09 Topik 1 Sistem Persamaan Linear

MTE3110 LINEAR ALGEBRA

TOPIK 1

1.1

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SINOPSIS

Topik ini membekalkan pelajar dengan pengetahuan tentang sistem persamaan linear dengan beberapa kaedah penyelesaian seperti kaedah penggantian, penghapusan, penggantian kebelakang,kaedah penghapusan Gauss dan juga kaedah penghapusan Gauss-Jordan. Selain itu ia juga membincangkan penggunaan sistem persamaan linaer dan ketaksamaan linear di dalam kehidupah harian.

1.2

HASIL PEMBELAJARAN

Pada akhir topik ini, anda dijangka akan dapat: 

Menyelesaikan sistem persamaan dan ketaksamaan linear



Menggunakan konsep sistem persamaan dan ketaksamaan linear untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan.

1.3

Kerangka Tajuk

Sistem Persaman Linear

Penyelesaian Persamaan Linear

Kaedah Penghapusan

Kaedah Pengantian

Kaedah Gauss Jordan

Sistem Homogen

Rajah 1.1 Gambaran Keseluruhan Isi Kandungan

1

Pemprograman linear dan ketaksamaan linear dan aplikasi


1.4

Sistem Persamaan Linear

1.4.1

Pengenalan

Sistem persamaan linear adalah merupakan sebahagian daripada algebra linear, jika diperhatikan dan diteliti apa yang berlaku dalam kehidupan seharian kita berkait rapat dengan sistem persamaan linear terutamanya dalam bidang sains, industri dan juga pemasalahan ekonomi.Pemasalahan tersebut boleh diringkaskan dalam bentuk sistem persamaan linear yang mengandungi satu atau lebih pembolehubah dan sistem ini perlu di selesaikan dengan beberapa kaedah. Modul ini adalah untuk membantu pelajar menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dengan menggunakan beberapa kaedah dan juga aplikasinya dalam kehidupan seharian.

1.4.1

Persamaan Linear

Ungkapan algebra telah diperkenalkan sejak kita berada di sekolah menengah lagi, malah perkataan ‘persamaan linear’ adalah bukan asing bagi pelajar matematik. Sebelum kita pergi lebih lanjut lagi marilah melihat dahulu apakah yang dimaksudkan persamaan linear dan apakah jenis-jenis penyelesaianya. Persamaan linear adalah satu persamaan yang mempunyai pembolehubah berdarjah satu. Secara algebra, persamaan linear dalam dua pembolehubah boleh ditulis sebagai ax + by = c dengan a,b dan c adalah pemalar, secara geometrinya apabila dilakarkan ia akan membentuk satu garis lurus seperti yang di gambarkan di dalam Rajah 1a, manakala jika persamaan linear yang mempunyai tiga pembolehubah ia ditulis sebagai ax + by + cz = d dengan a,b,c dan d adalah pemalar. Apabila ia dilakarkan ia akan membentuk satu satah dalam ruang tiga dimensi seperti di gambarkan dalam rajah 1b.

2


y y

ax + by = c x x z Rajah 1b

Rajah 1a

Selain itu persamaan linear ini tidak terhad kepada dua atau tiga pembolehubah sahaja, ia boleh jadi empat , lima dan banyak pembolehubah. Secara umumnya persamaan linear boleh ditakrifkan seperti berikut:

Takrif 1 : Persamaan Linear Persamaan linear dengan n pemboleh ubah x1, x2, . . . ,xn adalah persamaan berbentuk a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b dengan a1, a2, . . . , an dan b adalah nombor nyata.

Contoh 1.1 Persamaan-persamaan berikut adalah linear (a)

3x – 4y = -1, merupakan persamaan linear dengan dua pemboleh ubah

(b)

2 3

r – s - t = 9, merupakan persamaan linear dengan tiga pemboleh ubah

(c)

x1 – 2x2 + 3x3 + x4 = 5, merupakan persamaan linear dengan empat pemboleh ubah.

Daripada contoh 1.1 di atas kita lihat bahawa darjah tertinggi bagi setiap pembolehubah adalah satu.

3

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Contoh 1.2 Persamaan-persamaan berikut adalah bukan persamaan linear (a)

x + 3y2 = 4

(b)

2y – sin x = 0

(c) (d)

x1 + 2x2 – x3 = 3 x + 2xy – z = 1

Dalam contoh 1.2 ini, (a) darjah tertinggi bagi y adalah 2 maka ia adalah bukan linear (b) sin x adalah merupakan fungsi trigonometri maka ia bukan linear 1 2

(c) darjah bagi x1 adalah maka ia juga bukan linear (d) hasil darab pemboleh ubah x dan y menghasilkan jumlah darjahnya adalah dua, maka ia bukan linear.

4


Latihan 1.1 Tentukan sama ada persamaan berikut adalah linear atau tidak dan nyatakan sebabnya. (a)

x + 3y = 5

(b)

x1 + 3x22 = 8 – x3

(c)

x + 2y – z = 3

(d)

3x1 -4x3 = 3x2 +3x4

(e)

3x + 2y – z + xyz = 4

(f)

x + 2y -3z = sin, dengan  adalah pemalar.

1

Anda telah mencuba aktiviti di atas? Adakah anda telah memberi jawapan yang betul? Sekarang lihat panduan ini: Semak pembolehubah bagi persamaan tersebut (i)

Persamaan linear tidak mempunyai pemboleh ubah yang di darab atau punca kuasa seperti xy, xyz, 𝑥.

