BAB II PEMBAHASAN
A. Ring Polinom Polinom dan dan Sifat Sifat Polinom Polinom
Struktur dari Ring Polinom yang merupakan gabungan dari ring-ring (suku banyak - suku banyak). Berikut ini akan merupakan definisi dari Ring Polinom, yaitu sebagai berikut : defenisi 1
Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p (x) a o ! a"x" !a #x# n
n
! $ ! anx
∑ai
xi, dimana xi, dimana ai adalah koefisien dari p(x).
i= 0
Bila xn % & maka dera'at dari p(x) adalah n dan bila n & maka dera'at p(x) adalah nol. Contoh 1 :
p(x) x ! x* + #x !", adalah polinom yang mempunyai dera'at . Berikut merupakan definisi dari kesamaan dua buah polinom, yaitu : Definisi 2 :
isalkan dua buah polinom p(x) a & ! a "x" ! a #x# ! $ ! a nxn dan (x) b & ! b"x" ! b#x# ! $ ! b mxm dikatakan sama 'ika dan hanya 'ika a i bi untuk semua i
≥
&.
Contoh 2 :
x ! x* + #x !"
≠ x ! #x* + #x !" karena terdapat koefisien yang tidak
sama, yaitu koefisien x * di ruas kiri tidak sama dengan koefisien x * di ruas kanan. Sedangkan x ! x* + #x !" x ! x * + #x !" karena untuk masingmasing suku yang bersesuaian mempunyai koefisien yang sama. ntuk perkalian dan pen'umlahan dua buah polinom didefinisikan sebagai berikut : Definisi 3 :
isalkan dua buah polinom p(x) a & ! a"x" ! a#x# ! $ ! anxn dan (x) b & ! b"x" ! b#x# ! $ ! bmxm, p(x) . (x) / & ! /"x" ! /#x# 1
! $ ! /k xk dimana k maks0n,m1 untuk setiap i, / i ai ! bi, untuk &
≤
≤
i
k.
Contoh 3 :
isalkan p(x) dan (x) dengan p(x) #x # ! # dan (x) #x ! #, maka : p(x) ! (x) (#x# ! #) ! (#x ! #) #x # ! #x ! *
Definisi :
isalkan dua buah polinom p(x) a & ! a"x" ! a#x# ! $ ! anxn dan (x) b & ! b"x" ! b#x# ! $ ! bmxm, p(x) . (x) / & ! /"x" ! /#x# ! $ ! /k xk dimana k n ! m untuk setiap i, / i a b i & ! ai-" b" ! $ ! a" bi-" ! a& bi. 2ari definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi dari Ring Polinom. Contoh :
isalkan p(x) dan (x) dengan p(x) #x # ! # dan (x) #x ! #, maka : p(x) ! (x) ( #x # ! # ) . ( #x ! # ) *x ! *x# ! *x ! *
Definisi ! :
isalkan R adalah suatu Ring 3omutatif. R4x5 dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R4x5 0p(x), (x), r(x), $ 1 untuk n
p(x)
❑ ∑ = i
n
aixi,(x)
0
∑❑
bixi,$.dan ai
ϵ
R.
i= 0
Contoh ! :
isalkan p(x) dan (x) adalah polinom-polinom pada 64x5, dengan p(x) #x# ! # dan (x) #x ! #, maka : p(x) ! (x) (#x# ! #) ! (#x ! #) #x# ! #x ! ( #!# ) #x# ! #x ! " Contoh " :
isalkan p(x) dan (x) adalah polinom-polinom pada 6 4x5, dengan p(x) #x# ! # dan (x) #x ! #, maka :
2
p(x) . (x) (#x# ! #) . (#x ! #) (#.#)x (#!") ! (#.#)x ! (#.#)x # ! (#.#) x& ! x ! x# ! " x# ! x ! # 2ari /ontoh-/ontoh tersebut, bila tidak ada pen'elasan mengenai koefisien maka polinomnya dianggap sebagai bilangan real. 7etapi bila ada pen'elasan lebih lan'ut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditun'uk. Pada 6 4x5, artinya koefisiennya adalah hanya &, " dan # sa'a. B. Algo#itma Pem$agian Polinom
Pada bab terdahulu telah dibahas mengenai algoritma pembagian bilangan bulat, dimana bila suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat yang lainnya, maka diperoleh suatu hasil bagi (faktor) dan sisa. 2alam sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai algoritma
pembagian
polinom-
polinom,adapun tentang pembagian itu dapat dinyatakan dalam algoritma pembagian sebagai berikut :
