PERKONGRUENAN LINEAR Perkongruenan Linear : •
Merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan
•
Pangkat tertinggi satu
•
Bean untuk nuntuk Umum :
ax ≡ b (mod m)
Contoh : •
3x ≡ 4 (mod 5), merupakan perkongruenan linear
•
X4 – 5x + 7 ≡ 5 (mod 7), bukan merupakan merupakan pengkoreanan pengkoreanan linear.
Untuk perkongruenan linear 3x ≡ 4 (mod 5), Jika x = 3 maka : 3.3 ≡ 4 (mod 5) 9 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalima imat pengkongruenan linear yang benar. Jika Jika x = -7 maka maka : 3 (-7) (-7) ≡ 4 (mod (mod 5) -21 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat pengkongruenan linear yang benar. Dan untuk nilai – nilai x yang lainnya, seperti : ......, -12, - 12, -7, -2, 3, 8. .... Karena ax ≡ b (mod (mod m), berarti ax – b = mk, untuk k ϵ Z atau atau ax = b + mk Jadi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) akan mempunyai solusi atau penyelesaian jika dan hanya jika ada x dan k anggota z yang memenuhi persamaan ax – b = k. Misalkan r memenuhi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m),berarti ar kongruen ar ≡ b (mod m),maka setiap bilangan bulat ( (r + m), (r + 2m), (r + 3m), ..., (r – m), (r – 2m),...) memenuhi perkongruenan itu sebab a(r +mk) ≡ ar ≡ b (mod m) untuk k ϵ Z. Diantara bilangan-bilangan bulat ( r + mk ) dengan k = 0, 1, 2, 3, ...,-1, -2, -3,... ada ada tepat satu satu dan hanya hanya satu katakan katakan s dengan dengan 0 ≤ s < m seba sebabb suatu bilangan bulat meski terletak diantara dua kelipatan m yang berurutan.
Jadi jika r memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m) dan km ≤ r < (k+1)m untuk suatu bilangan bulat k maka 0 ≤ ( r – km) < m , jadi s = r – km untuk suatu bilangan bulat k. Ini berarti s merupakan solusi ( penyelesaian ) dari perkongruenan ax ≡ b (mod m). Contoh : Misalkan 2x ≡ 4 (mod 2) Nilai-nilai x yang memenuhi perkongruenan 2x ≡ 4 (mod 2) ini adalah ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, ... dengan solusi perkongruenan adalah 2. Yaitu residu terkecil modulo 7 yang memenuhi perkongruenan linier 2x ≡ 4 (mod 2). Pada persamaan ax = b dengan a ≠ 0 hanya mempunyai satu solusi, banyak solusi, bahkan ada yang tidak mempunyai solusi. Contoh : 1.
2x ≡ 1 (mod 4) Jika 2x ≡ 1 (mod 4) maka 4 │ (2x – 1) tidak mempunyai solusi karena tidak ada suatu bilangan bulat x yang memenuhi 4 │ (2x – 1) berarti 4 │ (2x – 1)
2.
3x ≡ 5 (mod 11) Jika 3x ≡ 5 (mod 11) maka 11 │ (3x – 5) hanya mempunyai tepat satu solusi yaitu 9
3.
2x ≡ 4 (mod 6) Jika 2x ≡ 4 (mod 6) maka 6 │ (2x – 4) mempunyai beberapa solusi yaitu yaitu 2 dan 5
TEOREMA 5. 10
Jika (a,m) │b maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) tidak mempunyai solusi. BUKTI : (Pembuktian dengan kontraposisi) Ambil a, b, m ϵ Z dengan m > 0 dan ax ≡ b (mod m) mempunyai solusi Adt : ( a, m ) │ b Karena ax ≡ b (mod m) mempunyai solusimisalkan r maka ar ≡ b (mod m)
atau
ar – b = mk
untuk suatu bilangan bulat k
b = ar – mk Misalkan ( a, m ) = d maka d │ a dan d │m Karena d │a maka menurut teorema 2.2 maka d │ar untuk suatu r ϵ Z Karena d │m maka menurut teorema 2.2 maka d │mk untuk suatu k ϵ Z Karena d │ ar dan d │ mk maka menurut teorema 2.3.3 d │ar – mk atau d│b Karena kontraposisi di atas benar maka teorema di atas juga benar. Contoh : 6x ≡ 7 (mod 8) karena ( 6,8 ) = 2 dan 2 │ 7 maka 6x ≡ 7 (mod 8) tidak mempunyai solusi .
