Faktorisasi Polinomial

FAKTORISASI POLINOMIAL
MAKALAH
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Struktur Aljabar II
yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul H., S.Pd.,M.Si.

Oleh Kelompok 3 Offering J 2016:
Dina Ekatyasari (160312604893)
Doni Ahmad Setiawan (160312604857)
Fahma Ilviani (160312604801)
Kisrina Noviati (160312604826)
Riki Noviandi (160312604879)
Rismayanti Pandiangan (140312606802)



UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA
April 2018
PEMBAHASAN

Definisi Polinomial Irredusibel & Polinomial Redusibel
Misal D adalah Integral Domain. Polinomial fx dari Dx yang bukan polinomial zero dan bukan unit pada Dx dikatakan irredusibel atas D jika dan hanya jika, jika fx dapat dinyatakan sebagai hasil kali fx= gx.hx, dengan gx dan hx dari Dx , maka gx atau hx adalah unit pada D[x] . Sebuah elemen taknol dan bukan unit dari Dx yang tidak irredusibel atas D disebut redusibel atas D.
Secara matematis, dapat ditulis sebagai berikut :
Misalkan D integral domain, fx Dx, f(x) 0, f(x) bukan unit,
f(x) disebut irreducible atas D fx= gx.hx, gx,hx Dx g(x) unit h(x) unit di D.

Negasinya adalah :
Misalkan D integral domain, fx Dx, f(x) 0, f(x) bukan unit,
f(x) disebut reducible atas D fx= gx.hx, gx,hx Dx g(x) h(x) bukan unit di D.

Pada kasus di mana suatu Integral Domain adalah Field, maka dapat didefinisikan bahwa :
Polinomial tak konstan f(x) F[x] disebut irredusibel atas field F jika dan hanya jika f(x) tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial gx dan h(x) di F[x] dimana derajat dari g(x) dan h(x) lebih kecil dari derajat f(x).

Secara matematis, dapat ditulis sebagai berikut :
Misalkan F field, fx Fx, f(x) tak konstan,
f(x) disebut irreducible atas F gx, hx Fx fx=gx.h(x), dimana
deg gx ,deghx
Contoh
Polinomial fx=2x2+4 irreducible atas Q tetapi reducible atas Z
Penyelesaian :
Diket : fx=2x2+4
Q, Z daerah integral
Adit : fx=2x2+4 irreducible atas Q
Bukti :
fx=2x2+4 dapat dinyatakan sebagai fx=2x2+2 di mana 2, x2+2 Qx, dan 2 merupakan unit di Qx , karena
12 Qx 2 .12=1
fx=2x2+4 irreducible atas Q
Adit : fx=2x2+4 reducible atas Z
Bukti :
fx=2x2+4 dapat dinyatakan sebagai fx=2x2+2
dimana 2, x2+2 Zx, 2 bukan unit di Zx dan x2+2 bukan unit di Zx
fx=2x2+4 reducible atas Z

Polinomial fx=2x2+4 irreducible atas R tetapi reducible atas C.
Penyelesaian :
Diket : R dan C field
fx=2x2+4
Adit : f(x) irreducible atas R tetapi reducible atas C
Jawab :
fx dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinomial dengan derajat lebih kecil,
fx=2x2+4.=(2x+22 i)(x-2 i) dimana 2x+22 i , (x-2 i) R[x]
tetapi 2x+22 i , (x-2 i) C[x]
fx irreducible atas R tetapi reducible atas C.

Polinomial fx=x2-2 reducible atas R tetapi irreducible atas Q.
Penyelesaian :
Diket : R dan Q field
fx=x2-2
Adit : f(x) irreducible atas R tetapi reducible atas Q
Jawab :
fx dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinomial dengan derajat lebih kecil.
fx=x2-2 =(x-2)(x+2) dimana (x-2)(x+2) Q[x]
tetapi (x-2)(x+2) R[x]
fx reducible atas R tetapi irreducible atas Q.

