NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 PENGENALAN Sistem persamaan linear mengandungi pelbagai kaedah penyelesaian seperti kaedah penggantian, penghapusan, penggantian belakang, kaedah penghapusan Gauss, kaedah Gauss Jordan, Petua Cramer, OPB dan kaedah Adjoin. Persamaan linear adalah satu persamaan yang mempunyai pembolehubah berdarjah satu. Persamaan linear yang mempunyai tiga pembolehubah boleh ditulis sebagai ax + by + cz = d dengan a, b, c dan d adalah pemalar. Walau bagaimanapun, persamaan linear tidak terhad kepada dua atau tiga pembolehubah sahaja, malah ia boleh menjadi empat atau lebih banyak pembolehubah. Secara umumnya persamaan linear boleh ditakrifkan seperti :
Persamaan Linear dengan n pembolehubah x1, x2,.... xn adalah persamaan berbentuk [a1x1 + a2x2 + ...... + anxn = b] [a1 , a2 ...... an dan b adalah nombor nyata]
1
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 Soalan penyelesaian masalah sistem persamaan linear. 1. Suatu syarikat pembuat gula-gula mencampurkan coklat, susu dan kelapa untuk menghasilkan tiga jenis gula-gula iaitu gula-gula jenama “Manis”, “Harum” dan “Sedap” dengan kandungan tiap-tiap jenis seperti berikut:
Manis
7 kg coklat
5 gelen susu
1 g kelapa
Harum
3 kg coklat
2 gelen susu
2 g kelapa
Sedap
4 kg coklat
3 gelen susu
3 g kelapa
Jika 67 kg coklat, 48 gelen susu dan 32 g kelapa berada dalam stok, cari kuantiti bagi tiap-tiap jenis gula-gula yang dapat dibuat.
Penyelesaian masalah 1.
x = bilangan gula-gula Manis y = bilangan gula-gula Harum z = bilangan gula-gula Sedap
2.
3.
Coklat
Susu
Kelapa
Bil
Manis
7
5
1
X
Harum
3
2
2
Y
Sedap
4
3
3
Z
Jumlah
67
48
32
Coklat : 7x 3y 4z = 67 Susu
: 5x 2y 3z = 48
Kelapa :
4.
x 2y 3z = 32
Kaedah yang digunakan adalah: i. Kaedah penghapusan ii. Kaedah penggantian iii. Petua Cramer iv. Kaedah gauss 2
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 KAEDAH 1 : Penghapusan
1
7x + 3y + 4z = 67
Persamaan
5x + 2y + 3z = 48
Persamaan 2
x + 2y + 3z = 32
Persamaan
3
Langkah 1 : Cari persamaan 4 dengan cara = Persamaan 1 tolak persamaan 2 7x + 3y + 4z = 67 -
5x + 2y + 3z = 48 2x +
y+
z = 19
Persamaan 4
Langkah 2 : Cari nilai x dengan cara persamaan 2 tolak persamaan 3 5x + 2y + 3z = 48 -
x + 2y + 3z = 32 4x = 16 x = x = 4
Langkah 3 : Gantikan x = 4 ke dalam persamaan 4 iaitu (2x + y + z = 19) 2(4) +
y + z = 19 y + z = 19 - 8 y = 11 - z
Langkah 4: Gantikan x = 4 dan y = 11-z ke dalam persamaan 3 bagi mencari nilai z. x + 2y + 3z
= 32
4 + 2 (11 – z) + 3z = 32 22 – 2z + 3z = 32 – 4 z = 28 – 22 z = 6
3
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 Langkah 5 : Gantikan x = 4 dan z = 6 kedalam persamaan 3 x + 2y + 3z
= 32
4 + 2y + 3(6) = 32 2y
= 32 – 22
y
=
y
= 5
Nilai yang diperolehi ialah x = 4, y = 5 dan z = 6
Buktinya: 7x + 3y + 4z
= 67
7(4) + 3(5) + 4(6) = 67 28 + 15 + 24 67
5x + 2y + 3z
= 67 = 67 terbukti nilainya sama
= 48
5(4) + 2(5) + 3(6) = 48 20 + 10 + 18
= 48 48
= 48 terbukti nilainya sama
x + 2y + 3z
= 32
4 + 2(5) + 3(6)
= 32
4 + 10 + 18
= 32 terbukti nilainya sama
4
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 KAEDAH 2 : Penggantian 1
7x + 3y + 4z = 67
Persamaan
5x + 2y + 3z = 48
Persamaan 2
x + 2y + 3z = 32
Persamaan
3
