MAKALAH STRUKTUR ALJABAR II
POLINOMIAL TAK TEREDUKSI
OLEH KELOMPOK 1 1. DINA NOVRIYANA SIREGAR (NIM : 4152230022) 2. MUHAMMAD AIDIL PAHLEVI (NIM : 4153230021) 3. YANTI PERTIWI HARAHAP (NIM : 4152230019) MATEMATIKA NONDIK B 2015
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2018
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas dimudahkan dalam menyelesaikan makalah ini tepat waktu. Pada makalah ini, disajikan materi untuk memudahkan mahasiswa dalam memahami materi dan disampaikan dengan cara yang sesederhana mungkin. Pada makalah ini akan dibahas materi tentang polinomial tak tereduksi, akan dibahas defenisi polinomial tak tereduksi, polinomial primitif, dan teorema-teorema yang berkaitan dengan polinomial tak tereduksi. Akhir kata, kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Baik dalam menyajikan materi atau pun tingkat kedalaman materi. Oleh karena itu, kami mohon kritik dan saran dari para pembaca. Sehingga makalah yang akan depan akan lebih baik lagi. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.
Medan, April 2018
Kelompok 1
i
DAFTAR ISI
KATA PENGATAR ............................................................................................... i DAFTAR ISI .......................................................................................................... ii BAB I : PENDAHULUAN..................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ................................................................................................ 1 1.2 Rumusan Masalah ..........................................................................................1 1.3 Tujuan .............................................................................................................1 BAB II : PEMBAHASAN ......................................................................................2
2.1 Defenisi Polinomial Tak Tereduksi ....................................................................2 2.2 Polinomial Berderajat 2 atau 3 Tereduksi Atas Lapangan F .......................... 3 2.3 Polinomial Primitif ........................................................................................4 2.4 Tereduksi Atas Q Mengakibatkan Tereduksi Atas Z ....................................... 5 2.5 Uji Tak Tereduksi Mod p ..............................................................................6 2.6 Kriteria Eisenstein .........................................................................................7 BAB III : PENUTUP ..............................................................................................9
3.1 Kesimpulan .....................................................................................................9 3.2 Saran ...............................................................................................................9 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 10
ii
iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Polinomial atau suku banyak adalah bentuk suku-suku dengan banyak terhingga yang disusun dari peubah/variabel dan konstanta. Operasi yang digunakan hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tak negatif. Di sekolah menengah, kita menghabiskan banyak waktu memfaktorkan polinomial dan menemukan angka nol polinomial. Faktorisasi polinomial begitu penting untuk menentukan sebuah polinomial tak tereduksi dan tereduksi. Oleh karena itu, pada makalah ini kita membahas masalah yang sama dalam keadaan yang lebih abstrak.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan polinomial tak tereduksi? 2. Apa yang dimaksud dengan polinomial tereduksi? 3. Apa yang dimaksud dengan polinomial primitif?
1.3 Tujuan
Adapun tujuan makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas kuliah struktur aljabar 2 dan memudahkan mahasiswa dalam memahami materi tentang polinomial tak tereduksi.
