GELANGGANG POLINOMIAL Polinomial adalah salah satu konsep matematika yang paling banyak digunakan dalam aplikasi. Sebagai contoh fungsi polynomial adalah suatu fungsi yang amat mudah dihitung, sehingga polynomial sering digunakan untuk mengaproksimasi nilai dari fungsi ± fungsi lain yang sulit. Selain kegunaannya dalam bidang aplikasi, polynomial juga merupakan suatu konsep yang penting dalam teori gelanggang. Sebagai contoh, kita ingin memperluas gelanggang Z dengan memasukkan suatu bilangan riil
ke dalam gelanggang Z sehingga
membentuk suatu gelanggang R gelanggang R yang baru. Akibat operasi penjumlahan pada R pada R,, unsure-unsur unsure-unsur di R mestilah mengandung kelipatan dari e. Demkian juga akibat operasi perkalian pada R pada R unsur ± unsure di R harus mengandung perpangkatan dari e. Lebih lanjut R mestilah mengandung unsur ± unsur dalam bentuk
Yang merupakan polynomial dalam variabel e dengan koefisien
.
Sehingga untuk memperluas suatu gelanggang kita menggunakan konsep polynomial.
A. PENGANTAR
Pada bagian ini kita akan memperkenalkan beberapa terminologi dasar sehubungan dengan polynomial. Beberapa di antara terminology tersebut adalah derajat, koefisien utama, dan polynomial monik. Defenisi 15.1.1 Andaikan R adalah suat suat u gelan gelan gg an an g kom g komu utatif. H impu impunan
di sebut sebut seb seba a g ai ai gelan gelan gg an an g polynomial ata polynomial ata s R dalam ind et er er minat minat e x. x. Pada defenisi diatas , simbol
tidak menyatakan suatu variabel yang
berasal dari gelanggang R, tetapi simbol-simbol tersebut semata-mata hanyalah sebagai suatu tempat penyimpanan yang pada suatu saat mungkin saja kita gantikan dengan unsure R. Dua unsure di 1
Dan
Dikatakan sama jika dan hanya jika
untuk semua bilangan bulat tak negatip i.
saja pada defenisi ini kita harus mengambil
jika i > n dan
Tentu
jikai > m
Selanjutnya perhatikan suatu polynomial
di R(x). Pada polinomial ini, bentuk untuk setiap suku
polinomial
kita sebut sebagai suku dari polinomial a( x) dan
, k = 0,1,2,«n,
disebut sebagai koefisien dari
disebut sebagai koefisien dari .
untuk setiap suku
adalah bilangan bulat positif terbesar n sehingga
Suatu polinomial,
untuk semua
. Bila
. Derajat dari suatu
.
dikatakan berderajat s, jika
dan
adalah polinomial berderajat s, maka koefisien
disebut sebagai koe fi sien utama (l eadin g coe ficient ) dari
. Polinomial
dikatakan
sebagai P olinomial monik jika koefisien utamanya adalah 1. Teorema 15.1.2
Bila R adalah suat u gelan gg an g, maka himpunan gelan gg an g polinomial
R[x] d en g an oper a si penjumlahan dan p er kalian polinomial adalah suat u gelan gg an g . Bukt i
Akan ditunjukkan bahwa R[x] memenuhi aksioma-aksioma yang menjadi syarat untuk sebuah gelanggang, yaitu
:
Pandang sebarang dua unsur di , yakni :
dan
y
Penjumlahan dari
dan
didefinisikan sebagai berikut :
2
y
dan
Perkalian dari
didefinisikan sebagai berikut:
,
dengan Jadi,
.
untuk k=0, maka
untuk k=1, maka untuk k=2, maka untuk k=3, maka «
untuk k=2n, maka
Berdasarkan definisi diatas, maka : operasi penjumlahan polinomial bersifat asosiatif, yaitu :
operasi penjumlahan polinomial bersifat komutatif, yaitu :
Unsur identitas dari relatif terhadap operasi penjumlahan polinomial adalah yaitu polinomial nol Untuk setiap unsur
.
, unsur kebalikan dari
terhadap operasi penjumlahan adalah
. Sehingga
suatu grup komutatif.