TEOREMA 5.11
Jika ( a,m ) = 1 maka perkongruenan linier memiliki tepat satu solusi ax ≡ b (mod m)
BUKTI :
Ambil a, m ϵ Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = 1 Adt : ax ≡ b (mod m) memiliki tepat satu solusi 1.
Akan ditunjukkan ax ≡ b (mod m) Mempunyai solusi Karena ( a,m ) = 1 maka menurut teorema 2.10 ada bilangan bulat r dan s sehingga ar + ms = 1 Jika kedua ruas dikalikan dengan b maka (ar) b + (ms) b = b a (rb) – b = m (-sb) karena m │ a (rb) – b maka dapat ditulis a (rb) ≡ b (mod m) Maka residu terkecil dari rb modulo m adalah solusi dari perkongruenan itu.
2.
Akan ditunjukkan ax ≡ b (mod m) mempunyai tepat satu solusi (kontradiksi) Misalkan solusi perkongruenan itu tidak tunggal, misalkan r dan s masing-masing solusi dari ax ≡ b (mod m) maka ar ≡ b (mod m)
dan
as ≡ b (mod m)
atau
ar ≡ as (mod m) karena ( a,m ) = 1 maka menurut teorema 5.6 maka r ≡ s (mod m) berarti m │ r – s .... *) Tetapi karena r dan s adalah solusi dari perkongruenan itu maka r dan s masing-masing residu terkecil modulo m sehingga
0 ≤ r < m dan 0≤ s < m
atau
-m < r – s < m ... **) Dari *) dan **) yaitu m │ r – s dan -m < r – s < m maka menurut teorema 2.5 iv haruslah r – s = 0 atau r = s Ini berarti bahwa solusi dari perkongruenan linier tunggal untuk ( a,m ) = 1. Contoh : 1.
4x ≡ 1 ( mod 15 ) 4x ≡ 16 ( mod 15 ) x ≡ 4 ( mod 15 ) x = 4 + 15 k
untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Residu terkecil dari 4x ≡ 1 ( mod 15 ) adalah 4. 2.
14 x ≡ 27 ( mod 31 ) 14 x ≡ 58 ( mod 31 ) 7x ≡ 29 ( mod 31 ) 7x ≡ 91 ( mod 31 ) x ≡ 13 ( mod 31 ) x = 13 + 31 k untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ... Residu terkecil dari 14 x ≡ 27 ( mod 31 ) adalah 13.
Jika ( a,m ) = 1 berdasarkan teorema 5.11 maka perkongruenan ax ≡ 1 ( mod m ) juga mempunyai tepat satu solusi. Solusi itu disebut invers dari a modulo m yang disebut a-1. a-1 (mod m ) dapat ditulis dengan ax ≡ 1 (mod m)
Contoh : Tentukan 2-1 (mod 13) Jawab : 2x ≡ 1 ( mod 13 ) 2x ≡ 14 ( mod 13 ) x ≡ 7 ( mod 13 ) x = 7 + 13 k untuk k = 0, ±1, ±2, ±3, ... Residu terkecil dari 2x ≡ 1 ( mod 13 ) adalah 7.
TEOREMA 5.12
Jika ( a,m ) = d dan d │ b maka perkongruenan linier ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi. BUKTI : Ambil a, b, d, m ϵ Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = d dan d│ b. Adt : ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi 1.
Akan ditunjukkan d buah solusi. Ambil a, b, d, m ϵ Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = d dan d │ b Adt : ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi Karena ( a,m ) = d berarti akan ada bilangan ( a’ , m’ ) = 1 sehingga berlaku a = d a’ dan m = d m’ Karena d │ b maka ada b’ sehingga b = b’ d
Perhatikan bahwa : ax ≡ b ( mod m ) ( da’) x ≡ db’ ( mod m’d ) Karena ( a,m ) = d dan ( a’ , m’ ) = 1 maka ( da’)x ≡ db’ ( mod dm’) jika kedua ruas dibagi dengan d maka a’ x ≡ db’ ( mod dm’) Karena ( a’ , m’ ) = 1 maka a’x = b’ ( mod m’) akan memiliki satu solusi, misalkan solusi itu adalah r. Maka d buah bilangan yaitu : r , r + m’ , r + 2m’ , ... , r + ( d – 1 )m’
atau
r + km’ untuk k = 0, 1, 2, ... , ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ) akan berlaku : ax = a ( r + km ) = da’ ( r + km’) = da’r + da’km’ Karena a’r ≡ b’ (mad m’) dan m’d = m maka ax ≡ a’rd + a’km’d ( mod m) ≡ b’d + a’km’d ( mod m) ax ≡ b’d ( mod m) ax ≡ b ( mod m) Jadi r + km’ untuk k = 0, 1, 2, ..., ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ). Setiap r + km’ dengan k = 0, 1, 2, ..., ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ) akan berlaku : ax = a (r + km) = da’ (r + km’)
= da’r + da’km’ Karena a’r ≡ b’ ( mod m’) dan m’ = m maka ax ≡ a’rd + a’km’d ( mod m) ≡ b’d + a’km’d ( mod m) ≡ b’d ( mod m) ax ≡ b ( mod m) Jadi r + km’ untuk k = 0, 1, 2, ....... ,(d – 1) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m) 2.
