BAB I PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Polinomial adalah suatu konsep matematika yang telah kita kenal sejak duduk di bangku sekolah menengah. Ekspresi seperti
3 4 5 telah kita
kenal sejak s ejak lama. l ama.
Polinomial adalah salah satu konsep matematika yang paling banyak di gunakan dalam aplikasi. Sebagai contoh fungsi polinomial adalah suatu fungsi yang amat mudah dihitung, sehingga polinomial sering di gunakan untuk mengaproksimasi nilai dari fungsi-fungsi lain yang sulit. Selain kegunaannya dalam bidang aplikasi, polinomial juga merupakan suatu konsep yang penting dalam teori gelanggang. Sebagai contoh, kita ingin memperluas gelanggang Z dengan memasukkan suatu bilangan riel
≈ 2.72
kedalam gelanggang Z sehingga
membentuk suatu gelanggang R unsur-unsur di R harus mengandung perpangkatan dari e. Lebih lanjut R lanjut R mestilah mestilah mengandung unsur-unsur dalam bentuk
⋯ ⋯ , ∈ + Yang merupakan
polynomial dalam variable e dengan koefisien
∈ , , 0,1 0,1,2,2,, … , .
Sehingga untuk memperluas suatu gelanggang kita mengunakan konsep polinomial. Pada bab ini kita akan mendiskusikan gelanggang polinomial, yakni suatu gelanggang yang terdiri dari polinomial dengan koefisien berasal dari suatu gelanggang R. Kemudian kita akan membahas beberapa sifat dari gelanggang polinomial.
1.2.
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya adalah: 1. Bagaimana yang dimaksud dengan gelanggang polinomial? 2. Bagaimana cara pembagian pada polinomial? 3. Bagaimana cara menentukan polinomial tereduksi dan tak tereduksi ?
1.3.
Tujuan Penulisan Makalah
Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan dari pembuatan makalah ini adalah: 1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan gelanggang polinomial. 2. Mengetahui bagaimana cara pembagian pada polinomial. 3. Mengetahui bagaimana cara menentukan polinomial tereduksi dan tak tereduksi
BAB II ISI
2.1.
Pengantar Polinomial
Pada bagian ini kita akan memperkenalkan beberapa terminologi dasar sehubungan dengan polinomial. Beberapa di antara terminologi tersebut adalah derajat, koefisien utama, dan polinomial monik. Namun sebelumnya akan diawali dengan memperkenalkan definisi dari gelanggang polinomial.
Definisi 15.1.1 Andaikan R suatu gelanggang komutatif. Himpunan
[] { ⋯ : ∈ ∈ −} di sebut sebut gelanggang polinomial atas R dalam indeterminate x. Pada definisi di atas, symbol
, ,… ,
tidak menyatakan suatu variable yang
berasal dari gelanggang R, tetapi simbol-simbol tersebut semata-mata hanyalah sebagian suatu tempat penyimpanan yang pada suatu mungkin saja kita gantikan dengan unsur dengan
[] ⋯
unsur R. Dua unsur di
dan
⋯ dikatakan sama jika dan hanya jika untuk semua bilangan bulat tak negative i. Tentu saja pada definisi ini kita harus mengambil 0 > 0 > . Selanjutnya perhatikan suatu polynomial
⋯ Di R[x]. Pada polynomial ini, bentuk kita sebut sebagai suku dari polynomial a(x) dan untuk setiap suku , 0,1… ,, disebut sebagi koefisien dari . Derajat dari suatu polynomial a(x) adalah bilangan bulat positif terbesar n sehingga ≠ 0. Dengan perkataan lain suatu polynomial ⋯ dikatakan berderajat s, jika ≠ 0 dan = 0 untuk semua k>s. Bila a(x) adalah polynomial berderajat s, maka koefisien disebut sebagai koefisien utama (leading coefisient) dari a(x). polynomial a(x) dikatan sebagai polynomial monic jika koefisien utamanya adalah 1. Selanjutnya untuk sembarang dua unsur
⋯ dan
⋯ Kita definisikan dari a(x) dan b(x) sebagai
⋯ Perkalian dari a(x) dan b(x) didefinisikan sebagai
⋯ , Dengan , 0,1,… ,2 +=
Dengan menggunakan definisi ini, maka operasi penjumlahan polynomial adalah asosiatif dan komutatif. Unsur identitas dari R[x] relative terhadap penjumlahan polynomial
0 ≠ [], yaitu polynomial nol. Untuk setiap ∈ [] unsur kebalikan dari a(x) terhadap operasi penjumlahan adalah unsur – ⋯ . Sehingga [], adalah suatu grup komutatif. adalah
Selanjutnya, perhatikan sembarangan tiga unsur
=
=
=
, , ∈ []. Misalkan
⋯
=
∑+= , ℓ 0,1 …..,2. Maka ͫ e [ ] …. ∑= ͫ
Dengan
Dengan еm
∑ += , 1,2,…,3 ∑ +=(∑+= )c ∑++= ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
k
Dengan cara yang serupa dapat diperlihatkan bahwa :
= u0 + u1x + u2x2 +…. + u2nx2n
∑+= ,sehingga bila [], maka kita peroleh [] ….
