KAPITA SELEKTA KELAS C KELOMPOK 8 REVISI KE-1
PROGRAM LINEAR DAN MATRIKS
Oleh: Firda Yulian Sari
(140210101070) (140210101070)
Nur Hamidah
(140210101094) (140210101094)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2017
1
DAFTAR ISI BAB 1. PROGRAM LINEAR ............................................................ ............................................................................. .................. 1 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ......................................... ........................................ 1
............................................................... ............................................ ...................... 3 A. Model Matematika ......................................... B.
.................................... 5 Nilai Maksimal Suatu Fungsi Tujuan (Objektif) ....................................
1.
............................................................... ................................. ........... 5 Metode Uji Titik Pojok .........................................
2.
............................................................................. ...................... 5 Metode Garis Selidik ........................................................
............................................................... ............................................ ............................... ......... 12 BAB 2. MATRIKS ......................................... .................................................................. ...................................... ................ 12 A. Pengertian Matriks ............................................ B.
.............................................................. .................... 15 Operasi Hitung Bilangan Bulat ..........................................
1.
........................................... 15 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ...........................................
2.
.......................................... 17 Perkalian Bilangan Real dengan Matriks ..........................................
3.
............................................................... ............................... ......... 20 Perkalian Dua Matriks .........................................
............................................................. .................... 23 C. Determinan dan Invers Matriks ......................................... 1.
........................................................ ............................................. ................................... ............ 23 Determinan. ..................................
2.
Invers Matriks ............................................ .................................................................. .......................................... .................... 24
D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear .......................... .......................... 31 Soal dari kelompok 9 ............................................ ................................................................... ............................................. ........................ 37 DAFTAR PUSTAKA ............................................ ................................................................... ............................................. ........................ 42
i
DAFTAR GAMBAR .................................................................................... 1 Gambar 1 Grafik garis x 2 y 4 ..................................................................................... ....................................................................... 2 Gambar 2 Daerah penyelesaian x 2 y 4 .......................................................................
Gambar 3 Daerah penyelesaian yang memenuhi x y 4, 3 x y 0 dan x 0 ........... 2 Gambar 4 Daerah penyelesaian yang memenuhi 2 x y 4, 4 x 2 y 6, x y 0 dan ................................................................................................................................ 3 y 0 . .................................................................................................................................
Gambar 5 Daerah penyelesaian yang memenuhi 2 x 6 y 8 , x y 1, ....................................................................................................................... 6 x 0, y 0 .......................................................................................................................
Gambar 6 Garis-garis selidik yang memenuhi 2 x 6 y 8 , x y 1, x 0, y 0
9
Gambar 7 Garis-garis selidik yang memenuhi 3 x 6 y 1500 , 4 x 2 y 1040 , ..................................................................................................................... 10 x 0, y 0 .....................................................................................................................
Gambar 8 Daerah penyelesaian 3 x 2 y 60 dan 3 x 4 y 72 ................................. 38
ii
BAB 1. PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Suatu persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk: a 1 x a 2 y c . Apabila terdapat lebih dari satu persamaan, maka dinamakan sistem persamaan linear. Untuk pertidaksamaan linear, tanda " " diganti dengan " " , " " , " " , " " . Perhatikan garis x 2 y 4 di bawah ini :
Gambar 1 Grafik garis x 2 y 4 Garis x 2 y 4 membagi bidang kartesius menjadi dua bagian, yaitu daerah x 2 y 4 dan daerah x 2 y 4 . Subtitusikan sembarang titik, misalkan titik O(0,0) ke persamaan garis x 2 y 4 sehingga didapat
0 0 0 4 . Hal ini menunjukkan bahwa titik O(0,0) berada pada daerah x 2 y 4 . Daerah x 2 y 4 diarsir seperti pada gambar dibawah ini:
1
Gambar 2 Daerah penyelesaian x 2 y 4 Contoh Soal
1. Gambarlah
daerah
penyelesaian
pertidaksamaan
dengan
x y 4, 3 x y 0 dan x 0 . Jawab:
x y 4
3 x y 0
Gambar 3 Daerah penyelesaian yang memenuhi x y 4, 3 x y 0 dan x 0 2. Gambarlah
daerah
penyelesaian
pertidaksamaan
dengan
2 x y 4, 4 x 2 y 6, x y 0 dan y 0 . Jawab:
2
x y 0
2 x y 4
4 x 2 y 6 Gambar 4 Daerah penyelesaian yang memenuhi 2 x y 4, 4 x 2 y 6, x y 0 dan y 0 .