Setiap r + km’ dengan k = 0, 1, 2, 3,..., (d – 1) adalah residu terkecil dari modulo m. Karena r adalah solusi dari a’x ≡ b’ ( mod m’) berarti r ≥ 0 sehingga 0 ≤ r + km’. Perhatikan bahwa : r + km’ ≤ r + (d – 1)m’ ; untuk setiap k = 0, 1, 2, ........, (d – 1) r + (d – 1)m’ < m’ + (d – 1) m’ r + (d -1) m’ < m’ + dm’ – m’ r + (d – 1)m’ < dm’ r + (d – 1) m’ < m ini berarti 0 ≤ r + km’ < m hal ini menunjukkan bahwa (r + km’) untuk k = 0, 1, 2, ...... ,(d – 1) adalah residu – residu terkecil modulo m atau mempunyai d buah solusi yang berbeda.
Artinya tidak ada bilangan dari (r + km’) untuk k = 0, 1, 2, ......,(d – 1) yang kongruen modulo m sebab (r + km’) untuk k = 0, 1, 2,.......,(d -1) adalah residu – residu terkecil modulo m yang berbeda. 3.
Tidak ada solusi lain kecuali d buah solusi itu. Karena r adalah solusi dari perkongruenan linear ax ≡ b ( mod m), misalkan ada solusi lain yaitu s, berarti ; as ≡ b ( mod m) dan ar ≡ b ( mod m). sehingga as ≡ ar ( mod m) Karena (a , m) = d dan as ≡ ar ( mod m) maka diperoleh s ≡ r ( mod m/d) s ≡ r ( mod m’) Ini berarti s – r = tm’ atau s = r + tm’ untuk suatu bilangan bulat t. Karena s residu terkecil modulo m, sedangkan semua residu terkecil modulo m berbentuk (r + km’) dengan k = 0, 1, 2,........, (d – 1). Maka s = r + tm’ adalah salah satu solusi di antara (r + km’). Jadi tidak ada solusi lain kecuali d buah solusi yaitu (r + km’) dengan k = 0, 1, 2, ......, (d – 1)
Contoh : Selesaikanlah 6x ≡ 15 ( mod 33) Jawab : 6x ≡ 15 ( mod 33)
karena (6 , 33) = 3 maka
2x ≡ 5 ( mod 11)
karena (2 , 11) = 1 maka
2x ≡ 16 ( mod 11) x ≡ 8 ( mod 11)
ini berarti x = 8 + 11k, untuk setiap k ϵ Z untuk k = 0 maka x = 8 untuk k = 1 maka x = 19 untuk k = 2 maka x = 30 Jadi 6x ≡ 15 ( mod 33) mempunyai 3 buah solusi yang berbeda yaitu 8, 19, dan 30.
Persamaan Linear DIOPHANTUS
Bentuk umum persamaan linear Diophantus adalah ax + by = c dengan a, b ≠ 0 dan a, b, c, x , y ϵ Z Dari persamaan ax + by = c dapat dibentuk ax ≡ c ( mod b) atau by ≡ c ( mod a) Untuk menyelesaikan persamaan linear Diophantus menyelesaikan salah satu perkongruenan linear tersebut. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 Jawab : 16y ≡ 35 ( mod 9)
karena (16 , 9) = 1 maka
16y ≡ 44 ( mod 9) 4y ≡ 11 ( mod 9)
karena (4 , 9) = 1 maka
4y ≡ 20 ( mod 9) y
≡ 5 ( mod 9)
ini berarti y = 5 + 9t untuk setiap t ϵ Z
kita
dapat
Subsitusikan y = 5 + 9t ke persamaan 9x + 16 = 35 9x + 16(5 + 9t) = 35 9x + 80 + 144t = 35 x = -5 – 16t untuk setiap t ϵ Z Jadi himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah TEOREMA 5.13 Persamaan linear diophantus a’x + b’y = c’ yang diperoleh dari ax + by = c dengan a’ = a : (a , b), b’ = b : (a , b), c’ = c : (a , b) mempunyai suatu penyelesaian (solusi) x = r dan y = s, maka himpunan semua penyelesaian dari ax + by = c adalah