1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Defenisi Polinomial Tak Tereduksi Defenisi 1
∈ [] dikatakan polinomial iredusibel (tak tereduksi) di [] jika tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali polinomial dan ℎ dengan ,ℎ ∈ [] yang berderajat lebih kecil dari derajat . Suatu polinomial adalah redusibel (tereduksi) di [] jika ∃, ℎ ∈ [] ∋ ℎ; deg < deg degℎ < deg Suatu polinomial yang tak konstan
Contoh 1
2 redusibel di ℝ[]. Tunjukkan
merupakan polinomial yang iredusibel di
ℚ[] tetapi
Bukti:
2 + + ∀,, ∈ ℚ Dalam ring polinomial ℚ[] maka tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .ℎ dengan dan ℎ berderajat lebih rendah dari . Sehingga iredusibel di ℚ[ ]. Tetapi dalam ring polinomial ℝ[] , polinomial 2 dapat dinyatakan sebagai + √ 2 √ 2 dengan + √ 2 dan √ 2 bukan unsur satuan di ℝ[ ], Sehingga redusibel di ℝ[ ]. Contoh 2
3 + 6 adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional ℚ, tetapi tereduksi atas daerah integral ℤ . Perhatikan bahwa jika 3 + 6 dituliskan dalam bentuk ℎ , maka salah satu atau ℎ Polinomial
2
ℚ[]. Sehingga atau ℎ merupakan unsur unit di ℚ[ ], yang berarti tak tereduksi atas ℚ. Sebaliknya pada ring polinomial ℤ[],3 + 6 3 + 2. Karena 3 ∈ ℤ[] dan + 2 ∈ ℤ[] keduanya bukan unit di ℤ[], maka tereduksi di ℤ[ ]. merupakan polinomial konstanta di
Contoh 3
2 tak terduksi atas lapangan ℚ, tetapi tereduksi atas lapangan ℝ. Dalam ring polinomial ℚ[], maka 2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ℎ dengan dan ℎ berderajat lebih rendah dari . Sehingga tak tereduksi atas ℚ. Tetapi dalam ring polinomial ℝ[ ], polinomial 2 dapat dinyatakan sebagai + √ 2 √ 2 bukan unit di ℝ[]. Sehingga tereduksi atas R. Dari contoh 3 terlihat bahwa jika adalah suatu lapangan dan ∈ [] mempunyai akar di , maka adalah suatu polinomial tereduksi. Teorema berikut Polinomial
ini secara umum memperlihatkan bahwa suatu polinomial berderajat 2 atau 3 pasti tereduksi atas suatu lapangan
.
2.2 Polinomial Berderajat 2 atau 3 Tereduksi Atas Lapangan F Teorema 1
∈ [] adalah suatu atas jika dan hanya jika
Andaikan F adalah suatu lapangan dan misalkan polinomial berderajat 2 atau 3. mempunyai akar di
tereduksi
.
Bukti:
∈ [] adalah suatu polinomial tereduksi berderajat 2 atau 3. Bila dinyatakan sebagai ℎ, maka salah satu dari polinomial atau ℎ mestilah berderajat 1. Tanpa kehilangan keumuman, pembuktian, misalkan + , ∈ adalah polinomial berderajat 1. Maka − adalah akar dari . Akibatnya − − ℎ − 0 . Yakni , mempunyai akar di . Andaikan
3
mempunyai akar di . Misalkan ∈ adalah akar dari , maka menurut Akibat N-3 dapat dinyatakan sebagai ℎ. Jadi adalah polinomial tereduksi atas . Andaikan sebaliknya
Contoh 4
+ 2 + 1 ∈ ℤ []. Maka 0 1,1 4,2 3,3 4, 4 3 Sehingga tidak mempunyai akar di ℤ . Menurut teorema 1 tak tereduksi atas ℤ . Sebaliknya polinomial + 3 + 1 adalah tereduksi atas ℤ , karena 1 0. Sehingga dapat dinyatakan sebagai 1ℎ + 4ℎ. Dengan menggunakan pembagian panjang diperoleh + 3 + 1 + 4 + + 4. Berikut ini kriteria- kriteria polinomial tereduksi atas ring bilangan bulat ℤ. Perhatikan polinomial
2.3 Polinomial Primitif Defenisi 2
+ + + ⋯+ adalah suatu polinomial di ℤ[]. Isi dari didefenisikan sebagai pembagi persekutuan terbesar dari , , … , . Suatu polinomial ∈ ℤ[] dikatakan primitif jika isi dari adalah 1. Andaikan
Contoh 5
6 + 4 + 10 + 18 adalah 2, karena pembagi persekutuan terbesar dari 6, 4, 10 dan 18 adalah 2. Sementara i si dari polinomial 3 + 9 + 4 adalah 1. Sehingga adalah primitip. Isi polinomial
Lemma Gauss
Hasil kali dua buah polinomial primitif adalah primitif. Bukti :
dan masing-masing adalah polinomial primitif, dan misalkan bukan polinomial primitif. Misalkan adalah isi prima dari , dan adalah polinomial yang diperoleh dari , misalkan ̅ , ̅ dan Misalkan
4
dan dengan mereduksi koefisien-koefisiennya ke modulo . Maka ̅ dan ̅ adalah elemen-elemen dari ℤ[] dan ̅̅ 0 elemen nol pada ℤ [] . Akibatnya ̅ 0 atau ̅ 0 . Ini berarti bahwa membagi setiap koefisien dari atau membagi setiap koefisien dari Dengan demikian maka baik maupun tidak primitif. Pembuktian kontradisi ini selesai.
