1
´ I.T.I. GESTION BOLET´IN CON LOS EJERCICIOS RESUELTOS
´ ´ CALCULO NUMERICO CURSO 2004-05
3. Interpolaci´ Interpolaci´ on on polinomial 1. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funci´ on f de la que conocemos que: f(-1)=1 ; f(0)=-1 ; f(2)=2 y f(3)=2. Soluci´ on. on.
En primer lugar los polinomios de Lagrange:
− − − − 2)(x − 3) − − − − − − −12 (x + 1)(x − 2)(x − 3) (x + 1)(x − 2)(x − 3) = P 1 (x) = (0 + 1)(0 − 2)(0 − 3) 6 (x + 1)(x − 0)(x − 3) (x + 1)(x)(x − 3) = P 2 (x) = (2 + 1)(2 − 0)(2 − 3) −6 (x + 1)(x − 0)(x − 2) (x + 1)(x)(x − 2) = P 3 (x) = (3 − 0)(3 + 1)(3 − 2) 12
P 0 (x) =
(x 0)(x 2)(x 3) (x)(x = ( 1 0)( 1 2)( 1 3)
Ahora el polinomio interpolador: P (x) = 1
(x)(x
− 2)(x − 3) − 1 (x + 1)(x − 2)(x − 3) + 2 (x + 1)(x)(x − 3) + 2 (x + 1)(x)(x − 2) −12 −6 6 12 −1 (5x3 − 19x2 + 12). P (x) = 12
2. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´on on f (x) = log(x) con el soporte s = 1, 2, 4, 6, 8 . Determinar la funci´on on del error y acotar el error cometido al usar P(3) para aproximar el valor de log(3).
{
}
Soluci´ on. on.
Sabido que log(1) = 0; log(2) = 0 .633147; log(4) = 2log(2) = 1 .386294; log(6) = 1.791759 y que log(8) log (8) = 3 log log(2) (2) = 2.079441, el polinomio interpolador es: P (x) =
−0.001768x4 + 0.038892x3 − 0.325901x2 + 1.425121x − 1.136444.
Para acotar la funci´on on error necesitamos la derivada cuarta de la funci´on: on: f 4 (x) =
24
x5
.
En el intervalo I = [1, 8], puesto que es una funci´on on decreciente en ´el, el, ofrecer´a su valor m´aximo aximo en x =1 luego: M= 24. Por tanto la funci´on on del error ser´a: a: 24 (x 1)(x 2)(x 4!
≤ | −
−
− 4)(x − 6)| = |(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)|.
Para aproximar log(3) uso: P (3) =
−0.00176834 + 0.03889233 − 0.32590132 + 1.4251213 − 1.136444 = 1.112814.
con lo que el error:
≤ |(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 6)| = 6.
Realmente la acotaci´on on resulta excesiva puesto que el valor “exacto” es log(3) = 1 .098612 y el “error exacto:” 0.014202.
2
3. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funci´ on f(x) de la que conocemos: f(-2)=0; f(0)=1; f(0)=1; f(1)=-1. Idem por por Newton, Diferencias Diferencias Divididas. Divididas. Escribirlo Escribirlo en la forma a0 + a1 x + a2 x2 para comprobar que son id´enticos. enti cos. Soluci´ on. on.
Por Lagrange: (x)(x 1) 6 (x + 2)(x 1) P 1 (x) = 2
−
P 0 (x) =
−
−
P 2 (x) =
Por lo tanto: P (x) =
(x)(x + 2) 3
−1 (5x2 + 7x − 6) = −0.833333x2 − 1.166666x + 1. 6
Por Newton: xi
f (xi )
−2
0 1 1
0 1
f [xi , xi+1 ] 0.5
−
f [xi , xi+1 , xi+2 ] 0.833333
−
−2
Con ello: P (x) = 0 + 0.5(x + 2)
− 0.833333(x + 2)x = −0.833333x2 − 1.166666x + 1.
4. Disponemos de los siguientes datos sacados de un polinomio de grado g de qu´e grado es? xi -2 -1 0 1 2 3 1 1 7 25 yi -5 1
≤ 5.
¿Podr´ ¿Podr´ıamos averiguar averigu ar
Soluci´ on. on.