Dengan u p =
Dengan
∑+= untuk q = 0,1,2,….,3n = ∑+=(∑+= ) = ∑++=
vq =
Sehingga untuk setiap r=0,1,2,…3n kita peroleh fakta v r = er . Hal ini berakibat
[] [] ), yakni operasi perkalian polynomial adalah asosiatif.
a( )
Selanjutnya, misalkan
[ ] = d + d + d +….. + d 0
1
2
2
2n
2n
.
Dengan mengingat defenisi penjumlahan dan perkalian polynomial, koefisien dari suku ke k
[] adalah d = ∑+= = ∑+= = ∑+= ∑+= Tetapi ∑+= adalah koefisien suku k dari a() b(), dan ∑+= adalah koefisien suku ke k dari a() c( ). Karenanya d sama dengan koefisien suku ke k dari a() b( ) + a() c(). Hal ini berakibat [ ] . dari a( )
k
k
Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa
[ ] . Hasil diatas dapat diringkas dalam teorema berikut ini. Teorema 15.1.2 Bila R adalah suatu gelanggang, maka himpunan gelanggang polynomial
R[ x ] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polynomial adalah suatu gelanggang. Jika R komutatif maka
R[ x] juga
komutatif dan jika R mempunyai elemen satuan 1 maka 1
juga merupakan elemen satuan dari Bukti. Misalkan
di
R[ x ]
R[ x]
∑= , ∑= ,ℎ ∑= adalah polinomial
. Dari penjabaran di atas, penjumlahan dan perkalian polinomial di
R[ x]
adalah
polinomial di
R[ x] ,
sehingga
.selanjutnya akan ditunjukkan
R[ x] tertutup R[ x ]
untuk operasi penjumlahan dan perkalian di
R[ x ]
mempunyai sifat:
1. Terhadap operasi penjumlahan merupakan grup komutatif a. Sifat tertutup sudah ditunjukkan. b. Bersifat assosiatif.
[ ] ℎ ∑= +∑= +∑= ∑= +∑= , max, ∑= , max, ∑= , max,, =∑ = +∑= , max, ∑= ∑= +∑= ) [ ℎ] c. Ada elemen identitas terhadap penjumlahan yaitu ∑ = 0. , sehingga untuk di [] berlaku: ∑= ∑= 0 ∑= 0 ∑= ∑= 0 ∑= ∑= 0 ∑= d. Untuk semua di [] mempunyai invers penjumlahan yaitu –() ∑= sehingga dapat ditunjukkan () ∑= ∑= ∑= ∑= 0 () ∑= ∑= ∑=
∑= 0 e. Penjumlahan bersifat komutatif
∑= +∑= ∑= =∑= , max, max, ∑= ∑= 2. Terhadap perkalian a. Bersifat assosiatif
[ℎ] ∑= ∑= . ∑= ) ∑= ∑+ = ∑+= [ℎ] ∑++ = ∑+= ∑++ = ∑+= ∑+= ∑++ = ∑++= ∑++ = ∑+=∑+= ∑+ = ∑+= ∑= ∑= ∑= ∑= ) [ ]ℎ Misalkan
∑+ = . =∑+ = .
b.
Bersifat komutatif:
c.
Terdapat elemen satuan yaitu
1 1 , karena .1 ∑=.1 ∑=1. 1.
3. Bersifat distributif terhadap perkalian dan penjumlahan
[ ℎ] ∑= ∑= +∑= ) ∑= ∑= , max,
[ ℎ] ∑+ = ∑+= ∑+ = ∑+=
+,+
= += += + + = = += += ∑= . ∑= +∑= ∑=
ℎ
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa
[ ]ℎ ℎ
ℎ terbukti bahwa [] ring komutatif dengan elemen satuan.
Teorema berikut ini lebih lanjut menyatakan bahwa jika D adalah suatu daerah integral, maka demikian juga gelanggan polynomial
[].
Teorema 15.1.3 Bila D adalah suatu daerah integral, maka gelanggang polynomial
[]
adalah suatu daerah integral.
[] adalah suatu gelanggang. Karena D adalah suatu gelanggang komutatif, maka untuk setiap dua unsure a,b ∈ D diperoleh ab=ba. Hal ini berakibat bahwa untuk sebarang dua unsur a( ) = ∑ = ∑= [], maka a( )b( ) = ∑ =(∑+= ) = ∑ =(∑+= ) Bukti. Teorema 15.1.2 memperlihatkan bahwa
x
x
x
= b(x) a(x) Sehingga
[] adalah suatu
gelanggang komutatif. Selanjutnya, karena D adalah suatu
daerah integral, maka D mempunyai unsure kesatuan katakana 1 bahwa 1=1 + 0x + 0x2 + …+ 0xn adalah unsur kesatuan di
[].