A.
Model Matematika
Model matematika merupakan cara sederhana menerjemahkan suatu masalah sehari-hari ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi. Perhatikan contoh berikut. Sebuah perusahaan sandal akan memproduksi sandal laki-laki dan perempuan. Proses pembuatan sandal laki-laki melalui dua mesin, yaitu 3 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Adapun proses pembuatan sandal perempuan juga diproses melalui dua mesin, yaitu 6 menit pada mesin I dan 2 menit pada mesin II. Mesin I dapat beroperasi selama 1500 menit per hari dan mesin II dapat beroperasi selama 1040 menit perhari. Untuk mendapatkan keuntungan maksimal, perusahaan ini berencana untuk menjual sandal laki-laki seharga Rp35.000,00 dan sandal perempuan seharga Rp45.000,00 . Berdasarkan keuntungan maksimal yang ingin dicapai, maka perusahaan membuat model matematika untuk mengetahui berapa banyak sandal laki-laki dan perempuan yang harus di produksi. Perusahaan tersebut memisalkan sandal laki-laki dan perempuan sebagai x dan y dimana x dan y adalah bilangan asli. Berdasarkan variabel x dan y tersebut, perusahaan membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut:
3
3 x 6 y 1500 ....(1) 4 x 2 y 1040
....(2)
x 0, y 0 ....(3) Fungsi tujuan yang digunakan untuk memaksimalkan keuntungan adalah f ( x, y ) 35.000 x 45.000 y . Contoh soal
1. Dina ingin membeli buku dengan harga Rp. 3.000,00 per buah dan bulpen dengan harga Rp. 2.000,00 , per buah. Ia hanya membawa uang Rp. 65.000,00 dan tas belanja yang ia bawa hanya mempunyai kapasitas maksimal 25 barang untuk buku dan pulpen. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut ! Jawab : Misalkan buku sebagai x dan bulpen sebagai y. Berdasarkan variabel x dan y dapat dibuat model matematika sebagai berikut: 3000 x 2000 y 65000
....(1)
x y 30 ....(2) x 0, y 0,
....(5)
2. Seorang pedagang buah menjual jeruk dengan harga Rp. 8.000,00 per kg dan apel dengan harga Rp. 10.000,00 per kg. Modal yang dimiliki adalah Rp. 640.000,00 dan keranjang buah hanya bisa menampung 35 kg buah. Apabila dengan keuntugan dari penjualan setiap kg jeruk adalah Rp. 3.000,00 dan apel Rp. 2.000,00 pedagang tersebut ingin mendapatkan keuntungan maksimum, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan jeruk dan apel sebagai x dan. Berdasarkan variabel x dan y tersebut, dapat dibuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut: Buah
Harga
Jeruk x
8000
4
Apel y
10.000
1 keranjang = 35 buah
640.000
8000 x 10000 y 640000
....(1)
x y 35 ....(2) x 0, y 0 ....(3) Fungsi tujuan yang digunakan untuk memaksimalkan keuntungan adalah f ( x, y ) 3.000 x 2.000 y . B.
Nilai Maksimal Suatu Fungsi Tujuan (Objektif)
1. Metode Uji Titik Pojok
Langkah-langkah menentukan nilai maksimal fungsi objektif dengan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut: a.
Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang telah dibuat berdasarkan permasalahan yang ada.
b.
Tentukan titik-titik
pojok dari
daerah penyelesaian tersebut
(perpotongan antara dua garis atau lebih). c.
Subtitusikan koordinat dari tiap-tiap titik pojok tersebut ke fungsi objektif.
d. Nilai terbesar dari sungsi objektif menunjukkan nilai maksimum dan nilai terkecil menunjukkan nilai minimum. 2. Metode Garis Selidik
Langkah-langkah menentukan nilai maksimal fungsi objektif dengan metode garis selidik adalah sebagai berikut: a.
Buatlah model matematika dari permasalahan yang ada
b.
Gambarlah grafik dan daerah penyelesaian
c.
Tentukan persamaan garis selidik yakni berasal dari fungsi objektif (
ax by k , a 0, b 0, dan k R ) d.
Gambarlah garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius.