Operasi perkalian polinomial bersifat asosiatif, yaitu :
Pandang sebarang tiga unsur di , yakni :
Misalkan :
,
3
adalah
dengan
. Maka diperoleh :
dengan
Dengan cara yang serupa dapat diperlihatkan bahwa
dengan
, sehingga bila
, maka kita peroleh
dengan
4
sehingga untuk setiap r = 0,1,2,«,3n kita peroleh fakta
. Hal in berakibat
, yakni operasi perkalian polinomial adalah asosiatif.
Operasi-operasi dalam polynomial bersifat distributive, yaitu : (a)
(b)
=
Misalkan :
Dengan mengingat defenisi penjumlahan dan perkalian polinomial, koefesien dari suku ke k dari
Tetapi
adalah
adalah koefesien suku ke k dari a( x) b( x), dan
adalah
koefesien suku ke k dari a( x) c( x). Karena d k sama dengan koefesien suku ke k dari a( x) b( x) + a( x) c( x). Hal ini berakibat a( x)[ b( x)+c( x)] = a( x) b( x) + a( x) c( x). Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa [a( x) + b( x)] c( x) = a( x) c( x) + b( x) c( x). Maka terbukti bahwa himpunan gelanggang polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah suatu gelanggang. Contoh :
5
f dan g dalam Tentukan
2 3 ? x A dengan f x = 2 3 x 5 x
z 6
4 x 5 dan g(x) =
5 4 x 5 x 2
7 x 3
5 x 5 .
:
a ) f(x) + g(x)
b) f(x) . g(x) Penyelesaian: a ) f(x) + g(x)
= ( 2 3 x 2 5 x 3
= 3 4 x 2 x 2
3 x 5
= (2 3 x 2 5 x 3
b) f(x) . g(x)
4 x 5 ) + ( 5 4 x 5 x 2
4 x 5 ).( 5 4 x 5 x 2
7 x 3
7 x 3
5 x 5 )
5 x 5 )
= 2 + 2x + (4+3) x 2 + (0 + 1 + 4) x 3 + (3 + 4) x 4 + (2 + 3 + 5 +2) x 5 + ( 5 +4) x 6 + (3 + 4) x 7 + (1 +4) x 8 + 4 x 10 = 2 + 2 x +1 x 2 +5 x 3 +1 x 4 +0 x 5 +3 x 6 +1 x 7 +5 x 8 +4 x 10 `=2 + 2 x + x 2 +5 x 3 + x 4 +3 x 6 + x 7 +5 x 8 +4 x10 Contoh 2
Diperhatikan bahwa f ( x) = 2 x 4 + 2 dan g ( x) = 2 x 4 merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z 4 . Diperhatikan bahwa: (i). f ( x) + g ( x) = (ii). f ( x) g ( x) = Terlihat
(2 x
4
(2 x
+
4
+
2)+
(2 x ) 4
2)(2 x 4
)
=
(2 x
= 0
4
2 x 4
+
( x ) 8
+
) (2) +
0 ( x 4
)
( x ) 4
= 0
+
2= 2
= 0.
bahwa derajat f ( x) + g ( x) = 0 dan derajat f ( x) g ( x) tak terdefinisi.
Teorema 15.1.3
Bila D adalah suat u daer ah int egr al , maka gelan gg an g polynomial int egr al.
6
? x A adalah suat u
Bukt i : Teorema
15.1.2 memperlihatkan bahwa
¡
? x A adalah suatu gelanggang. Karena
suatu gelanggang komutatif, maka untuk setiap dua unsur a , b n
berakibat bahwa untuk sebarang dua unsur a ( x )
§
¤
adalah
diperoleh ab ! ba . Hal ini
¢
n
a i x i dan b( x) ! § b j x j di
¥
? xA, maka
j ! 0
i 0 £
a ( x )b( x ) !
¢
¨ ¸ k © a b § © § i j ¹¹ x k !1 ª i j ! k º n
n ¨ ¸ ! § ©© § b j a i ¹¹ x k k !1 ª j i ! k º ! b ( x ) a ( x )
Sehingga
¦
? x A adalah suatu gelanggang komutatif. Selanjutnya, karena
daerah integral, maka 1 ! 1 0 x 0 x 2
mempunyai unsur kesatuan yaitu 1
§
....... 0 x n adalah unsur kesatuan di
Sekarang kita tinggal memperlihatkan bahwa Untuk itu, misalkan a( x ), b( x)
Karena a n
{
0 dan bm
disebabkan oleh a n bm b( x) ! 0 . Sehingga
adalah suatu
. Hal ini berakibat bahwa
? x A.
