jika adalah himpunan dalam dengan tepat n vektor , maka adalah suatu basis untuk jika merentang atau bebas linier. Teorema: a.

Jika merentang tetapi bukan merupakan basis untuk , maka bisa direduksi menjadi suatu basis untuk dengan menghilangkan menghilangkan vektor yang tepat dari .

b.

Jika adalah suatu himpunan yang bebas linier tetapi tetapi belum belum menjadi basis untuk , maka bisa diperbesar menjadi basis untuk dengan menyelipkan vektor – vektor vektor yang yang tepat ke dalam \

Contoh:

Tentukan basis dan dimensinya! Jika diubah ke dalam bentuk matriks dan kita umpamakan Y maka akan menjadi:

50

Dari hasil reduksi matriks di atas kita dapatkan ,

,

,

,

yang menunjukkan bahwa vektor – vektor 

merentangkan ruang penyelesaian. penyelesaian. Karena vector – vector ini juga bebas secara linier, maka

adalah suatu basis dan ruang penyelesaiannya penyelesaiannya berdimensi dua.

Ruang Baris, ruang Kolom dan ruang Kosong

Definisi : Jika A ( m x n ) maka sub ruang dari R n yang terentang oleh vektor – vektor barisdari A disebut ruang baris dari A, dan vektor – vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari SPL Homogen Ax = 0 yang merupakan sub ruang dari R n disebut ruang kosong dari A. A(mxn)=

C1 C2

r 1,1, r 2, …, r m Є R n

Cn

: vektor – vektor baris baris dari A 51

c1, c2, …, cn Є R m

: vector – vector kolom dari A

A(mxn)=

C1

C2

Cn

X( n x 1) = Ax=b X1C1 + X2C2 + … + XnCn = b  b merupakan kombinasi linear dari c,i, i=1,…,n SPL A x = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom A. Jika X0 adalah sembarang penyelesaian tunggal dari suatu SPL A x = b, dan jika V 1, V2,…, Vk membentuk basis untuk ruang kosong A ( ruang penyelesaian SPL homogen A x =0 ), maka setiap penyelesaian dari A x = b bisa dinyatakan dalam bentuk : X = X0 + C1V1 + C2V2 + … + CK  VK  Dan sebaliknya, untuk semua pilihan skalar C 1, C2, … , CK , vector X merupakan suatu  penyelesaian dari A x = b. X0 :   penyelesaian dari A x = b A x =0

A x0 = b ,

Ax=b

A x - A x0 = 0 A (X - X0) = 0 X - X0 merupakan penyelesaian SPL homogen A x =0 X - X0 = C1V1 + C2V2 + … + CK  VK  X = X0 + C1V1 + C2V2 + … + CK  VK  52

A x = A ( X 0 + C1V1 + C2V2 + … + CK  VK ) = A x0 + C1(AV1) + C2 (AV2) + … + CK (AVK ) X0

 penyelesaian khusus dari A x = b

X0 + C1V1 + … + CK  VK 

 penyelesaian umum dari A x = b

C1V1 + C2V2 + … + CK  VK 

penyelesaian umum dari A x = 0

Penyelesaian Umum = penyelesaian khusus + penyelesaian umum dari A x = b

dari A x = b

Ax=0

Bila diketahui penyelesaian SPL tak homogen A x = b sebagai berikut :

=

=

Maka

+r

+ s

+ t

=

X= r

+s

+ t

53

Mencari Basis Dari Suatu Ruang

Basis dari ruang yang dibangun oleh vektor-vektor. Misal : {

,

, }

Langkah – langkah : 1. Susun vektor ke dalam matriks A=

2. Lakukan operasi baris dasar (OBE) untuk mendapatkan bentuk eselon baris dari A. 3.

Baris tak nol dari bentuk selon baris A akan membentuk baris dari ruang yang dibangun oleh { , , }.

Contoh : tentukan basis dari ruang yang dibangun oleh vektor – vektor berikut : = ( 1, -2, 0, 0, 3 ) = ( 2, -5, -3, -2, 6 ) = ( 0, 5, 15 10, 0 ) = ( 2, 6 18, 8, 6 )

1. Susun vektor ke dalam matriks : A= 2. Lakukan OBE :

54

RUANG KOSONG/ RUANG NUL (NULL SPACE)

Definisi Ruang Nul Misalkan kita anggap A adalah sebuah matriks, maka : Ruang nul (A) adalah ruang solusi dari system persamaan linier yang homogen Ax = 0, yang merupakan sub ruang dari R n. dapat dinyatakan dengan : S = ruang nul = {x|Ax = 0}  x1, x2 ϵ S, maka : Ax1 = 0 Ax2 = 0 A(x1 + x2) = 0 x1, x2 ϵ S, maka x1 + x2 ϵ S 1  untuk k scalar, x ϵ S, maka : A(k x 1) = k (A x 1) = k . 0 = 0 k x1 ϵ S

Dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas (nulity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(A). Sebagai contoh : Tentukan nulitas dari matriks berikut : B =

−1 3  2  4

2

0

−7

2

−5

2

−9

2

4

5 −3

0

1

  4 6 1   −4 −4 7  4

Penyelesaian : Bentuk eselon baris tereduksi dari B adalah 1 0  0  0

0

−4

1

−2

0

0

0

0

− 28 − 37 13  −12 −16 5   0 0 0  0 0 0

Untuk menetukan nulitas dari matriks A, tentukan terlebih dahulu dimensi dari ruang solusi system linier Ax = 0, system ini dapat diselesaikan dengan mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. System persamaan yang didapat adalah : x1 - 4x3 - 28x4 - 37x5 + 13x6 = 0 x2 – 2x3 – 12x4 -16x5 + 5x6 = 0 55

mencari solusi umum dari variable - variabel utama : x1 = 4x3 - 28x4 – 37x 5 + 13x6 x2 = 2x3 + 12x4 +16x5 – 5x6 jadi, x 1 = 4r – 28s + 37t + 13u x2 = 2r + 12s + 16t – 5u x3 = r  x4 = s x5 = t x6 = u secara ekuivalen :

 x   4      2 8  3 7 1 3   x   2 1 2 1 6  − 5  x  1   0   0   0    = r   +  s   + t   + u    x   0  1   0   0     0  0   1   0   x           x   0  0   0   1    1

2

3 4

5

6

Keempat vektor pada ruas kanan membentuk basis untuk ruang solusi, sehingga nulitas(A) = 4

Hubungan Antara Rank dan Nulitas Jika A adalah suatu matriks m x n, maka : rank(A) + nulitas(A) = n Bukti : A memiliki n kolom, maka system linier homogeny Ax = 0 memiliki n variable. Variable ini terbagi menjadi 2, yaitu variable utama dan bebas. Maka,

56

b  ba  v i +a va i  ab= rn   u   bt a •

Banyaknya variable utama = banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris

b a  n   tereduksi dari A, jadi : r  A(a ) + vn i ak   r= bn    b e  b Banyaknya variable bebas = nulitas(A) = banyaknya parameter pada solusi umum dari Ax = 0  Nilai Maksimum untuk Rank Jika A adalah matriks m x n, maka vector barisnya terletak pada Rn dan vector kolomnya terletak pada Rm. Ruang baris dan ruang kolom memiliki rank dari A yang sama, oleh karena itu jika m≠n, rank dari A yang terbanyak adalah nilai yang lebih kecil antara nilai m dan n, dapat dinotasikan dengan : rank(A) ≤ min(m,n) Sistem Linier yang Terdiri dari m Persamaan dengan n Faktor yang Tidak Diketahui •

57

Dalam sistem linier ini, m dan n tidak perlu sama. BAB VI RUANG – RUANG HASIL KALI DALAM

Hasil Kali Dalam

Definisi : Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V sedemikian hingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi oleh semua vektor u,v dan w dalam V serta semua skalar k.

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidean Terboboti

Ruang hasil kali dalam euclidean terboboti dengan bobot w1,w2,...,wn untuk vektor u dan v ϵ R n didefinisikan sebagai : = w1u1v1+w2u2v2+...+wnunvn

Panjang dan Jarak dalam Ruang Hasil Kali Dalam

Jika V suatu ruang hasil kali dalam maka norma suatu vektor u dalam V dinyatakan sebagai dengan definisi :

Jarak antar 2 vektor u dan v dinyatakan dengan d

Sifat-sifat hasil kali dalam : a. b. c. d. e.

Contoh 1:

u=(3,2), v=(5,4), w=(1,2) maka 58

= u.v + u.w = (15+8)+(3+4) = 23+7 = 30

=

Contoh 2 :

4u1v1+3u2v2 maka 4v1w1+3v2w2 = 4(5) + 3(8) = 20 + 24 = 54 =

Contoh 3 :

Hitung

jika U=

Penyelesaian :

dan V=

u1v1+2u2v2+3u3v3+4u4v4 = 3.1+2.2.1+3.1.3+4.2.2 = 3 + 4 + 9 + 16 = 32

Contoh 4 :

jika p =1+x+2x2 dan q=5 – 2x2

Tentukan Jawab :

= p0q0 + p1q1 + p2q2 = 1.5 + 1.0 + 2.(-2) = 5 + 0 – 4 = 1

Contoh 5 :