5
e. Nilai maksimum fungsi objektif adalah garis selidik yang mempunyai jarak terbesar terhadap titik pusat dan nilai minimum fungsi objektif adalah garis selidikyang mempunyai jarak terkecil terhadapa titik pusat. Contoh soal
1. Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari fungsi tujuannya dengan metode uji titik pojok dan nilai maksimum dengan metode garis selidik dari sistem pertidaksamaan berikut. 2 x 6 y 8
x y 1 x 0, y 0 f ( x, y ) 7 x 9 y Jawab:
x y 1 2 x 6 y 8
Gambar 5 Daerah penyelesaian yang memenuhi 2 x 6 y 8 , x y 1 , x 0, y 0 a.
Metode uji titik pojok
Perpotongan garis 2 x 6 y 8 dengan sumbu y
Subtitusikan x 0 ke persamaan 2 x 6 y 8
6
2 x 6 y
8 2(0) 6 y 8 6 y 8 y
4 3
4 Jadi, perpotongan garis 2 x 6 y 8 dengan sumbu y adalah 0, 3
Perpotongan garis x y 1 dengan sumbu x
Subtitusikan y 0 ke persamaan x y 1
x y 1 x 0 1 x 1 Jadi, perpotongan garis x y 7 dengan sumbu x adalah 1,0
Perpotongan garis x y 1 dengan garis 2 x 6 y 8
Dari x y 1 didapat y x 1 Subtitusikan nilai y x 1 ke persamaan 2 x 6 y 8 2 x 6 y
8
2 x 6( x 1) 8 2 x 6 x 6 8 8 x 14 x
x
14 8 7 4
Subtitusikan nilai x y
4
ke persamaan y x 1
x 1
y y
7
7 4
1
3 4
7
Jadi, perpotongan garis x y 7 dengan garis 2 x 6 y 8 adalah
7 3 , 4 4
Uji titik pojok
x, y
f x, y
0,0
0
4 0, 3
12
1,0
7
7 3 , 4 4
19
Berdasarkan tabel di atas diperoleh nilai maksimum dan minimum dari
7 3 fungsi objektif f ( x, y ) 7 x 9 y adalah f , 19 dan 4 4 f 0,0 0
b.
Metode garis selidik Garis selidik dari f ( x, y ) 7 x 9 y adalah 7 x 9 y k Ambil k 5 7 x 9 y 5 Ambil k 10 7 x 9 y 10 Ambil k 19 7 x 9 y 19
8
7 x 9 y 19 7 x 9 y 10
x y 1
2 x 6 y 8
7 x 9 y 5 Gambar 6 Garis-garis selidik yang memenuhi 2 x 6 y 8 , x y 1, x 0, y 0 Berdasarkan gambar di atas didapatkan bahwa garis selidik yang
7 3 menyebabkan nilai maksimum adalah 7 x 9 y 19 melalui titik , 4 4 . 2. Sebuah perusahaan sandal akan memproduksi sandal laki-laki dan perempuan. Proses pembuatan sandal laki-laki melalui dua mesin, yaitu 3 menit pada mesin I dan 6 menit pada mesin II. Adapun proses pembuatan sandal perempuan juga diproses melalui dua mesin, yaitu 4 menit pada mesin I dan 2 menit pada mesin II. Mesin I dapat beroperasi selama 1500 menit per hari dan mesin II dapat beroperasi selama 1040 menit perhari. Berapa banyak sandal laki-laki dan perempuan yang harus di produksi untuk mencapai
keuntungan maksimal jika perusahaan ini berencana untuk
menjual sandal laki-laki seharga Rp. 35.000,00 dan sandal perempuan seharga Rp. 45.000,00 ? Jawab:
9
Perusahaan tersebut memisalkan sandal laki-laki dan perempuan sebagai x dan y dimana x dan y adalah bilangan asli. Berdasarkan variabel x dan y tersebut, perusahaan membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut: 3 x 6 y 1500 ....(1) 4 x 2 y 1040 ....(2) x 0, y 0 ....(3) Fungsi tujuan yang digunakan untuk memaksimalkan keuntungan adalah f ( x, y) 35.000 x 45.000 y . Garis selidik dari f ( x, y) 35000 x 45000 y adalah 7 x 9 y k Ambil k 1500 7 x 9 y 1500 Ambil k 1980 7 x 9 y 1980 Ambil k 2700 7 x 9 y 2700 7 x 9 y 2700 4 x 2 y 1040
7 x 9 y 1500 3 x 6 y 1500
7 x 9 y 1980
Gambar 7 Garis-garis selidik yang memenuhi 3 x 6 y 1500 , 4 x 2 y 1040 , x 0, y 0
10
Berdasarkan gambar di atas didapatkan bahwa garis selidik yang menyebakan nilai maksimum adalah
180,160 ,
7 x 9 y 2700 melalui titik
sehingga sandal laki-laki dan perempuan yang harus
diproduksi adalah 180 buah dan 160 buah.