∈ D. Hal ini berakibat
Sekarang kita tinggal memperlihatkan bahwa D[ ] tidak mempunyai unsure pembagi
∈
nol. Untuk itu misalkan a( ), b( ) D[ ] dengan
≠ 0 , b ≠ 0
a(x) = a0 + a1x2 + a2x2 + … + anxn, an a(x) = b0 + b1x2 + b2x2 + … + bmxm
m
≠ 0 dan b ≠ 0, maka perkalian polynomial menghasilkan a( ) b( ) ≠ 0, hal ini disebabkan oleh a b ≠ 0. Ini berarti bahwa 0 dipenuhi hanya bila 0 karena an
m
n
m
x
x
atau
0. Sehingga D[ ] tidak mempunyai unsure pembagi nol. Jadi [] adalah suatu x
daerah integral.
2.2.
Pembagian Polinomial
Di sekolah menengah kita sudah mempelajari bagaimana cara membagi suatu polinomial (dengan koefisien real) berderajat tinggi dengan polinomial berderajat lebih rendah. Pada bagian ini kita akan melakukan abstraksi dari konsep pembagian polinomial ini, yakni konsep pembagian pada polinomial atas suatu lapangan F. Sebagai contoh, perhatikan pembagian polinomial
3 2 1 dan 4 2 di Z [x] 5
di
bawah ini. Pada pembagian ini tentu saja operasi penjumlahan dan perkalian dilakukan dengan modulo 5.
3 4 4 2 3 2 1 3 2 4 1 4 3 2 1 Sehingga dalam Z 5[x], polinomial f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = g(x)q(x)+r(x) dengan
4 2 , 3 4 dan 2 1. Pada pembagian diatas
polinomial q(x) disebut sebagai hasil bagi dan polinomial r(x) disebut sisa hasil bagi. Teorema berikut ini memperlihatkan secara umum bahwa kita dapat melakukan pembagian polinomial atas sebarang lapangan F. Teorema 15.2.1
Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila f(x) , g(x ) Є F[ x] dengan g(x ) ≠ 0 , maka terdapat polinomial q(x) dan r(x) di F[x] yang tunggal sehingga f(x) = g(x)q(x)+r(x) dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat g(x) . Bukti :
Dengan menggunakan induksi pada derajat dari polinomial f(x) kita akan memperlihatkan keberadaan polinomial q(x) dan r(x) . Jika f(x) = 0 atau derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x), maka q(x) dan r(x) diperoleh dengan r(x) = f(x) dan q(x) = 0 . Selanjutnya, andaikan f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m dengan n > m . Misalkan
⋯ ⋯
Dengan menggunakan teknik pembagian seperti diatas, misalkan
ℎ −− . Sehingga h(x) = 0 atau derajat h(x) lebih kecil dari derajat f(x) . Dengan menggunakan asumsi pada induksi, untuk polinomial h(x) terdapat polinomial q1(x) dan r1(x) sehingga h(x)=g(x)q1(x) + r1(x) dengan r1(x) = 0 atau derajat r1(x) lebih kecil dari derajat g(x). Hal ini ber-akibat
−− ℎ −− 1 1 [−− 1] 1 − − 1 dan r(x) = r1(x) , diperoleh Dengan mengambil f(x) = g(x)q(x)+r(x) dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat g(x). Selanjutnya kita akan memperlihatkan ekspresi f(x) = g(x)q(x)+r(x) adalah tunggal. Misalkan f(x) juga dapat ditulis sebagai f(x) = g(x)s(x)+t(x) dengan t(x) = 0 atau derajat t(x) lebih kecil dari derajat g(x). Perhatikan bahwa g(x)q(x)+r(x)= g(x)s(x)+t(x) Sehingga g(x)[q(x) - s(x)] = r(x) - t(x) Karena derajat r(x) - t(x) lebih kecil dari derajat g(x) , maka haruslah q(x) - s(x) = 0. Yakni q(x) = s(x) dan tentunya r(x) = s(x). Sebagai akibat langsung dari Teorema 15.2.1 kita peroleh hasil-hasil sebagai berikut.
Akibat 15.2.2 Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila
adalah sisa hail bagi dari
oleh .