%eo#ema 1 : &Algo#itma Pem$agian Polinom'Polinom(
isalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom, f(x), g(x)
∈
R4x5 dan g(x)
≠ &, maka terdapat polinom-polinom yang unik (x), r(x)
∈
R4x5
sedemikian sehingga: f(x) (x).g(x) ! r(x) dengan r(x) & atau dera'at r (x) 8 dera'at g (x). Polinom-polinom (x) dan r(x) ditentukan se/ara tunggal oleh f(x) dan g(x) yang diperlukan. Selan'utnya f(x) disebut polinom yang dibagi, g(x) disebut polinom pembagi, (x) disebut hasil bagi polinom, dan r(x) disebut sisa hasil bagi polinom. B)*ti :
Bila f(x) adalah polinom nol, maka (x) & dan r(x) & adalah polinom polinom dari R4x5 sehingga : f(x) (x).g(x) ! r(x) dengan r(x) & Bila f(x) adalah bukan polinom nol, dimana f(x)
3
≠ & dan g(x)
≠ &
isalkan : p(x) a& ! a"x" ! a#x# ! $ ! anxn, an
≠ & dan
(x) b& ! b"x" ! b#x# ! $ ! b mxm, bm
≠ &
Berarti dera'at f(x) n dan dera'at g(x) m Bila n 8 m berarti dera'at f(x) 8 dera'at g(x) aka terdapat (x) & dan r(x) f(x) di R4x5 sehingga f(x) (x).g(x) ! r(x) dengan dera'at r(x) dera'at f(x) 8 dera'at g(x)9 Bila n f(x)
≥
m berarti dera'at
≥ dera'at g(x)
isalkan : Pembagian f(x) dan g(x) menghasilkan: f(x) (an bm-"xn-m)g(x) ! f "(x) dengan f "(x) adalah polinom berdera'at (n + ") di R4x5 Pembagian f "(x) dan g(x) pada R4x5 terdapat "(x) dan r(x) di R4x5, sehingga : f "(x) "(x).g(x) ! r(x) dengan dera'at r(x) dera'at f(x) 8 dera'at g(x) Sehingga diperoleh : f(x) (an bm-"xn-m)g(x) ! "(x).g(x) ! r(x) 4(an bm-"xn-m) ! "(x)5g(x) ! r(x) (x).g(x) ! r(x) dengan (x) (a n bm-"xn-m) ! "(x) dan dera'at r(x) dera'at f(x) 8 dera'at g(x). asil ini diulang terus sehingga diperoleh hasil yang diinginkan. ntuk membuktikan keunikan dari (x) dan r(x), kita misalkan polinom-polinom lain ;(x) dan r;(x) sehingga : f(x) ;(x).g(x) ! r;(x) dengan r;(x) & atau dera'at r;(x) 8 dera'at g(x) 3arena berlaku 'uga : f(x) (x).g(x) ! r(x&) dengan r(x) & atau dera'at r(x) 8 dera'at g(x) diperoleh : (x).g(x) ! r(x) ;(x).g(x) ! r;(x) karena itu 4(x) + ;(x)5g(x) r;(x) + r(x) Sehingga ada kemungkinan yang didapat : o (x) + ;(x) & dan r;(x) + r(x) &, sehingga (x) ;(x) dan r;(x) r(x) o (x) + ;(x)
≠ & dan r;(x) + r(x)
≠ &
4
Contoh + :
7entukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut, dimana p(x) #x # ! # dan (x) #x ! #, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi. Pen,elesaian :
2iketahui : p(x) #x# ! # adalah polinom yang dibagi g(x) #x ! # adalah polinom pembagi >rtinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah bilangan real R4x5. p(x) ? g(x) #x# ! # #x ! # , selan'utnya : x
- "
(#x!#)#x# ! # #x# ! #x -#x ! #
-#x-# * 2ari pembagian polinom-polinom tersebut didapat hasil bagi (x) x + " dan sisa r(x) *. Sehingga : p(x) (x).g(x) ! r(x) (x + ").(#x ! #) ! * #x# + #x ! #x + # ! * #x# ! #
5
x + " dengan sisa *. Bila tidak ada pen'elasan mengenai koefisien dari polinompolinomnya, maka polinom-polinomnya dianggap sebagai bilangan real. 7etapi bila koefisien polinom-polinomnya ditentukan seperti pada /ontoh berikut ini, maka koefisien dan dera'at dari polinom-polinomnya sesuai dengan koefisien sesuai dengan Ring yang ditun'uk. isalkan dalam /ontoh berikut ditentukan koefisien dengan Ring 64x5. Contoh - :
7entukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap 64x5, dimana p(x) #x# ! # dan (x) #x ! #, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi. Pen,elesaian :