11
BAB 2. MATRIKS A.
Pengertian Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut kolom dan baris dengan menggunakan kurung siku/kurung biasa. Baris sebuah matriks merupakan susunan bilangan yang mendatar dalam matriks dan kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan yang tegak dalam matriks. Penamaan matriks menggunakan huruf kapital. Secara umum, matriks berordo i j dengan i dan j adalah bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut:
M i j
m11 m 21 ... mi1
m12 m22 ...
mi 2
...
m13
... m23 ... ... ... mij
Baris pertama Baris kedua Baris ke i Kolom pertama Kolom kedua Kolom ke i
Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks: a. Matriks Baris Matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh: M 1 2 3 b. Matriks Kolom Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh:
5 N 1 1 c. Matriks Persegi Matriks yang mempunyai baris dan kolom sama banyak. Contoh:
1 2 P 3 4 d. Matriks Nol Matriks yang semua elemennya nol. Contoh:
12
0 Q 0
0
0
0
0
e. Matriks Identitas Matriks yang elemen diagonal-diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya adalah 0. Contoh:
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 f. Matriks Skalar Matriks yang elemen diagonal-diagonal utamanya sama, sedangkan elemen-elemen lainnya adalah 0. Contoh:
2 0 0 I 0 2 0 0 0 2 g. Matriks Diagonal Matriks persegi yang elemen diluar diagonal utamanya bernilai 0, Contoh:
2 0 0 D 0 3 0 0 0 1 h. Matriks Segitiga Atas Matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai 0. Contoh:
2 1 1 S 0 4 3 0 0 2 i.
Matriks Segitiga Bawah Matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai 0. Contoh:
1 0 0 S 3 4 0 4 3 2
13
j.
Transpose Matriks Sebuah matriks yang cara penulisannya adalah dengan merubah baris ke
i menjadi kolom ke i dan sebaliknya. Contoh:
2 1 1 2 1 4 Jika T 1 5 3 , maka T ' 1 5 0 4 0 2 1 3 2 Adapun sifat-sifat matriks adalah sebagai berikut: a.
( A B)T AT B T
b. ( A ) A T T
Contoh soal
1. Diketahui matriks sebagai berikut:
1 3 T 2 4
2
2
3
1
1
2
3 3 4 1 2 3
Tentukanlah: a. Banyaknya baris dan kolom b. Elemen pada setiap baris dan kolom c. Transpose matriks tersebut Jawab: a. Ada 4 baris dan 4 kolom b. Baris pertama 1, 2, 3 Baris kedua 1, 2, 3 Baris ketiga 2, 3, 4 Baris keempat 1, 2, 3, 4 Kolom pertama 1, 2, 3, 4 Kolom kedua 1, 2, 3, Kolom ketiga 1, 2, 3 Kolom keempat 2, 3, 4
14
c. Tranpose dari matriks T adalah
1 2 T T 2 3
3
2
4
1
3
1
1 3 2 2 4 3
2. Tentukanlah jenis matriks dari setiap matriks berikut:
1 a. A 2 2
b. B 0
1 1 c. C 0 3
1 4 1 d. D 1 2 2 0 0 3
0
0
0
Jawab: a. Matriks kolom b. Matriks baris dan matriks nol c. Matriks persegi dan matriks segitiga atas d. Matriks persegi
B. Operasi Hitung Bilangan Bulat 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Sani dan Tito mewakili sekolahnya untuk mengikuti lomba Cerdas Cermat se-Kabupaten dalam peringatan Maulid Nabi Muhammad SAW. Lomba ini terdiri dari dua babak yaitu tulis dan cepat tepat. Hasil lomba yang mereka ikuti tampak pada tabel di bawah ini.
Nama
Nilai tes
Nilai Total
Tulis
Cepat tepat
Sani
7
5
12
Tito
6
7
13
Penjumlahan nilai total tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks, yaitu sebagai berikut. 15
7 5 12 6 7 13 Kedua matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Matriks yang dihasilkan adalah matriks yang berordo sama, yang elemennya merupakan hasil penjumlahan dari elemen-elemen yang seletak. Untuk pengurangan matriks juga dapat dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama. Matriks yang dihasilkan adalah matriks yang berordo sama, yang elemennya merupakan hasil pengurangan dari elemen- elemen yang seletak. Contoh Soal
1. Hasil penjumlahan dari dua matriks berikut adalah
2 4 3 1 5 3 2 1 Jawab:
2 4 3 1 2 3 4 1 5 5 5 3 2 1 5 2 3 1 7 4 2. Diketahui matriks-matriks berikut.