∈ dan ∈ [], maka
Bukti.
dan ) terdapat polinomial , ∈ [] sehingga dengan derajat lebih kecil dari derajat . Akibatnya adalah suatu konstanta yang berada di , sehingga . Karena ∈ [] , untuk ∈ kita dapat memandang sebagai suatu pemetaan : → . Sehingga , yakni sisa hasil bagi . Menurut teorema 15.2.1 untuk polinomial
∈ dan ∈ [] . Unsur a adalah pembuat nol dari jika dan hanya jika adalah faktor dari . Akibat 15.2.3 Andaikan F adalah suatu lapangan, dan misalkan
Bukti. Dengan menggunakan algoritma pembagian, maka polinomial
dapat ditulis
sebagai
Dengan 0 atau derajat dari adalah 0. Bila pembuat nol dari , maka 0 Yang berakibat 0. Jadi adalah faktor dari . Sebaliknya jika adalah faktor dari , maka terdapat polinomial ∈ [] sehingga . Hal ini berakibat 0 0 . Jadi a pembuat nol dari .
Akibat 15.2.4 Bila adalah suatu lapangan, maka suatu polynomial di
≥ 1 mempunyai paling banyak akar. Bukti. Andaikan adalah suatu
polinomial berderajat
[] yang berderajat
di [] .
Kita akan
. Andaikan adalah polinomial berderajat 1. Misalkan , dengan , ∈ dan ≠ 0 . Akibatnya − adalah akar dari . Sekarang andaikan berderajat > 1 . Andaikan adalah pembuat nol dari . Menurut Akibat 15.2.3, dapat ditulis sebagai dengan adalah polinomial berderajat 1 . Jika ≠ adalah akar dari , maka 0 . Karena ≠ 0, maka 0. Yakni adalah pembuat nol dari . Tetapi menurut hipotesis induksi mempunyai paling banyak 1 akar. Sehingga mempunyai paling banyak akar. memperlihatkan pernyataan di atas dengan menggunakan induksi pada derajat dari
4 4 ∈ []. Karena 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 dan 4 4 , maka mempunyai empat buah akar di . Selanjutnya, perhatikan polinomial 3 1 ∈ [] . Maka 0 1 , 1 0 , 2 4 , 3 4 , dan 4 0 . Akibatnya hanya mempunyai dua akar di . Suatu polinomial mungkin saja tidak mempunyai akar pada suatu Contoh 15.2.5 Perhatikan polinomial
lapangan tertentu.
ℎ 1 ∈ [] . ℎ1 1, sehingga ℎ tidak mempunyai akar di . Sebagai contoh, kita perhatikan polinomial
Maka
ℎ0
pada hipotesis dari Akibat 15.2.4 ganti dengan sebarang gelanggang, maka suatu polinomial berderajat mungkin saja mempunyai lebih dari akar Contoh 15.2.6 Bila lapangan
pada gelanggang tersebut.
2 2 ∈ [] , maka 0 0 , 1 0 , 2 0 dan 3 0. Sehingga , suatu polinomial berderajat dua, mempunyai empat buah akar di . Sebagai contoh, bila
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan
1. Definisi 15.1.1 Andaikan R suatu gelanggang komutatif. Himpunan
[] { ⋯ : ∈ ∈ −} di sebut sebut gelanggang polinomial atas R dalam indeterminate x. 2. Teorema 15.1.2 Bila R adalah suatu gelanggang, maka himpunan gelanggang polynomial R[ x ] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polynomial adalah suatu gelanggang. 3. Teorema 15.1.3 Bila D adalah suatu daerah integral, maka gelanggang polynomial
[] adalah suatu daerah integral.
4. Teorema 15.2.1 Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila f(x) , g(x ) Є F[ x] dengan g(x ) ≠ 0 , maka terdapat polinomial q(x) dan r(x) di F[x] yang tunggal sehingga f(x) = g(x)q(x)+r(x) dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat g(x) . 5. Akibat 15.2.2 Andaikan F adalah suatu lapangan. Bila maka
adalah sisa hail bagi dari oleh .
∈ dan ∈ [] ,
∈ dan ∈ []. Unsur a adalah pembuat nol dari jika dan hanya jika adalah faktor dari . 7. Akibat 15.2.4 Bila adalah suatu lapangan, maka suatu polynomial di [] yang berderajat ≥ 1 mempunyai paling banyak akar. 6. Akibat 15.2.3 Andaikan F adalah suatu lapangan, dan misalkan
3.2. Saran
Setelah membaca makalah ini semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kita meskipun disadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya, maka kedepan nya jika ada pihak lain yang ingin menulis tentang pokok materi yang sama maka isinya harus lebih baik lagi dari makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
Suwilo, Saib, dkk. 1997. Aljabar Abstrak: Suatu Pengantar . Medan: USU Press https://uas201142033.files.wordpress.com/2014/12/bab-xi.doc [diakses 19 April 2015] http://eprints.undip.ac.id/32247/6/M03_Mohammad_Arifin_Y_chapter_II.pdf [diakses 19 April 2015]