Lo resolveremos por Diferencias Divididas. xi
f (xi )
−2 −5 −1 1 0 1 2 3
1 1 7 25
f [xi , xi+1 ]
f [xi , xi+1 , xi+2 ]
6 0 0 6 18
−3 0 3 6
f [xi ,
· · · , x +3] i
1 1 1
f [xi ,
· · · , x +4] i
0 0
f [xi ,
· · · , x +5] i
0
Con estos datos: P (x) =
−5 + 6(x + 2) − 3(x + 2)(x + 1) + 1(x + 2)(x + 1)x + 0(x + 2)(x + 1)x(x − 1) = x3 − x + 1.
Al anularse las diferencias de cuarto orden se deduce que se trata de un polinomio de tercer grado,como finalmente obtenemos.
3
5 4 5. Sabemos que P 4 (x) = − + 24 x los datos:
14 3 24 x
+
29 2 24 x
− 6224 x es el polinomio interpolador de cierta funci´ on para -1 3
xi yi
0 0
1 -1
2 1
3 2
Lo hemos hemos calculado alculado por por Diferencia Diferenciass Divididas, Divididas, comprue compruebbalo y determina determina el polinom polinomio io interpo interpolador lador resultante si ampliamos los datos con el punto A = (4, 3). Soluci´ on. on.
Comenzarem Comenzaremos os por las Diferencia Diferenciass Divididas Divididas para el soporte inicial: xi
f (xi )
f [xi , xi+1 ]
f [xi , xi+1 , xi+2 ]
−1
3 0 1 1 2
−3 −1
1 1.5 0.5
0 1 2 3
2 1
−
f [xi , , xi+3 ] 0.166666 0.666666
f [xi ,
···
· · · , x +4] i
−0.208333
−
Y de aqu´ aqu´ı, el polinomio interpolador es: P 4 (x) =
−5 x4 + 14 x3 + 29 x2 − 62 x = −0.2083333x4 + 0.583333x3 + 1.208333x2 − 2.583333x. 24
24
24
24
Ahora ampliamos ampliamos la tabla de Diferencia Diferenciass Divididas: Divididas: xi
f (xi )
f [xi , xi+1 ]
f [xi , xi+1 , xi+2 ]
−1
3 0 1 1 2
−3 −1
1 1.5 0.5
0 1 2 3
−
2 1
f [xi , , xi+3 ] 0.166666 0.666666 0.166666
f [xi ,
···
−
i
−0.208333
f [xi ,
· · · , x +5] i
0.833333
0.208333
Obtenemos el t´ermino ermino que hay que a˜nadir: nadir: 0.833333(x + 1) x(x al polinomio anterior: P 5 (x) =
· · · , x +4]
− 1)(x − 2)(x − 3) y que sumaremos
−0.2083333x4 + 0.583333x3 + 1.208333x2 − 2.583333x + 0.833333(x + 1)x(x − 1)(x − 2)(x − 3) P 5 (x) = 0 .833333x5
− 0.625x4 + x3 + 1.625x2 − 3.083333x.
3. Integraci´ Integraci´ on on num´ num´ eric er ica a 6. Calcul Calcular ar el valor valor de 0, π2 , π .
{
}
π
1 + cos (x)dx usando usando la f´ ormula ormula de Newton Newton-Co -Cotes tes con el soport soportee S = 2
0
Soluci´ on. on.
El soporte es equiespaciado de paso h = π2 , los coeficientes ser´an: an:A0 = A2 = π
π
6
2π π π 1 + cos (x)dx f (x ) + f (x ) + f (x ) = 2
6
0
= y si tomamos π = 3 .141592;
π
6
√
π
2+
√
0
2π π + 2 = (2 + 3 6
√
2)
1 + cos (x)dx 3.575355 0
2
1
3
π
3
6
2
= 1.138711π
y A1 =
2π 3
y con ello,
4
1
7. La funci´ on f (x) = e2x+1 es continua en [ 1.1]. 1]. Hallar Hallar el valor valor exacto exacto de −1 f (x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la f´ ormula de Newton-Cotes en el soporte S = 1, 0, 1 . Determina una cota del error cometido.
−
{−
}
Soluci´ on. on.
