´ VIBRACIONES MECANICAS
Ixshel Jhoselyn Foster V´azquez azquez 6 de marzo de 2018
Cap´ıtulo 1 FUNDAMENTOS DE LA ´ VIBRACION 1.1. 1.1.
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
El tema de la vibraci´on on se presenta de una forma relativamente sencilla. Se empieza con una breve historia de la vibraci´on on y contin´ ua con un examen de su importancia. Se perfilan los ua diversos diversos pasos que intervienen intervienen en el an´ alisis alisis de la vibraci´ vibracion o´n de un sistema de ingenier´ ingenier´ıa y se presentan las definiciones y conceptos esenciales de la vibraci´ on. Se estudiara que todos los sistemas on. sistemas mec´anicos anicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos sistemas, como en un autom´ ovil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden idenovil, tificar como componentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensi´ on y el amortiguador en la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no aparecen como componentes distintos, pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de un avi´on, on, la masa est´a distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el ala experimenta una notable deformaci´ on durante el vuelo, de modo on que puede modelarse como un resorte. Adem´ as, la deflexi´ on del ala introduce un efecto de amoron tiguamiento producido por el movimiento relativo entre componentes como juntas, conexiones y soportes, al igual que la fricci´ on on interna producida por defectos microestructurales microestructurales del material. material. Se describe describ e el modelado mo delado de elementos de resorte, r esorte, masa y amortiguamiento, sus caracter´ caracter´ısticas y la combinaci´on on de varios resortes, masas o elementos de amortiguamiento que aparecen en un sistema. Por ultimo se tiene una presentaci´on on del concepto de an´ alisis alisis arm´onico, onico, el cual puede utilizarse para el an´alisis alisis de movimientos peri´odicos odicos generales. generales.
1.2. 1.2. 1.2.1.
Brev Breve e histo histori ria a del del estud estudio io de la la vibra vibraci ci´ ´ on on Or´ Or´ıgenes del estudio es tudio de la vibraci´on on
El inter´es es acerca de las vibraciones surgi´ o al crearse los primeros instrumentos musicales como los silbatos o tambores. Desde entonces m´ usicos usicos como fil´osofos osofos han buscado reglas o leyes que describan la producci´ on o n del sonido. En el a˜no n o 4000 a.C, la m´usica usica hab hab´´ıa alcanzado un alto nivel de desarrollo y era apreciado por chinos, hind´ ues, japoneses entre otros pueblos. Se ues, cree que los instrumentos musicales de cuerda se originaron en el arco del cazador; uno de los instrumentos de cuerda m´ as primitivo que se conoce es la nanga. as El sistema musical actual tiene sus bases en la civilizaci´on on griega antigua. Se considera que el fil´osofo osofo y matem´ atico atico griego Pit´agoras agoras (582-507 a.C) fue la primer persona que investigo el sonido musical con una base cient cient´ıfica, realizo experimentos experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio (figura 1.1), sin embargo no hay registro de su 1
Cap´ıtulo 1 FUNDAMENTOS DE LA ´ VIBRACION 1.1. 1.1.
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
El tema de la vibraci´on on se presenta de una forma relativamente sencilla. Se empieza con una breve historia de la vibraci´on on y contin´ ua con un examen de su importancia. Se perfilan los ua diversos diversos pasos que intervienen intervienen en el an´ alisis alisis de la vibraci´ vibracion o´n de un sistema de ingenier´ ingenier´ıa y se presentan las definiciones y conceptos esenciales de la vibraci´ on. Se estudiara que todos los sistemas on. sistemas mec´anicos anicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos sistemas, como en un autom´ ovil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden idenovil, tificar como componentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensi´ on y el amortiguador en la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no aparecen como componentes distintos, pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de un avi´on, on, la masa est´a distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el ala experimenta una notable deformaci´ on durante el vuelo, de modo on que puede modelarse como un resorte. Adem´ as, la deflexi´ on del ala introduce un efecto de amoron tiguamiento producido por el movimiento relativo entre componentes como juntas, conexiones y soportes, al igual que la fricci´ on on interna producida por defectos microestructurales microestructurales del material. material. Se describe describ e el modelado mo delado de elementos de resorte, r esorte, masa y amortiguamiento, sus caracter´ caracter´ısticas y la combinaci´on on de varios resortes, masas o elementos de amortiguamiento que aparecen en un sistema. Por ultimo se tiene una presentaci´on on del concepto de an´ alisis alisis arm´onico, onico, el cual puede utilizarse para el an´alisis alisis de movimientos peri´odicos odicos generales. generales.
1.2. 1.2. 1.2.1.
Brev Breve e histo histori ria a del del estud estudio io de la la vibra vibraci ci´ ´ on on Or´ Or´ıgenes del estudio es tudio de la vibraci´on on
El inter´es es acerca de las vibraciones surgi´ o al crearse los primeros instrumentos musicales como los silbatos o tambores. Desde entonces m´ usicos usicos como fil´osofos osofos han buscado reglas o leyes que describan la producci´ on o n del sonido. En el a˜no n o 4000 a.C, la m´usica usica hab hab´´ıa alcanzado un alto nivel de desarrollo y era apreciado por chinos, hind´ ues, japoneses entre otros pueblos. Se ues, cree que los instrumentos musicales de cuerda se originaron en el arco del cazador; uno de los instrumentos de cuerda m´ as primitivo que se conoce es la nanga. as El sistema musical actual tiene sus bases en la civilizaci´on on griega antigua. Se considera que el fil´osofo osofo y matem´ atico atico griego Pit´agoras agoras (582-507 a.C) fue la primer persona que investigo el sonido musical con una base cient cient´ıfica, realizo experimentos experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio (figura 1.1), sin embargo no hay registro de su 1
trabajo. En los tiempos de Pit´ agoras agoras se desarroll´o el concepto de tono, la relaci´ on on entre el tono y frecuencia no se entendi´ o sino hasta el tiempo de Galileo en el siglo XVI.
Figura 1.1: Monocordio. Arist´oteles oteles escribi´ o tratados sobre m´ usica y sonido e hizo observaciones como ”La voz es usica m´as as dulce que el sonido de los instrumentos.alrededor del a˜ no n o 350 a.C. En el a˜no n o 320 a.C, Arist´ogenes, ogenes, alumno de Arist´ oteles o teles y m´ usico, usico, escribi´o una obra en tres vol´ umenes umenes titulada Element Ele mentos os de armon´ arm on´ıa. ıa. Por otro lado en la antig¨ uedad, uedad, China experimentaba muchos sismos, as´ as´ı que Zhang Heng desarrollo un instrumento para medir los sismos con precisi´ on, creando el primer sism´ on, ografo ografo en el a˜ no no 132 (figura 1.2), este ten´ ten´ıa forma de jarra de vino y dentro de ´el el hab hab´´ıa un mecanismo que consist´ consist´ıa en un p´endulo endulo rodeado ro deado por un grupo de ocho palancas palancas que apuntaban apuntaban en ocho direcciones. En la parte externa del sism´ ografo ografo hab hab´´ıa ocho figuras de drag´ on, cada una con una bola de bronce en las fauces y por debajo una rana con la boca abierta hacia arriba. Un sismo fuerte fuer te inclinar inclin ar´´ıa el p´endulo endul o hacia alguna algun a direcci´ direc ci´ on activando la palanca en la cabeza del on drag´on, on, esto har´ har´ıa que la boca b oca del drag´ on se abriera, soltando la bola de bronce y produciendo on un sonido met´ alico alico al caer. As´ As´ı, el e l sism´ si sm´ografo ografo permit p ermit´´ıa al personal de vigilancia saber el tiempo tiemp o y direcci´on on de la ocurrencia del sismo.
Figura 1.2: Primer sism´ografo. ografo.
1.2. 1.2.2. 2.
