Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
1
6. Ring Polinomial Pada bab ini mengenai suatu ang disebut polinomial. selama ini dikenal dipandang suatu elemen dari uga akan dibahas sifat suatu ring polinomial koefisiennya yang elemen dari
akan
dibahas ring khusus dengan ring Polinomial yang dalam kalkulus akan sebagai sebuah ring. Pada bab ini mengenai sifatterkait dengan merupakan lapangan.
Definisi 6.1 (Polinomial) Diketahui R ring. deret tak hingga, 0 0
Polinomial f ( x) x) merupakan yaitu:
1
...
... i
n
i
n
i
ax
a
ax
a x
∞ =
=
+
+ +
+
∑ dengan i
a
R ∈ dan terdapat n ≥ sehingga
0 0
i
a = untuk setiap i n ≥ . Elemen i
a den dengan gan 0 i
a ≠ disebut suatu 0 i ≥ berlaku
koefisien dari f ( x) x). Jika untuk 0
i
a ≠ , maka ang terbesar Jika semua
nilai i disebut derajat dari f ( x) x). 0
i
a = , maka terdefinisi. terdefinisi. i i
ax disebut suku dari f ( )
derajat f ( x) x) tidak Elemen
disebut indeterminate dan bentuk
Tanpa mengurangi keumuman, untuk selanjutnya notasi 0
1
...
0 0 .. .
n n
a
ax
+
a x
+ +
+ + +
akan ditulis dengan 0
1
... n n
a
ax
+
a x . Berikut diberikan definisi mengenai polinomial
+ +
monik. Definisi 6.2 (Polinomial Monik) Diketahui R ring dengan elemen satuan. Polinomial
[ ]
( ) 0
... n n
x
a
=
a x
+ +
∈
R x dengan
derajat 0 n > disebut polinomial monik (monic polynomial) jika dan hanya jika n
1
R
a =
.
Contoh 6.3 Misalkan 4
R = ] , maka
( ) 5
2
3
1 x
=
x
+
x
+
merupakan polinomial monik berderajat 5 dengan koefisiennya merupakan elemen di
4
] . Tentu saja sebarang elemen di 4
] juga merupakan polinomial yang disebut dengan polinomial konstanta dengan derajatnya adalah 0. Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
2 Berikut diberikan definisi mengenai penjumlahan dan perkalian polinomial. Definisi 6.4 (Penjumlahan dan Perkalian Polinomial) Diketahui R ring, serta 0
1
( )
...
n n
x
= 0
( ) m m
a
+
ax
+ +
1
. ..
a x dan
x
b
=
bx
+
b x
+ +
merupakan sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen pada R, maka : (i). 0
1
( )
( )
.. .
k k
x
g x
+
c
=
{
+
cx
c x , dengan
+ +
}
max
,k
n m dan
≤ i
i
c
a
i
b = + untuk setiap 0 i k
≤ ≤ (ii). 0
1
( )
( )
. ..
k k
x g x
d
dx
× = + ≤ + dan
d x , dengan k
+ +
n m
0 i
j i
i
d
ab
−
=
=
∑ untuk setiap 0 ≤ ≤ .
j
k
Contoh 6.5
Diperhatikan bahwa
( )
4
2
2 x=
x
+
)
dan
4
2 x
x = merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di 4
] . Diperhatikan bahwa: (i).
(
)
4
) 4
( ) x
( ) g x
+
=
) 4
2
2 x
+
4
4
2
2 x
+
)
)
=
2 x
+
2 x
+
0
2 x
=
+ =
2
(ii).
(
)
(
)
( )
4
( )
4
8
( ) ( ) x g x
×
2
4
2
2
x
=
+
0
0
x
×
0
x
=
+
x
=
. Terlihat bahwa derajat ( ) ( ) 0 = dan derajat ( ) ( ) x g x+ x g x × tak terdefinisi. Lemma berikut menjelaskan sifat polinomial yang koefisiennya merupakan elemen dari suatu daerah integral. Untuk selanjutnya derajat suatu polinomial
) x akan dinotasikan sebagai
( )(
)
deg f x
.
Lemma 6.6 Diketahui R daerah integral, maka untuk setiap polinomial
) x
dan
( ) x dengan koefisiennya merupakan elemen di R berlaku
(
)(
)
(
)
)
de g ( ) x g x
×
( )
=
deg f x
+
deg g x .