2iketahui : p(x) #x# ! # adalah polinom yang dibagi dalam 64x5 g(x) #x ! # adalah polinom pembagi dalam 64x5 >rtinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai &, " dan # sa'a. p(x) ? g(x) #x # ! # #x ! #
, selan'utnya :
x #x ! # #x# ! #
#x # ! #x x!# 2ari pembagian polinom-polinom tersebut dalam 64x5 didapat hasil bagi (x) x dan sisa r(x) x ! #. Sehingga : p(x) (x).g(x) ! r(x) x.(#x ! #) ! (x ! #) #x# ! #x ! x ! # #x# ! (# !")x ! #
6
#x# ! &x ! # #x# ! #
7entukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap 6*4x5, dimana p(x) x ! x# ! #x ! " dan (x) x # ! # , p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi. Pen,elesaian :
2iketahui : p(x) x ! x# ! #x ! " adalah polinom yang dibagi dalam 6*4x5 g(x) x# ! # adalah polinom pembagi dalam 6*4x5 >rtinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai &, ", # dan sa'a. p(x) ? g(x) x ! x# ! #x ! " x# ! # , selan'utnya : x ! @# ! # x ! x# ! #x ! "
x ! #x x# ! "
x# ! #
2ari pembagian polinom-polinom tersebut dalam 6*4x5 didapat hasil bagi (x) x ! dan sisa r(x) . Sehingga : p(x) (x).g(x) ! r(x)
7
(x ! ).(x# ! #) ! x ! x# ! (.#)x ! (.#) ! x ! x# ! #x ! # ! x ! x# ! #x ! "
adalah x ! dengan sisa
adalah x ! dengan sisa . C. /a*to#isasi Polinom Sifat da#i fa*to#isasi 0olinom : ". Polinomial ( x + a ) adalah faktor dari f ( x ) di f ( x ) bila dan hanya bila f
(a)& B)*ti : Berdasarkan hasil sebelumnya didapat f ( x ) ( x ) ( x + a ) untuk beberapa ( x )
∈
A ( x ) bila dan hanya bila f ( x ) mempunyai sisa &
bila dibagi oleh ( x + a ) hal ini menun'ukan bah=a,bila dan hanya bila f(a)& Suatu elemen a ∈ A dikatakan akar dari suatu polinomial f ( x ) bila f ( a )& teorema faktor menun'ukan bah=a ( x + a ) adalah faktor dari f ( x ) bila dan hanya bila a adalah akar dari f ( x ) #. Suatu polinomial berdera'at n atas suatu lapangan A mempunyai akar + akar tidak lebih dari n B)*ti :
2ibuktikan dengan induksi pada dera'at n.suatu polynomial berdera'at nol terdiri hanya suatu konstan taknol oleh karena itu tidak mempunyai akar. asumsikan bah=a teorema benar untuk n + " dan misalkan bah=a f ( x ) ∈
A ( x ) polynomial berdera'at n.
bila f ( x ) tidak mempunyai akar + akar , maka teorema dipenuhi.
8
Bila f ( x ) bila mempunyai akar + akar , misalkan a salah satu akar tersebut. unakan teorema faktor , didapat f(x)(x+a)g(x) dengan hasil sebelumnya bah=a dera'at dari g ( x ) adalah n + ". 3arena A lapangan maka tidak memuat pembagi nol.
bah=a
ring
{ a + bi|a ,b ∈Z , i =√ −1 }
bilangan
bulat
aussian
adalah ring Du/lidian dengan
δ
6
[i]
( a ! bi )
a# ! b# Penyelesaian : 6
[i]
adalah suatu subring dari C himpunan bilangan kompleks oleh , maka
δ
(6)
adalah kon'uget dari E. untuk setiap 6 % & ,
δ
( E )
karena itu merupakan daerah integral. Bila 6 ´ dimana E Z
´ Z
¿ & dan untuk setiap E,=
∈
6
i δ
menun'ukan algoritma pembagian di 6
9
[i]
6
( E.=)
i
δ ( z ) .δ ( w )
.untuk
misalkan E dan = bilangan
z
bulat aussian dimana = % &.maka
/ ! di, dengan /,d
|d − b| bi ) = ! δ
(
≤
1 2
F. pilih a,b
. 'uga
∈
6 sehingga
z a ! bi ! w
[ ( c −a )+ i ( d −b ) ] [ ( c −a ) + i ( d − b ) ]
adalah suatu bilangan kompleks
w
|c − a|
[ ( c −a )+ i ( d −b ) ]
≤
1 2
dan
. 'adi E ( a!
=. selan'utnya
)
δ (( / + a ) ! i ( d + b ))
{( c− a ) 1 4
!
