18
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang semua suku konstannya nol sehingga bentuk umum SPL homogen ini sebagai berikut.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0
a21x1+a22x2+…+a2nxn=0
am1x1+am2x2+…+amnxn=0
Karena semua suku konstan nol, maka jika dilakukan OBE tetap saja suku konstannya nol dan oleh karena itu matriks lengkap SPL homogen ini sering disingkat tanpa memasukkan kolom suku konstan yaitu
a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn
SPL homogen selalu konsisten, minimal mempunyai penyelesaian nol x1=x2=…=xn=0 yang disebut penyelesaian trivial. Jika terdapat penyelesaian yang lain, disebut penyelesaian tak-trivial. Jadi, sistem persamaan linear homogen mempunyai dua kemungkinan, yaitu:
Mempunyai penyelesaian trivial.
Mempunyai penyelesaian banyak (tak-trivial).
Dalam kasus linear homogen khusus dari dua persamaan dengan dua peubah, katakanlah
a1x+b1y=0 (a1,b1 tidak keduanya nol)
a2x+b2y=0 a2,b2 tidak keduanya nol,
grafik persamaannya berupa garis-garis yang melalui titik asal, dan penyelesaian trivialnya berpadanan dengan perpotongan di titik asal. Berikut gambar grafiknya.
a1x+b1y=0danyya1x+b1y=0a2x+b2y=0x
a1x+b1y=0
dan
y
y
a1x+b1y=0
a2x+b2y=0
x
a2x+b2y=0
a2x+b2y=0
x
x
Penyelesaian trivial Penyelesaian banyak(tak-trivial)
Sistem persamaan berikut:
x1+2x2-3x3=0
x1+x2+5x3=0
Adalah sistem persamaan linear dengan tiga variabel dan dua persamaan sehingga mempunyai banyak penyelesaian (tak-trivial). Karena dalam sistem persamaan linear homogen, ruas kanan dari setiap persamaan bernilai nol, maka ketika dikenakan operasi baris elementer (OBE) tidak akan mengalami perubahan, sehingga untuk mencari penyelesaiannya tidak perlu menggunakan matriks lengkap, cukup menggunakan matriks koefisiennya saja.
Ada suatu kasus di mana suatu sistem homogen dijamin mempunyai penyelesaian tak- trivial, yaitu, jika sistem tersebut mencakup jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaannya.
Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian tak trivial, jika banyaknya variabel lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.Teorema 1:
Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian tak trivial, jika banyaknya variabel lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.
3x1+3x2+2x3+2x4=0
-2x1-2x2+x3+x4=0
2x1+2x2-3x3-3x4=0
3x1+3x2+4x3+4x4=0
Penyelesaian:
33-2-222112233-3-344b1+b2 ~11-2-233112233-3-344b2+2b1b3+-2b1b4+-3b1 ~110033770000-9-9-5-5
17b2 ~110033110000-9-9-5-5b3+9b2b4+5b2 ~1100331100000000b1-3b2 ~1100001100000000.
diubah ke SPL menjadi
1.x1+1.x2+0.x3+0.x4=0
0.x1+0.x2+1.x3+1.x4=0
0.x1+0.x2+0.x3+0.x4=0
0.x1+0.x2+0.x3+0.x4=0
atau x1+x2=0 atau x1=-x2
x3+x4=0 x3=-x4
Karena x2 dan x4 bernilai sebarang bilangan riil maka keduanya dapat diganti dengan parameter, misalnya, x2=t dan x4=s, sehingga penyelesaian SPL homogen tersebut ialah: t ϵ R"x1=-t, x2=t, x3=-s, x4=s.
Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian trivial, jika dan hanya jika matriks koefisien A berukuran n×n ekuivalen baris dengan matriks identitas.Teorema 2:
Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian trivial, jika dan hanya jika matriks koefisien A berukuran n×n ekuivalen baris dengan matriks identitas.
Salah satu hal yang menarik dalam mempelajari sistem persamaan linear homogen adalah menyelesaikan sistem persamaan linear homogen yang hanya mempunyai penyelesaian tunggal (yaitu hanya mempunyai penyelesaian trivial). Hal ini terjadi apabila matriks koefisien dari sistem persamaan linear homogen ekuivalen dengan matriks identitas, In=100010001 0 0 0 000 1
sehingga sistem persamaan linear homogen yang di hasilkan berbentuk:
x1=0
x2=0
xn=0
dan penyelesaian dari sistem ini adalah trivial.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.
x1+2x2+3x3=0
2x1-x2+4x3=0 adalah 1232-14318
3x1+x2+8x3=0
Kemudian kita lakukan operasi baris elementer (OBE):
1232-14318b3+-3b1b2+-2b1 ~1230-5-20-5-1b3+-1b2 ~1230-5-2001
-15b2 ~1230125001b1+(-1)b3b2+-215b3 ~12001000113b3b1+(-2)b2 ~100010001.
Karena matriks koefisien tersebut ekuivalen dengan matriks identitas, maka sistem persamaan linear memiliki solusi trivial.