(ii)

Darjah tertinggi bagi pembolehubah adalah satu. Maka sebutan berbentuk seperti x2, y3 z4 adalah bukan persamaan linear.

(iii)

Pemboleh ubah yang melibatkan fungsi logaritma, fungsi eksponen dan fungsi trigonometri seperti log10x, ex dan sinx adalah bukan persamaan linear.

Ya, mungkin anda telah memberi jawapan yang betul. tahniah!.

5

MTE3110 LINEAR ALGEBRA 1.4.2

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sedikit sebanyak kita telah memahami apa itu persamaan linear. Seterusnya kita akan mengkaji pula sistem persamaan linear dan juga jenis-jenis penyelesaian bagi sistem ini. Sebelum itu marilah kita lihat takrifannya. Takrif 2: Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear yang mempunyai m persamaan dan n pembolehubah adalah sistem berbentuk a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm dengan aij adalah pekali bagi pembolehubah xj, dan bi adalah pemalar. Penyelesaian persamaan linear adalah merupakan s1,s2,...,sn yang memenuhi setiap persamaan linear dalam sistem di atas.

Sebagai contoh, pertimbangkan sistem persamaan linear yang mempunyai dua pembolehubah x + 2y = 7 2x - 3y = 0 mempunyai penyelesaian [3,2] dimana ianya memenuhi kedua-dua persamaan tersebut. Cuba anda gantikan nilai x = 3 dan y = 2 dalam kedua-dua persamaan tersebut, apakah ia memenuhi persamaan itu? ya. Bagaimana jika anda gantikan nilai x = 1 dan y = 3 dalam kedua-dua persamaan tersebut adakah ia memenuhi kedua-duanya, dengan kata lain [1,3] bukan merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan linear tersebut kerana ia hanya memenuhi persamaan linear yang pertama sahaja.

6

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Contoh 1.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut: 2x + y = 1 x – y = -1

Penyelesaian: Dengan menambahkan kedua-dua persamaan tersebut memberikan 3x = 0, oleh itu x = 0. Kemudian gantikan x = 0 kedalam persamaan ke dua kita dapati y = 1, maka(0,1) merupakan penyelesaian kepada kedua-dua persamaan linear tersebut dan ini adalah hanya satu-satunya penyelesaian untuk sistem persamaan tersebut. Secara geometri penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:

y x+y=3

x–y=1

1

(2,1) 2

7

x

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Contoh1.4

Selesaikan sistem persamaan linear berikut: x–y=2 2x – 2y = 4

Penyelesaian: Persamaan yang kedua dalam sistem di atas adalah dua kali ganda dari persamaan yang pertama.Oleh itu penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah berdasarkan persamaan yang pertama iaitu x – y = 2, ini boleh diwakili parameter (2 + t, t) bagi sebarang nilai nyata t. Ini memberikan sistem mempunyai penyelesaian yang tak terhingga.

Penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:

y

x–y=2 2x – 2y = 4

x

8

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Contoh1.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut: x–y=1 x–y=3

Penyelesaian: Sebagai contoh mari kita gantikan x = 0 pada persamaan yang pertama, didapati y = -1 dan apabila x = 0 digantikan dalam persamaan kedua didapati y = -3, ini tidak boleh berlaku kerana satu nilai x tidak boleh mempunyai dua nilai y yang berbeza pada satu titik. Oleh itu sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:

y

x –y = 1 x–y=3

x

Perhatikan ketiga-tiga contoh di atas, sistem dalam contoh 1.3, 1.4 dan 1.5 mengambarkan hanya ada tiga kemungkinan bilangan penyelesaian dalam sistem persamaan linear dengan pekali nombor nyata.Sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian adalah

9

MTE3110 LINEAR ALGEBRA tak konsisten. Sebagai kesimpulan, Sistem Persamaan Linear dengan pekali nombor nyata mempunyai sama ada: (a)

penyelesaian unik,

(b)

penyelesaian tak terhingga,

(c)

tiada penyelesaian.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ini boleh diringkaskan seperti dalam Rajah 2 di bawah.

Sistem Persamaan Linear Konsisten Penyelesaian Unik

Tak Konsisten

Penyelesaian Tak Terhingga Rajah 2

10

Tiada Penyelesaian


Latihan 1.2 Tentukan sama ada sistem persamaan linear berikut adalah mempunyai penyelesaian unik,penyelesaian tak terhingga atau tiada penyelesaian. (a)

x+y=0

(c)

2x + y = 3

(b)

x – 2y = 7

-x + 2y = 1

(d)

3x + y = 7

penyelesaian unik

(b)

tiada penyelesaian

(c)

penyelesaian tak terhingga

(d)

penyelesaian unik

0.10x – 0.05y = 0.20 -0.06x + 0.03y = -0.12

Jawapan:

(a)

3x – 6y = 3

11

MTE3110 LINEAR ALGEBRA 1.4.2.1

Kaedah Penghapusan

Kaedah penghapusan adalah di mana satu pembolehubah perlu dihapuskan dari persamaan yang telah diberikan. Kaedah ini sesuai bagi sistem persamaan linear yang ringkas dan agak kurang sesuai untuk sistem yang mempunyai tiga pembolehubah keatas. Sebagai mengingat kembali mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan serentak berikut:

Contoh1.6 Selesaikan persamaan berikut: x–y=2

....................(1)

x+y=6

.....................(2)

Penyelesaian: Pilih pembolehubah yang hendah dihapuskan. Bagi contoh di atas hapuskan pembolehubah y. Maka pertama sekali pastikan pekalinya sama. Jika tidak darabkan dengan nombor yang sesuai supaya menjadi sama. Bagi contoh ini pekali y adalah sama walaupun berlawanan tanda , maka untuk menghapuskan pembolehubah y lakukan operasi persamaan (1) + (2). Persamaan (1) + (2) maka didapati

2x = 8 x=4

dan gantikan x = 4 kedalam persamaan (2) x+y=6 4+y=6 y = 2, maka penyelesaian persamaan tersebut ialah x=4 dan y = 2.

1.4.2.2

Kaedah Pengantian

Kaedah pengantian ini merupakan satu kaedah di mana satu pembolehubah yang dipilih dijadikan sebagai tajuk rumus. Setelah itu tajuk rumus tersebut digantikan semula dalam persamaan satu lagi.

Contoh 1.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut: x + 2y = 7

.................(1)

3x – 4y = 31

.................(2)

12

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Penyelesaian Langkah 1:

pilih x sebahagai tajuk rumus bagi persamaan (1). x = 7 – 2y

Langkah 2:

Gantikan tajuk rumus itu kedalan persamaan (2) 3(7 – 2y) -4y = 31 21 – 6y – 4y = 31  10y = 10 y = -1

Langkah 3: gantikan nilai y kedalam mana-mana persamaan. Gantikan dalam (1) x + 2(-1) = 7 x=9 1.4.2.3

Kaedah Pengantian kebelakang

Walau bagaimanapun bagi sistem persamaan linear yang melibatkan tiga atau lebih pembolehubah kaedah penyelesaiannya agak rumit jika menggunakan dua kaedah yang telah dibincangkan di atas.

Contoh 1.8

(a)

3x1 + 2x2 – x3 = 2

(b)

3x1 + 2x2 – x3 = 2

3x1 – x2 + x3 = 5

x2

3x1 + 2x2 + x3 = 2

2x3 = 4

= 3

Sistem persamaan (a) dan (b) sebenarnya jika diselesaikan akan mendapat jawapan yang sama. Bagi menyelesaikan sistem (b) gunakan kaedah pengantian kebelakang , iaitu: 3x1 + 2x2 – x3 = 2 x2

.........................(1)

= 3

.........................(2)

2x3 = 4

.........................(3)

13

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Penyelesaian: 2x3 = 4, maka x3 = 2 dan x2 = 3, gantikan nilai x2 dan x3 dalam persamaan (1) 3x1 + 2(3) – 2 = 2 x1 =  2 Penyelesaian bagi sistem (a) boleh dibuat secara penghapusan dan pengantian. Namun ia adalah sukar. Maka adalah lebih baik sistem (a) di turunkan kepada sistem (b) dan akhirnya diselesaikan dengan kaedah pengantian kebelakang.

1.4.3

Operasi Baris Permulaan

Sebarang sistem persamaan linear boleh di transformkan kedalam bentuk persamaan matriks dan sebarang matriks yang diperolehi daripada matriks yang lain dengan menggunakan turutan operasi baris dikatakan setara dengan matriks yang asal.

Takrif 3 Operasi Baris Permulaan (O.B.P) boleh dilakukan dengan tiga operasi berikut: (a)

dua baris sesuatu matriks boleh ditukargantikan Kedudukanya, operasi ditulis sebagai BjBk.

(b)

unsur-unsur suatu baris bagi suatu matriks boleh didarabkan dengan suatu pemalar bukan sifar, operasi boleh ditulis sebagai ()Bk.

(c)

suatu baris bagi suatu matriks boleh diubah dengan menambahkan kepadanya suatu gandaan sebarang baris yang lain, operasi boleh ditulis sebagai ()Bj + Bk.

14


Sebelum pergi lebih lanjut mengenai Operasi Baris Permulaan, kita kena tahu apakah tujuan untuk melakukan operasi baris permulaan

kepada sistem linear yang asal. Sebenarnya

tujuannya adalah untuk menyelesaikan sistem tersebut dan apabila kita lakukan operasi baris permulaan kita lakukan sehingga sistem membentuk pekali matriksnya berbentuk matriks segitiga.

Takrif 4 Sesuatu sistem Linear dikatakan pekalinya berbentuk matriks segitiga jika semua pemasukan di bawah pepenjuru dari bahagian atas di sebelah kiri ke bahagian bawah di sebelah kanan ialah sifar.