Integrando directamente tenemos
1
2x+1
e
−1
1 1 2x+1 e3 e−1 2dx = = 9 .858829 dx = e 2 −1 2
−
Como se trata de un soporte equiespaciado de paso h = 1, los coeficientes ser´an: an:A0 = A2 = 4 = y con ello, A1 3 1
e2x+1 dx
1 3
y
10.442181 −1 Comparando, el error es = 10.442181 9.858829 = 0.583352
|
|
− Newton-Cotes con el soporte dado n = 2 ⇒ es Simpson, por lo tanto lo podemos hacer directamente 1 2 +1 1 −1 4 0 1 1 e dx e + e + e = 10.442181 3 3 3 x
−1
Como es la f´ormula ormula de Simpson, acotamos el error, previa acotaci´on on de la derivada cuarta de la funci´on on x+1 4 2 como se aprecia en la evoluci´on on de las derivadas derivadas la siguiente siguiente ser´ ser´ıa positiva positiva en su f (x) = 16e 4 3 dominio lo que hace que podamos asegurar que la f es creciente en [ 1, 1] y M = 16 e < 16(33 ) = 432
−
(1 + 1)5 432 = 4.8 < 2880 que como se aprecia es una cota muy mala.
π
8. Calcular el valor exacto de 0 sen(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la f´ ormula compuesta compuesta de los Trape Trapecios cios para n=8. Determina una cota del error cometido. Soluci´ on. on.
Integrando directamente tenemos
π
sen(x)dx =
0
−cos(π) + cos(0) = −1 + 1 = 2
Para aplicar la f´ormula ormula del trapecio para n = 8 el soporte es S = 0,
{
π 2π 3π 4π 5π 6π 7π , , , , , , ,π
}
8 8 8 8 8 8 8 π π −0 por lo tanto: 0 sen(x)dx [ (0) + 2 sen( π8 ) + sen( 28π ) + sen( 38π ) + sen( 48π ) + sen( 58π ) + 2(8) sen sen(6 π8 ) + sen(π )] = π8 [sen( 28π ) + sen( 38π ) + sen( 48π ) + sen( 58π ) + sen(6 π8 )] = π8 [2sen( π8 ) + 2sen( π4 ) + 2sen( 38π ) + sen( π2 ] = 1.974232
}
{
Para llegar al resultado anterior hemos considerado lo siguiente: sen( 78π )
π
π
= sen( 8 ) = sen( 2 ) = √ sen( 68π ) = sen( π4 ) = 22 sen( 58π )
=
4
sen( 38π )
π
−
√
√
1
2 2
2
1+
2 2
= cos( 8 ) = 2 (π−0) Cota del error, < 12(8 )M la derivada segunda de la funci´on on es f 2 = y consecuentemente, 3.23 32.77 π3 = = 0 .0426.. < < 2 12(8 )1 768 768 3
2
2
−sen(x) por lo tanto M 2 = 1
5
1
2
9. Determinar el n´ umero m´ınimo de partes necesarias necesarias para para calcular 0 ex dx por la f´ ormula compuesta de los Trape rapecios cios con 4 cifras cifras decimales decimales exactas. Calcular Calcular el valor de dicha integr integral al en el caso caso que necesitemo necesitemoss que qu e el error sea menor que una cent´ esima. esima.
Soluci´ on. on. 3
(1−0) Sabemos que < 12( la derivada segunda de la funci´on on es f 2 = (4x2 + 2) ex funci´on on creciente n )M en el intervalo de integraci´on, on, por lo tanto M 2 = 6e < 18 y consecuentemente, 2
0.0001 >
18 12(n2 )
2
2
⇒ n2 > 12(0180001) = 15000 ⇒ n > 122.47.. .
Luego tendremos que tomar n = 123; si apuramos m´as as en las cotas, por ejemplo tomando e = 2.8, mejoramos mejoramos algo la partici´ partici´ on. on. Ahora hacemos, 0 .01 >
6(2.8) 12(n2 )
8 ⇒ n2 > 6(2 = 140 ⇒ n > 11.8.. tenemos que tomar n = 12 0 02 .
.
S = 0,
{
por lo tanto: 1.465794..
1 0
x
e
2
dx
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 , , , , , , , , , , ,1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
1−0 0 2(12) [e + 2[e
1 12
+e
2 12
+e
3 12
+e
4 12
+e
5 12
+e
6 12
+e
7 12
}
+e
8 12
+e
9 12
10 12
+ e +] + e1 ] =
El valor ”exacto” es 1.462652 y el ”error exacto” 0.003...
10. Usar el m´ etodo etodo de Simpson para para calcular calcular el valor de Soluci´ on. on.
1 0
5
x dx con error menor que una mil´esima. esima.