4 3 1 1 5 7 1 1 4 , B , C 2 3 1 2 1 3 3 2 5
A
Tentukan matriks yang dihasilkan dari A B C ! Jawab:
4 3 1 1 5 7 2 3 1 2 1 3
A B
4 (1) 3 5 1 7 2 2 3 1 1 3
16
3 2 6 4 4 4 3 2 6 1 1 4 4 4 4 3 2 5
A B C
3 1 2 (1) 6 4 4 3 4 2 4 5 2 2 2 1 2 1 2 2
Jadi, A B C
1
2
.
2 1
2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Setelah mempelajari penjumlahan dua dan tiga matriks. Sekarang lakukan penjumlahan matriks A berordo i j secara berulang sebanyak n kali.
a11 a 21 A a i1
a12 a 22
ai 2
a1 j a2 j aij
maka:
a11 a 21 A A A a i1
a12 a 22
ai 2
a1 j a11 a 2 j a 21 aij ai1
a12 a 22
ai 2
a1 j a11 a 2 j a21 a aij i1
a12 a 22
ai 2
a1 j a 2 j aij
17
a11 a11 a12 a12 a12 a1 j a1 j a1 j a 11 n n n a a a a a a a a a 21 21 22 22 22 2 j 2 j 2 j 21 n n n nA a a a ai 2 ai 2 ai 2 aij aij aij i1 i1 i1 n n n
na11 na 21 nA nai1
na12
na1 j
na 22
na 2 j
nai 2
naij
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa jika A sebuah matriks dan n bilangan real maka hasil kali nA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan n. Contoh soal
Diketahui matriks-matriks berikut.
4 2 2 1 X 1 4 dan Y 1 3 2 5 3 2 Tentukanlah: a. 3 X b. 2Y c. 3 X 2Y
18
Jawab:
2 1 a. 3 X 3 1 4 3 2 3 1 3 2 3 (1) 3 4 3 3 3 2
6 3 3 12 9 6 6 3 Jadi, 3 X 3 12 9 6
4 2 b. 2Y 2 1 3 2 5 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 2 5 8 4 2 6 4 10
8 4 Jadi, 2Y 2 6 4 10
19
6 3 8 4 c. 3 X 2Y 3 12 2 6 9 6 4 10
6 8 3 4 3 2 12 6 9 4 6 10
2 1 5 6 5 4 2 1 Jadi, 3 X 2Y 5 6 5 4 3. Perkalian Dua Matriks
Apakah kalian pernah bermain domino? Bagaimanakah memasang kartukartu dalam permainan domino? Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan dengan kartu domino lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya.
Prinsip pemasangan kartu domino ini dapat kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemenelemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.
20
Am p B pn C mn
e f a b dan B c d g h
A
a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh
A B
Contoh soal
Diketahui matriks-matriks berikut.
1 2 2 5 1 4 2 , Y , Z 2 1 X 3 4 3 2 1 3 2 Tentukanlah: a. XY b. YZ Jawab:
2 5 1 4 2 3 4 3 2 1
a. XY
2 1 5 (3) 2 4 5 2 2 (2) 5 (1) 3 1 4 (3) 3 4 4 2 3 (2) 4 (1)
13 18 9 9 20 10 13 18 9 9 20 10
Jadi, XY
1 2 1 4 2 2 1 b. YZ 3 2 1 3 2
21
1 2 4 1 (2) 2 1 1 4 2 (2) 3 3 1 2 2 ( 1 ) 3 3 2 2 1 ( 1 ) 2 2 3 2 6
3 Jadi, YZ 2
2
6
Adapun sifat-sifat operasi hitung matriks yaitu sebagai berikut. Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan dimana a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut.
