Métodos Numéricos Realizado por: • •
Carlos Buenaño Andrés Herrera Juan Plaza •
Tema:
Regresiones lineales y polinomiales, polinomiales, aplicables a problemas prácticos. Profesor:
ng.! Paul "orres "orres Cuenca #$%&
1. Resumen: En el siguiente trabajo de investigación, se presenta de una manera muy sencilla una explicación, características y ejemplo del tema: “Regresiones lineales y polinomiales, aplicables a problemas prácticos” las cuales se veras más detalladas, y revisadas con más profundidad, mediante un caso práctico analiado, mediante dos m!todos"
2. Introducción: Regresión Lineal:
'i sabemos (ue e)iste una relaci*n entre una +ariable denominada dependiente y otras denominadas independientes como por e-emplo las e)istentes entre! la e)periencia proesional de los traba-adores y sus respecti+os sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producci*n agraria y la cantidad de ertilizantes utilizados, etc./, puede darse el problema de (ue la dependiente asuma m0ltiples +alores para una combinaci*n de +alores de las independientes. 1a dependencia a la (ue 2acemos reerencia es relacional matemática y no necesariamente de causalidad. As3, para un mismo n0mero de unidades producidas, pueden e)istir ni+eles de costo, (ue +ar3an empresa a empresa. 'i se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresi*n en los cuales se obtiene una nue+a relaci*n pero de un tipo especial denominado unci*n, en la cual la +ariable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la +ariable dependiente. Cabe recordar (ue en términos generales, una unci*n es un tipo de relaci*n en la cual para cada +alor de la +ariable independiente le corresponde uno y s*lo un +alor de la +ariable dependiente. '4P5'C567' 87 1A R79R7':6 167A1 • • •
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1os +alores de la +ariable independiente ; son i-os, medidos sin error. 1a +ariable < es aleatoria Para cada +alor de ;, e)iste una distribuci*n normal de +alores de < subpoblaciones
R79R7':6 '=P17 < C5RR71AC:6 1a Regresi*n y la correlaci*n son dos técnicas estad3sticas (ue se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en los negocios. =uc2os estudios se basan en la creencia de (ue es posible identiicar y cuantiicar alguna Relaci*n >uncional entre dos o más +ariables, donde una +ariable depende de la otra +ariable.
'e puede decir (ue < depende de ;, en donde < y ; son dos +ariables cual(uiera en un modelo de Regresi*n 'imple. ?< es una unci*n de ;? < @ ;/ Como < depende de ;, <
es la +ariable dependiente, y
;
es la +ariable independiente.
7n el =odelo de Regresi*n es muy importante identiicar cuál es la +ariable dependiente y cuál es la +ariable independiente. 7n el =odelo de Regresi*n 'imple se establece (ue < es una unci*n de s*lo una +ariable independiente, raz*n por la cual se le denomina también Regresi*n 8i+ariada por(ue s*lo 2ay dos +ariables, una dependiente y otra independiente y se representa as3! < @ ;/ ?< está regresando por ;? 1a +ariable dependiente es la +ariable (ue se desea e)plicar, predecir. "ambién se le llama R79R7'A685 o ARAB17 87 R7'P47'"A. 1a +ariable ndependiente ; se le denomina ARAB17 7;P1CA"A o R79R7'5R y se le utiliza para e)plicar <.
Regresión Polinómica:
7n estad3stica, regresi*n polin*mica es una orma de regresi*n lineal en el (ue la relaci*n entre la +ariable independiente ) y la +ariable dependiente < se modela como un polinomio de orden n. Regresi*n polin*mica se a-usta a una relaci*n no lineal entre el +alor de ) y la media condicional correspondiente de y, denotado 7, y se 2a utilizado para describir los en*menos no lineales tales como la tasa de crecimiento de los te-idos, la distribuci*n de los is*topos de carbono en los sedimentos del lago, y la progresi*n de epidemias de enermedades. Aun(ue regresi*n polin*mica se a-usta a un modelo no lineal a los datos, como un problema de estimaci*n estad3stica es lineal, en el sentido de (ue la unci*n de regresi*n 7 es lineal en los parámetros desconocidos (ue se estiman a partir de los datos. Por esta raz*n, regresi*n polin*mica se considera (ue es un caso especial de regresi*n lineal m0ltiple.