Langkah 1 : Cari persamaan 4 melalui persamaan 1 7x + 3y + 4z = 67 3y = 67 - 7x – 4z y = 67 - 7x – 4z
Persamaan 4
3 Langkah 2 : Cari persamaan 5 melalui persamaan 2 5x + 2y + 3z = 48 2y = 48 - 5x – 3z y = 48 - 5x – 3z
Persamaan 5
2 Langkah 3 : Cari nilai x dengan cara menyeimbangkan persamaan 4 dengan persamaan 5 67 - 7x – 4z = 48 – 5x – 3z 3 2 2(67 - 7x – 4z) = 3(48 - 5x – 3z) 134 – 14x – 8z = 144 – 15x – 9z – 14x + 15x = 144 – 134 – 9z + 8z x = 10 – z
Langkah 4 : Gantikan x = 10 - z ke dalam persamaan 3 bagi mencari nilai y. x + 2y + 3z
= 32
10 - z + 2y + 3z
= 32
2y y
= 32 – 10 – 2z = 11 – z
5
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 Langkah 5 : Gantikan x = 10 - z dan y = 11 – z ke dalam persamaan 1 bagi mencari nilai z . 7x + 3y + 4z = 7(10 – z) + 3(11 – z) + 4z = 70 – 7z + 33 – 3z + 4z = – 7z – 3z + 4z = 6z =
67 67 67 67 – 70 – 33 - 36
z = z = 6 Langkah 6 : Gantikan z = 6 ke dalam x = 10 – z dan y = 11 - z x = 10 – z x = 10 – 6 x=4
y = 11 – z y = 11 – 6 y=5
Nilai yang diperolehi ialah x = 4, y = 5 dan z = 6
6
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 KAEDAH 3 : Petua Cramer
7x + 3y + 4z = 67 5x + 2y + 3z = 48 x + 2y + 3z = 32 Langkah 1 : Menulis sistem persamaan linear dalam bentuk persamaan matriks.
[
][ ]
A=[
[
]
] x=[ ] b=[
]
Langkah 2 : Cari penentu bagi A melalui baris 3. -
baris 3 dipilih kerana nilai pembolehubahnya lebih kecil berbanding nilai pembolehubah pada baris pertama dan kedua
A=[
| |= | |
] =[
|
| – (2) |
]
| + (3) |
|
= [ (1)(9 - 8) – (2)(21 - 20) + (3)(14 - 15) ]
| | = [ (1)1 – (2)1 + (3)(-1) ] | | = [1-2-3] | | = -4
7
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 Langkah 3 : Mencari penentu bagi A1 , gantikan lajur pertama dengan matriks b A1 =
[
]b = [
| A1| =
|
]
(
| – 2|
| + 3|
)
|
| A1| = [ 32(9 - 8) – 2(201- 192) + (3)(134 - 144 ) ] | A1| = [ 32(1) – 2(9) + 3(-10) ] | A1|
= [ 32 - 18 - 30 ] = - 16
Langkah 3 : Mencari penentu bagi A2 , gantikan lajur kedua dengan matriks b A2 =
[
| A2| = |
] b=[
]
| – 32|
(
| + 3|
)
|
| A2| = [ 1(201 - 192) – 32(21- 20) + 3(336 - 335 ) ] | A2| = [ 1(9) – 32(1) + 3(1) ] | A2|
= [ 9 - 32 + 3 ] = - 20
Langkah 4 : Mencari penentu bagi A3 , gantikan lajur kedua dengan matriks b A3 = [ | A3| = |
] b=[ | – 2|
]
( | + 32 |
) |
| A3| = [ 1(144 - 134) – 2(336 - 335) + 32(14 - 15 ) ]
8
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 | A3|
= [ 1(10) – 2(1) + 32(-1) ]
| A3|
= [ 10 - 2 - 32 ] = - 24
Langkah 5 : Selesaikan [
][ ]
[
]
x=-
y=-
z=-
=4
=5
=6
Nilai yang diperolehi ialah x = 4, y = 5 dan z = 6
9
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 KAEDAH 4 : Kaedah Gauss
7x + 3y + 4z = 67 5x + 2y + 3z = 48 x + 2y + 3z = 32
Langkah 1 : Tukarkan sistem di atas kepada bentuk matriks imbuhan seperti berikut: (
)
Langkah 2 : Tukarkan semua pemasukan lajur ketiga pada baris pertama dan semua pemasukan lajur pertama pada baris ketiga iaitu kepada Bentuk Elson baris
↔
(
→
(
→
→
→
)
(
)
=
)
=
(
)
(
(
=
)
=
)
=
10
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3
→
(
)
(
)
=
=
Langkah 3 : Hasil matriks imbuhan dalam bentuk Eselon Baris ialah x + 2y + 3z y+
= 32
(6) = 14 z
= 6
Langkah 4 : Gunakan teknik penggantian belakang y+
(6) = 14 y
= 14 – 9
y
= 5