P Q Q P
P Q R P Q R
P Q R PQ PR
P Q R PR QR
P Q R PQ PR
P Q R PR QR
a P Q aP aQ
a P Q aP aQ
a b P aP bP
a b P aP bP
ab P abP
a PQ aP Q P aQ
PQ R P QR
22
C. Determinan dan Invers Matriks 1. Determinan
Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan A . Untuk matriks A berordo 2 2 , determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut. a b a b , maka determinan matriks A adalah A ad bc. c d c d
Jika A
Untuk matriks B berordo 3 3 , dengan menggunakan kaidah Sarrus determinan matriks B didefinisikan sebagai berikut.
a b c Jika B d e f , maka determinan matriks B adalah g h i a
b
B d e g h
c a
b
f d e aei bfg cdh ceg afh bdi i g h
Contoh soal
4 2 3 4 1 dan V 2 1 3 Diketahui matriks U 7 2 1 2 5 Tentukanlah: a. U b. V
23
Jawab. a. U
4
1
7
2
4 2 1 7 8 7 1
Jadi, U 1.
3 b. V 2
1
4
2
3
4
1 3 2 1 2
5
1
2
3 1 5 4 3 1 2 2 2 2 1 1 3 3 2 4 2 5
15 12 8 2 18 40 13 Jadi, V 13. 2. Invers Matriks
Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga AB BA I nn dengan I matriks identitas. Pada persamaan AB BA I nn , A dan B disebut saling invers. Syarat-syarat matriks A mempunyai invers sebagai berikut.
Jika A 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
Jika A 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
Contoh soal
7 4 3 4 dan B saling invers! 5 3 5 7
Tunjukkan bahwa A
24
Jawab: Untuk membuktikan kedua matriks tersebut saling invers, kita harus membuktikan bahwa AB BA I 22 .
7 4 3 4 7 3 4 5 7 4 4 7 1 0 5 3 5 7 5 3 3 5 5 4 3 7 0 1
AB
3 4 7 4 3 7 4 5 3 4 4 3 1 0 5 7 5 3 5 7 7 5 5 4 7 3 0 1
BA
Dari perhitungan di atas, didapat bahwa
1 0 dimana 0 1
AB BA
1 0 I 22 sehingga didapat AB BA I 22 . Jadi, dapat dikatakan bahwa 0 1 A dan B saling invers.
a b berordo 2 2 ini, kita dapat menentukan c d
Untuk matriks A
inversnya sebagai berikut. A
1
1 det A
Adj A
d b ad bc c a 1
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 3 , kita harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint. a.
Matriks Minor Matriks minor M ij diperoleh dengan cara menghilangkan elemenelemen pada baris ke- i dan kolom ke- j matriks A berordo 3 3 , sehingga didapat matriks baru dengan ordo 2 2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan M ij .
25
a11 A a 21 a 31
a12
a13
a 22
a 23
a 32
a33
Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut.
M 11
M 12
M 13
b.
a 22
a 23
a32
a33
a 21
a 23
a31
a33
a 21
a 22
a31
a32
M 21
M 22
M 23
a12
a13
a32
a33
a11
a13
a31
a33
a11
a12
a31
a32
M 31
M 32
M 33
a12
a13
a 22
a 23
a11
a13
a 21
a 23
a11
a12
a 21
a 22
Kofaktor Kofaktor dari baris ke- i dan kolom ke- j dituliskan dengan Aij . Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus Aij 1
i j
M ij .
Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut. 11
A11 1 M 11 M 11 1 2
M 12 M 12
13
M 13 M 13
A12 1 A13 1
A21 1
21
2 2
M 22 M 22
23
M 23 M 23
A22 1 A23 1
31
A31 1
M 21 M 21
M 31 M 31
3 2
A32 1
M 32 M 32
26
33
A33 1 c.
M 33 M 33
Adjoint Misalkan suatu matriks A berordo n n dengan Aij kofaktor dari matriks A , maka
A11 A21 A12 A22 Adjoint A Adj A A A 2n 1n
An1
An 2
Ann
Untuk matriks A berordo 3 3, maka
A11 A21 A31 Adj A A12 A22 A32 A A A33 23 13 Untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3 3, selain dengan kaidah Sarrus, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor.