Polinomial fx=x2+1 irreducible atas Z3 tetapi reducible atas Z5 .
Penyelesaian :
Diket : Z3 dan Z5 field
fx=x2+1
Adit : fx irreducible atas Z3 tetapi reducible atas Z5
Jawab :
fx=x2+1 di Z3 x

fx=x2+1=x2+3x+4 (kesamaan dua polynomial)

fx=x2+3x+4 tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polynomial atas Z3

dengan derajat lebih kecil
fx=x2+1 irreducible atas Z3

fx=x2+1 di Z5 x
fx=x2+1=x2+5x+6 (kesamaan dua polinom)
fx=x2+5x+6 dapat dinyatakan sebagai fx=(x+2)(x+3), dimana
x+2,x+3 Z5x.
fx=x2+1 reducible atas Z5


Teorema 17.1 Reducibility Test untuk derajat 2 atau 3
Misal F field. Jika fx Fx dan deg fx adalah 2 atau 3,maka fx reducible atas F jika dan hanya jika fx mempunyai zero di F.
Bukti:
( ) Diket : F field
fx Fx
deg fx=2 atau deg fx=3
f(x) reducible atas F
Adit : f(x) mempunyai pembuat nol di F
Bukti : Karena f(x) reducible di F maka fx=gxh(x), dimana gx,hx F[x]
dan deg gx, deg h(x) Karena deg fx= deg gx+deghx dan deg fx= 2 atau 3 maka pastilah
deg gx=1 atau deghx=1
Misal deg gx=1
Maka gx=ax+b dimana a,b F
Pilih x=-ba-1 pembuat nol di gx
fx=gxh(x)
f-ba-1=g-ba-1h(-ba-1)
f-ba-1=a-ba-1+bh-ba-1
f-ba-1=(aa-1-b+b)h-ba-1
f-ba-1=-b+bh-ba-1
f-ba-1=0.h-ba-1
f-ba-1=0
-ba-1 pembuat nol di fx
fx mempunyai pembuat nol di F.

() Diket : F field
fx Fx
deg fx=2 atau deg fx=3
fx mempunyai pembuat nol di F
Adit : f(x) reducible atas F
Bukti : Ambil sebarang a F pembuat nol di fx.
Karena a pembuat nol di fx, maka fa=0
Berdasarkan Teorema Faktor, maka (x-a) merupakan faktor dari f(x).
Sehingga dapat ditulis
fx=x-ahx, h(x) F[x]
Karena deg fx=2 atau 3, dan deg x-a=1, maka deg h(x) < deg fx sehingga f(x) reducible atas F.
f(x) reducible atas F.

Contoh :
Polinomial x2+1 irreducible atas Z3 tetapi reducible atas Z5.
Penyelesaian :
Diket : Z3, Z5 field
fx=x2+1 Z3
fx=x2+1 Z5
degfx=2
Adit : fx=x2+1 irreducible atas Z3
Bukti :
f0=1
f1=2
f2=2
Karena f(x) tidak punya pembuat nol di Z3, maka f(x) irreducible atas Z3.
Adit : f(x)=x2+1 reducible atas Z5
Bukti :
f0=1
f1=2
f2=0
f3=0
f4=2
Karena f(x) punya pembuat nol di Z5, maka f(x) reducible atas Z5
Polinomial x2+1 irreducible atas Z3 tetapi reducible atas Z5

2. (Exercises 17 No.18) Tunjukkan bahwa x2+x+4 Irreducible atas Z11.
Penyelesaian :
Diket : fx=x2+x+4 atas Z11
Z11=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Adit : fx=x2+x+4 irreducible atas Z11
Bukti :
fx=x2+x+4
f0=02+0+4=4 0
f1=12+1+4=6 0
f2=22+2+4=10 0
f3=32+3+4=5 0
f4=42+4+4=2 0
f5=52+5+4=1 0
f6=62+6+4=2 0
f7=72+7+4=5 0
f8=82+8+4=10 0
f9=92+9+4=6 0
f10=102+10+4=4 0
Karena fx tidak mempunyai pembuat nol di Z11 maka f(x) irreducible atas Z11

Misalkan D=Z5={m+n5 ǀ m,n Z} adalah subring dari field bilangan real dan
F = Q5 juga merupakan field. Tunjukkan bahwa x2+x-1 irreducible di D[x] tetapi reducible di F[x]
Jawab :
Diket : D=Z5={m+n5 ǀ m,n Z} adalah field.
F = Q5 adalah field.
gx= x2+x-1.
Adit : g(x) irreducible di D[x] tetapi reducible di F[x].
Bukti : gx= x2+x-1 memiliki derajat 2.
Andaikan g(x) reducible di D[x].
Maka berdasarkan Teorema 17.1 , g(x) mempunyai zero di D.
Zero dari gx adalah -1+52 dan -1-52 , karena g-1+52=0 dan
g-1-52=0. Tetapi, -1+52, -1-52 D.
Terjadi kontradiksi, pengandaian salah
g(x) irreducible di D[x].