[i]
#
1 4
! ( d + b )# 1 )
δ
( = )
δ ( = ) δ
( = )
¿
δ
( = ).
adalah suatu ring eu/lid
Contoh: 2apatkan pembagi sekutu terbesar G" dan #H dalam 6 dan dapatkan dua bilangan s dan t yang memenuhi G"s ! #Ht g/d(G", #H). Penyelesaian: 2engan menggunakan algoritma pembagian didapat: (i) G" #.#H ! #&G a G", b #H, r" #&G (ii) #H ".#&G ! * r# * (iii) #&G *.* ! # r # (iI) * #.# ! & r* & 2ari hasil terakhir didapat g/d(G", #H) #. ntuk memperoleh bilangan s dan t gunakan persamaan (i)-(iii). 2idapat # #&G J *.* (dari (iii )) #&G J *(#H J #&G) (dari (ii )) H.#&G J *.#H H.(G" J #.#H) J *.#H (dari (i ))
10
≤
(
G"(H) ! #H(J"*) 7erlihat bah=a, s H dan t J"*.
5 x + 10 = 5 ∙ x + 5 ∙ 2 = 5( x + 2) 12 x – 9 x = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x – 3 ∙ 3 ∙ x = 3 x (4x – 3) 2
Contoh 2: 6abx + 9ax – 2bx – 3 x = x (6ab + 9a – 2b – 3) = x ([6ab + 9a] + [–2b – 3]) = x (3a[2b + 3] – [2b + 3]) = x (3a – 1)(2b + 3) Contoh 3B: 5 xy + 2y – 20 x – 8 = (5 xy + 2y) + (–20 x – 8) = y(5 x + 2) – 4(5 x + 2) = (y – 4)(5 x + 2) Contoh 4:
x + 2 xy + 3y + 5 = ( x + 2 xy) + (3y + 5) = x (1 + 2y) + (3y + 5) D. Dae#ah /a*to#isasi %)nggal
Salah satu sifat penting dari bilangan bulat dari teorema dasar aritmatik yang menyatakan bah=a setiap bilangan bulat yang lebih besar dari satu bisa ditulis sebagai hasil kali dari se'umlah bilangan prima.lagi pula hasil kali tersebut adalah tunggal. Pembuktian untuk hasil serupa ring Du/lid.misalkan R adalah suatu ring komutatif.suatu elemen u dinamakan unit dari R bila ada I ".
11
∈
R sehingga uI
terlihat bah=a elemen unit dalam ring R adalah elemen yang punya inIers terhadap perkalian.himpunan dari elemen + elemen ini dinotasikan oleh RK. bila R adalah lapangan, maka setiap elemen taknol punya inIers.
± 1.
bila A lapangan, suatu elemen unit dalam polynomial A ( x ) adalah konstan taknol, yaitu polynomial dengan dera'at sama dengan nol.elemen + elemen unit dalam ring aussian adalah 6
[i]
K 0
±
", ± L 1.
%eo#ema :
untuk setiap ring komutatif R, maka RK dengan operasi perkalian adalah suatu grup komutatif. B)*ti :
isalkan u",u#
∈
RK dan u"I" u#I# ".
maka ( u"u#)(I"I#) (u"I")(u#I#)"."". 7eorema : isalkan a,b
∈
R dengan R daerah integral . a M b dan b M a, maka a ub
dimana u adalah unit. B)*ti :
3arena a M b , maka b Ia untuk I
∈
R . sehingga bila a & , maka b &.
R ( sebab b M a ) .
sehingga di dapat a ub u ( va ) = ( uv ) a atau ( uv – 1 ) a &. 3arena a # 0 dan R tidak memuat pembagi nol , maka haruslah uv – 1 = 0 atau uv = 1.
12
13
DA/%AR PS%AA
ttps:??fadlibae.files.=ordpress./om?#&"&?&?ring-polinom.pdf ( 2i akses tanggal "& NoIember #&"H, pukul #&."H ).
ttp:??ashabulikh=an.blogspot./o.id?#&"*?&?ring-polinomial.html ( 2i akses tanggal "& NoIember #&"H, pukul #&."H ).
ttps:??===.google./o.id?O g=srd/r,sslQeiGBdt<sbuFSrPT2F%ring!polinomial.do/ ( 2i akses tanggal "U NoIember #&"H, pukul #".*& ).
ttps:??angelputria.=ordpress./om?#&""?&"?#U?struktur-al'abar-#? ( 2i akses tanggal "U NoIember #&"H, pukul #".*& ).
http:??===.slideshare.net?sfrannasoha?struktur-al'abar# ( 2i akses tanggal "U NoIember #&"H, pukul #".*& ).
14