A11 A21 A31 Misalkan matriks A A12 A22 A32 A A A33 23 13 Determinan matriks A det A dapat ditentukan menggunakan rumus: (i)
A a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11 M 11 a12 M 12 a13 M 13 a11
a22
a 23
a32
a33
a12
a21
a 23
a31
a33
a13
a21
a22
a31
a32
(ii) A a21 A21 a22 A22 a 23 A23
a 21 M 21 a22 M 22 a23 M 23
27
a 21
a12
a13
a32
a33
a22
a11
a13
a31
a33
a23
a11
a12
a31
a32
(iii) A a31 A31 a32 A32 a33 A33
a31 M 31 a32 M 32 a33 M 33 a31
a12
a13
a 22
a23
a32
a11
a13
a 21
a23
a33
a11
a12
a21
a22
Contoh soal
4 3 1 1. Diketahui matriks S 3 2 2 . 2 1 3 Tentukan: a. Determinan b. Invers Jawab: a. Kita dapat menggunakan salah satu dari ketiga rumus di atas untuk menentukan determinan matriks S . S a11 A11 a12 A12 a13 A13
4
2
2
1
3
3
3
2
2
3
1
3
2
2
1
4 6 2 3 9 4 1 3 4
16 15 1 0 b. Karena determinan dari matriks S adalah 0, maka matriks S tidak mempunyai invers. Sehingga matriks S merupakan matriks singular.
28
2. Tentukan invers dari matriks berikut!
1 1 3 2 4 dan Z 2 1 1 W 3 1 1 3 2 Jawab: 1
W 1
det W
1 2 4 4 1 2 3 3 1
Adj W
1 1 2
2 3
4
1 1 2 3 2 2 1 1 Jadi, W 1 2 3 2 2 1 1 3 Z 2 1 1 1 3 2 1 1
3 1 1
Z 2 1 1 2 1 1
3 2 1
3
2 1 18 3 3 4 11
29
Z 11
1 1 3 2
Z 12
Z 13
Z 22
1
2
3 1
1 2
3
1 3
1 1
2 1
2 1
3 1 2
1 3 2
1 3
1 1
6 9 1
2 3 1
1 1
1 3
4 1 3
6 1 5
3 2
1 3
Z 32
Z 33
1
1
Z 23
Z 31
2
2 1
Z 21
2 3 1
1 6 5
1 2 1
1 1 2 Adj Z 3 1 5 5 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 5 11 11 11 Adj Z 5 2 1 3 1 5 1 Z 11 Z 11 11 11 5 2 1 11 11 11
30
1 2 1 11 11 11 3 1 5 Jadi, Z 1 11 11 11 5 2 1 11 11 11
D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi, dan metode substitusi. Pada bab ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks. Misalkan, sistem persamaan linear berikut. ax by e cx dy f Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut.
a b x e c d y f Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut. 1. Jika AX B, maka X A 1 B, dengan A 0 2. Jika X AB, maka X BA 1 dengan A 0 Contoh soal
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut! 1. 5 x 2 y 4 dan 2 x 4 y 8 2. x 2 y z 3, 3 x y z 2, 2 x y z 1
31
Jawab: 1. Ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks seperti berikut.
5 2 x 4 2 4 y 8 A
X
B
Selanjutnya, tentukan determinan matriks A, yaitu:
5 A 2
2 20 4 24 4
Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara berikut. A 1
1 4
2 24 2 5
4 x 1 4 2 4 3 y 2 5 24 8 4 3 X A B 1
Jadi, x
4 3
dan y
4 3
.
2. x 2 y z 3, 3 x y z 2, 2 x y z 1 Ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks seperti berikut.
1 2 1 x 3 3 1 1 y 2 2 1 1 z 1 A
X
B
Selanjutnya, tentukan determinan matriks A, yaitu:
32
1
1 1
2
A 3 1 2
2
1 3 1
1
1 2
1
1 4 3 2 1 6
9 Invers dari matriks A, yaitu: A11
1 1 1
A12
A13
2
1
3 2 1
3 2 5
2
1
1
1
1
1
2
1 1
2
2
1
1 4 3
1
1
1
1
1
1
3
1 2
3 1
2 1 3
1 2 3
2
A32
A33
2 1
1
A23
A31
3 1
3
A21
A22
1 1 2
1
2 1 1
1 3 4
1 6 7
33
2 3 1 Adj A 1 3 4 5 3 7 2 3 1 2 1 3 4 9 3 7 1 Adj A 5 A 1 9 A 9 5 9
1 3 1
3 1 3
1 9 4 9 7 9
Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara berikut.
2 x 9 1 y z 9 5 9
1 13 3 9 3 9 1 4 7 2 3 9 9 1 7 1 28 3 9 9 1
A
X
Jadi, x
1
B
13
7 28 , y , dan z . 9 9 9
Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika AX B, maka x1
A1 A
, x 2
A2 A
, , x j
A j A
.