? x A tidak mempunyai unsur pembagi nol.
? xA dengan
a( x) ! a0
a1 x a 2 x 2
b( x) ! b0
b1 x b2 x 2
{
{
©
¨
§
§
...... a n x n , a n { 0
....... bm x m , bm { 0
0 , maka perkalian polynomial menghasilkan a ( x )b ( x ) { 0 , hal ini
0 . Ini berarti bahwa a ( x)b ( x ) ! 0 dipenuhi hanya bila a ( x ) ! 0 atau
? xA tidak mempunyai unsur pembagi nol. Jadi
? xA adalah suatu daerah
integral.
15.2 Pembagian Polinomial
Di sekolah menengah kita sudah mempelajari bagaimana cara membagi suatu polynomial (dengan koefisien riel) berderajat tinggi dengan polynomial berderajat lebih rendah. Pada bagian ini kita a kan melakukan a bstraksi dari konsep pembagian ini, yakni konsep pembagian pada polynomial atas suatu lapangan
F .
Sebagai contoh, perhatikan
7
4
3
2
2
Pembagian polynomial f(x) = 3x + x +2x +1 dan g(x)=x +4x+2 di Z 5[x] di bawah ini. Pada pembagian ini tentu saja operasi penjumlahan dan perkalian dilakukan dengan modulo 5. 2
3x +4x
2
4
x +4x+2
3
2
3x +x +2x +1 4
3
2
3
2
3
2
3x +2x +x
4x +x +1 4x +x +3x
2x+1
Sehingga dalam Z5[x], polynomial f(x) dapat ditulis sebagai f(x)=g(x)q(x) +r(x) 2
2
dengan g(x)=x +4x+2, q(x)=3x +4x dan r(x)=2x+1. Pada pembagian di atas polynomial q(x) disebut sebagai hasil bagi dan polynomial r(x) disebut sisa hasil bagi. Teorema
berikut ini memperlihatkan secara umum bahwa kita dapat melakukan
pembagian polynomial atas sebarang lapangan F. Teorema 15.2.1
Andaikan F adalah sutau lapangan. Bila f(x), g(x)
F[x] dengan g(x)
0,
maka terdapat polynomial q(x) dan r(x) di F[x] yang tunggal sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x) dengan r(x)=0 atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat g(x) Bukt i.
Jika f(x)=0 atau derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x), maka q(x) dan r(x) diperoleh
dengan r(x) = f(x) dan q(x)=0. Selanjutnya, andaikan f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m dengan n> m. Misalkan 2
n
f(x)=a 0+a1x+a2 x +«+a nx
g(x)=b0+b1 x+b2 x2+«+bmx m Dengan menggunakan teknik pembagian seperti di atas, misalkan h(x)=f(x)-an b
-1
n-m g(x) mx
Deperti h(x)=0 atau derajat h(x) lebih kecil dari derajat f(x). Dengan menggunakan asumsi pada induksi, untuk polynomial h(x) terdapat polynomial q 1 (x) dan r 1(x) sehingga h(x) = g(x) q1(x) + r 1(x) dengan r 1(x)=0 atau derajat r 1(x) lebih kecil dari derajat g(x). Hal ini berakibat
8
-1 n-m
f(x)
= a n bm x
g(x) + h(x)
= an bm -1 xn-m g(x) + g(x) q1 (x) + r 1(x) = g(x)[ a n bm -1 xn-m+ q1 (x)] + r 1(x) Dengan mengambil q(x)= a n b
-1
n-m +q1 (x) mx
dan r(x) = r 1(x), diperoleh
f(x)= g(x)q(x)+r(x) dengan r(x)=0 atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat g(x). Selanjutnya kita akan memperlihatkan ekspresi f(x)=g(x)q(x)+r(x) adalah tunggal. Misalkan f(x) juga dapat ditulis sebagai f(x)=g(x)s(x)+t(x) dengan t(x)=0 atau derajat t(x) lebih kecil dari derajat g(x). Perhatikan bahwa g(x)q(x)+r(x)= g(x)s(x)+t(x) Sehingga g(x)[q(x)-s(x)]=t(x)-r(x) Karena derajat dari t(x)-r(x) lebih kecil dari derajat g(x), maka haruslah q(x)-s(x)=0. Yakni, q(x) = s(x) dan t entunya r(x)=t(x). Sebagai akibat langsung dari teorema 15.2.1 kita peroleh hasil-hasil sebagai berikut Ak ibat 15.2.2.