Contoh 1.9 Berikut adalah contoh sistem persamaan linear berbentuk segitiga: x + 2y + z = 3 7y + 6z = 10 2z = 4

1 2 atau dalam bentuk matriks imbuhan 0 7 0 0

1 3 6 10 2 4

Setelah sistem itu berada dalam bentuk segitiga maka akan mudah membuat pengantian kebelakang untuk memyelesaikan sistem tersebut. seperti contoh di atas gunakan penggantian kebelakang,

2z = 4, maka z = 2 Gantikan z = 2 kedalam persamaan kedua didapati 2

7y + 6(2) = 10, maka 7y = -2 dan y = − 7 Seterusnya gantikan kedalam perssamaan pertama, didapati 2

x + 2(− 7) + 2 = 3, dan x =

11 7 11 7

2 7

maka penyelesaian sistem tersebut adalah ( , − , 2)

sekarang marilah kita teruskan dengan operasi baris permulaan. Lihat contoh-contoh berikut:

15


Contoh 1.10 Selesaikan sistem persamaan linear berikut: x + 2y + z = 8 2x + y - z = 1 x + y - 2z = -3

Penyelesaian: Tukarkan sistem di atas kepada bentuk matriks imbuhan seperti berikut; 1 2 1 8 2 1 −1 1 1 1 −2 −3

,

untuk menjadikan matriks imbuhan ini berbentuk segitiga kita akan sifarkan semua pemasukan pada lajur pertama kecuali pelopor lajur pertama tersebut. 1 2 1 8 B2 +(-2)B1  0 −3 −3 −15 1 1 −2 −3 1 2 1 8 B3+(-1)B1  0 −3 −3 −15 0 −1 −3 −11 Kemudian kita sifarkan pemasukan lajur kedua yang terletak dibawah pelopor baris kedua. 1 2 1 8 1 B3 + (- ) B2  0 −3 −3 −15 3 0 0 −2 −6 Maka sistem linear di atas adalah setara dengan

x + 2y +

z=8

-3y + -3z = -15 -2z = -6 Jadi, dengan menggunakan kaedah pengantian kebelakang, z = 3, y = 2 dan x =1.

16


Bentuk Eselon Baris

Sebelum ini kita telah mempelajari suatu kaedah untuk menurunkan suatu sistem linear n x n ke bentuk segitiga.Maka kita diperkenalkan pula dengan Bentuk Eselon Baris(B.E.B).

Takrif 5 Suatu matriks dikatakan berada dalam Bentuk Eselon Baris jika; 

Semua baris sifar berada pada baris paling bawah matriks.



Pemasukan pelopor pada setiap baris bukan sifar adalah pada sebelah kanan lajur yang mengandungi pemasukan pelopor pada baris sebelumnya.



Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada baris tertentu, maka semua kemasukan pada lajur dibawahnya adalah sifar.

1.2.4

Bentuk Eselon Baris Terturun (B.E.B.T)

Jika sesuatu matriks Bentuk Eselon Baris memenuhi dua ciri-ciri tambahan berikut kita katakan ia adalah Bentuk Eselon Baris Terturun. 

Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada sebarang baris , maka semua kemasukan pada lajur tersebut adalah sifar.



pemasukan baris bukan sifar adalah satu.

Berikut adalah contoh matriks Bentuk Eselon Baris (B.E.B) 2 0 0

4 1 −1 2 , 0 0

1 0 0 1 0 0

1 5 , 4

1 0 0

1 2 0 1 0 0

1 3 , 0

0 0 0 0

2 0 1 −1 3 0 −1 1 2 2 . 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5

Berikut pula adalah contoh matriks Bentuk Baris Eselon Terturun 1 0 0 1 0 0

0 0 , 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0

−6 5 , 0

1 9 0 0 0 1 0 0 0

17

−7 0 8 0 , 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 −1 0 0 8 0 . 1 6 0 0 0 1


Kaedah Penghapusan Gauss

Algorithma yang digunakan untuk menurunkan sebarang matriks imbuhan menjadi matriks bentuk eselon baris adalah dipanggil kaedah penghapusan gauss. Dalam teknik penghapusan Gauss, kita turunkan matriks imbuhan bagi sistem linear menjadi matriks bentuk eselon baris. Kemudian, kita selesaikan sistem linear yang setara dengan matriks baris eselon baris itu menggunakan teknik yang dipanggil penggantian kebelakang.

Contoh 1.11 Selesaikan sistem 2x2 + 3x3 = 8 2x1 + 3x2 + x3 = 5 x1 – x2 – 2x3 = -5 Penyelesaian: Matriks imbuhannya ialah

0 2 1

2 3 8 3 1 5 −1 −2 −5

Kita teruskan dengan menurunkan matriks ini kepada Bentuk Eselon Baris, seperti berikut:

B1  B3 

0 2 3 8 2 3 1 5 1 −1 −2 −5 1 −1 −2 −5 2 3 1 5 0 2 3 8

Sekarang mari kita jadikan sifar pada pemasukan kedua dalam lajur pertama: 1 −1 −2 −5 B2+(– 2)B1  0 5 5 15 0 2 3 8 Seterusnya kita darabkan dengan

1 5

pada baris kedua untuk jadikan pemasukan pelopor baris

kedua adalah 1. 1 −1 −2 −5 1 (5) B2  0 1 1 3 0 2 3 8

18

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu sifarkan pada pemasukan pada baris ketiga lajur kedua. 1 0 0

B3+(– 2)B2 

−1 −2 −5 1 1 3 0 1 2

Hasilnya matriks imbuhan yang asal telah berada dalam bentuk eselon baris. Sistem linear itu adalah setara dengan : x1 – x2 - 2x3 = -5 3x2 + x3 = 3 x3 = 2 dan penggantian kebelakang memberikan x3 = 2, jadi

x2 = 3 - x3 = 3–2 = 1, dan seterusnya x1 = -5 + x2 + 2x3 = -5 + 1 + 4 = 0.