A j adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom- j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh soal
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer! 1. 5 x 2 y 4 dan 2 x 4 y 8
34
2. x 2 y z 3, 3 x y z 2, 2 x y z 1 Jawab: 1. Tentukan A , A1 , A2 terlebih dahulu. A
5
2
2
4
A1
A2
x
y
20 4 24
4
2
8
4
5
4
2 8
A1 A A2 A
16 16 32
40 8 32
32
32
24
24
4
4
3
3
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x
4 3
dan y
4 3
.
2. Ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks seperti berikut.
1 2 1 x 3 3 1 1 y 2 2 1 1 z 1 X
A
B
Tentukan A , A1 , A2 , A3 terlebih dahulu. 1 A 3 2
2
1 1
1
1 3
1
1 2
2
1 1 4 3 2 1 6 9 1
35
3
2
A1 2
1 3
2
1
1
1
1 1
1
1 3 2 2 1 3 4 13
2
1
1
3
1 1
3
A2 3
2
1 3
2 2 6 3 4 1 9 7
2
1
1 2
1
1
2
3 1
2
1
2 3
1
1 2
A3 3 2
x
y
z
A1 A A2
A3
A
Jadi, x
1
13 13 9 9
A
1 1 8 9 6 2 6 28
7
9 28
9
7 9
28 9
13
7 28 , y , dan z . 9 9 9
36
Soal dari kelompok 9
1. Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500,00 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut. Jawab: Membuat model matematika dengan memisalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y . Kandungan
Pupuk I x
Pupuk II y
Kebutuhan
Fosfor
30
20
600 g
Nitrogen
30
40
720 g
Harga
17.500
14.500
Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut. Fungsi objektif: meminimumkan z 17.500 x 14.500 y. Kendala-kendala: 30 x 20 y 600 3 x 2 y 60 30 x 40 y 720 3 x 4 y 72 x, y 0; x, y R Jika digambarkan, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas tampak pada Gambar 8
37
3 x 2 y 60 C 0,30
B
A24,0
3 x 4 y 72 Gambar 8 Daerah penyelesaian 3 x 2 y 60 dan 3 x 4 y 72 Dari Gambar 8 terlihat bahwa titik B merupakan perpotongan garis 3 x 2 y 60 dan 3 x 4 y 72 . Kita tentukan koordinat titik B sebagai berikut. 3 x 2 y 60 3 x 4 y 72
2 y 12 y6 Jadi, diperoleh y 6. Dengan menyubstitusikan y 6 ke salah satu persamaan garis di atas, diperoleh x 16. Oleh karena itu, koordinat titik B adalah B16,6. Terlihat dari Gambar 8, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada titik
B 16,6, yaitu
z 17.500 (16) 14.500 (6) 367.000. Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah Rp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II. 2. Tentukanlah nilai a dan b yang memenuhi
38
a b b a
1
1 2 2 1
Jawab:
a b 1 2 dan B b a 2 1
Misalkan: A
Dengan menggunakan teorema AB I maka A adalah invers dari B dan sebaliknya. AB I
a b 1 2 1 0 2 1 0 1 b a a 2b 2a b 1 0 b 2 a 2 b a 0 1 Sehingga, a 2b 1 dan 2a b 0 .
a 2b 1 a 1 2b Substitusikan a 1 2b ke persamaan 2a b 0 21 2b b 0
4b b 2 3b 2 b
2 3
Karena nilai b
2 3
, maka didapat nilai a 1 2b
2 a 1 2 3
39
a 1
a
4 3
1 3
1 2 Jadi, nilai a dan nilai b . 3 3
3. Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan matriks
x y 5 2 10 1 4 5 1360 . Jika perbandingan x dan y adalah 5 : 4. 30 25 10 Jawab:
x y 5 2 10 1 4 5 1360 30 25 10 5 2 x 40 30 2 y 50 25 1360 10
5 2 x 70 2 y 75 1360 10 10 x 350 20 y 750 1360
10 x 20 y 1100 1360 10 x 20 y 260 Syarat: x : y 5 : 4
x y
5 4
4 x 5 y
40
4
x y 5
4
y x 5
Substitusikan y
4 5
x ke persamaan 10 x 20 y 260 sehingga didapat nilai
x 10, kemudian untuk nilai y didapat dari menyubstitusikan x 10 ke persamaan 10 x 20 y 260 diperoleh nilai y 8. Karena perbandingan antara x dan y adalah
10 8
5 4
5 : 4, maka nilai x 10 dan nilai y 8.
41