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
3 Bukti. Misalkan
( )(
)
deg f x = dan
n
( )
(
)
deg g x m = , dengan demikian 0
1
)
n n
x
=
a
+
0
ax
a x dan
+ +
1
( )
. ..
m m
x
=
b
+
i
bx
b x , dengan
+ +
,
j
a b
≤ ≤
R untuk setiap i n ≤ dan 0 j m ≤ dan juga ,
n
m
∈ 0
0
a b ≠ . Diperhatikan bahwa 0
1
( )
( )
...
k k
x
g x
d
dx
× = + ≤ + dan
+ +
d x dengan k
n m
0 i
j i
i
d
ab
−
=
=
∑ untuk setiap 0 j k ≤ ≤ . Diperhatikan untuk j = diperoleh 0 n m k i
d
i k i
n m
ab
ab
k
+ −
=
=
=
∑ . Karena R daerah integral, akibatnya R akibatnya R tidak memuat pembagi nol atau dengan kata lain n m
ab ≠ . Jadi, karena
0
n m
ab ≠
akibatnya
0
n m n m
ab x +
≠
dan
(
(
dengan
)
)
demikian
( )
0
( )
) de g ( ) x g x
×
( ) n m
deg f x
=
+
= +
de g g x .,
Menurut Fraleigh (1994) dan dari definisi penjumlahan dan perkalian polinomial tersebut, dapat diperoleh teorema berikut. Teorema 6.7 (Ring Polinomial) Himpunan semua polinomial dengan indeterminate x dan koefisiennya merupakan elemen pada ring R merupakan ring atas operasi penjumlahan dan perkalian polinomial. Selanjutnya, himpunan semua polinomial tersebut dinotasikan dengan [ ] R x . Untuk Untuk selanj selanjutn utnya, ya, notasi notasi [ ] R x menyatakan ring polinomial dengan indeterminate x indeterminate x dan koefisiennya merupakan elemen pada ring R ring R.. Lebih lanjut, diperhatikan bahwa beberapa sifat-sifat yang ada pada ring R ring R,, juga uga berl berlak aku u pada pada ring ring [ ] R x seperti yang dijelaskan pada lemma berikut.
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
4 Lemma 6.8 Diketahui R merupakan ring, maka sifat-sifat berikut berlaku: (i).
[ R
R x
⊆ (ii). Jika R ring dengan elemen satuan 1 R
, maka [ ] R x juga juga rin ring g den denga gan n elem elemen en satuan 1 R
. (iii). Jika R ring komutatif, maka [ ] R x juga juga ring ring komu komuta tati tif. f. (iv). Jika R daerah integral, maka [ ] R x juga juga daer daerah ah inte integr gral al.. (v). Jika R lapangan, maka tidak selalu R x meru merupa paka kan n lap lapan anga gan. n.
[ ]
Contoh 6.9 Ilustrasi untuk poin (v) Lemma 6.6 adalah sebagai berikut. Diperhatikan bahwa \ merupakan lapangan, namun x bukan lapangan karena elemen \
[ x
∈\
tidak
memiliki invers terhadap perkalian di , yaitu \ 1
∉\
x
.
Lemma 6.10 Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R, maka ideal I tidak selalu merupakan ideal di [ ] R x . Bukti. Misalkan R = ] . Diketahui 2] 2] merupakan ideal di ] , akan tetapi 2] 2] bukan ideal di
[ ] karena x ∉ ] dan dengan demikian ax = ∉ ] untuk setiap 2 a∈ ] . ] a
2
Lemma 6.11 Diketahui Diketahui R ring ring komutatif komutatif dengan dengan elemen elemen satuan satuan dan I ideal pada pada R, maka maka I x merupakan ideal pada
[ R x . Bukti. Diketahui I ideal pada R. R. Karena I ideal maka I bukan himpunan kosong dan menurut Lemma 6.6 (i),
[ I x
juga
bukan
himpunan
kosong.