Zero dari gx adalah -1+52 dan -1-52 , karena g-1+52=0 dan
g-1-52=0, dimana -1+52, -1-52 F.
Sehingga gx mempunyai zero di F. Berdasarkan Teorema 17.1, gx reducible atas F.
g(x) irreducible di D[x] tetapi reducible di F[x]

(Exercises 17 No.19) Misal fx=x3+6 Z7x, tulis fx yang merupakan hasil kali dari irreducibel polinomial atas Z7.
Jawab :
Diketahui : Z7 field
fx=x3+6 Z7x
Z7=(0,1,2,3,4,5,6)
Penyelesaian :
Berdasarkan Teorema 17.1

X
fx mod 7
0
6
1
7=0
2
14=0
3
33=5
4
70=0
5
131=5
6
222=5

fx mempunyai pembagi nol di Z7 yaitu 1,2, dan 4.
Dengan demikian x-1, x-2, dan x-4 membagi x3+6, ketiga polinomial tersebut irredusibel karena memiliki deg 1.
Dapat diuji bahwa
x-1x-2x-4 = x2-3x+2x-4
= x3-3x2+2x-4x2+12x-8
= x3-7x2+14x-8
=x3+6 mod
fx=x3+6 = x-1x-2x-4

Teorema 17.2 Reducibility atas Q mengakibatkan Reducibilty atas Z .
Misalkan fx Z [x] . Jika fx adalah reducible atas Q maka, fx adalah reducible atas Z.

Bukti :
Diket : fx Z [x]
fx adalah reducible atas Q
Adit : fx adalah reducible atas Z.
Bukti: Misal fx=g xhx, dimana gx dan hx Q [x].
Asumsikan bahwa fx adalah primitif karena kita dapat membagi keduanya ,fx dan gx dengan content dari fx.
Misal a adalah KPK penyebut koefisien gx dan b adalah KPK penyebut koefisien hx.
Maka abfx=abgxhx
abfx=agx.bhx di mana agx dan bhx Z[x].
Misal c1 adalah content dari agx dan c2 adalah content dari bhx.
Maka agx=c1g1(x) dan bhx=c2h1(x) di mana keduanya g1(x) dan h1(x) adalah primitif dan abfx=agx.bhx=c1c2g1(x)h1(x) .
Karena f(x) adalah primitif, maka konten dari abf(x) adalah ab.
Karena hasil kali dari dua polinomial primitif adalah primitif, maka content dari c1c2g1(x)h1(x) adalah c1c2.
Oleh karena itu, ab=c1c2 dan fx=g1(x)h1(x) dimana g1(x) dan h1(x) Z[x] dan deg g1(x) = deg g(x) dan deg h1(x) = deg h(x).
Terbukti bahwa fx adalah reducible atas Z
Contoh
Diketahui suatu polinomial fx=6x2+x-2 Z [x].
Adit : Jika fx reduksibel atas Q maka reduksibel atas Z.
Jawab:
Adit fx reduksibel atas Q
Diketahui Q field.
fx dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinomial gx dan h(x) dengan derajat yang lebih rendah, yaitu
fx=6x2+x-2=3x-322x+43=gxh(x), di mana gx,h(x) Q [x].
fx reduksibel atas Q

Adit fx reduksibel atas Z
fx=6x2+x-2=3x-322x+43=gxh(x)
Sehingga didapat
a=KPK1,2=2
b=KPK1,3=3
agx=23x-32=6x-3, sehingga c1=3
bhx=32x+43=6x+4, sehingga c2=2
Maka
g1x=ag(x)c1=6x-33=2x-1
h1x=bh(x)c2=6x+42=3x+2

Sehingga
abfx=236x2+x-2=322x-13x+2=c1c2g1xh1x
Atau dapat ditulis
fx=6x2+x-2=2x-13x+2=g1xh1x
fx reduksibel atas Z


Teorema 17.3 Uji Irreducibility Mod p
Misal p prima dan andaikan f(x) Z[x] dengan deg f(x) 1.
Misal f(x) polinomial di Zp[x] yang diperoleh dari f(x) dengan mereduksi semua koefisien fx mod p.
Jika f(x) irreducible atas Zp dan deg fx=deg f(x) , maka f(x) irreducible atas Q.

