SISTEM PERKONGRUENAN LINEAR
Teorema 5.15 Misalkan m suatu bilangan asli dan (∆, m) = 1 dengan ∆= ad – bc, maka system perkongruenan linear ax + by ≡ e (mod m) cx + dy ≡ f (mod m) mempunyai mempunyai penyelesaian (x,y), dengan
x ≡
(de – (de – bf) bf) (mod m)
y ≡
(af – ce) – ce) (mod m)
adalah invers dari ∆ modulo m
dengan Bukti
Untuk menyelesaikan system perkongruenan linear ini, kita dapat melakukan dengan eliminasi salah satu variable x atau y lebih dulu. Pertama kita akan akan mencari x dengan dengan mengeliminasi variable variable y terlebih dahulu. dahulu. Mengeliminasi Mengelimi nasi variable y dengan mengalikan perkongruenan pertama dengan d dan perkongruenan kedua dengan b, sehingga diperoleh
adx + bdy ≡ de (mod m) bcx + bdy ≡ bf (mod m) hasil pengurangan dari perkongruenan pertama dan kedua adalah adx + bcx ≡ de – de – bf bf (mod m) – bf (mod m) (ad – (ad – bc)x bc)x ≡ de – bf dan karena ∆ = ad – ad – bc, bc, maka ∆x ≡ de – bf – bf (mod m) Selanjutnya karena gcd dari (∆,m) = 1, maka ∆ mempunyai invers modulo m, yaitu
peroleh
. Jika kedua ruas perkongruenan terakhir dikalikan dengan
.∆x≡
. de – de – bf bf (mod m)
x ≡
(de – (de – bf) bf) (mod m)
maka di
1|Page
Sistem Perkongruenan Linear
dengan cara yang sama seperti diatas, kita dapat mencari nilai y dengan mengeliminasi variable x yaitu pada system perkongruenan semula kita kalikan dengan perkongruenan pertama dengan c dan perkongruenan kedua dengan a, diperoleh
acx + bcy ≡ ce (mod m) acx + ady ≡ af (mod m)
jika perkongruenan kedua dikurangi dengan perkongruenan pertama, maka diperoleh (ad – bc) y ≡ af – ce (mod m) atau ∆y ≡ af – ce (mod m)
Selanjutnya karena (∆, m) = 1, maka ∆ mempunyai invers modulo m, yaitu Jika kedua ruas perkongruenan terakhir dikalikan dengan y≡
(af – ce) (mod m)
maka diperoleh
.
sampai di sini, kita telah menunjukkan bahwa jika (x,y) adalah penyelesaian dari system perkongruenan, maka x≡
(de – bf) (mod m), y ≡
(af – ce) (mod m).
Teorema ( invers dari a modulo m )
Jika a dan m adalah integer prima relatif dan m>1, maka invers dari a modulo m ada. Invers ini adalah modulo m yang tunggal. (Terdapat integer positif tunggal a lebih kecil dari m yaitu invers dari a modulo m dan setiap invers yang lain dari a modulo m adalah kongruen ke a modulo m). Bukti:
Dari teorema sebelumnya, gcd( a,m) = 1, maka terdapat integer s dan t sehingga: sa+tm = 1. Ini berarti bahwa sa+tm
ini menunjukkan bahwa sa
1(mod m). Jika tm
0(mod m),
1(mod m). Sebagai akibatnya, s adalah invers dari a
modulo m. Bahwa invers ini adalah modulo m yang tunggal.
2|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Contoh
Cari invers dari 3 modulo 7. Penyelesaian Oleh karena gcd(3,7) = 1. Teorema diatas mengatakan bahwa invers dari 3 modulo 7 ada. Dengan algoritama euclidean pembagi persekutuan terbesar dari 3 dan 7 didapatkan 7=2.3+1. Dari persamaan ini kita dapat melihat bahwa -2.3+1.7 = 1. Ini menunjukkan bahwa -2 adalah invers dari 3 modulo 7.
̅
Ketika telah dimiliki invers
̅
dengan mudah kongruensi ax kongruensi linear dengan .
dari a modulo m, kita dapat menyelesaikan
b(mod m) dengan mengalikan kedua sisi dari
Latihan Soal untuk Teorema 5.15
1. Carilah penyelesaian sistem pengkronguenan berikut ini
Jawab : Sesuai dengan teorema 5.15, Langkah pertama yang dilakukan untuk menyelesaikan perkongruenan linear adalah mengeliminasi salah satu variable x atau y.
Untuk mencari nilai x dengan mengeliminasi variable y .Caranya adalah kita
mengalikan perkongruenan pertama dengan 1 dan perkongruenan
dengan 2, sehingga dapat kita peroleh
gcd (3,5) = 1
3|Page
Sistem Perkongruenan Linear
-1
karena gcd (3,5) = 1, maka 3 mempunyai invers modulo 5 [ 3 (mod 5) ] yaitu
invers dari 3 (mod 5) yaitu
gcd (3,5) = 1
Jadi invers 3 (mod 5) adalah 2 karena invers 3 (mod 5) adalah 2, maka kita dapat mencari nilai x dengan mengalikan kedua ruas dari pengkronguenan dengan 2 sehingga diperoleh:
Dengan cara yang sama ,untuk menentukan nilai y yaitu dengan mengeliminasi variabel x pada sistem pengkronguenan semula
-1
karena gcd (3,5) = 1, maka 3 mempunyai invers modulo 5 [ 3 (mod 5) ] yaitu
invers dari 3 (mod 5) yaitu
gcd (3,5) = 1
Jadi invers 3 (mod 5) adalah 2
karena invers 3 (mod 5) adalah 2, maka kita dapat mencari nilai x dengan mengalikan kedua ruas dari pengkronguenan dengan 2 sehingga diperoleh:
Jadi penyelesaian sistem pengkronguenan adalah semua pasangan dengan
dan
4|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Definisi 5.4 Misalkan A = (
) dan B =(
) masing-masing matriks berukuran n x k
yang elemen-elemennya bilangan-bilangan bulat. Matriks A kongruenan dengan matriks B modulo m, dinotasikan A ≡ B (mod m), jika setiap pasangan (i,j) dengan 1≤ i ≤ n, dan 1 ≤ j ≤ k.