Kita tulis jawapan dalam bentuk vektor sebagai

1.2.6

0 1 2

Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan

Kaedah ini adalah lanjutan dari kaedah Penghapusan Gauss, yang mana sesuatu sistem persamaan linear kita lakukan operasi baris sehingga kepada bentuk eselon baris terturun .

Contoh 1.12 Selesaikan sistem x + 3y - z = 8 2x + y + z = 3 3x - 2y - 2z = 1

19

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Penyelesaian: 1 3 −1 8 Matriks imbuhannya ialah 2 1 1 3 3 −2 −2 1 Kita teruskan dengan menurunkan matriks ini kepada bentuk eselon baris terturun seperti berikut: 1 3 −1 8 0 −5 3 −13 3 −2 −2 1

B2+(– 2)B1 

Sekarang mari kita jadikan sifar pada pemasukan ketiga dalam lajur pertama: 1 3 −1 8 0 −5 3 −13 0 −11 1 −23

B3+ (– 3)B1 

Seterusnya kita darabkan dengan -

1 5

pada baris kedua untuk jadikan pemasukan pelopor baris

kedua adalah 1.

(−

1 ) 5

1 3 −1 8 3 13 1 −5 5 B2  0 0 −11 1 −23

Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu sifarkan pada pemasukan pada baris ketiga lajur kedua. B3 + (11)B2 

1 3 0 1

−1 8 3 13 −5 5

0 0

−

28 28 5 5

Hasilnya matriks imbuhan yang asal telah berada dalam bentuk eselon baris, namun bagi penyelesaian secara Gauss-Jordan kita kena teruskan Operasi Baris Permulaan ini sehingga kebentuk Bentuk eselon Baris Terturun. Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu jadikan pelopor pemasukan baris ketiga sebagai 1. 5

(- 28 ) B3 

1 0 0

3 −1 8 3 13 1 −5 0

5

1 −1

Seterusnya sifarkan pemasukan lajur ketiga yang berada di atas pelopor baris ketiga. 3 5

B2 +( ) B3 

B1 +(1) B3 

1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 0 0

−1 8 0 2 1 −1 0 7 0 2 1 −1

20

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Akhirnya kita sifarkan pula pemasukan lajur kedua yang berada di atas pelopor baris kedua. 1 0 0 1 0 0

B1+ (-3) B2 

0 1 0 2 1 −1

Maka sistem persamaan linear yang asal adalah setara dengan, x

=1 y

=2 z = -1

dan penyelesaiannya ialah

1 2 . −1

Sistem linear itu adalah setara dengan : x1 – x2 - 2x3 = -5 3x2 + x3 = 3 x3 = 2 dan penggantian kebelakang memberikan x3 = 2, jadi

x2 = 3 - x3 = 3–2 = 1, dan seterusnya x1 = -5 + x2 + 2x3 = -5 + 1 + 4 = 0.

Kita tulis jawapan dalam bentuk vektor sebagai

21

0 1 2


Latihan 1.3 1.

Tentukan sama ada matriks yang diberi berikut adalah bentuk eselon baris. Jika ia,

nyatakan sama ada ia juga berada dalam bentuk eselon baris terturun. (a)

1 0 0 0 0 1

(c)

0 0

(e)

1 0 0 1 0 0

2.

1 1 2

5 0 0 0 0 0 1 0 0

(b)

1 3 0 1

1 2

0 0 1

(d)

(f)

0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 1 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah

Gaus-Jordan.

(a)

(c)

x– y+z = 3

2x + y – z = 1

(b)

2x – y + z = 4

x+ y– z=0

x + 2y – z = -1

3x + y + 2z = 2

x– y+ z = 1 3x + y

(d)

3x + y

= 4

(e)

x + 2y + z = 4

– z=0

x

y – 2z = -1

=7

y - 2z = -8 x + 2y – 3z = -5

(f)

3x – y - z = 2

5x + y – z = -11

Jawapan: 2.

a)

x = 1, y = 0, z = 2

b)

x = 1, y =  1, z = 0

c)

x = 1, y = 1, z = 1

d)

x = 3, y =  2, z = 3

e)

x = 7 (8 + 𝑡),

f)

x =  (𝑡 − 17),

1

1 9

1

y = 7 (10 − 4𝑡), y=

14 (𝑡 9

− 1),

22

z=t z=t


Sistem Homogen Takrif 6 Sistem persamaan linear dikatakan homogen jika pemalar sebelah kanan dalam setiap persamaan bersamaan sifar, Jika tidak sistem itu dikatakan tak homogen.

Contoh: 1.12 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut dengan menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan. 2x1 – x2 – 2x3 + x4 = 0 x1 + 2x2 – 3x3

=0

X2 + x3 – x4 = 0 Penyelesaian: 2 1 0

−1 −2 1 0 2 −3 0 0 1 1 −1 0

Dengan melakukan operasi baris permulaan matriks di atas boleh diturunkan sehingga matriks berbentuk eselon baris terturun seperti ini. (cuba lakukan operasi baris sehingga menjadi matriks di bawah ini) 1 0

0

−

1 2 −3 − 0 1 Maka didapati:

1

−

2 9 5 9 4 9

0 0 0

x1 = 2/9 t x2 = 5/9 t x3 = 4/9 t dan

x4 = t , t  R

Teorem: Sistem persamaan linear homogen dengan bilangan anu lebih banyak daripada bilangan persamaan mempunyai tak terhingga banyaknya penyelesaian, dan oleh itu sentiasa ada penyelesaian tak remeh

23


Latihan 1.4

1.