Gali Galile leo o a Rayl Raylei eigh gh
Galileo Galilei (1564-1642) es considerado como el fundador de la ciencia experimental moderna. Galileo estudio el comportamiento de un p´endulo endulo simple al observar los movimientos de vaiv´en en de una l´ampara ampara en una iglesia de Pisa, esto lo llev´ o a realizar m´ as as experimentos con el p´endulo endulo simple. En su obra “Discorsi “Discorsi e dimostrazione dimostrazione matematiche matematiche in torno a due nuo nuove ve scienze”, publicada en 1638, Galileo analiz´o los cuerpos vibratorios. Describi´ o la dependencia de la frecuencia de la vibraci´ on on en la longitud de un p´endulo endulo simple, junto con el fen´ omeno omeno de vibraciones vibraciones simp´ aticas aticas (resonancia). Los escritos de Galileo tambi´ en en indican que entend´ entend´ıa con claridad la relaci´on on entre la frecuencia, la longitud, la tensi´on on y la densidad de una cuerda vibratoria tensa. Sin embargo, el primer informe correcto publicado de la vibraci´ on on de cuerdas lo 2
proporcion´ o el matem´atico atico y te´ologo ologo franc´es es Mario Mar io Mersenne Mer senne (1588-1648) en su libro “Harmonie universelle”, publicado en 1636. Robert Hooke (1635-1703) ( 1635-1703) tambi´ en en realiz´ o experimentos para determinar una relaci´ on entre el tono y la frecuencia de vibraci´ on on de una cuerda. Sin embargo, on Joseph Sauveur (1653-1716) investig´ o a fondo estos experimentos y acu˜ n´ no´ la palabra “ac´ ustica” ustica” para la ciencia del sonido. Sauveur en Francia y John Wallis (1616-1703) en Inglaterra observaron, de manera independiente, el fen´ omeno de las formas de modo, y encontraron que una omeno cuerda tensa que vibra puede no tener movimiento en ciertos puntos, y un movimiento violento en puntos intermedios. Sauveur llam´ o arm´onicos onicos a las altas frecuencias y frecuencia fundamental a la frecuencia de una vibraci´ on on simple. Sauveur tambi´en en encontr´ o que una cuerda puede vibrar sin varios de sus arm´onicos onicos presentes al mismo tiempo. Adem´as, as, observ´o el fen´omeno omeno del pulso cuando dos tubos de ´organo organo de tonos levemente diferentes se hacen sonar juntos. Isaac Newton (1642-1727) public´ o en 1686 su obra monumental “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, que describe la ley de la gravitaci´ on on universal, as´ as´ı como las tres leyes del movimiento y otros descubrimientos. Brook Taylor (1685-1731), matem´ atico ati co ingl´ ing l´es, es, hall´ hal l´o en 1713 la soluci´on on te´ orica orica (din´amica) amica) del problema de la cuerda vibratoria, y a su vez present´o el famoso teorema de Taylor sobre una serie infinita. La frecuencia natural de la vibraci´ on on obtenida con la ecuaci´ on de movimiento derivada por Taylor concuerda con los valores experimentales on observados por Galileo y Mersenne. El procedimiento adoptado por Taylor fue perfeccionado con la introducci´ introducci´ on on de derivadas derivadas parciales en las ecuaciones de movimiento movimiento por p or Daniel Bernoulli (17001782), Jean D’Alembert (1717-1783) y Leonard Euler (1707-1783). La posibilidad de que una cuerda vibre con varios de sus arm´onicos onicos presentes al mismo tiempo se comprob´ o con las ecuaciones din´amicas amicas de Daniel Bernoulli en sus memorias, publicadas blicadas por la Academia Academia Berlinesa Berlinesa en 1755. Esta caracter´ caracter´ıstica se conoce como el principio principio de la coexistencia de peque˜ nas nas oscilaciones oscilaciones lo cual, en terminolog terminolog´´ıa actual, es el principio principio de superposici´ on. on. Joseph Lagrange (1736-1813) (1736-1813) present´ present´ o la soluci´on on anal a nal´´ıtica de la cuerda cue rda vibratoria en 1759. En su s u estudio es tudio,, supuso sup uso que q ue la l a cuerda cu erda se comp c ompon on´´ıa de d e una un a infinidad infi nidad de part´ p art´ıculas ıcula s de masa id´entica entica equidistantes, y estableci´o la existencia de varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de part´ part´ıculas de masa. El m´etodo etodo de establecer la ecuaci´ on diferencial del movimiento de una cuerda (llamada ecuaci´ on de onda), lo desarroll´ on o D’Alembert en 1750. La vibraci´on on de vigas delgadas apoyadas y sujetas de diferentes maneras fue un estudio hecho por Euler en 1744 y Daniel Bernoulli Ber noulli en 1751. En 1802, 1 802, el e l cient´ cient´ıfico alem´ an E. F. F. Chladni (1756-1824) desarroll´ an o el m´etodo etodo de colocar coloc ar arena sobre una placa vibratoria para hallar sus formas de modo y observ´ o la belleza y complejidad de los patrones modales de las placas vibratorias. El problema de vibraci´on on de una membrana flexible rectangular, fue resuelto por Simeon Poisson (1781-1840). La vibraci´ on de una membrana circular fue estudiada en 1862 por R. F. A. on Clebsch (1833-1872). En 1877 Lord Baron Rayleigh public´ o su libro sobre la teor´ teor´ıa del sonido, obra considerada un cl´ asico en materia de sonido y vibraci´ asico on. on.
1.2.3. 1.2.3.
Contri Contribuc bucion iones es Recien Recientes tes
En 1902, Frahm investig´ o la importancia del estudio de la vibraci´ on on torsional en el dise˜ no no de flechas flechas de h´elice elice de buques de vapor. Aurel Stodola (1859-1943) (1859-1943) contribuy´ contribuy´ o al estudio de vibraci´on on de vigas, placas y membranas. Desarroll´o un m´etodo etodo para analizar vigas vibratorias que tambi´ ta mbi´ en en es e s aplicable a aspas aspa s de turbina. C. G. P. De Laval Laval (18451913) (1 8451913) present´ o una soluci´ solucion o´n pr´actica actica al problema de la vibraci´ on on de d e un disco rotatorio r otatorio desbalanceado. Despu´es es de d e observar obse rvar las fallas de las flechas de acero en turbinas de alta velocidad utiliz´ o una ca˜ na n a de pescar de bamb´ u como flecha para montar el rotor. Observ´ o que este sistema no s´olo olo eliminaba la vibraci´on on del rotor desbalanceado sino que tambi´ t ambi´ en en soportaba sop ortaba velocidades velocida des de 100 000 rpm. Los problemas b´asicos asicos de mec´ anica, anica, entre ellos los de las vibraciones, vibraciones, son no lineales. lineales. Aun 3
cuando los m´etodos para linealizar adoptados son bastante satisfactorios en la mayor´ıa de los casos, no son adecuados en todos. La teor´ıa matem´ atica de vibraciones no lineales comenz´ oa desarrollarse en los trabajos de Poincar´e y Lyapunov a fines del siglo xix. Poincar´e desarroll´ o el m´etodo de perturbaci´ o n en 1892 en relaci´ on con la soluci´on aproximada de problemas de mec´anica no lineales. En diversos fen´omenos como sismos, vientos, transporte de mercanc´ıas sobre veh´ıculos de ruedas y el ruido producido por cohetes y motores de reacci´ on, se presentan caracter´ısticas aleatorias. Se hizo necesario idear conceptos y m´etodos de an´ alisis de vibraci´on de estos efectos aleatorios. Aunque en 1905 Einstein consider´o el movimiento browniano, un tipo particular de vibraci´ on aleatoria. Las monograf´ıas de Crandall y Mark, as´ı como de Robson, sistematizaron el conocimiento existente de la teor´ıa de vibraciones aleatorias. El desarrollo simult´aneo del m´ etodo del elemento finito permiti´ o a los ingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el an´ alisis de vibraci´on num´ ericamente detallado de sistemas mec´ anicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles de grados de libertad. El m´etodo del elemento finito fue presentado por Turner, Clough, Martin y Topp en conexi´ on con el an´alisis de estructuras de avi´ on [1].