sisa hasil bagi dari f(x) oleh (x-a) Bukt i.
r(x)
Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila a F dan f(x) F[x], maka f(a) adalah
Menurut Teorema 15.2.1 untuk polynomial f(x) dan (x-a) terdapat polynomial q(x), F[x sehingga f(x)=(x-a)q(x) + r(x) dengan derajat r(x) lebih kecil dari derajat (x-a).
Akibatnya r(x) adalah suatu konstanta yang berada pada F, sehingga f(x)=(x-a)q(x) +r. karena f(x)
F[x], untuk x
Suatu pemetaan
F kita dapat memandang f sebagai
sehingga
sehingga sisa bagi
Akibat 15.2.3 Andaikan F adalah suatu lapangan, dan misalkan
unsur a adalah pembuat nol dari f(x) jika dan hanya jika (x-a) adalah faktor dari f(x)
Bukti: dengan mengunakan algoritma pembagian, maka polinomial f(x) dapat ditulis sebagai
9
f(x)=(x-a) q(x) + r(x) dengan r(x)=0 atau derajat dari r(x) adalah 0. Bila pembuat nolnya adalah f(x), maka f(a)=0=(a-a) q(x) +r yang berakibat r=0. Jadi (x-a) adalah fakt or dari f(x) sebaliknya jika (x-a) adalah faktor dari f(x), maka terdapat polinomial
sehingga f(x)=(x-a) q(x). hal ini berakibat f(a) = (a-a) q(a) = 0 q(a). jadi a adalah pembuat nol dari f(x). ak ibat 15.2.4 Bila F adalah suatu lapangan, maka suatu polinomial di F(x) yang berderajat
n1 mempunyai paling banyak n akar. Bukti. Andaikan f(x) adalah suatu polinomial berderajat n di F(x). kita akan memperlihatkan penyataan diatas dengan menggunakan induksi matematika pada derajat f(x). Andaikan f(x) adalah polinomial berderajat n=1. Misalkan f(x) a x + b, dengan a,b
Sekarang andaikan f(x)
berderajat n >1. Andaikan
adalah pembuat nol dari f(x). Menurut akibat 15.2.3, f(x) dapat
ditulis sebagai f(x)= (x-a) g(x) adalah polynomial berderajat n-1. Jika ddari f(x), maka
0=
)=
Karena
adalah akar
adalah pembuat nol dari g(x). tetapi menurut
hipotesis induksi g(x) mempunyai paling banyak n-1 akar. Sehingga f mempunyai paling banyak n akar. Contoh 1
Perhatikan polynomial
. Karena f(0) = 0, f(1)=0, f(3)=0
dan f(4)=4, maka f(x) mempunyai empat buah akar di Z 5. Selanjutnya kita perhatikan polynomial g(x) =
+1 Z5(x). maka g(0)=1, g(1)=0, g(2)=4, g(3)=4 an g(4)=0.
Akibatnya g(x) hanya mempunyai 2 akar di Z 5. Suatu polynomial mungkin saja tidak mempunyai akar pada suatu lapangannyang tertentu. Sebagai contoh, kita perhatikan polynomial h(x)= di Z2
(x). maka h(0)=h(1)=1, sehingga h(x) tidaj mempunyaiakar
10
Contoh 15.2.6 Bila lapanganF pada hipotesis akibat 15.2.4 kita ganti dengan s ebarang gelanggang, maka suatu polynomial berderajat n mungkin saja mempunyai lebih dari n akar pada gelanggang tersebut. Sebagai contoh, bila f(x)=
. Sehingga f(x), suatu polynomial berderajat dua, mempunyai empat buah
akar di Z4.
11