Dapatkan penyelesaian bagi sistem linear homogen berikut: x1 + 3x2  x3 + 2x4 = 0 x1  2x2 + x3

=0

x2 + 3x3  4x4 = 0 2.

Selesaikan sistem x  2y + 2z = 0 4x  7y + 3z = 0 2x  y + 2z = 0

Jawapan: 18

2

22 t 7

1.

x1 = − 17 𝑡,

x2 = 17 𝑡,

x3 =

2.

x=0

y=0

z=0

x4 = t ( penyelesaian remeh)

24


Pemprograman Linear dan Ketaksamaan Linear

•

Melukis ketaksamaan linear dalam dua pembolehubah

•

Menyelesaikan ketaksamaan Linear dengan menggunakan grraf

•

Penggunaan

Contoh: 1.13 Grafkan set penyelesaian bagi sistem y ≤ 2x – 3

dan

2x – 3y > 5

Penyelesaian: Graf bagi ketaksamaan y ≤ 2x – 3 meliputi graf garis bagi persamaan y = 2x – 3 dan semua titik di bawahnya. Manakala graf bagi ketaksamaan 2x – 3y > 5 mengandungi hanya titik-titik yang berada di bawahnya sahaja (tidak termasuk titik-titik yang berada di atas garisan). Penyelesaian keseluruhan adalah titik yang memenuhi kedua-dua ketaksamaan tersebut. ( kawasan berlorek dalam rajah di bawah). y = 2x – 3 y = 2x – 3 ,

3y = 2x – 5 3y = 2x – 5

x

y 0 -3

x

2 1

-2 -3

y 4 1

25

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Contoh1.14 Firdaus dan Dania berkerja sambilan untuk mengeluarkan bekas jam. Firdaus menggunakan 4 jam sehari dan Dania pula 2 jam sehari untuk menyiapkan satu bekas jam besar berdiri. Untuk membina satu bekas jan dindidng pula, Firdaus bekerja selama 3 jam dan Dania 4 jam. Keduadua mereka tidak boleh bekerja lebih daripada 20 jam seminggu. Jika mereka mendapat sebanyak RM80 untuk setiap jam besar berdiri dan RM64 untuk setiap jam diding, berapa banakkah tiap-tiap satunya patut mereka bina setiap minggu untuk memaksimum keuntungan mereka.

Penyelesaian: Maklumat si atas boleh diringkaskan seperti berikut:

Masa untuk sebuah Masa Jam Besar Berdiri

Untuk

sebuah

jam diding

Firdaus

4 jam

3 jam

Dania

2 jam

4 jam

Katakan x adalah bekas jam besar berdiri dan y adalah bekas jam dinding Keuntungan , P = 80x + 64y x≥0 y≥0 4x + 3y ≤ 20 2x + 4y ≤ 20 Kekangan x ≥ 0 dan y ≥ 0 menunjukkan bahawa bilangan bekas jam tidak mungkin negatif. Rantau berlorek R, adalah seperti yang ditunjukkan dalam graf di bawah.

26


4x + 3y = 20 (0,5)

(2,4) R

(0,0)

2x + 4y = 20

(5,0)

Dari graf tersebut kita dapati bucu-bucu (0,0),(0,5), (2,4) dan (5,0) adalah merupakan titik ekstremun, untuk menentukan keuntungan maksimum kita uji titik-titik ini. Pada titik (0,0)

P = 80(0) + 64(0) = 0

Pada titik (0,5)

P = 80(0) + 64(5) = 329

Pada titik (2,4)

P = 80(2) + 64(4) = 416

Pada titik (5,0)

P = 80(5) + 64(0) = 400

Dari ujian di atas didapati keuntungan maksimum berlaku pada titik (2,4) ini bermaka untuk mendapat keuntungan maksimu Firdaus dan Dania mesti menyiapkan 2 bekas jam besar berdiri dan 4 bekas jam dinding setiap minggu, iaitu mereka mendapat keuntungan pada tahap RM416 seminggu.

27


Latihan 1,5 1.

Tunjukkan secara graf set penyelesaian bagi setiap sistem ketaksamaanberikut: (a)

y≤x–2

(b)

x+y<2 x+y≤1

Y < -2x + 3

(c)

2x + 3y ≤ 5

x+y≥1

(d)

3x + y ≤ 1

x–y≤1

X≤0

x–y≥0 x≤2

2.

Sebuah syarikat mengilang gandar roda bentuk 1 dan gandar roda bentuk2,

masing-masing diproseskan pada mesin A, B, dan C. Jadual di bawah menunjukkan masa memproses bagi setiap unit gandar roda, dan juga bilangan gandar roda yang dikeluarkan bagi setiap mesin dalam setIap 8 jam berkerja . jadual juga menunjukkan keuntungan bagi setiap keluaran. Mesin A

Mesin B

Mesin C

Keuntungan (RM)

Ganda roda 1

1/10

1/12

3/20

55.00

Ganda roda 2

1/10

1/6

1/20

50.00

bilangan unit

5

7

6

Cari bilangan gandar roda 1 dan gandar roda 2 yang perlu dikeluarkan supaya kilang tersebut mendapat keuntungan maksimum.