1.3.
Importancia del estudio de la vibraci´ on
La mayor´ıa de las actividades humanas implican vibraci´ on en una u otra forma. Por ejemplo al o´ır, los t´ımpanos vibran; al ver, las ondas luminosas vibran, la respiraci´on est´ a asociada con la vibraci´on de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (peri´odico) de piernas y manos. En a˜ nos recientes, investigadores han sido motivados por aplicaciones de la vibraci´on en el a´rea de ingenier´ıa. La mayor´ıa de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al desequilibrio inherente en los motores, este desequilibrio puede deberse al dise˜ no defectuoso o a una fabricaci´ on deficiente. En turbinas, las vibraciones provocan fallas mec´ anicas en aspas y discos. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o m´ aquina sometido a vibraci´on puede fallar debido a fatiga del material producida por la variaci´on c´ıclica del esfuerzo inducido. En m´aquinas, la vibraci´on puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, la vibraci´ on puede provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie. Siempre que la frecuencia natural de la vibraci´ o n de una m´ a quina o de una estructura coincide con la frecuencia de la excitaci´ on externa se presenta un fen´ omeno conocido como resonancia, el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas (figura 1.3).
Figura 1.3: Falla a causa de la resonancia. La transmisi´on de vibraciones a los seres humanos provoca molestias y p´erdida de eficiencia. 4
La vibraci´on y el ruido generados por motor es molestan a las personas, y en ocasiones producen da˜nos a las propiedades. La vibraci´ on de los tableros de instrumentos puede provocar su mal funcionamiento o dificultad para leer los medidores. Por lo tanto, uno de los principales motivos del estudio de la vibraci´ on es reducir fallas de esta misma, mediante un buen dise˜ no del montaje de la m´aquina. A pesar de los efectos perjudiciales, la vibraci´ on puede utilizarse con provecho en varias aplicaciones industriales y comerciales. Las aplicaciones de equipo vibratorio se han incrementado considerablemente en a˜ nos recientes. Por ejemplo, la vibraci´ on es utilizada en transportadoras vibratorias, tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes el´ectricos, taladros de dentista, relojes y unidades de masaje el´ ectricas, de igual forma en el hincado de pilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos electr´ onicos para filtrar las frecuencias indeseables. Se ha visto que la vibraci´ on mejora la eficiencia de ciertos procesos de maquinado, fundici´on, forja y soldadura. Se emplea para simular sismos en la investigaci´on geol´ogica y tambi´ en para estudiar el dise˜ no de reactores nucleares.
1.4. 1.4.1.
Conceptos b´ asicos de la vibraci´ on vibraci´ on
Cualquier movimiento que se repite despu´es de un intervalo de tiempo se llama vibraci´ on u oscilaci´on. El vaiv´en de un p´endulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibraci´ on. La teor´ıa de la vibraci´ on tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.
1.4.2.
Partes elementales de sistemas vibratorios
Por lo com´ un un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energ´ıa potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energ´ıa cin´etica (masa o inercia) y un medio por el cual la energ´ıa se pierde gradualmente (amortiguador). La vibraci´ on de un sistema implica la transformaci´ on de su energ´ıa potencial en energ´ıa cin´etica y de ´esta en energ´ıa potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energ´ıa se disipa en cada ciclo de vibraci´on y se le debe reemplazar por una fuente externa para que se mantenga un estado de vibraci´on estable. Como ejemplo, consideremos la vibraci´on del p´endulo simple (figura 1.4). Se suelta la esfera de masa m con un desplazamiento con a´ngulo θ. En la posici´on 1 la esfera tiene una energ´ıa cin´etica igual a cero, sin embargo, tiene una energ´ıa potencial de magnitud mgl (1 − 2cos (θ)) con respecto a la posici´ on de referencia 2. La fuerza de gravedad induce un par de torsi´on con respecto al punto O, la esfera oscila hacia la izquierda y al momento en que llega a la posici´on 2 toda su energ´ıa potencia se convierte en energ´ıa cin´etica llegando hasta la posici´ on 3. Sin embargo, al pasar por la posici´o n 2, un par de torsi´on en sentido contrario al de las manecillas del reloj act´ ua en la esfera desaceler´ andola, hasta que la velocidad del lado izquierdo sea cero, en ese momento toda la energ´ıa cin´etica de la esfera se convierte en energ´ıa potencial, pero debido al par de torsi´ on producido por la gravedad, la esfera adquiere velocidad en sentido contrario, por lo consiguiente la esfera oscilara continuamente. Sin embargo, en la pr´actica, la magnitud de la oscilaci´on (θ) se reduce gradualmente y por fin el p´endulo se detiene debido a la resistencia (amortiguamiento) ofrecida por el medio circundante (aire). Esto quiere decir que una parte de la energ´ıa se disipa en cada ciclo de vibraci´ on debido a la acci´o n de amortiguamiento del aire [2].
5
Figura 1.4: P´endulo simple.
1.4.3.
Cantidad de grados de libertad
El m´ınimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. El p´endulo simple que se muestra en la figura 1.4, as´ı como cada uno de los sistemas de la figura 1.5, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento del p´endulo simple (figura 1.4) se puede formular o en funci´ on del ´angulo θ o en funci´ on de las coordenadas cartesianas x y y. Si se utilizan las coordenadas x y y para describir el movimiento, debe reconocerse que estas coordenadas no son independientes. Est´ an 2 2 2 relacionadas entre s´ı mediante la relaci´ on x + y = l , donde l es la longitud constante del p´endulo. Por lo tanto cualquier coordenada puede describir el movimiento del p´endulo. En este caso vemos que la selecci´on de u como coordenada independiente ser´ a m´as conveniente que la selecci´on de x o de y. Para la corredera que se muestra en la figura 1.5(a) puede usarse tanto la coordenada angular u como la coordenada x para describir el movimiento. En la figura 1.5(b) se puede usar la coordenada lineal x para especificar el movimiento. Para el sistema torsional (barra larga con un pesado disco en el extremo) que se muestra en la figura 1.5(c), se puede utilizar la coordenada u para describir el movimiento. Algunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en la figuras 1.6 y 1.7, respectivamente. La figura 1.6(a) muestra un sistema de dos masas y dos resortes descrito por las dos coordenadas lineales x1 y x2 . La figura 1.6(b) indica un sistema de dos rotores cuyo movimiento puede especificarse en funci´on de θ1 y θ2 . El movimiento del sistema que se muestra en la figura 1.6(c) puede describirse por completo con X o θ, o con x, y y X . En el segundo caso, x y y est´an restringidas como x2 + y 2 = l 2 donde l es una constante. Para los sistemas que se muestran en las figuras 1.7(a) y 1.7(c), se pueden utilizar las coordenadas xi (i = 1, 2, 3) y θi (i = 1, 2, 3), respectivamente, para describir el movimiento. En el caso del sistema que se muestra en la figura 1.7(b), θ i (i = 1, 2, 3) especifica las posiciones de las masas mi (i = 1, 2, 3). Un m´etodo alterno de describir este sistema es en funci´ on de xi y yi (i = 1, 2, 3); pero en este caso se tienen que considerar las restricciones 2 2 2 xi + yi = l i (i = 1, 2, 3). Las coordenadas necesarias para describir el movimiento de un sistema ´ constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. Estas se suelen indicar como q 1 , q 2 ,... y pueden representarse como coordenadas cartesianas y/o no cartesianas.