Bukti :
Diket : f(x) Z[x] dengan deg f(x) 1
p prima
f(x) polinomial di Zp[x]
f(x) irreducible atas Zp
deg fx=deg f(x)
Adit : f(x) irreducible atas Q
Bukti : Kita buktikan teorema ini dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan f(x) reducible atas Q.
Maka menurut Teorema 17.2 , fx juga tereduksi atas Z. Sehingga fx=gxh(x) dimana gx,h(x) Z[x] serta deg gx, deg hx Misal fx,gx,hx adalah polinomial yang diperoleh dari fx,gx,h(x) dengan
mereduksi semua koefisien ke modulo p.
Hal ini berakibat fx=gxhx, dimana fx,gx,hx Zp.
Karena deg fx=deg fx, maka deg gx deg gx< fx dan deg hx deg hx Tetapi, fx=gxhx , dimana fx,gx,hx Zp. Yang berarti fx reducible atas Zp.
Hasil tersebut kontradiksi dengan asumsi bahwa fx irreducible atas Zp.
Terjadi kontradiksi, pengandaian salah
f(x) irreducible atas Q.

Contoh
Perhatikan polinomial fx=5x3+4x2+3x+2 Zx.
Akan dibuktikan bahwa fx irreducible atas Q.
Menurut Teorema 17.3, kita cukup mencari suatu bilangan prima p sehingga f (x) irreducible atas Zp. Bila p = 2 , maka f x= x3+x atas Z2 .Tetapi f (0) = 0 dan
f 1=0 , sehingga berdasarkan Teorema 17.1, f x= x3+x reducible atas Z2. Akibatnya kita tidak dapat menggunakan Teorema 17.3. Sekarang kita tinjau untuk p=3. Maka f x=2x3+3x+2 atas Z3 dan degf x=degf(x). Karena f 0=2, f 1=2, dan f 2 = 1, maka f x tidak mempunyai zero di Z3, sehingga berdasarkan Teorema 17.1, f x= 2x3+3x+2 irreducible atas Z3.
Akibatnya, berdasarkan Teorema 17.3, fx=5x3+4x2+3x+2 irreducible atas Q.








EXERCISES 17
(4) Misalkan fx= xn+an-1xn-1+…+a0 Z[x]. Jika r rasional dan x-r membagi f(x), tunjukkan bahwa r adalah integer
Penyelesaian :
Diket : fx= xn+an-1xn-1+…+a0 Z[x].
r rasional
(x-r) membagi f(x)
Adit : r integer.
Bukti : Ambil sembarang fx= xn+an-1xn-1+…+a0 Z[x].
Karena (x-r) membagi f(x), maka fr=0.
Misalkan r 0 dan nyatakan r sebagai r=a/b, di mana a,b Z, b 0, dan a,b=1.
Maka :
fr=0
fa/b=0
abn+an-1abn-1+…+a1ab+ a0 = 0
Mengalikan kedua ruas dengan bn akan diperoleh
an+an-1an-1b+an-2an-2b2+…+a1abn-1+ a0bn = 0
an = -(an-1an-1b+an-2an-2b2+…+a1abn-1+ a0bn)
an = -b(an-1an-1+an-2an-2b1+…+a1abn-2+ a0bn-1)
Karena (an-1an-1+an-2an-2b1+…+a1abn-2+ a0bn-1) Z, maka b membagi an.
Andaikan b>1 atau b < -1. Misalkan s adalah bilangan prima yang membagi b. Maka s " an, dan berdasarkan Lemma Euclid, s " a. Sehingga, s adalah faktor prima yang sama dari a dan b. Terjadi kontradiksi dengan fakta bahwa a,b=1. Pengandaian salah.
Jadi, -1 b 1. Karena b 0, maka b=1 atau b= -1.
Oleh karena itu, r=ab=a±1= ±a. Yang berarti r=±a Z
r adalah integer