Lo primero es averiguar la partici´on on que necesitamos para cumplir el enunciado. f 4 = 120x por lo 120 120 tanto es f´ acil acil deducir que M 4 = 120 0.001 > 180( = 666.6... n4 > 180(0 n > 5.08... n ) .001) 4
⇒
⇒
Bastar´ a tomar n como el primer n´umero umero natural par posterior a 5 .08.. es decir n = 6. Aplicando Simpson con la partici´on on obtenida: 1
0
x5 dx
− 0 [E + 4I + 2P ] 13(6)
Partici´on on = 0, 16 , 26 , 36 , 46 , 56 , 1
{
}
E = 0 + 1 = 1; I = ( 16 )5 + ( 36 )5 + ( 56 )5 = 0.433256..; P = ( 26 )5 + ( 46 )5 = 0 .135802..
1
x5 dx
0
11. Calcular el valor de Soluci´ on. on.
2 1
181 [1 + 4(0.433256) + 2(0.135802)] = 0.1669238..
8
2
x log(x)dx con error menor que 5(10− ).
Las derivadas de la funci´on on son continuas en todo su dominio, la segunda es f 2 = x6 (15 + 56log (x)) y la cuarta, f 4 = x4 (1066 + 1680log (x)); ambas crecientes en [1, 2]. Si usamos u samos el m´etodo etod o de los Trapecios: Trapeci os: M 2 = f 2 (2) = 26 (15 + 56log (2) = 3444.24 ; 0.05 > n = 76.
3444.24 12(n2 )
3444 24 75.7... debo tomar ⇒ n2 > 12(0 05) ⇒ n > . .
Si usamos u samos el m´etodo etod o de Simpson: Simpson : M 4 = f 4 (2) = 24 (1066 + 1680log (2)) = 35687.8.. ; 0.05 > tomar n = 8 .
A la vista del resultado, lo haremos por Simpson.
35687 .8 180(n4 )
35687 8 7 93 debo ⇒ n4 > 180(0 05) ⇒ n > . ... .
.
6
xi yi
1 0
11..125 0.30 0.3022 2206 06
1.250 1.33 1.3300 0039 39 2
1.375 4.06 4.0688 8815 15 x8 log(x)dx
1
12.5 10 10.3 .391 9162 6277
1.625 23 23.6 .606 0604 0411
1.750 49 49.2 .225 2597 9777
1.875 96 96.0 .026 2637 3755
2 17 177. 7.44 4456 5668 68
241 [E + I + 2P ] = 33.13978
3x
∞ e− dx = 0.0008 con con todas todas sus cifras cifras decimale decimaless exactas, exactas, ¿po ¿podemos afirmar que e− dx con error menor que una mil´esima? esima? ∞ e− dx con Con los datos datos cono conocidos cidos y aplicando aplicando Simpson, calcular calcular con una cifra cifra decimal decimal exacta,
12. Sabemos Sabemos que ∞ −3x e dx = 0
2 2 0
3x
0
3x
determinando previamente la partici´ on del intervalo de integraci´ on que lo garantiza.
Soluci´ on. on.
En primer lugar, ∞ −3x ∞ 2 dx = 0 e−3x dx + 2 e−3x dx 0 e ∞ −3x ∞ 2 −3x dx dx = 2 e−3x dx = 0 .0008 < 0.001 0 e 0 e
⇒ − e− dx para aproximar el valor de luego como el error es menor que una mil´ esima, esima, podemos p odemos usar ∞ e− dx sin que repercuta sobre el error que necesitamos: ε < 0.001. ∞ e− dx en las condiciones solicitadas,aproximada por e− dx Ahora calcularemos 2 0
3x
0
81
e3x
2 0
3x
0
f 4 =
3x
por lo que su valor m´aximo, aximo, en el intervalo de integraci´on, on, lo dar´a en el extremo inferior,
M 4 = 81.
Con este dato averiguaremos la partici´on on necesaria, 0.1 > n2
>
3x
25 81 180n4 22 3 n
⇒
5
2 81 = 24 32 ⇒ ⇒ n4 > 1800 1 .
> 3.4 debemos tomar n = 4. xi yi
0 1
0. 0. 5 e
−3 2
1 e−3
1.5 e
−9 2
2 e−6
y con estos datos: 2
0
Podemos concluir que
2 0
3x
e−
e−3x dx
122 [E + I + 2P ] = 0.339835
dx = 0.3 con todas sus cifras exactas.