Diambil
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
5 0
1
( )
...
n n
x
=
a
+
0
ax
a x dan
+ +
1
( )
. ..
m m
x
=
b
+
bx
b x yang merupakan elemen dari
+ +
[ I x . Diperhatikan bahwa
( ) 0
) ( 0
1
) (
)
(
)
1
... k k
k
x
−
g x
=
{ ma
k
a
−
b
+
a
−
b x
+ +
a
−
b x dengan
sebarang
=
. Karena I merupakan ideal dan
i
,
i
a b
I ∈ untuk setiap 0 ≤ ≤ , maka i
i
a −
b
i
k
I dan dengan demikian
∈
)
[ ]
) x
g x
I x
∈ . − Selanjutnya, diambil sebarang 0
1
( )
. ..
m m
h x
c
=
+
0
1
( )
cx
c x
+ +
∈
( )
R x . Diperhatikan bahwa
...
n m n m
x h x
d
dx
d
x
+ +
×
=
+
+ +
dengan
0 i
j i
i
d
ac
−
=
=
∑ untuk setiap 0 j n m ≤ ≤ + . Karena I ideal, maka i
j i
ac
I
−
∈
dan dengan demikian
[
) ( ) x h x
I x × ∈ . Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa
)
)
h x f x I x× ∈ . Karena R ring komutatif, maka menurut Lemma 6.6 (iii) berakibat R x juga ring komutatif dan dengan demikian
( )
( )
( ) ( )
h x
f x
f x
h x
×
=
×
∈
[ Jadi, terbukti bahwa
[ I x ideal pada
[ R x
I x .
Selanjutnya, jika K merupakan lapangan maka
[ ] K x
merupakan daerah integral dan
[ K x memuat seluruh unit pada K pada K . Lemma berikut menjelaskan tentang hal tersebut dan akan berguna pada pembahasan mengenai algoritma pembagian pada
[ ] K x . Lemma 6.12 Diketa Diketahui hui K lapa lapangan ngan,, maka maka unit unit pada K x merupakan unit pada K, yaitu berupa konstanta. Bukti. Karena K merupakan lapangan maka elemen-elemen pada K pada K selain 0 merupakan unit. Menurut Lemma 6.6 (i) berakibat K x memuat seluruh unit pada K pada K . Andaikan terdapat polinomial
( ) x
∈
[ K x yang merupakan unit pada
[ ] K x dan
( ) x
K ∉ , dengan kata lain derajat
( ) 0 x > . Karena
( ) x
merupakan unit, maka terdapat
( ) x
K x
∈ sehingga
( )
( )
1 K
x
( )
g x×
=
,
diperhatikan
bahwa
( )
0 x
×
g x = .
( )
Karena
( )
dan x g x merupakan unit, maka
( ) ( ) , x g x
bukan pembagi nol dan akibatnya
derajat
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
6 derajat
( ) ( ) ,
0 x g x = . Muncul kontradiksi dengan pengandaian, jadi
( ) x
K ∈ atau setiap unit di
[ K x merupakan elemen di K di K . , Lemma 6.13 (Algoritma Pembagian) Diketahui K lapangan dan
)
[
)
, x
∈
g x K x , maka terdapat dengan tunggal
( ) ( )
[ , q x r x
∈
K x
)
sehingga x
q x g x
r x =
( )
r x=
) +
) ,
dengan
atau
( )
(
)
( )
(
)
de g r x
deg g x .
<
Bukti. Bukti dibagi kedalam beberapa kasus seperti berikut: (i). Jika
( )(
)
de g x
( )(
deg g x , maka dapat dipilih
<
) 0 q x =
( ) r x
)
dan
( )
f x = . (ii). Jika
( ) 0
( )(
)
( )(
de g x
)
deg g x dan
≥
( )
( )
x
)
h x g x untuk suatu
=
( ) h x
K x ,
∈
( )
maka dapat dipilih q x h x
=
( )
( ) 0
dan
r x = . (iii). Jika
( )
(
)
( )
(
)
de g x
deg g x dan
≥
)
) x
)
h x g x untuk setiap
≠
( ) h x
K x ∈ , maka pembuktian akan ditunjukkan dengan jalan seperti berikut. Misalkan 0
1
( )
...
n n
x
=
a
+
0
ax
+ +
a x dan
1
( )
. ..
m m
x
=
b
+
( )( de g x
≥ ≥
bx
+ +
b x , karena
)
( )(
deg g x akibatnya n dan karena 0
m
b ≠ maka
merupakan unit terdapat
1 m
b
K
) m
∈
sehingga
1
1
1 m m
b b −
m
m
K
b
b
=
.
