Sistem Persamaan Linear

Bunga Indah Sari 110405082

SISTEM PERSAMAAN LINEAR  Dalam bidang kimia, sistem persamaan linear dibutuhkan untuk menyelesaikan  perhitungan terkait dengan prinsip kesetimbangan kimia. Sebagai contohnya, pada proses  penyampuran toluene C7H8 dan nitric acid HNO3 yang menghasilkan trinitrotoluene C7H5O6N3. Berdasarkan persamaan kimia

diperoleh beberapa persamaan linear 

Keempat persamaan di atas di sebut dengan persamaan linear karena setiap variabelnya mempunyai pangkat satu, dan bukan merupakan fungsi trigonometri, logaritma maupun eksponensial. Himpunan dari beberapa persamaan linear yang jumlahnya berhingga disebut dengan sistem persamaan linear. Secara umum suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n variable (faktor yang tidak diketahui) dapat ditulis sebagai

Dengan

merupakan konstanta, sedangkan x1, x2

, …,

xn merupakan variabel yang dicari. Perkalian matriks matriks memiliki aplikasi aplikasi penting dalam sistem persamaan linear. linear. Perhatikan sistem sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak tidak diketahui berikut ini.

Bunga Indah Sari 110405082

Karena dua matriks adalah setara jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian adalah setara, maka kita dapat menukar m persamaan dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal.

Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan dapat ditulis sebagai hasilkali, sehingga kita memperoleh

Jika kita menyebut matriks-matriks di atas masing-masing sebagai A, x dan b, maka system asli yang terdiri dari m dari persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui telah digantikan dengan  persamaan matriks tunggal berikut ini. Ax = b Matriks A pada persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut. Matriks yang diperbesar dari sistem tersebut diperoleh dengan menggabungkan b ke A sebagai kolom terakhir, sehingga bentuk matriks yang diperbesar men jadi

Bunga Indah Sari 110405082

1. Metode Matriks Yang Diperbesar  Suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dengan n factor yang tidak  diketahui dapat dipersingkat dengan hanya menuliskan deretan bilanganbilangan dalam jajaran empat persegi panjang:

Ini disebut matriks yang diperbesar dari sistem tersebut. Contoh 1: Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 - 3x3 = 1 3x1 + 6x2 - 5x3 = 0 Adalah

Ketika menyusun suatu matriks yang diperbesar, faktor-faktor yang tidak diketahui harus ditulis dengan urutan yang sama untuk setiap persamaan dan konstanta harus berada pada bagian paling kanan. Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan solusi yang sama tapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini biasanya diperoleh dengan melalui  beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga jenis tipe operasi berikut untuk mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis. 1. mengalikan persamaan dengan konstanta tak nol 2. menukarkan posisi dua persamaan 3. menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.

Bunga Indah Sari 110405082

Contoh 2. Menyelesaikan sistem yang sama dengan contoh sebelumnya dengan melakukan operasi terhadap baris pada matriks yang diperbesar. Sistem persamaan linear terlebih dahulu disajikan dalam matriks yang diperbesar, yaitu

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem di atas adalah 1. tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh

2. tambahkan -3 kali baris pertama ke baris ketiga un tuk memperoleh

3. kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh

4. tambahkan -3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh

5. kalikan baris ketiga dengan -2 untuk memperoleh

6. tambahkan -1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh

Bunga Indah Sari 110405082

7. tambahkan -11/2 kali baris ketiga ke baris pertama dan 7/2 kali baris ketiga ke baris kedua untuk memperoleh

 jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3.