6
Figura 1.5: Sistema de un grado de libertad.
Figura 1.6: Sistema de dos grados de libertad.
7
Figura 1.7: Sistema de tres grados de libertad.
1.4.4.
Sistemas discretos y continuos
Por medio de una cantidad finita de grados de libertad se puede describir un buen n´ umero de sistemas pr´acticos, como los sistemas simples que se muestran en las figuras 1.4 a la 1.7. Algunos sistemas, sobre todo los que implican miembros el´asticos continuos, tienen una infinitud de grados de libertad. Un ejemplo simple, consideremos la viga en voladizo de la figura 1.8. Como la viga tiene una infinitud de puntos de masa, necesitamos una infinitud de coordenadas para especificar su configuraci´ on de deflexi´ o n. La infinitud de coordenadas define la curva de deflexi´ on. As´ı entonces, la viga en voladizo tiene una infinitud de grados de libertad. La mayor´ıa de los sistemas de estructuras y m´ aquinas tienen miembros deformables (el´ asticos) y por consiguiente tienen una infinitud de grados de libertad. Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas discretos o de par´ ametro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de libertad se conocen como sistemas continuos o distribuidos.
Figura 1.8: Viga en voladizo (sistema de una infinitud de grados de libertad).
8
La mayor´ıa de los sistemas pr´ acticos se estudian trat´ andolos como masas concentradas finitas, resortes y amortiguadores. Por lo com´ un se obtienen resultados m´ as precisos aumentando la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir, aumentando la cantidad de grados de libertad.
1.5.
Clasificaci´ on de la vibraci´ on
La vibraci´on se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son las siguientes.
1.5.1.
Vibraci´ on libre y forzada
Vibraci´on libre. Si se deja que un sistema vibre por s´ı mismo despu´es de una perturbaci´ on inicial, la vibraci´on resultante se conoce como vibraci´ on libre. Ninguna fuerza externa act´ ua en el sistema. La oscilaci´on de un p´endulo simple es un ejemplo de vibraci´ on libre. Vibraci´on forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la vibraci´on resultante se conoce como vibraci´ on forzada. La oscilaci´ on que aparece en m´ aquinas como motores di´esel es un ejemplo de vibraci´ on forzada. Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condici´ on conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avi´on se han asociado a la ocurrencia de resonancia.
1.5.2.
Vibraci´ on no amortiguada y amortiguada
Si no se pierde o disipa energ´ıa por fricci´ on u otra resistencia durante la oscilaci´on, la vibraci´on se conoce como vibraci´ on no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energ´ıa se llama vibraci´on amortiguada. La consideraci´ on del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios pr´oximos a la resonancia.
1.5.3.
Vibraci´ on lineal y no lineal
Si todos los componentes b´ asicos de un sistema vibratorio; resorte, masa y amortiguador, se comportan linealmente, la vibraci´ on resultante se conoce como vibraci´ o n lineal. Pero si cualquiera de los componentes b´ asicos se comporta de manera no lineal, la vibraci´on se conoce como vibraci´on no lineal.
1.5.4.
Vibraciones determin´ıstica y aleatoria
Si el valor o magnitud de la excitaci´on (fuerza o movimiento) que act´ ua en un sistema vibratorio se conoce en cualquier tiempo dado, la excitaci´ on se llama determin´ıstica. La vibraci´ on resultante se conoce como vibraci´ on determin´ıstica. Si la excitaci´on es aleatoria, la vibraci´on resultante se llama vibraci´on aleatoria. En este caso la respuesta vibratoria del sistema tambi´en es aleatoria; se puede describir s´ olo en funci´on de cantidades estad´ısticas. La figura 1.9 muestra ejemplos de excitaciones determin´ısticas y aleatorias.
9
Figura 1.9: Viga en voladizo (Excitaciones determin´ıstica y aleatoria.
1.6.
Procedimiento del an´ alisis de la vibraci´ on
Un sistema vibratorio es din´amico si variables como las excitaciones (entradas) y respuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratorio suele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones externas. Se puede determinar el comportamiento total del sistema por medio de un modelo simple del sistema f´ısico complejo. Por lo que el an´alisis de un sistema vibratorio suele implicar el modelado matem´ atico, la derivaci´on de las ecuaciones rectoras, la soluci´ on de las ecuaciones y la interpretaci´ on de los resultados. atico. El prop´ osito del modelado matem´atico es representar toPaso 1: Modelado matem´ dos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar las ecuaciones matem´aticas (o anal´ıticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matem´ atico puede ser lineal o no lineal, seg´ un el comportamiento de los componentes del sistema. Los modelos lineales permiten soluciones r´ apidas y son sencillos de manejar, sin embargo, los modelos no lineales a veces revelan ciertas caracter´ısticas del sistema que no pueden ser pronosticadas siguiendo modelos lineales. atico est´ a Paso 2: Derivaci´on de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matem´ disponible, utilizamos el principio de din´ amica y obtenemos las ecuaciones que describen la vibraci´on del sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de una forma adecuada trazando los diagramas de cuerpo libre de todas las masas que intervienen. El diagrama de cuerpo libre de una masa se obtiene aisl´ andola e indicando todas las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas reactivas y las fuerzas de inercia. Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen ser un conjunto de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones diferenciales parciales para un sistema continuo. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales seg´ un el comportamiento de los componentes del sistema.
Paso 3: Soluci´on de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben resolverse para hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes t´ecnicas para determinar la soluci´ on: m´etodos est´ andar de soluci´on de ecuaciones diferenciales, m´etodos de transformada de Laplace, m´etodos matriciales1 y m´etodos num´ ericos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden resolverse en forma cerrada. on de los resultados. La soluci´on de las ecuaciones rectoras proporciona Paso 4: Interpretaci´ los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas masas del sistema. 10
1.7.
Elementos del resorte
Un resorte es un tipo de eslab´on mec´ anico, el cual en la mayor´ıa de las aplicaciones se supone que tiene masa y amortiguamiento insignificantes. El tipo de resorte m´ a s com´ u n es el resorte helicoidal utilizado en lapiceros, engrapadoras, suspensiones de camiones de carga, entre otras cosas. Cualquier cuerpo o miembro deformable, cable, barra, viga, flecha o placa, puede considerarse como un resorte. Un resorte se suele representar como se muestra en la figura 1.10(a). La longitud del resorte se indica con la letra l, en la figura 1.10(b) el resorte experimenta un alargamiento x debido a una fuerza de tensi´ on F , en la figura 1.10(c) el resorte experimenta una reducci´ on en la longitud x debido a una fuerza de compresi´ on F . Se dice que un resorte es lineal si el alargamiento o acortamiento de longitud x est´a relacionado con la fuerza aplicada como: F = kx
(1.1)
donde k es una constante, conocida como la constante de resorte, rigidez de resorte o tasa de resorte. La constante de resorte k siempre es positiva e indica la fuerza (positiva o negativa) requerida para producir una deflexi´ on unitaria (alargamiento o reducci´ on de la longitud) en el resorte. Cuando el resorte se alarga (o comprime) con una fuerza de tensi´ on (o compresi´ on), de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton, se desarrolla una fuerza de restauraci´ on de magnitud −F (o + F ) opuesta a la fuerza aplicada. Esta fuerza de restauraci´ o n trata de regresar el resorte alargado (o comprimido) a su longitud original no alargada o libre como se muestra en la figura 1.10(b) (o 1.10(c)). El trabajo realizado (U ) al deformar un resorte se almacena como deformaci´ on o energ´ıa potencial en el resorte, y est´ a dado por: 1 U = kx2 2
Figura 1.10: Deformaci´on de un resorte. 11
(1.2)
1.7.1.