−
=
Dibentuk
( ) 1 1 n m m n
q x −
b
a x
−
=
, dan diperhatikan bahwa
( )
( ) ( )
(
)
) (
)
(
)
( ) 1 1 1 0 1
1 0
1
0
1
0
... ...
... ...
n n n n
m
n m n
m
n
n m
x a r x − −
a
−
−
=
+ +
+
+ +
) )
1
( ) 1
a x
b
+ +
−
( )
<
x
b a x
+
( )
de g r x
a x
−
Diperhatikan bahwa
(
ax b ba
−
−
(
m m
n n
q x g x ax a x
= =
n m n
m
deg f x karena
−
+ +
b
a x
b x
r x
tidak memuat suku
n
. Jika
( )
(
)
( )
) 1
de g r x
de g g x , ulangi kembali langkah-langkah diatas untuk
≥ menentukan
( ) 2
q
x
sehingga diperoleh
( )
( ) ( )
( )
1
2
2
r x q bahwa
x g x
r x=
+
( )
)
))
2
1
de g r x
deg r x dan dengan demikian:
<
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
7
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )(
( )
( )
( )
)
( )
1 2 1
1 2 2
2
. x q x g x r x q x g x r x x q x q x g x = −
= ⇔
+ +
− Jika
( )
(
)
( )
( 2
)
=
r x
, diperhatikan
de g r x
deg g x ulangi kembali langkah-langkah diatas untuk
≥ menentukan
( ) i
r x dan
( ) i
q x
dengan
( )
( ) ( )
1 i
i
r x
( ) i
q x g x
r
x
+
=
+
. Diperhatikan bahwa akan terbentuk rantai urutan:
( )(
(
)
( )(
)
)
)
))
1
2
1
de g
deg
i
i
r x
r x
...
de g
deg
r x
r
... x
+
>
>
>
>
>
Karena derajat sebarang polinomial pada R x lebih dari atau sama dengan 0 akibatnya terdapat k ∈ ` sehingga
)
(
)
de g
0
k
r x = , jadi rantai tersebut akan menjadi statis, yaitu :
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1
2
de g
deg
...
0
k
r x r x . Jadi, diperoleh
( )
( )
( )
)
( ) ( ) 1
...
2
( ) ( )
r x>
)(
>
>
=
)
( ) k
k
x x
q x q q x g x
+
−
x r x
q
x
g x
+ +
⇔ =
r x
=
+
dengan
( )
( )
1
2
)
( )
x
q
... k
q x
q x
=
+
q
+ +
( )
x dan
)
k
r x
=
r x . Diperhatikan bahwa
( ) 0 k
r x ≠ , karena jika
( ) 0 k
r x =
akan berakibat
( ) ( ) ( ) x
=
q x g x dan
( )
menyalahi asumsi awal bahwa x h x g x
≠
( ) ( )
( )
untuk setiap
[ h x
∈
K x .
Untuk menunjukkan bukti ketunggalannya adalah sebagai berikut. Misalkan
( )
)
( )
1
( ) x
)
1
q x g x
=
) 2
r x
+
untuk
)
2
q
x g x
=
r x
+
suatu
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
, , , q x q x r x r x K x ∈ . Dengan demikian
( )
( )(
( )
( )
) )
diperoleh
1
2
q x −
q
( )
( )
1
2
0 r x −
r x
( )
( )
x
g x
=
=
1
2
r x −
r x . Karena
atau
(
)
( )
( 1
de g r x
−
) 2
de g g x
r x
<
1
2
0 q x −
q
( )
( )
1
2
q x
q x . Karena
=
( )
x
=
( )
( )
, akibatnya
dan dengan demikian
)
1
2
0 q x
q
= , akibatnya
x−
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
8
( )
( )
(
)
( ) 1
0. q x −
( )
( ) 1
2
0 q
x
g x
=
( ) 1
)
2
g x
= =
r x −
r x dan dengan demikian
) 2
r x
r x = . Jadi, terbukti bahwa
( ) ( )
[ ]
, q x r x K x ∈ tunggal. , Contoh 6.14 Berikut merupakan penerapan Algoritma Pembagian pada : \
x
(i).