Jawapan:

gandar roda 1 = 35 dan gandar roda 2 = 15.

28


Aplikasi Sistem persamaan Linear dan Ketaksamaan Linear

Kegunaan sistem persamaan linear adalah sangat banyak, ia boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah seperti dalam bidang ekonomi, fizik , kimia , biologi dan pelbagai lagi.

Contoh 1.15 Seorang ahli biologi meletakkan ke dalam tabung uji tiga jenis bakteria (dilabelkan dengan I,II dan III), dimana mereka di beri tiga jenis makanan yang berbeza (A,B dan C). Setiap hari 2300 unit makanan A, 800 unit makanan B, dan 1500 unit makanan C diletakan ke dalam tabung uji berkenaan dan setiap bakteria menggunakan beberapa unit makanan sehari, seperti yang ditunjukkan dalam jadual 1. Berapa banyak bakteria bagi setiap jenis perlu diletakkan supaya hidup di dalam tabung uji dan menggunakan kesemua makanan tersebut?

Bakteria Jenis 1

Bakteria Jenis 2

Bakteria Jenis 3

Makanan A

2

2

4

Makanan B

1

2

0

Makanan C

1

3

1

Jadual 1

Penyelesaian: Biarkan x, y dan z bilangan bakteria jenis 1,II dan III, masing-masing. Bedasarkan maklumat di dalam jadual 1, Bakteria jenis I memerlukan 2 unit A setiap hari, bakteria jenia II memerlukan 2 unit A setiap hari dan bakteria jenis III memerlukan 4 unit A sehari. Maka kita boleh tulis dalam bentuk persamaan linear sebagai: 2x + 2y + 4z = 2300 Dengan cara yang sama kita boleh dapati persamaan untuk makanan B dan C seperti berikut: X + 2y = 800 dan X + 3y + z = 1500

29

MTE3110 LINEAR ALGEBRA dengan menggunakan kaedah Gaus-Jordan kita selesaikan seoerti berikut: Persamaan di atas boleh ditulis dalam bentuk matriks imbuhan 2 2 4 2300 1 2 0 800 1 3 1 1500

dan selesaikan dengan Operasi Baris Permulaan sehingga ke

bentuk eselon baris terturun , iaitu: 1 0 0 100 0 1 0 350 0 0 1 350 Jadi, x = 100, y = 350 dan z = 350. Ini bermakna ahli biologi tersebut perlu meletakkan 100 bakteria jenis I , 350 bakteria jenis II dan 350 bakteria jenis III kedalam tabung uji jika ia mahu semua makanan tersebut dihabiskan.

Contoh 1.16

8 volt i1

4 ohms

2 ohms i2 5 ohms i3

2 ohms

9 volt

Di dalam bidang rangkaian letrik kita boleh mengiraatau menentukan amaun arus di dalam setiap cabang dalam sebutan rintangan dan voltan. Perhatikan rajah berikut, simbol mewakili sel atau bateri (diukur dalam sukatan volt) , arus akan keluar dari pangkalan bateri yang bertanda mencancang panjang. Sementara itu simbol dalam unit ohm.Simbol

mewakili perintang tang diukur

mewakili nod dan i mewakili arsu diantara nod-nod. Anak panah

menunjukkan arah aliran arus. Untuk menentukan arus, hukum Kirchhoff digunakan: 1.

Pada setiap nod jumlah arus yang masuk adalah bersamaan dengan jumlah arus yang keluar.

2.

Pada setiap gelung tertutup hasil tambah algebra voltan mestilah bersamaan dengan hasil tambah algebra voltan yang menyusut.

Voltan , V = iR, dimana i adalah arus dalam ampere dan R adalah rintangan dalam Ohms.

30

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Jadi kita lihat dari rajah di atas didapati: i1 – i2 + i3 = 0

(nod A)

- i1 + i2 – i3 = 0

(nod B)

Dari hukum kedua, 4i1 + 2i2

=8

2i2 + 5i3 = 9

(gelung atas) (gelung bawah)

Persamaan linear di atas boleh diwakili oleh matriks imbuhan 1 −1 1 0 −1 1 −1 0 4 2 0 8 0 2 5 9 Seterusnya turunkan ke Bentuk Eselon Baris Terturun ia menjadi; 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 2 1 0

Maka kita dapati, i1 = 1, i2 = 2 dan i3 = 1. Contoh 1.17 Pembakaran amonia (NH3) dalam oksigen akan menghasilkan gas nitrogen (N2) dan air. Dapatkan persamaan kimia yang seimbang bagi tindakbalas ini.