(3). Tunjukkan bahwa jika polinomial tak konstan dari Z[x] irreducible atas Z, maka polinomal tersebut primitiv.
Penyelesaian :
Akan dibuktikan kontraposisi dari pernyataan ini :
Jika polinomial tak konstan dari Z[x] tidak primitiv, maka polinomal tersebut reducible atas Z.
Diket : f(x) Z[x]
f(x) tidak primitive
fx tak konstan
Adit : f(x) reducible atas Z
Bukti : Ambil sembarang f(x) Z[x], di mana f(x) tidak primitive dan fx tak konstan.
Misalkan fx= anxn+an-1xn-1+…+a0.
Karena f(x) tidak primitive, maka terdapat d Z , d > 1 sehingga d membagi ai untuk setiap 0 i n.
Misalkan g(x) = anxnd+an-1xn-1d+…+a0.d.
Maka fx=d(gx), dengan d,g(x) Z[x].
Tetapi,d dan g(x) bukanlah unit di Z[x] karena unit di Z[x] hanyalah 1 dan -1.
Karena fx=d(gx), dimana d,g(x) Z[x], d dan g(x) bukan unit di Z[x], maka fx reducible atas Z.
fx reducible atas Z.
Jika polinomial tak konstan dari Z[x] tidak primitiv, maka polinomal tersebut reducible atas Z.
Jika polinomial tak konstan dari Z[x] irreducible atas Z, maka polinomal tersebut primitiv.

(31). (Teorema Akar Rasional)
Misal fx=anxn+an-1xn-1+. …+a1x+a0 Zx, dimana an 0. Buktikan jika r dan s bilangan bulat yang relative prime dan frs=0, maka r"a0 dan s"an.
Penyelesaian :
Diket : fx=anxn+an-1xn-1+. …+a1x+a0 Zx
an 0
r,s=1 , r,s Z
frs=0
Adit : r"a0 dan s"an
Bukti : Ambil sembarang fx=anxn+an-1xn-1+. …+a1x+a0 Zx, dimana
an 0.
Karena frs=0, maka
frs=anrsn+an-1rsn-1+…+a1rs+a0=0.
Kalikan dengan sn sehingga diperoleh
anrn+an-1rn-1s+…+a1rsn-1+a0sn=0.
a0sn= -(anrn+an-1rn-1s+…+a1rsn-1)
a0sn= -r ( anrn-1+an-1rn-2s+…+a1sn-1)
Karena ( anrn-1+an-1rn-2s+…+a1sn-1) Z, maka r " a0sn. Karena r dan s relative prime, maka r sn, sehingga r " a0........................................(1)
anrn+an-1rn-1s+…+a1rsn-1+a0sn=0
anrn= -(an-1rn-1s+…+a1rsn-1+a0sn)
anrn= -s(an-1rn-1+…+a1rsn-2+a0sn-1)
Karena (an-1rn-1+…+a1rsn-2+a0sn-1) Z , maka s " anrn . Karena r dan s relative prime, maka s rn , sehingga s " an........................................(2)
Dari (1) dan (2) , dapat disimpulkan bahwa r " a0 dan s " an.





















DAFTAR RUJUKAN

Gallian, Joseph A. 2015. Contemporary Abstract Algebra 9th Edition. USA: Cengage Learning.
Setiawan, Adi. 2011. Aljabar Abstrak. Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga.
Durbin, John R. 2009. Modern Algebra An Introduction 6th Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.
(http://dedisuryannto.blogspot.co.id/2012/10/faktor-persekutuan-terbesar.html) diakses pada 18 April 2018.
(https://www.slideshare.net/pclr/polinomial-tak-tereduksi) diakses pada 18 April 2018.
(https://www.scribd.com /Reducible-Irreducible-Polynomial) diakses pada 16 April 2018.
(https://www.scribd.com/GELANGGANG-POLINOM) diakses pada 15 April 2018.
(www.csie.ntu.edu.tw/reduciblepolynomials) diakses pada 15 April 2018.