( )
Jika
2
x
=
x
x
+
)
dan
3
1 x
=
x
+ ,
( )
maka
) )
(
)
de g x
deg g x ,
< akibatnya
( )
( )
(
( )
) (
)
2
3
2
0 x
= ×
g x
f x
0 x
1
+
⇔
+ = ×
x
x
x
+ +
+
x .
(ii). Jika
( )
(
)(
)
2
2
2
2
x
x
=
1 x
x
+
=
+
x dan
) 1 x
x = + , akibatnya
( )
( )
( )
)
)
2
2
2 x
=
2
1
h x
g x
×
⇔
x
+
x
=
x
x
+
. (iii). Jika
( ) 3
x
=
x
+
x dan
) 1 x
x = + , akibatnya
( )(
)
(
)
( )(
)
(
)(
)(
( )(
)
(
)( )(
)
) ( )(
) (
)(
)(
)
(
)
(
) (
)
3 2 2 2
2
1 1 1 2
2
1 2 1 2 1 2 . x x x x x x x x x x x x = + + − + + + − + + + − + + + − − +
+ = = =
1
2 x
x x
+ +
+ + −
. Dari Algoritma Algoritma Pembagian dapat diturunkan suatu sifat mengenai ideal di
[ K x . Lemma 6.15 Dike Diketa tahu huii K lapan lapanga gan n dan dan I idea ideall di di K x , mak maka a
( ) I
g x
=
untuk suatu
[ ]
( ) x
K x .
∈
Bukti. Misalkan I merupakan sebarang ideal pada K x . Jika I = , maka jelas bahwa 0 I = . Jika
{ 0 I ≠
, maka terdapat
) x
∈
I dengan
( )
(
)
de g x
≤ setiap
( ) x I ∈ . Jika
( )( de g f x untuk
)
0
( )( de g x
) 0 = , maka
( ) x
merupakan konstanta, yaitu
( ) x
K
∈
, dan dengan demikian ideal I memuat unit berakibat
( ) g g x merupakan unit. Menurut Lemma 4.3, karena 1
K
K x=
I
=
. Jika
)
(
)
de g 1 x ≥ dan menggunakan Algoritma Pembagian,
maka
untuk
sebarang
( ) x
I berakibat
∈
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
9
( )
( ) ( )
( )
q x g x
r x=
x
+
, untuk suatu
( ) ( ) , q x r x
∈
K x dengan
( ) 0 r x =
atau
( )
(
)
( )
(
)
de g r x
deg g x .
< Karena
( )
( )
, x
∈
g x I akibatnya
)
)
r x
f x −
=
( ) ( ) q x g x I ∈ . Diperhatikan karena
( )(
)
de g x
( )(
)
deg f x untuk setiap
≤
( ) x
∈
I akibatnya tidak mungkin terjadi
( )(
)
( )(
de g r x
)
deg g x , sehingga yang terjadi adalah
<
) 0 r x =
( )
dan dengan demikian
( ) ( )
x
q x g x . Karena
=
( ) x
∈
I sebarang, akibatnya
) I
g x
=
.,
Lemma berikut merupakan penerapan dari lemma sebelumnya. Lemma 6.16 Diketahui K lapangan dan
( )
[ ]
)
, x
∈
g x K x . Jika
)
)
, I
f x g x
=
maka
( ) I
h x
= untuk suatu
( )
[ ]
h x
K x .
∈
Bukti. Berikut
akan
ditunjukkan
( ) h x
∈
( )
K x jika
( )
[
diketahui
cara
untuk
mencari
x
∈
g x K x , sehingga
( )
( )
( )
, I f x g x Pembagian,
( ) x
h x=
( ) ( )
( )
q x g x
r x=
=
+
.
Menurut
, untuk suatu
]
( ) ( )
, q x r x K x ∈ dengan
( ) 0 r x = atau
( )(
)
( )(
de g r x
deg g x .