x + 2y + 3z
= 32
x + 2(5) + 3(6) = 32 x = 32 – 10 – 18 x = 4
Nilai yang diperolehi ialah x = 4, y = 5 dan z = 6
11
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 JUSTIFIKASI PENGGUNAAN KAEDAH PENGGANTIAN, PENGHAPUSAN, CRAMER DAN GAUSS Setelah menyelesaikan Persamaan Linear yang diberikan, dengan menggunakan empat kaedah iaitu Kaedah Penghapusan, Kaedah Penggantian, Petua Cramer dan Kaedah Gauss, saya dapat menyimpulkan bahawa kesemua kaedah mempunyai kekuatan tersendiri. i)
KAEDAH PENGHAPUSAN Bagi kaedah penghapusan, kita boleh memperoleh jawapan dengan cara
menghapuskan salah satu persamaan untuk mencari sesuatu nilai pembolehubah. Setelah satu nilai diperolehi sama ada nilai x @ y @ z, maka nilai seterusnya boleh diperolehi dengan memasukkan nilai kepada persamaan yang berkenaan. Cara yang sama akan dilakukan kepada persamaan lain untuk memperolehi nilai pembolehubah seterusnya. ii)
KAEDAH PENGGANTIAN Kaedah ini merupakan satu kaedah di mana satu pembolehubah dijadikan perkara
rumus untuk digantikan ke dalam persamaan yang lain. Sistem ini boleh menjadi sukar untuk diselesaikan kecuali pendekatan yang sistematik digunakan. Tiada peraturan khusus yang perlu dipatuhi dalam menyelesaikan sesuatu permasalahan. Pelbagai cara boleh ditunjukkan dengan
mewujudkan
persamaan
yang
baru.
Melalui
persamaan-persamaan
yang
diwujudkan maka sesuatu nilai pembolehubah boleh terus diperolehi atau juga perlu dimasukkan sesuatu nilai pembolehubah kepada mana – mana persamaan yang lain. Kaedah ini lebih kurang sama dengan kaedah penghapusan iaitu menggantikan sesuatu nilai pembolehubah yang telah diperolehi kepada persamaan lain untuk memperoleh nilai pembolehubah yang seterusnya. iii)
PETUA CRAMER Petua Cramer merupakan kaedah yang agak mudah dan menyeronokkan untuk
dikendalikan kerana ia memerlukan masa yang singkat dan menggunakan penentu matriks sahaja. Contoh :
X1 =
X2 =
Xn =
Walau bagaimanapun, saya perlu berhati – hati dalam membuat pengiraan kerana ia melibatkan nilai negatif dan positif. Sekiranya seseorang itu melakukan kecuaian pada peringkat awal iaitu dalam mencari nilai penentu bagi sesuatu pembolehubah maka jawapan yang seterusnya tidak bermakna. Kepekaan mata melihat sesuatu lajur dan baris dengan berhati-hati diutamakan. Akan tetapi petua cramer tidak boleh digunakan sekiranya nilai penentu adalah 0.
12
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 iv)
KAEDAH GAUSS Penggunaan kaedah ini agak rumit untuk diselesaikan. Jika dilihat, pengiraan untuk
menghasilkan matrik eselon baris agak panjang dan kita juga perlu menggunakan kaedah penghapusan pada langkah terakhir. Masalah mungkin akan timbul dengan pelbagai langkah yang berbeza-beza untuk soalan yang berbeza. Skala yang ingin didarabkan perlu difikirkan berdasarkan soalan yang ingin diselesaikan. Ini mungkin akan memakan masa yang lama dalam membuat keputusan sama ada menolak, menambah, mendarab atau membahagi dengan nilai tertentu bagi mnurunkan matriks kepada bentuk Eselon Baris. Kesimpulannya, cara yang paling ringkas dan kebarangkalian untuk salah itu rendah adalah melalui kaedah penghapusan. Melaui kaedah ini, jawapan yang diperolehi boleh disemak dengan cara pembuktian.