Resortes no lineales
La mayor´ıa de los resortes que se utilizan en sistemas pr´ acticos presentan una relaci´ on fuerza-deflexi´on no lineal, en particular cuando las deflexiones son grandes. En el an´alisis de vibraci´on, com´ unmente se utilizan resortes no lineales cuyas relaciones de fuerza-deflexi´ on est´ an dadas por: F = ax + bx3 ,
a>0
(1.3)
En la ecuaci´ on (1.3), a indica la constante asociada con la parte lineal y b indica la constante asociada con la de no linealidad (c´ ubica). Se dice que el resorte es duro si b > 0, lineal si b = 0, y suave si b < 0. En la figura 1.11 se muestran las relaciones de fuerza-deflexi´ on correspondientes a varios valores de b.
Figura 1.11: Resortes no lineales y lineales. Algunos sistemas, con dos o m´as resortes, pueden presentar una relaci´ on fuerza-desplazamiento no lineal aunque los resortes individuales sean lineales. Algunos ejemplos de dichos sistemas se muestran en las figuras 1.12 y 1.13.
12
Figura 1.12: Relaci´on fuerza-desplazamiento de un resorte no lineal.
Figura 1.13: Relaci´on fuerza-desplazamiento de un resorte no lineal.
1.7.2.
Linealizaci´ on de un resorte no lineal
Los resortes reales son no lineales y obedecen la ecuaci´ o n (1.1) s´ olo hasta determinada deformaci´on. En muchas aplicaciones pr´ acticas suponemos que las deflexiones son peque˜ nas y utilizamos la relaci´on lineal de la ecuaci´ on (1.1). Inclusive, si la relaci´on de fuerza-deflexi´ o n de un resorte es no lineal, como se muestra en la figura 1.14, se aproxima como lineal por medio de un m´etodo de linealizaci´on. Para ilustrar el proceso de linealizaci´ on, sea F la carga est´ atica que act´ ua en el resorte y que provoca una deflexi´on de x . Si se agrega una fuerza incremental ∆F a F , el resorte se deforma en una cantidad adicional ∆x. La nueva fuerza de resorte F + ∆F se expresa mediante la expansi´ on de la serie de Taylor con respecto a la posici´ on de equilibrio est´atico x como: ∗
∗
13
dF F + ∆F = F (x + ∆x) = F (x ) + dx ∗
∗
x
∗
1 d2 F (∆x) + 2! dx2
(∆x)2 + ...
(1.4)
x
∗
Figura 1.14: Proceso de linealizaci´ on. Para valores peque˜ n os de ∆x, las derivadas de mayor orden se ignoran para obtener: dF F + ∆F = F (x ) + dx ∗
(∆x)
(1.5)
x
∗
Dado que F = F (x ), podemos expresar ∆F como: ∗
∆F = k∆x
(1.6)
donde k es la constante de resorte linealizado en x dada por: ∗
dF k = dx
1.7.3.
(1.7)
x
∗
Constante de resorte de elementos el´ asticos
Cualquier miembro (o elemento) el´astico o deformable puede considerarse como un resorte. Las constantes de resortes equivalentes de miembros el´ asticos simples como varillas, vigas y flechas huecas se encuentran en las figuras 1.15, 1.16 y 1.17.
14
Figura 1.15: Masas equivalentes.
Figura 1.16: Resortes equivalentes.
15
Figura 1.17: Amortiguadores viscosos equivalentes.
1.7.4.
Combinaci´ on de resortes
En algunas aplicaciones pr´ acticas se utilizan combinaciones de resortes lineales. Estos resortes pueden combinarse en un resorte equivalente como se indica a continuaci´ on:
Caso 1: Resortes en paralelo. La constante equivalente de los resortes conectados en paralelo, es considerada a partir de dos resortes figura 1.18(a). Cuando se aplica una carga W , el sistema experimenta una deflexi´ on est´ atica δ st como se muestra en la figura 1.18(b). Entonces el diagrama de cuerpo libre, mostrado en la figura 1.18(c), proporciona la ecuaci´ on de equilibrio como: W = k 1 δ st + k2 δ st
(1.8)
Figura 1.18: Resortes en paralelo. Si keq indica la constante de resorte equivalente de la combinaci´ o n de los dos resortes, entonces para la misma deflexi´on est´ atica δ dst, tenemos: 16
W = k eq δ st
(1.9)
(1.10)
Las ecuaciones (1.8) y (1.9) producen: keq = k 1 + k2
Por lo com´ un, si tenemos n resortes en paralelo con constantes k1, k2 ,...,kn, entonces la constante de resorte equivalente keq se obtiene como: keq = k 1 + k2 + . . . + kn
(1.11)
Caso 2: Resortes en serie. La constante equivalente de resortes conectados en serie, se consideran a partir de los dos resortes mostrados en la figura 1.19(a). Bajo la acci´ o n de una carga W , los resortes 1 y 2 experimentan alargamientos δ 1 y δ 2 , respectivamente, como se muestra en la figura 1.19(b). El alargamiento total (o deflexi´ on est´ atica) del sistema, δ st , es: δ st = δ 1 + δ 2
(1.12)
Como ambos resortes est´ an sometidos a la misma fuerza W , tenemos el equilibrio que se muestra en la figura 1.19(c): W = k 1 δ 1 W = k 2 δ 2
(1.13)
Si keq indica la constante de resorte equivalente, entonces para la misma deflexi´on est´ atica: W = k eq δ st
(1.14)
Figura 1.19: Resortes en serie. Las ecuaciones (1.13) y (1.14) dan por resultado: δ 1 =
keq δ st k1
y 17
δ 2 =
keq δ st k2
(1.15)
Sustituyendo estos valores de δ 1 y δ 2 en la ecuaci´on (1.12), obtenemos: 1 1 1 = + keq k1 k2
(1.16)
La ecuaci´ on (1.16) se puede generalizar al caso de n resortes en serie: 1 1 1 1 = + + . . . + keq k1 k2 kn
1.7.5.
(1.17)
Constante de resorte asociada con la fuerza de restauraci´ on producida por la gravedad
En algunas aplicaciones se desarrolla una fuerza o momento de restauraci´on producido por la gravedad cuando una masa experimenta un desplazamiento. En esos casos se puede asociar una constante de resorte equivalente con la fuerza o momento de restauraci´ on de la gravedad. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.
Ejemplo: Constante del resorte asociada con una fuerza de restauraci´ on producida por la gravedad La figura 1.20 muestra un p´endulo simple de longitud l con una masa m. Considerando un desplazamiento angular θ, determine la constante de resorte asociada con la fuerza (o momento) de restauraci´ on [3].
Soluci´ on: Cuando el p´endulo se somete a un desplazamiento angular θ, la masa m se mueve a una distancia l sin θ a lo largo de la direcci´on horizontal (x). El momento o par de restauraci´ on (T ) creado por el peso de la masa (mg) con respecto al pivote O, est´a dado por: T = ml(l sin θ)
(1.18)
Para desplazamientos angulares peque˜ nos θ, sin θ se puede aproximar como sin θ ≈ θ y la ecuaci´on (1.18) se escribe como: T = mglθ
(1.19)
Si expresamos la ecuaci´ on (1.19) como: T = k t θ
(1.20)
La constante torsional equivalente del resorte k t se puede definir como: kt = mgl
18
(1.21)
Figura 1.20: Pendulo simple.
1.8.
Elementos de masa o inercia
el elemento de masa o inercia es un cuerpo r´ıgido que puede ganar o perder energ´ıa cin´etica siempre que cambie su velocidad. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, el producto de la masa y su aceleraci´ on son iguales a la fuerza aplicada a la masa. El trabajo es igual a la fuerza multiplicada por el desplazamiento en la direcci´ o n de la fuerza, y el trabajo realizado en una masa se almacena como energ´ıa cin´etica. En la mayor´ıa de los casos se tiene que utilizar un modelo matem´ atico para representar el sistema vibratorio real, y a menudo hay varios modelos posibles. El prop´osito del an´alisis suele determinar cu´ al modelo matem´atico es el adecuado. Una vez seleccionado el modelo, los elementos de masa o inercia del sistema son f´ aciles de identificar [4].