<
( )
)
Karena
( )
, x
g x
∈
I akibatnya
( )
( )
( ) ( )
r x
f x −
q x g x I ∈ . Jika
=
) 0 r x = , berakibat
( )
) ( )
x
q x g x = dan dengan demikian dapat dipilih
( )
( )
h x
g x sehingga
=
)
)
)
( )
, I q x g x g x . Jika, yang terjadi
( )(
(
)
g x=
=
( )
)
de g r x
<
( ) ( )
deg g x maka
akan
ditunjukkan
bahwa
Algoritma
, I
g x r x
=
,
)
)
yaitu
dengan
( ) ( )
,
⊆
, g x r x dan
( ) ( )
( )
,
, f x g x . Diambil
x
g x
x r x
⊆
( )
( ) sebarang
( )
, a
f x g x
∈
,
maka
( ) ( )
( ) ( )
1
2
a
menunjukkan
q x f x
=
q
x g x
+
untuk
[ 1
,q x
2
∈
q .
x
K x Karena
( )
( ) ( )
( ) r x=
x q x g x , maka diperoleh:
+
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
10
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
( )
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ( )
) ( ) ( )
1 1 1
2 2 1
2
a q x f x q x g x q x q x g x r x q x g x q x q x q x g x q x r x
= = = dan
+ + +
+ +
dengan
demikian
( ) ( )
suatu
)
( )
a
g x r x
∈
atau
( )
( )
kata
lain
) ( )
, x
dengan
, g x r x . Sebaliknya, diambil sebarang
g x
⊆
( ) ( ) , a
g x r x
∈
maka
( ) ( )
( ) ( )
1
2
a
q x g x
=
q
x r x
+
)
)
1
2
,q x
untuk
suatu
[ ]
∈
q .
x
K x Karena
( )
( )
( ) ( )
r x
=
f x −
q x g x , maka diperoleh:
( )
)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )(
( )
( ) ( )(
1
2
) )
( ) 1 1 2
2 2
a q x g x q x r x q x g x q x f x q x g x q x f x q x q x q x g x
= = =
+ + +
dan
( ) , a
− −
dengan
demikian
( ) f x g x
∈
atau
dengan
( ) ( )
( )
,
, f x g x . Jadi, terbukti
x r x
⊆
( ) , I
=
kata
lain
( )
( ) r x g x
. Selanjutnya, menggunakan Algoritma Pembagian
)
)
)
( )
1
x
( )
q x r x
( )
r x=
+
( ) ( )
( )
,
,
dan berlaku
)
1
, I
f x
g x
g x r x
=
r x r x
=
=
dengan
( )
(
)
( )
(
)
( )
) 1
de g x Jika
de g r x
deg r x>
>
.
( ) 1
0 r x ≠
, digunakan kembali Algoritma Pembagian untuk mendapatkan
) 2
r x , demikian seterusnya sehingga terbentuk rantai urutan:
( )(
)
( )(
)
( ))
))
( )
) 1
1
de g
de g
i
i
x
de g
r x
r x
>
>
...
deg
de g
r x
r
. .. x
+
>
>
>
>
Karena derajat sebarang polinomial pada K x lebih dari atau sama dengan 0 akibatnya terdapat k ∈ ` sehingga
)(
)
de g
0
k
r x
= , jadi rantai tersebut akan menjadi statis, yaitu :
( )(
(
)
( )(
)
( )(
)
( )
)
1
de g
de g
deg
...
r x
r x
r x
>
>
0
k
x
>
>
=
. Dengan demikian diperoleh:
( ) 1
( )
( ) ( ) 1
( )
)
)
)
k
k
I
f x g x
g x r x
r x r x
r
−
=
=
=
=
=
. Karena
( )
(
)
de g
0
k
= , akibatnya
r x
( ) k
r x merupakan unit dan menurut Lemma 4.3, berakibat
( )
( )
( )
[ ]
( )
1
,
,
k
k
I
f x
1 K
g x
r
x r x
K x
−
=
=
=
=
., Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
11 Contoh 6.17 Misalkan 3
, I
1 x
=
x x
+
+
merupakan ideal di
[ \
. Karena menurut Contoh 6.14 (iii) berlaku
(
)
( (
) )
3
2
2
1
2 x
x
x x + = + + − − + − ∈ . Karena 2 − merupakan unit di
, akibatnya
[ \
, akibatnya
3
, I
= \
1 x
+
1 x x
+
x
=
=
2 I
x r x
Berikut akan dijelaskan mengenai faktor untuk suatu polinomial. Penjelasan tersebut dimulai dengan mendefinisikan polinomial tak tereduksi. Definisi 6.18 (Polinomial Tidak Tereduksi) Diketahui K lapangan. Polinomial
) x
K x dikatakan tidak tereduksi (irreducible)
∈ ada
[ K x x x
≠
jika da dan ha hanya ji jika
)
bukan konstanta dan g x h x untuk
( )
( ) ( )
setiap
[
( ) ( ) ,
x h x K x ∈ dengan derajat
) x dan
( ) h x lebih ebih keci kecill dar darii der deraj ajat at
( ) x . Contoh 6.19 Pada ring polinomial
[ \
(i).