≡
(mod m) untuk
Jadi matrik A kongruen dengan matrik B modulo m jika dan hanya jika matrik A dan B memiliki ordo sama dan korespodensi anggotanya sama.
Berarti jika di jelaskan dengan contoh :
Sebab ,
Teorema 5.16
Jika A = (
dengan A ≡ B (mod m), C = ( ialah matriks AC
) dan B = (
) adalah matriks-matriks berukuran n x k
) ialah matriks berukuran k x p dan D = (
BC ( mod m ) dan DA
DB (mod m )
)
Bukti
Cara pertama
∑∑ ∑ ∑ Misalkan AC = E =
ialah matriks berukuran n x p dengan
dan BC = G =
Karena A ≡ B (mod m), maka ≡
=
adalah matrik berukuran n x p dengan
(mod m) untuk setiap i dan j, sehingga
(mod m) untuk setiap 1 ≤ r ≤ k
Akibatnya
≡
Hal ini berarti AC ≡ BC (mod m)
(mod m), yaitu
≡
(mod m)
5|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Cara kedua Misalkan C = (
|
) adalah matriks berukuran n x k sehingga
A ≡ B (mod m)
atau AC
BC ( mod m )
Bukti untuk DA ≡ DB (mod m) mirip dengan bukti tersebut.
Perhatikan system n pengkronguenan linier dengan n variable berikut ini.
Dengan menggunakan notasi matriks, system pengkronguenan linier ini dapat dinyatakan sebagai perkonguenan matriks AX ≡ B (mod m), dengan
A=
( ) () () ,M=
, dan B =
Kita mengembangkan metode penyelesaian perkongruenan dalam bentuk
matriks AX
B ( mod m). Metode ini menggunakan matriks
matriks A terhadap perkalian , sedemikian hingga
yaitu invers , dengan I
ialah matriks identitas terhadap perkalian.
6|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Penentuan matriks X pada persamaan AX
dengan cara mengalikan kedua ruas dengan ini
Penentuan matriks X pada persamaan AX
dengan cara mengalikan kedua ruas dengan ini
B ( mod m) dapat dilakukan
dari kiri seperti berikut
B ( mod m) dapat dilakukan
dari kanan seperti berikut
Definisi 5.5 Jika A dan
adalah matriks matriks berukuran n x n yang elemen elemennya
bilangan bulat sedemikian hingga
matriks Identitas berukuran n, maka
Teorema 5.17 Misalkan
disebut invers dari A modulo m.
adalah matriks yang elemennya bilangan bilangan
bulat, sedemikian hingga
dengan I adalah
bilangan bulat positif m. Maka dari definisi 5.5 adalah invers dari modulo m.
prima relative diperoleh
terhadap
Bukti
Untuk membuktikannya, teorema ini kita cukup memeriksa kebenaran
7|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Definisi 5.6 Misalkan A suatu matriks persegi berukuran n. Adjoint dari A diberi symbol adj ( A) adalah suatu matriks persegi berukuran n yang elemen pada baris ke i kolom j ialah
, dengan
sama dengan
determinan matriks
yang
diperoleh dari A dengan menghapus semua elemen pada baris ke i dan kolom ke j.
Teorema 5.18 Jika A suatu matriks persegi dengan
0 , maka
Dengan menggunakan teorema ini, kita segera akan mendapatkan rumus invers suatu matriks persegi, seperti yang dinyatakan teorema ini.
Teorema 5.19 Jika A suatu matriks persegi dengan yang elemen elemennya bilangan
bulat dan m suatu bilangan bulat positif sedemikian hingga
, maka
invers dari A modulo m adalah
Bukti :
Karena
= 1, maka
ada. Dan karena
maka
sehingga
Ini menunjukkan bahwa
adalah invers dari modulo m.
8|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Latihan soal
1.
Carilah penyelesaian sistem perkongrenan berikut ini
Jawab :
Penyelesaian system perkongruenan dalam bentuk matriks AX
B (mod m)
Dari persamaan di atas dapat ditulis sebagai = =
=
=
=
Jadi penyelesaian dari sistem pengkronguenan
adalah
dan
2. Selesaikan sistem pengkronguenan linier berikut ini
Jawab :
Penyelesaian system perkongruenan dalam bentuk matriks AX
B (mod m)
9|Page
Sistem Perkongruenan Linear
Dari persamaan di atas dapat ditulis sebagai
Misal A =
maka A
Sehingga
Jadi kita harus mencari
sedangkan menurut teorema 5.19
Determinant dari A
( 6 + 20 + 12) = -4
Sehingga
Invers dari
Jadi invers dati -4 (mod 7) adalah 5
10 | P a g e
Sistem Perkongruenan Linear
[ ] [ ] * + * + * + * + Mencari Adj (A) =
Dengan expansion kofaktor
= 5.
=
Jadi,
)
Jadi penyelesaiannya adalah x = -20 (mod 7) ; y= 0 (mod 7) ; dan z = 0 (mod 7)
11 | P a g e
Sistem Perkongruenan Linear