1.8.1.
Combinaci´ on de masas
La combinaci´ on de varias masas pueden ser remplazadas por una sola masa equivalente, como se indica a continuaci´on. Caso 1. Masas traslacionales conectadas por una barra r´ıgida. Consideremos las masas fijas en una barra r´ıgida pivotada en un extremo, como se muestra en la figura 1.21(a). Se puede suponer que la masa equivalente est´ a localizada en cualquier punto a lo largo de la barra. Para ser espec´ıficos, supongamos que la ubicaci´ on de la masa equivalente es la de la masa m1 . Las velocidades de las masas m2 (x˙2 ) y m3 (x˙3 ) se pueden expresar en funci´ on de la velocidad de la masa m1(x˙1 , suponiendo peque˜ nos desplazamientos angulares de la barra, como: x˙ 2 =
l2 x˙ 1 , l1
x˙ 3 =
19
l3 x˙ 1 l1
(1.22)
y x˙ eq = x˙ 1
(1.23)
Igualando la energ´ıa cin´etica del sistema de tres masas con la del sistema de masa equivalente obtenemos: 1 1 1 1 m1 ˙x21 + m2 ˙x22 + m3 ˙x23 = meq ˙x2eq 2 2 2 2
(1.24)
Figura 1.21: Masa traslacionales conectadas por una barra r´ıgida. Considerando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se tiene: meq = m 1 +
l 2
2
l 3
2
m2 + m3 (1.25) l1 l1 La masa equivalente de un sistema compuesto de varias masas puede considerarse como una masa imaginaria, que al moverse a una velocidad espec´ıfica v, tendr´a la misma energ´ıa cin´etica que la del sistema. no´n Caso 2: Masas traslacionales y rotacionales acopladas. El sistema cremallera-pi˜ de la figura 1.22, es una masa m que rota a una velocidad x˙ acoplada a otra masa (con un momento J 0 ) que rota a una velocidad θ. Estas dos masas se pueden combinar para obtener una masa traslacional equivalente meq , o una masa rotacional equivalente J eq , como se muestra a continuaci´ on. 1. Masa traslacional equivalente. La energ´ıa cin´etica de las dos masas est´ a dada por: 1 1 T = mx˙ 2 + J 0 ˙θ2 2 2
(1.26)
y la energ´ıa cin´etica de la masa equivalente se expresa como: 1 T eq = meq ˙x2eq 2
(1.27)
(1.28)
˙ x/R, Dado que xe˙ q = x˙ y θ = ˙ la equivalencia de T y T e q da: meq = m + 20
J 0 R2
˙ = θ˙ y x = ˙ 2. Masa rotacional equivalente. En este caso θeq ˙ θR y la equivalencia de T y T eq conduce a: J eq = J 0 + mR2
(1.29)
Figura 1.22: Masa traslacionales y rotacionales en un sistema de cremallera y pi˜ n´on.
1.9.
Elementos de amortiguamiento
En muchos sistemas pr´acticos, la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducci´ on de energ´ıa, el desplazamiento del sistema se reduce gradualmente. El mecanismo mediante el cual la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido se conoce como amortiguador. Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad, y que la fuerza de amortiguamiento existe s´ olo si hay una velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador. Es dif´ıcil determinar las causas del amortiguamiento en sistemas pr´ acticos. Por consiguiente se clasifican como:
Amortiguamiento viscoso. El amortiguamiento viscoso es el mecanismo de amortiguamiento de mayor uso en el an´alisis de vibraci´on. Cuando un sistema mec´ anico vibra en un fluido como aire, gas, agua o aceite, la resistencia ofrecida por el fluido en el cuerpo en movimiento hace que se disipe la energ´ıa. En este caso, la cantidad de energ´ıa disipada depende de muchos factores, como el tama˜ no y forma del cuerpo vibratorio, la viscosidad del fluido, la frecuencia de vibraci´on e incluso la velocidad del cuerpo vibratorio. En el amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad del cuerpo vibratorio. Entre los ejemplos t´ıpicos de amortiguamiento viscoso est´ an: La capa de fluido entre una superficie deslizante; el flujo de liquido de un pist´ on en un cilindro; el flujo de liquido a trav´es de un orificio y la capa de fluido alrededor de un rodamiento. Amortiguamiento de Coulomb o de fricci´ on en seco. Aqu´ı la fuerza de amortiguamiento es de magnitud constante pero de direcci´ on opuesta a la del movimiento del cuerpo vibratorio. Es resultado de la fricci´on entre superficies que al frotarse est´ an secas o no tienen una lubricaci´ on suficiente. Amortiguamiento debido a un material, s´ olido o por hist´ eresis. Cuando un material se deforma, absorbe o disipa energ´ıa. El efecto se debe a la fricci´ on entre los planos internos, los cuales se resbalan o deslizan a medida que ocurren las deformaciones. Un cuerpo que experimenta amortiguamiento por un material se somete a vibraci´ on, el diagrama de 21
esfuerzo-deformaci´on muestra un ciclo de hist´eresis como se indica en la figura 1.23(a). El a´rea de este lazo indica la p´erdida de energ´ıa por unidad de volumen del cuerpo por ciclo debido al amortiguamiento.
Figura 1.23: Ciclo de hist´eresis para materiales el´ asticos.
1.9.1.
Construcci´ on de amortiguadores viscosos
Los amortiguadores viscosos pueden ser construidos de diferentes formas. Por ejemplo, cuando una placa se mueve con respecto a otra placa paralela con un fluido viscoso entre ellas, otro ejemplo seria la capa de lubricante en un cojinete y el fluido de un amortiguador pist´ on-cilindro.
1.9.2.
Linealizaci´ on de un amortiguador no lineal
Si la relaci´on fuerza-velocidad de un amortiguador es no lineal: F = F (v)
(1.30)
se puede utilizar un proceso de linealizaci´on alrededor de la velocidad de operaci´ on (v ) como en el caso de un resorte no lineal. El proceso de linealizaci´on proporciona la constante de amortiguamiento: ∗
dF c = dv
1.9.3.
v
(1.31) ∗
Combinaci´ on de amortiguadores
En algunos sistemas din´amicos son utilizados varios amortiguadores entre si. Cuando los amortiguadores aparecen combinados, podemos utilizar procedimientos semejantes a los que utilizamos para determinar la constante de resorte equivalente de varios resortes con el ob jetivo de determinar un amortiguador u´nico equivalente. Por ejemplo, cuando dos amortiguadores traslacionales, con constantes de amortiguamiento c1 y c2 aparecen combinados, la constante de amortiguamiento equivalente (ceq ) se puede hallar como: Amortiguadores en paralelo : c eq = c 1 + c2 22
(1.32)
Amortiguadores en serie :
1.10.
1 1 1 = + ceq c1 c2
(1.33)
Movimiento arm´ onico
El movimiento oscilatorio puede repetirse con regularidad, como en el caso de un p´endulo simple, o en el caso del movimiento de la tierra en un sismo [5]. Si el movimiento se repite despu´es de intervalos de tiempo iguales, se llama movimiento peri´ o dico. El tipo m´as simple de movimiento peri´odico es el movimiento arm´ onico. Se puede ver un ejemplo de movimiento arm´onico simple en la figura 1.24. En este sistema, una manivela de radio A gira alrededor del punto O. El otro extremo de la manivela, P , se desliza en una barra ranurada, la cual se mueve con un movimiento de vaiv´ en en la gu´ıa vertical R. Cuando la manivela gira a una velocidad angular ω, el extremo S del eslab´on ranurado y por consiguiente la masa m del sistema de resorte y masa, se desplazan una distancia x (en el tiempo t), la descripci´on anterior esta dada por la siguiente ecuaci´ on: x = A sin θ = A sin ωt
(1.34)
Este movimiento se muestra por medio de la curva senoidal en la figura 1.24. La velocidad de la masa m en el instante t la da: dx = ωA cos ωt dt
(1.35)
y la aceleraci´on esta dada por: d2 x = −ω 2A sin ωt = 2 dt
−ω2x
Figura 1.24: Mecanismo yugo escoc´es.