: Polinomial
2
1
+
merupakan polinomial tidak tereduksi, karena tidak ada
( ) ( )
[ , x h x
∈\
x
sehingga
( ) ( )
2
1 g x h x + = . (ii). Polinomial 2
1 merupakan
−
(
)(
)
2
1
1
1
polinomial
tereduksi,
karena
x
− =
+
x
− .
Lemma 6.20 Diketahui K lapangan. Polinomial
) x
K x tidak tereduksi pada
∈
[ K x
jika dan
hanya jika untuk setiap , x h x K x
∈
dengan ) g x h x berakibat
x
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) x
∈
K atau
( ) h x
∈
K .
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
12 Bukti.
( ) ⇒ Diketahui
[ ]
( ) x
K x tidak tereduksi pada K x . Karena
∈
) x tidak tereduksi pada
[ K x , maka untuk setiap
( )
)
[ ]
, x
∈
)
g x K x dengan
( ) ( ) x
= derajat
( )
g x h x berakibat
x
atau
( ) h x
sama dengan derajat
( ) x . Perhatikan bahwa tidak mungkin derajat
( ) x atau
( ) h x keduanya sama dengan derajat
) x , sehingga tepat salah satu dari
( ) x atau
( ) h x memiliki derajat nol. Dengan kata lain
) x
∈
K atau
( ) h x
∈
K .
( ) ⇐ Diketahui untuk setiap
( )
)
, x h x
∈
( ) x
=
K x dengan
( ) ( ) g x h x berakibat
( ) x
∈
K atau
( ) h x
∈
K . Perhatikan bahwa tidak mungkin
( ) x
dan
( ) h x keduanya merupakan elemen K , karena akan berakibat
( ) x merupakan konstanta. Akibatnya, tepat salah satu dari
( )
x atau
) h x
harus memiliki derajat yang sama dengan derajat
( ) x atau dengan kata lain
( ) x tidak tereduksi. , Berikut diberikan definisi mengenai faktor persekutuan terbesar pada
[ K x beserta sifatnya. Definisi 6.21 (Membagi Habis) Diketahui K lapangan dan
( )
)
[ ]
, x
∈
g x K x . Polinomial
) x membagi habis
( ) x ika dan hanya jika
( )
( )
x
)
h x f x untuk suatu
=
) h x
K x dan dinotasikan dengan
∈
( ) ( ) x g x .
Contoh 6.22 Pada ring polinomial
[ \
, berlaku
)
(
)
2
1 |
1 x x − , karena
+
)(
)
2
1
1 x
− =
+
1 x − .
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
13 Definisi 6.23 (Faktor Persekutuan Terbesar) Diketahui K lapangan dan
( )
[ ]
( )
, x
g x K x ∈ . Faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor) untuk
( ) x
dan
( ) x
adalah polinomial
[ ]
( ) h x
K x ∈ yang memenuhi: (i).
( ) ( ) h x f x dan
( )
)
h x g x (ii). Untuk setiap polinomial 'h x K x
∈
dengan
'
( )
( )
( )
|
h x f x ' | h x g x
da d an
( )
)
berlaku
( )
( )
' | h x h x . Faktor persekutuan terbesar untuk
( ) x
dan
( ) x dinotasikan
( )
( )
( gc d x
) , g x
.
Contoh 6.24 Pada ring polinomial
[
\
, berlaku
) 2
gc d
−
1,
1 x x + = + .