Tentukan

suatu hasil kali dalam pada R 2 yang dibangkitkan oleh Matriks A dengan A = , u=(0,-3) dan v=(6,2)

Penyelesaian : = Au.Av = vTAT Au

59

= (6 2)

= (14 0)

Sudut dan Keortogonalan dalam Ruang Hasil Kali Dalam

Cos θ =

(u ┴ v) u dan v saling ortogonal jika

=0

Contoh 6 :

Bila u dan v suati vektor dalam R 2 dengan definisi diapit oleh u dan v untuk u= (2,4) dan v=(2,8)

= u1v1 + 2u2v2 , tentukan cos sudut yang

Penyelesaian : = u1v1 + 2u2v2 = 2.2 +2.4.8 = 4 + 64 = 68 = =

Cos θ =

=

=

=6 =2

=

Basis – Basis Ortogonal

Suatu himpunan vector dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua  pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Suatu himpunan dimana setiap vektor mempunyai norma 1 disebut ortonormal.

Contoh 7:

60

u1 =(0,1,0) , u2=(1,0,1) , u3=(1,0,-1) ; S={u1,u2,u3} S merupakan himpunan yang ortogonal karena , bernilai nol. Norma u1,u2,u3 adalah =1 , = = sehingga vektor-vektor ortonormal q1,q2,q3 diperoleh dengan :

=

=

=

Contoh 8:

Apakah A merupakan basis ortonormal pada

?

Periksa bebas linier vector-vektor dalam U (memiliki solusi trivial)

B21(1)

61

(memiliki solusi trivial)⇒vektor dalam U saling bebas linier. 1. t juga akan ditunjukan bahwa sembarang vector V=(a,b,c) direntang oleh U

Beriku

Ini menunjukan U merentang V, karena U bebas linier dan merentang V maka A merupakan basis  

pada

. Dilihat

2.

apakah

untuk i≠j dan apakah 62

Terlihat bahwa

untuk i≠j dan

Maka dapat disimpulkan bahwa U merupakan basisi ortonormal pada

Proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis-basis Ortogonal/Ortonormal

Setiap ruang hasil kali dalam tak nol berdimensi terhingga mempunyai basis ortonormal.

Bila V  adalah sembarang ruang hasil kali dalam tak nol berdimensi terhingga, dan sembarang basis untuk V . dalam membentuk basis-basis orthogonal untuk V  dilakukan langkah berikut: 1.

Tetapkan

2.

(

3.

( 63

………………………….dst………………..

n.

(

Bila

basis ortonormalnya untuk V  maka:

:

1.

Tetapkan

2. 3.

……………………dst………………….. n.

Contoh 9 :

S=

basis pada R 3 dengan

=(1,1,1),

(-1,1,0) dan

(1,2,1)

Melalui proses Gram Schmidt ubahlah basis – basis tersebut menjadi basis ortogonal dan ortonormal.

64

Misalkan S’ =

basis ortogonal pada R 3 diperoleh melalui :

Misalkan v1=u1=(1,1,1) 2. Selanjutnya v2=u21.

=

3.

v3 = u3 -

=

Jadi basis ortogonal dari S pada R 3 =

Lalu basis ortonormalnya dapat di cari dengan 2 cara :

Cara 1 : membagi basis-basis ortogonal dengan normanya

Cara 2 : secara langsung melalui proses Gram Schmidt 65

=

=

=

=

BAB VII Nilai Eigen dan Vector Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi : Jika A adalah suatu matriks n x n maka vektor tak nol pada R n disebut suatu vektor eigen dari A  jika Ax adalah suatu penggandaan scalar dar x yaitu Ax = λx Untuk suatu scalar λ . skalar λ disebut nilai eigen dari A dan x disebut suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan λ. Contoh

:

Jawab :

66

Det(λ I – A) = 0 =0 (

(

maka nilai eigen dari A adalah untuk

Jadi vektor Untuk

merupakan suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan :

Jadi vektor

merupakan suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

Diagonalisasi

Definisi: Suatu matriks segi Amxn dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sehingga AP merupakan matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Langkah – langkah untuk diagonalisasi Matriks : 1.

menentukan vektor eigen A ,misalkan p1,p2,...,pn

2.

tentukan matriks P yang memiliki p1,p2,...,pn

3.

matriks

AP adalah matriks diagonal dengan 1, 2,...,

n

67

contoh : carilah sebuah matriks yang mendiagonalisasi : A=

(

det(

((

)(

(

=

 jika

2 +2

+

Misal :

x=

=

Jika 68

-2 +2 -4 = 0

x=

P=

Diagonalisasi Ortogonal

Matriks ortogonal, matriks simetri dimana

=

;

= Contoh : P=

=

, =

=

=

69

=

=

70