2.4 Tereduksi Atas Q Mengakibatkan Tereduksi Atas Z Teorema 2
Misalkan
∈ ℤ[]. Jika tereduksi atas Q, maka tereduksi atas Z.
Bukti :
ℎ , dan ℎ ∈ ℚ[] . Dengan jelas, kita boleh mengansumsikan primitif karena kita bisa membagi kedua dan dengan isi . Misalkan bilangan yang habis dibagi penyebut koefisien , dan bilangan kelipatan yang habis dibagi penyebut koefisie n ℎ. Maka kelipatan yang habis dibagi penyebut koefisien ∙ ℎ , ,ℎ ∈ ℤ[] . Misalkan adalah isi dan adalah isi ℎ . Maka dan ℎ ℎ , kedua dan ℎ adalah primitif dan ℎ. Karena primitif, isi adalah . Juga, karenahasil kali dua polinomial primitif adalah primitif, berarti isi ℎ adalah . Jadi, dan ℎ , dan ℎ ∈ ℤ[] dan deg() deg dan deg(ℎ) degℎ Andaikan
Contoh 6
6 + 2 3 2 + ℎ . Dalam kasus ini kita punya 2, 3, 3, 2, 2 1, dan ℎ 3 + 2 , sehingga 2 ∙ 36 + 2 3 ∙ 22 13 + 2 atau 6 + 2 2 13 + 2. Kita mengilustrasikan bukti teorema dengan menelusuri polinomial
5
2.5 Uji Tak Tereduksi Mod p Teorema 3
∈ ℤ[] dengan deg() ≥ 1. Misalkan ̅ adalah polinomial di ℤ [] diperoleh dari dengan mereduksi semua koefisien ℤ[] modulo . Jika ̅ tak tereduksi atas ℤ dan deg ̅ deg, maka tak tereduksi atas ℚ.
Misalkan prima dan andaikan
Bukti
Teorema berikut dari bukti teorema 2 bahwa jika
tereduksi atas ℚ, maka
ℎ dengan ,ℎ ∈ ℤ[], dan keduanya mempunyai derajat lebih kecil adalah polinomial yang diperoleh dari dari . Misalkan ̅ ,̅ , ℎ ,, ℎ dengan mereduksi semua koefisien modulo . Karena deg() deg ̅, kita punya deg(̅ ) ≤ deg() < deg ̅. Tapi, ̅ ℎ, dan ini kontradiksi dengan asumsi kita bahwa ̅ tak tereduksi atas ℤ . Contoh 7
21 + 2 + 9. Maka, atas ℤ , kita punya ̅ + + 1 dan, karena ̅0 1 dan ̅1 1, kita lihat bahwa ̅ tak tereduksi atas ℤ. Jadi, tak tereduksi atas ℚ. Perhatikan atas ℤ, ̅ 2 tak tereduksi, tapi kita mungkin tidak menerapkan teorema 2.4 untuk menyimpulkan bahwa tak tereduksi atas ℚ. Hati hati untuk tidak menggunaka kebalikan teorema 2.4. jika ∈ ℤ[] dan ̅ tereduksi atas ℤ untuk suatu , mungkin masih tak tereduksi atas ℚ. Sebagai contoh, pandang 21 3 + 2 + 8 . Maka, atas ℤ , ̅ + + 1. Tapi atas ℤ, ̅ tidak punya nol dan oleh karena itu tak tereduksi atas ℤ . Sehingga tak tereduksi atas ℚ . Untuk menyimpulkan bahwa di ℤ[] tak tereduksi atas ℚ, kita butuh semua yang sesuai polinomial ̅ di ℤ tak tereduksi. Namun tidak selalu terjadi, karena + 1 tak tereduksi atas ℚ tapi tereduksi atas ℤ untuk setip prima. Misalkan
6
2.6 Kriteria Eisenstein Teorema 4
+ + ⋯ + ∈ ℤ[] dan misalkan adalah suatu bilangan prima. Bila tidak membagi , pembagi − ,…, dan tidak membagi maka adalah tak tereduksi atas ℚ. Andaikan
Bukti:
adalah tak tereduksi atas ℤ. Andaikan sebaliknya bahwa tereduksi atas ℤ , kita berharap akan memperoleh suatu kontradiksi. Misalkan + + ⋯+ + + ⋯+ dengan , ∈ ℤ[] dan , < . Karena membagi dan tidak membagi , maka membagi salah satu dari atau tetapi tidak membagi keduanya. Tanpa kehilangan keumuman pembuktian misalkan membagi tetapi tidak membagi . Selanjutnya, karena tidak membagi , maka tidak membagi . Dan juga tidak membagi . Hal ini berakibat terdapat suatu bilangan bulat positif terkecil < , sehingga tidak membagi . Sekarang kita perhatikan koefisien dari ,dengan = − + ⋯+ Karena proses pemilihan < , maka membagi dan membagi semua dengan < . Hal ini berakibat bahwa harus membagi . Kontradiksi dengan kenyataan bahwa tidak membagi dan tidak membagi . Sehingga adalah tak tereduksi atas ℤ. Cukup diperlihatkan bahwa
Akibat langsung dari Teorema 4 kita peroleh fakta berikut ini. Akibat 4
Bila adalah suatu bilangan prima, maka polinomial siklotomik
1 Φ 1 − + − + ⋯+ 1 Adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional ℚ.
7
Bukti:
Untuk memperlihatkan hal di atas, perhatikan polinomial
1 + 1 1 + 1 Φ + 1 + 1 1 Atau
Φ + 1 − + 1− + ⋯+ 2 + , kriteria Einsenstein dipenuhi oleh polinomial Φ + 1. Sehingga Φ + 1 adalah tak tereduksi atas ℚ. Untuk bilangan prima
Φ adalah tereduksi atas fx dan , yakni Φ , maka Φ + 1 f + 1 + 1 bertentangan dengan kenyataan bahwa Φ + 1 adalah tak tereduksi. Jadi polinomial Φ adalah tak tereduksi atas ℚ. Selanjutnya, bia
Contoh 8
Polinomial
3 + 15 20 + 10 + 20 adalah tak tereduksi atas ℚ karena 5
tidak membagi 3 dan 25 tidak membagi 20, tapi 5 membagi 15, -20, 10, dan 20.
8
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan
polinomial tak tereduksi di [] adalah polinomial tak konstan yang tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua buah polinomial ∈ [] dan ℎ ∈ [] yang mempunyai derajat lebih kecil dari . Jika polinomial tak konstan tidak tak tereduksi di [] , maka adalah polinomial tereduksi di [] . Sedangkan adalah polinomial primitif jika faktor pembagi persekutuan terbesar dari koefisien ,, … , dari suatu polinomial ∈ ℤ[] adalah 1. 3.2 Saran
Menyadari bahwa makalah yang kami buat masih jauh dari kata sempurna, kedepannya kami akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber - sumber yang lebih banyak yang tentunga dapat di pertanggungjawabkan. Untuk itu, dibutuhkan kritik dan saran terhadap penulisan dan tanggapan terhadap kesimpulan dari bahasan makalah yang telah di jelaskan.
9
DAFTAR PUSTAKA Fraleigh, John B., (2003), A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, USA Gallian, Joseph A., (2010), Contemporary Abstract Algebra 7th Edition, Brooks/Cole, USA Saragih, Sahat, et al., (2015), Struktur Aljabar 2, UNIMED PRESS, Medan Smith, Jonathan D. H., (2009), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, USA
10