Penyelesaian Biar kita namakan bilangan molekul-molekul amonia,oksigen, nitrogen dan air sebagai w,x,y dan z masing-masig, jadi persamaan tindakbalas ditulis sebagai; wNH3 + xO2  y N2 + zH2O Dengan membandingkan bilangan nitrogen,hidrogen dan oksigen didalam tindakbalas dan hasil, kita mendapati tiga persamaan linear; Nitrigen :

w = 2y

Hidrogen:

3w = 2z

Oksigen:

2x = z

31

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Seterusnya jika ditulis semula, ia menjadi sistem; w

- 2y

=0

– 2z = 0

3w

–z=0

2x Dalam bentuk matriks imbuhan, 1 0 3 0 0 2

−2 0 0 0 −2 0 0 −1 0

Kemudian lakukan operasi baris permulaan sehingga menjadi bentuk eselon baris

terturun,

2 3 1 −2 1 − 3

1 0

0 −

0 1

0

0 0

1

0 0 . 0

Maka, kita dapati 2

w = 3 z, 1

x = 2 z dan, 1

y = 3 z. dengan menggantikan z = 6, kita akan dapati nilai integer yangpaling kecil bagi w,x dan y, iaitu w = 4, x = 3, y = 2 dan z = 6. Maka persamaan tindakbalas yang seimbang ialah 4NH3 + 3O2  2N2 + 6H2O

32

MTE3110 LINEAR ALGEBRA Contoh: 1.18 (Analisis rangkaian) Dalam kebanyakan situasi harian, pelbagai rangkaian yang kita dapati seperti rangkaian prngankutan, komunikasi, ekonomi dan lain-lain. Rangkaian-rangkaian ini seperti rangkaian jalan raya, ia mempunyai simpang iaitu pertemuan antara beberapa cabang jalan.Pertemuan antara cabang ini dikenali sebagai nod. rajah menerangkan berkenaan Keabadian aliran iaitu setiap aliran masuk sama dengan aliran keluar.

20 𝑓1

𝑓2

30

Dari rajah di atas, kita lihat dua aliran masuk dan dua aliran keluar dari nod. Maka dari sini kita boleh bina persamaan , iaitu aliran masuk f 1 + f2 dan aliran keluar adalah 20 + 30 jadi keseluruhannya f1 + f2 = 50. Contoh 1.19

5 10

A

𝑓1

B

𝑓4

10

𝑓2 𝑓3

20

5 C

D 30

Rajah menujukkkan aliran air paip diukur dalam unit liter per minit. Jelaskan kemungkinankemungkinan aliran air paip tersebut.

33


Penyelesaian: Pada setiap nod kita bina persamaan linear yang mungkin. nod A :

f1

+ f4 = 15

nod B :

f1 – f2

nod C :

= 10

f2 + f3

= 25

f3 – f4 = 20

nod D :

Dengan menggunakan kaedah Penghapusan Gauss-Jordan kita turunkan matriks imbuhan ke bentuk eselon baris terturun. 1 1 0 0

0 −1 1 0

0 1 0 0 1 0 1 −1

15 10 25 20

O.B.P

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 −1 0

15 5 20 0

Maka kita dapati, f1 + f4 = 15 f2 + f4 = 5 f3 – f4 = 20 biarkan f4 = w, maka f1 = 15 – w f2 = 5 – w f3 = 20 + w f4 = w Bedasarkan sistem persamaan linear dia atas , kita dapati w boleh mempunyai sebarang nilai. Namun begitu realitinya ini adalah sistem aliran paip maka sudah tentu tiada nilai negatif. Sekarang cuba kita gantikan; w = 5, maka f1 = 10, f2 = 0, f3 = 25 dan f4 = 5 Sebenarnya dari sistem di atas kita boleh mencari nilai maksimum dan minimum, cuba pertimbangkan pada persamaan pertama sudah pasti w ≤ 15 (kerana f 1 tidak boleh menjadi negatif), dan dari persamaan kedua pula w ≤ 5 (juga kerana f 2 tidak boleh menjadi negatif). Maka kekangan w ≤ 5 adalah lebih kuat. Oleh itu kita dapati bahawa

34

MTE3110 LINEAR ALGEBRA 0 ≤ t ≤ 5. Kombinasi dari persamaan di atas kita dapati 10 ≤ f1 ≤ 15 0 ≤ f2 ≤ 5 20 ≤ f3 ≤ 25 dan 0 ≤ f4 ≤5

Latihan 1.6

Rajah menunjukkan litar elektrik dengan arus I1, I2, I3, I4, I5 dan I6, serta kadar rintangan 1 Ohm dan 2 Ohm dilengkapi dengan sel 12 volt dan 6 volt. Dapatkan arus yang mengalir di I1, I2, I3, I4, I5 dan I6. Jawapan :

I1 = 5.4, I5 = 4.8

I2 = 2.4, I6 = 7.8

I3 = − 0.6,

35

I4 = 7.2,


Aktiviti 1.2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah Gaus-Jordan.

(a)

(c)

x– y+z = 3

(b)

2x + y – z = 1

2x – y + z = 4

x+ y– z=0

x + 2y – z = -1

3x + y + 2z = 2

x– y+ z = 1 3x + y

(d)

3x + y

= 4

x

y – 2z = -1

(e)

x + 2y + z = 4

(i)

2x – 2y + 3z + t = 2

– z=0 y - 2z = -8

x + 2y – 3z = -5

(f)

3x – y - z = 2

(g)

=7

5x + y – z = -11

(h)

x + y + 2z + t = 1

x+ y+ z+t = 5

x + 2y + z + t = 2

-x + 2y – 3z + 2t = 2

2x + y + z + t = 4

x + y + 2z - t = 4

x + y + z + 2t = 3

x+y x

+ t = 4 z+ t = 2

2x + 2y + z + 2t = 8 x - y + z + t = -2

(j)

x - y + 2z + t = 3 3x - 2y - z - t = 4 2x + y + 2z - t = 10 x + 2y + z - 3t = 8

36

09 Topik 1 Sistem Persamaan Linear

Recommend Documents