23
(1.36)
1.10.1.
Representaci´ on vectorial del movimiento arm´ onico
El movimiento arm´onico se puede representar de una manera m´ as pr´actica por medio de un vector OP de magnitud A que gira a una velocidad angular constante ω. En la figura 1.25, la = OP sobre proyecci´ on de la punta del vector X el eje vertical est´a dada por: y = A sin ωt
(1.37)
Figura 1.25: Movimiento arm´ onico de la proyecci´ on del extremo de un vector rotatorio. y su proyecci´on sobre el eje horizontal por: x = A cos ωt
1.10.2.
(1.38)
Representaci´ o n por medio de n´ umeros complejos del movimiento arm´ onico
El m´etodo vectorial de representar el movimiento arm´ onico requiere la descripci´ o n de los componentes horizontales y de los verticales. Es m´ as pr´actico representar el movimiento arm´ oni en el plano xy se puede representar co por medio de n´ umeros complejos. Cualquier vector X : como un n´ umero complejo: = a + ib X
(1.39)
√
, respectivamente (vea la figura donde i = −1, a y b indican los componentes x y y de X . 1.26). Los componentes a y b tambi´en se conocen como partes real e imaginaria del vector X , y θ representa el argumento o a´ngulo entre Si A indica el m´odulo o valor absoluto del vector X tambi´en puede expresarse como: el vector y el eje x, entonces X : = A cos θ + iA sin θ = Ae iθ X
24
(1.40)
Figura 1.26: Representaci´ o n de un n´ umero complejo.
1.10.3.
´ Algebra compleja
Los n´ umeros complejos se representan sin utilizar alguna notaci´ on vectorial como: z = a + ib
(1.41)
donde a y b simbolizan las partes real e imaginaria de z . La suma, resta, multiplicaci´on y divisi´o n de n´ umeros complejos se realizan siguiendo las reglas usuales del a´lgebra. Sean: z 1 = a 1 + ib1 = A 1 eiθ
(1.42)
z 2 = a 2 + ib2 = A 2 eiθ
(1.43)
1
2
donde
A = a + b ; 2 j
j
y
θ j = tan
1
−
2 j
b j
a j
j = 1, 2
;
j = 1, 2
(1.44)
(1.45)
La suma y diferencia de z 1 y z 2 se pueden encontrar como: z 1 + z 2 = A 1 eiθ + A2 eiθ = (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 )
(1.46)
z 1 − z 2 = A 1 eiθ
(1.47)
1
1
1.10.4.
2
− A2eiθ
2
= (a1 + ib1 ) − (a2 + ib2) = (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 )
Operaciones con funciones arm´ onicas
Utilizando la representaci´ o n de n´ umero complejo, el vector rotatorio X de la figura 1.25 se escribe como: = Ae iωt X
25
(1.48)
donde ω indica la frecuencia circular (rad/s) de rotaci´ on del vector X en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La diferenciaci´ on del movimiento arm´onico dado por la ecuaci´ on (1.48) con respecto al tiempo resulta: d X d = Aeiωt = iωAeiωt = iω X dt dt
d X d = iωAe = −ω Ae 2
iωt
2
iωt
(1.49)
= ω 2 X
dt Por lo tanto, el desplazamiento, la velocidad y la aceleraci´ on se expresan como: dt2
desplazamiento = Re [Aeiωt ] = A cos ωt velocidad = Re [iωAeiωt ]
= −ωA sin ωt = ωA cos(ωt + 90 )
aceleraci´ on = Re [−ω2 Aeiωt ]
(1.51)
◦
= −ω 2 A cos ωt = ω 2 A cos(ωt + 180 )
(1.52)
◦
(1.50)
(1.53)
donde Re indica la parte real. Estas cantidades se muestran como vectores rotatorios en la figura 1.27. Se ve que el vector de aceleraci´ on se adelanta 90 al vector de velocidad, y que ´este se adelanta 90 al vector de desplazamiento. Las funciones arm´ onicas se pueden sumar vectorialmente, como se muestra en la figura 1 = A 1 cos ωt y Re X 2 = A 2 cos (ωt + θ), entonces la magnitud del vector X 1.28. Si Re X resultante es: ◦
◦
A = y el ´angulo α es:
(A1 + A2 cos θ)2 + (A2 sin θ)2
α = tan
1
−
A2 sin θ A1 + A2 cos θ
(1.54)
Figura 1.27: Desplazamiento, velocidad y aceleraciones como vectores rotatorios.
26
(1.55)
Figura 1.28: Suma vectorial de funciones arm´ onicas. 1 + X 2 se expresa Como las funciones originales se dan como componentes reales, la suma X = A cos(ωt + α). como Re X
1.10.5.
Definiciones y terminolog´ıa
Las siguientes definiciones y terminolog´ıa son utiles ´ cuando tratamos con movimientos arm´onicos y otras funciones peri´ odicas.
Ciclo. Al movimiento de un cuerpo vibratorio desde su posici´on de equilibrio hasta su posici´on en una direcci´ on, ida y vuelta hasta su posici´on de equilibrio original, se le llama ciclo de vibraci´ on . o n de Amplitud. Al desplazamiento m´aximo de un cuerpo vibratorio a partir de su posici´ equilibrio se le llama amplitud .
Periodo de oscilaci´ on. El tiempo requerido para completar un ciclo de movimiento se conoce como periodo de oscilaci´ a simbolizado por τ . Es igual on o periodo de tiempo y est´ al tiempo requerido para que el vector OP de la figura 1.25 gire en un a´ngulo de 2φ y por consiguiente: τ =
2π ω
(1.56)
donde ω se llama frecuencia circular.
Frecuencia de oscilaci´ on. La cantidad de ciclos por unidad de tiempo se llama frecuencia a indicada por f . Por lo tanto: de oscilaci´ on o simplemente frecuencia y est´ 1 ω = (1.57) τ 2π Aqu´ı a ω se le llama frecuencia circular para distinguirla de la frecuencia lineal f = ω/2φ. La variable ω simboliza la velocidad angular del movimiento c´ıclico; f se mide en ciclos por segundo (hertz) en tanto que v se mide en radianes por segundo. f =
´ Angulo de fase. Consideremos dos movimientos vibratorios indicados por φ:
27
x1 = A 1 sin ωt
(1.58)
x2 = A 2 sin (ωt + φ)
(1.59)
Los dos movimientos arm´onicos dados por las ecuaciones (1.58) y (1.59) se llaman sincr´ onicos porque tienen la misma frecuencia o velocidad angular, ω. No es necesario que dos oscilaciones sincr´onicas tengan la misma amplitud, ni que alcancen sus valores m´aximos al mismo tiempo. Los movimientos dados por las ecuaciones (1.58) y (1.59) se representan gr´ aficamente como se muestra en la figura 1.29.
Figura 1.29: Diferencia de fase entre dos vectores.
