Aproximación Polinomial
Interpolación.
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un muestreo o experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata, a partir de n puntos distintos x k llamados nodos de obtener una función f que verifique
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica, de la cual la anterior es un caso particular, o la interpolación por medio de splines.
Diferencia Finita.
El método de diferencias finitas es una clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos. Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes.
Un uso importante de diferencias finitas está en el análisis numérico, especialmente en las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas y las ecuaciones diferenciales parciales numéricas, que tienen como objetivo la solución numérica las ecuaciones diferenciales parciales ordinarias de y respectivamente. La idea es substituir los derivados que aparecen en la ecuación diferencial por las diferencias finitas que las aproximan. El cálculo de las diferencias finitas permite encontrar el grado del polinomio por el cual puede describirse una función tabular. Dada la función y=f(x) definida en forma tabular como la que se presenta en la Tabla , y suponiendo que los valores de la variable independiente xn, están igualmente espaciados entre sí, es decir que el incremento o paso es igual a un valor constante denominado h. xy x0 y0 x1= x0+h y1 x2= x0+2h y2 x3= x0+3h y3 …… xn= x0+nh yn
Interpolación con incrementos constantes e Interpolación de Newton Si se desea encontrar un valor incluido entre dos valores consecutivos de una función tabular puede utilizarse la interpolación de Newton. Dada la función y = f(x), definida en la tabla anterior, para encontrar un valor de x incluido entre dos valores consecutivos de la tabla mencionada, x k < x< x k+1, se supone que la función f(x) se aproxima a un polinomio Pn(x) de grado n, que pasa por todos los puntos que definen a la función (puesto que la diferencia de orden n es aproximadamente constante). Recordando la definición de diferencias pueden calcularse los valores de la variable dependiente y en función de estas diferencias como se indica a continuación:
En estas expresiones puede verse que aparecen las primeras de las distintas diferencias de órdenes sucesivos a partir de y0, afectadas por los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Suponiendo que esto es verdadero para cualquier valor de y, puede establecerse que:
Esta fórmula es verdadera para todo valor entero positivo de k, se denomina fórmula de interpolación de Newton y es aplicable para cualquier valor de xk correspondiente o no a la tabla. En esta fórmula, yk es un valor aproximado (interpolado) de la función obtenida para x = xk; y0 es el valor inicial de y, el cual se considera inmediato al valor que se trata de interpolar; Δy0, Δ2y0, Δ3y0, Δ4y0, …, son la s diferencias hacia adelante de órdenes sucesivas correspondientes a y0; y k se determina como sigue:
- Por ejemplo si se desea encontrar el valor de la variable independiente para x=6,2 de la función definida por la tabla
Se calculan las diferencias hacia adelante:
Como puede observarse las diferencias de orden 3 ó terceras diferencias se mantienen constantes, por lo tanto la función puede describirse por un polinomio de tercer grado. Se aplica la fórmula para encontrar el valor deseado:
O bien puede resolverse el problema encontrando el polinomio de interpolación de Newton, para ello se calculan las diferencias divididas hasta el orden quinto, es decir:
El polinomio interpolador es un polinomio de quinto grado:
Por lo tanto si x=6,2, se reemplaza en el polinomio de Newton y el valor de la variable dependiente es: 61,1.
Interpolación con incrementos variables e Interpolación de La grange Este método se utiliza para funciones tabulares en las cuales los valores de x no son equidistantes. Para realizar la interpolación, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Si se tienen n puntos el polinomio debe ser de grado n-1, o sea:
Este polinomio puede escribirse en la forma:
el grado del polinomio es n- 1. Los coeficientes A0, A1, A2,… A n se determinan de manera que la gráfica del polinomio pase por todos los puntos especificados. Si x = xn, se tiene y = yn, entonces reemplazando en la fórmula para llegar a que:
y despejando el coeficiente A n:
Fórmula de interpolación de Lagrange:
Esta fórmula suele expresarse también como:
La fórmula de error para el polinomio de Lagrange de grado n-1es:
- Por ejemplo si se deseara encontrar el valor de la función tabular dada por la tabla para x=4 aplicando la interpolación de Lagrange:
Se utiliza interpolación de orden 2 puesto que se tiene 3 puntos definidos:
Reemplazando por los valores correspondientes:
Interpolación Inversa
El problema de interpolación inversa consiste en determinar el valor de la variable independiente x conocido el valor de la función f(x). Se resuelve utilizando la fórmula de interpolación de Lagrange y formando una tabla con los valores de la variable dependiente como valores de x y los de la independiente como los de y.