1
Definisi 6.25 (Relatif Prima) Diketahui K lapangan dan
( )
[ ]
)
, x
g x K x . Polinomial
x
dan
∈
) ( ) x dikatakan saling relatif prima jika dan hanya jika
( ) gc d x
( )) ,
1
= .
g x
Contoh 6.26 Pada ring polinomial
[ ] \
, karena
) gc d
1,
1
1
x + − = maka + dan 1 − saling relatif prima.
1
Lemma 6.27 Diketahui K lapangan, maka untuk setiap
( )
[ ]
( )
, x
∈
g x K x terdapat
( )
[ ]
h x
K x
∈ sehingga
( )
( )(
)
( ) gc d x
, g x
h x
=
.
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
14 Bukti. Dari Lemma 6.16, diketahui
( )
( )
)
, x
g x
=
h x untuk suatu
[ ]
( ) h x
K x ∈ . Akan ditunjukkan bahwa
)(
( )
)
) gc d x
,
=
g x h x . Karena
( )
( )
( )
, x
=
( )
g x h x , maka
( ) ( )
1
x
=
h x q x dan
( )
) ( )
2
x
h x q x , atau dengan kata lain
=
( ) ( ) h x f x
dan
( ) ( ) h x g x . Misalkan terdapat
)
[ ]
'h x
K x dengan
∈
) ' | h x
( )
) f x
)
' | h x g x . Karena
dan
( )
( )
' | h x
)
f x , akibatnya
)
)
1
'h x s x f x = dan karena
)
( )
' | h x g x , akibatnya
( ) ( )
( )
2
'h x s
=
x g x . Karena
( )
)
)
, h x
f x
=
)
g x , akibatnya
( )
( ) , h x
f x
g x ,
∈ dengan h x
( )
demikian
( )
)
b x g x=
a x f x
( ) ( ) +
.
Dari
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
'h x s x
=
f x dan
( ) ( )
( )
2
'h x s
=
x g x , diperoleh:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
)
)
)
( ) 1
' h x
2
1
' a x h x s x
=
+
( )
( )
| ' h x h x . Jadi, terbukti
( )
( )(
)
) gc d x
=
, g x .,
h x
' b x h x s
x
⇔
Atau dengan kata lain,
2
h x
=
a x s x
+
b x s
x
h x
Lemma 6.28 Diketahui K lapangan dan
( )
( )
, x
∈
g x K x . Jika
( )
( )
( )
f x
g x , maka
) gc d h x
,
= terdapat
[ ]
( ) ( )
, a x b x K x ∈ sehingga
)
( )
)
( ) ( )
h x a x f x Bukti. Karena
( ) gc d h x
b x g x=
( )
( )(
f x
g x , akibatnya
+
.
+
untuk suatu
)
,
=
)
( )
, h x
( )
f x
=
g x dan
dengan
demikian
( )
( ) ( )
( )
h x
a x f x
b x g x=
)
)
)
, a x b x ∈ .
K x
Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
15 Dari lemma-lemma diatas dapat disimpulkan bahwa jika K jika K merupakan lapangan, maka berlaku: (i).
[ K x merupakan daerah integral.
(ii). Untuk setiap
( )
( )
, x
∈
g x K x , terdapat dengan tunggal
( ) ( ) , q x r x
K x
∈ sehingga
( )
)
x
)
q x g x
) r x=
+
dengan
( ) 0 r x =
atau
( )
(
)
( )
(
)
de g r x
deg g x < . (iii). Jika I Jika I suatu suatu ideal pada K x , maka
) I
h x
=
untuk suatu
[
( ) h x
K x ∈ . (iv). Untuk
)
setiap
[ ]
)
, x
∈
) h x
∈
( )
g x K x , terdapat
[ ] K x sehingga
( )
(
)
( ) gc d x
=
, g x h x dan
( ) h x
)
)
a x f x
( ) ( )
[
( )
)
b x g x=
+
untuk
suatu
a x b x ∈ .
K x
Generalisasi dari keempat sifat tersebut terdapat pada pembahasan mengenai Daerah Ideal Utama dan Daerah Euclid. Struktur Aljabar Aljabar – Ring Polinomial © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
16 Sumber: Becker T. and Weispfenning V., 1993, Gröbner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra, Algebra, Springer-Verlag New York inc., New York. Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.