87>6C:6 < 7J7=P15
7l ob-eti+o del análisis de regresi*n es modelar el +alor esperado de una +ariable dependiente en unci*n del +alor de una +ariable independiente ). 7n la regresi*n lineal simple, el modelo se utiliza, en donde e es un error aleatorio no obser+ado con media cero acondicionado en una +ariable escalar ). 7n este modelo, por cada unidad de aumento en el +alor de ), la e)pectati+a condicional de < aumenta por unidades a%. 7n muc2os lugares, esta relaci*n lineal no puede sostenerse. Por e-emplo, si estamos modelando el rendimiento de una s3ntesis (u3mica en términos de la temperatura a la (ue tiene lugar la s3ntesis, podemos encontrar (ue el rendimiento me-ora al aumentar las cantidades para cada unidad de aumento en la temperatura. 7n este caso, podr3amos proponer un modelo cuadrático de la orma 7n este modelo, cuando se aumenta la temperatura de ) a ) % unidades, los cambios en el rendimiento esperados por a% #a#). 7l 2ec2o de (ue el cambio en el rendimiento depende de ) es lo (ue 2ace (ue la relaci*n no lineal. 7n general, podemos modelar el +alor esperado de y como un polinomio de orden n, dando el modelo de regresi*n polin*mica en general
6"7RPR7"AC:6 Aun(ue regresi*n polin*mica es técnicamente un caso especial de regresi*n lineal m0ltiple, la interpretaci*n de un modelo de regresi*n polin*mica a-ustada re(uiere una perspecti+a algo dierente. A menudo es di3cil interpretar los coeicientes indi+iduales en un a-uste de regresi*n polin*mica, ya (ue los monomios subyacentes pueden ser altamente correlacionados. Por e-emplo, ) y )# tienen correlaci*n alrededor de $, cuando ) se distribuye uniormemente en el inter+alo. Aun(ue la correlaci*n se puede reducir mediante el uso de polinomios ortogonales, por lo general es más inormati+o (ue considerar la unci*n de regresi*n a-ustada en su con-unto. Punto de bandas de conianzaDsabia o simultánea a continuaci*n, se pueden utilizar para proporcionar un sentido de la incertidumbre en la estimaci*n de la unci*n de regresi*n. E#F
. !ituación f"sica
8eterminar mediante regresi*n lineal o polinomial la ecuaci*n (ue me-or describa de acuerdo a los datos presentados a continuaci*n.
t#min $
T#%&$
$ # I G %$ %# %I % %G #$ ## #I # #G $
& G GI I $ & &# &$ IG.& I I I I#
'. Modelo matem(tico •
Polinomio de mDesimo grado!
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•
7n este caso la suma de los cuadrados de los residuos es
'e toma la deri+ada de la ecuaci*n anterior con respecto a cada uno de los coeicientes del polinomio, para obtener!
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7stas ecuaciones se pueden igualar a cero y reordenar de tal orma (ue se obtenga el siguiente con-unto de ecuaciones normales!
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1ey de enriamiento de 6eKton dT = k ( T −Tm) dt
Resolución para determinar la ecuación mediante Matla)
Funcion :
f ( x )=−0.000684 ∙ x + 0.074598 ∙ x −0.337498 ∙ x + 94.82 3
2
*igura 1. A-uste de la cur+a con las datos obtenidos
+. ,n(lisis de resultados: >inalmente para +alidar nuestro e)perimento nos basamos también con conocimientos ad(uiridos de ecuaciones dierenciales con la inalidad de modelar este enriamiento con los datos ya conocidos como las condiciones de rontera (ue obtu+imos en el e)perimento. A continuaci*n modelaremos con los datos obtenidos en el e)perimento. ❑
8atos!
(
T amb
=k ∫ dt ∫ T dT −21
)=21 ° C
T
¿ ( t −21 )=kt + c
Condiciones Frontera t =0 ; T = 95 ° C
t 20 ; T 52 ° C =
=
T −21= c e T =21 + ce
8esarrollo!
95
dT = k ( T −Tm) dt
c
kt
kt
=21+ c
=
74
=21 +74 ek ∗
52
k =−0.043504
20
−0.043504 ∗t
T ( t )=21 + 74 e
>inalmente para +alidar nuestro e)perimento nos basamos también con conocimientos ad(uiridos de ecuaciones dierenciales con la inalidad de modelar este enriamiento con los datos ya conocidos como las condiciones de rontera (ue obtu+imos en el e)perimento. A continuaci*n en la igura # se obser+a las dos unciones superpuestas entres si la cual de color +erde es la (ue obtu+imos con el modelamiento matemático mediante ecuaciones dierenciales y el de color azul es la obtenida mediante regresiones polinomiales. 8e tal orma obser+ando dic2a igura podemos garantizar (ue la unci*n obtenida mediante regresi*n polinomial es +álida para describir dic2o en*meno real.
*igura 2. Comparaci*n de unciones
-. &onclusiones: •
1as pe(ueñas des+iaciones (ue se dan en la comparaci*n de las dos graicas mostradas en la igura # se da debido a (ue la unci*n (ue obtu+imos mediante ecuaciones dierenciales e)iste una +ariaci*n de datos en los di+ersos puntos los cuales se obser+a (ue no son tan signiicantes de tal orma podemos concluir (ue nuestra unci*n obtenida mediante regresiones polinomial es +álida.
. /i)liograf"a: E%F 2ttp!LLKKK.monograias.comLtraba-os#LregresionDsimpleLregresionDsimple.s2tml E#F 2ttp!LLdocsetools.comLarticulosDnoticiasDconse-osLarticleM%&.2tml