13
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 REFLEKSI Saya berasa bersyukur kerana dapat menyiapkan tugasan yang diberikan kepada saya pada tarikh yang telah ditetapkan. Kerja kursus berasaskan ilmu ini merupakan salah satu komponen penilaian terhadap pencapaian pelajar selain daripada menduduki peperiksaan. Justeru itu, satu tugasan kerja kursus untuk matapelajaran MTE3110(Algebra Linear) telah diberikan kepada pelajar-pelajar yang mengambil subjek ini.
Tugasan ini telah memberi peluang kepada saya untuk mempraktikkan apa yang saya pelajari di dalam kelas. Tugasan ini juga telah membuatkan saya menjadi lebih faham mengenai tajuk yang saya belajar di dalam kelas iaitu sistem algebra linear. Terdapat pelbagai cabaran yang saya hadapi dalam menyiapkan tugasan ini. Antaranya ialah kesukaran untuk memahami tugasan ini. Setelah mendapat penjelasan daripada pensyarah dan rakan, barulah saya faham dan mula untuk melaksanakan tugasan ini. Selain itu, saya juga menghadapi masalah kekangan masa. Ini kerana terdapat tugasan lain yang perlu saya siapkan dan dalam masa yang sama tugasan ini perlu disiapkan dalam musim perayaan.
Dalam tugasan ini, saya dikehendaki menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dengan empat kaedah yang telah dipelajari dalam kursus algebra linear. Seterusnya, saya perlu menunjukkan langkah-langkah penyelesaian dengan jelas dan tertib.
Tugasan ini memberi banyak pengalaman baru kepada saya. Daripada tugasan ini juga, saya telah membaca dan mengkaji semua kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah ini. Saya yakin bahawa, jika tugasan ini tidak diberikan kepada saya maka saya tidak akan membaca dan mengkaji dengan lebih mendalam terhadap tajuk ini. Selain itu, saya turut berbincang dengan rakan setugas saya di sekolah bagi mendapatkan idea untuk menyelesaikan masalah ini. Saya juga turut berhubung dan berbincang dengan rakan sekelas yang mana mereka bertugas di sekolah lain untuk mendapatkan idea. Hal ini menunjukkan bukti bahawa tugasan ini merapatkan hubungan silaturahim antara guru walaupun bertugas di sekolah yang berlainan.
Saya mendapat pelbagai manfaat daripada tugasan ini, iaitu mengukuhkan kemahiran dan pengetahuan berkaitan sistem persamaan linear dan meluaskan jaringan sumber pengetahuan seperti internet, jurnal dan buku rujukan. Selain itu, saya dapat mengaplikasikan
kaedah-kaedah
yang
dipelajari
dalam
sistem
persamaan
linear.
Seterusnya, saya dapat membuat perbandingan antara kaedah-kaedah yang digunakan dan memberi justifikasi penggunaan kaedah-kaedah tersebut. Akhir sekali, saya rasa lebih bersedia untuk menghadapi peperiksaan apabila dapat menyiapkan tugasan ini. 14
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3 Tajuk algebra ini merupakan satu matepelajaran yang amat berguna bagi menyelesaikan masalah-masalah dalam bidang kejuruteraan, sains, ekonomi, perniagaan dan pendidikan. Kesimpulannya, kita perlu belajar matematik kerana semua aktiviti seharian melibatkan pengiraan. Jika kita memahami tajuk ini, kita akan mudah untuk mengira dan melakukan aktiviti seharian. Ilmu matematik ini amat penting dan jika kita tidak menguasainya, kehidupan kita mudah ditindas. Sekian terima kasih.
15
NORHAFIZAH RENLEI – PPG SEM 5 : MTE3
Rujukan: Wilde C. (1998), Linear Algebra (terjemahan), Skudai: Penerbit UTM. Lay, David C., (1997), Linear Algebra and Its Application, 2 nd Ed., London : MacMillan.
16