Frecuencia natural. Si se deja que un sistema vibre por s´ı mismo despu´es de una perturbaci´on inicial, la frecuencia con la cual oscila sin la acci´on de fuerzas externas se conoce como frecuencia natural . onicos con frecuencias pr´ oximas entre Pulsaciones. Cuando se suman dos movimientos arm´ s´ı, el movimiento resultante muestra un fen´ omeno conocido como pulsaciones. Por ejemplo, si x1(t) = X cos ωt
(1.60)
x2(t) = X cos (ω + δ ) t (1.61) Octava. Cuando el valor m´aximo de un rango de frecuencia es dos veces su valor m´ınimo, se conoce como banda de octava. Por ejemplo, cada uno de los rangos 75-150 Hz, 150-300 Hz y 300-600 Hz pueden llamarse banda de octava. En cada caso se dice que los valores m´aximo y m´ınimo de frecuencia, los cuales tienen una relaci´ on de 2:1, difieren por una octava . o n y el sonido Decibel. Las diversas cantidades encontradas en el campo de la vibraci´ (desplazamiento, velocidad, aceleraci´ on, presi´on y potencia) suelen representarse utilizando la notaci´o n de decibel . Un decibel (dB) se define originalmente como una relaci´on de potencias el´ectricas: dB = 10 log
P
(1.62) P 0 donde P 0 es alg´ un valor de potencia de referencia. Dado que la potencia el´ectrica es proporcional al cuadrado del voltaje (X ), el decibel tambi´ en se expresa como: dB = 10 log
X
2
= 20 log X 0 donde X 0 es un voltaje de referencia especificado. 28
X X 0
(1.63)
1.11.
An´ alisis arm´ onico
Aunque el movimiento arm´ onico es m´as simple de manejar, el movimiento de muchos sistemas vibratorios es no arm´ onico. Sin embargo, en muchos casos las vibraciones son peri´ odicas. Cualquier funci´on de tiempo peri´odica puede ser representada por la serie de Fourier como una suma infinita de t´erminos seno y coseno [6].
1.11.1.
Expansi´ on de la serie de Fourier
Si x(t) es una funci´on peri´odica con periodo τ , su representaci´ on como serie de Fourier est´ a dada por: ∞
ao ao x(t) = +a1 cos ωt+a2 cos2ωt+...+b1 senωt+b2 sin 2ωt+... = + (an cos nωt + bn sin nωt) 2 2 n=1 (1.64)
donde ω = 2φ/τ es la frecuencia fundamental y a0 , a1 , a2 ,...,b1 , b2,... son coeficientes constantes. Para determinar los coeficientes an y b n, multiplicamos la ecuaci´on (1.64) por cos nvt y sin nvt, respectivamente, e integramos a lo largo de un periodo τ = 2φ/ω, por ejemplo, de 0 a 2φ/ω. Entonces notamos que todos los t´erminos excepto uno en el lado derecho de la ecuaci´ on ser´an cero, y obtenemos: ω ao = π
2π/τ
2 x (t) dt = τ
τ
x (t) dt ω 2 a = x (t)cos nωtdt = x (t)cos nωtdt π τ ω 2 0
(1.65)
0
2π/τ
τ
n
0
(1.66)
0
2π/τ
τ
bn =
x (t)sin nωtdt = x (t)sin nωtdt (1.67) π 0 τ 0 La interpretaci´ on f´ısica de la ecuaci´ on (1.64) es que cualquier funci´ on peri´odica puede representarse como una suma de funciones arm´ onicas. Aunque la serie en la ecuaci´on (Eq64) es una suma infinita, podemos aproximar la mayor´ıa de las funciones peri´ odicas con la ayuda de s´ olo algunas funciones arm´ onicas. Por ejemplo, la onda triangular de la figura 1.30(a) se representa a detalle con s´ olo agregar tres funciones arm´ onicas, como se muestra en la figura 1.30(b).
Figura 1.30: Funci´on peri´odica. 29
on peri´odica se representa con una serie de Fourier Fen´ omeno de Gibbs. Cuando una funci´ se observa un comportamiento an´ omalo. Por ejemplo, la figura 1.31 muestra una onda triangular y su representaci´ on de serie de Fourier con un n´ umero diferente de t´erminos. Al aumentar los t´erminos (n) se ve que la aproximaci´ on mejora en otras partes excepto cerca de la discontinuidad (punto P en la figura 1.31). Aqu´ı la desviaci´ on con respecto a la forma de onda verdadera se reduce pero sin que su amplitud sea m´as peque˜ na. Se ha observado que el error en la amplitud permanece a aproximadamente 9 por ciento aun cuando k → ∞. Este comportamiento se conoce como fen´ omeno de Gibbs.
Figura 1.31: Fen´ omeno de Gibbs.
1.11.2.
Serie de Fourier compleja
La serie de Fourier tambi´en puede expresarse en funci´ on de n´ umeros complejos, como las siguientes ecuaciones: eiωt = cos ωt + i sin ωt
(1.68)
(1.69)
y e
iωt
−
= cos ωt − i sin ωt
cos ωt y sin ωt se expresan como: eiωt + e cos ωt = 2
iωt
−
(1.70)
(1.71)
y eiωt − e sin ωt = 2i Por lo tanto, la ecuaci´on (1.64) se escribe como:
iωt
−
∞
x(t) = + a + b = e e + − + − + e ao 2
i(0)ωt
ao 2
−iωt
n
n=1 ibo 2
eiωt +e 2
−iωt
n
eiωt −e 2i
∞
inωt
n=1
an 2
30
ibn 2
inωt
−
an 2
ibn 2
(1.72)
donde b0 = 0. Si definimos los coeficientes de la serie de Fourier compleja cn y c
n como:
−
cn =
an − ibn 2
(1.73)
cn =
an + ibn 2
(1.74)
y
La ecuaci´ on (1.74) se expresa como: ∞
x(t) = c e n
inωt
(1.75)
n=−∞
1.11.3.
Espectro de frecuencia
Las funciones arm´ onicas an cos nωt o bn sin nωt en la ecuaci´on (1.64) se llaman arm´ onicos de orden n de la funci´ on peri´odica x(t). El arm´onico de orden n tiene un periodo τ/n. Estos arm´onicos se trazan como l´ıneas verticales en un diagrama de amplitud (an y bn o dn y φn) contra la frecuencia (nω), llamada espectro de frecuencia o diagrama espectral . La figura 1.32 muestra un espectro de frecuencia t´ıpico [7].
Figura 1.32: Espectro de frecuencia de una funci´ on de tiempo peri´ odica t´ıpica.
1.11.4.
Representaciones en el dominio del tiempo y la frecuencia
La expansi´on de la serie de Fourier permite describir cualquier funci´ on peri´ odica utilizando tanto una representaci´ on en el dominio del tiempo como una representaci´ on en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, una funci´on arm´onica dada por x(t) = Asinωt en el dominio del tiempo (vea la figura 1.33(a)) puede ser representada por la amplitud y la frecuencia v en el dominio de la frecuencia (vea la figura 1.33(b)). Asimismo, una funci´ on peri´odica, como una onda triangular, puede ser representada en el dominio del tiempo, como se muestra en la figura 1.33(c), o en el dominio de la frecuencia, como se indica en la figura 1.33(d). Observemos que las amplitudes dn y los ´angulos de fase φn correspondientes a las frecuencias ωn pueden utilizarse en lugar de las amplitudes a n y b n para la representaci´ on en el dominio de la frecuencia. Utilizar una integral de Fourier permite representar incluso funciones no peri´ odicas o en un dominio del tiempo o un dominio de la frecuencia. La figura 1.33 muestra que la representaci´ on en el dominio de la frecuencia no proporciona las condiciones iniciales. Sin embargo, en muchas aplicaciones pr´acticas a menudo se consideran innecesarias y s´ olo las condiciones de estado estable son de inter´es primordial.
31
Figura 1.33: Representaci´ on de una funci´on en los dominios del tiempo y la frecuencia.
1.11.5.
Funciones par e impar
Una funci´on par satisface la relaci´ on x(−t) = x(t)
(1.76)
En este caso, la expansi´on de la serie de Fourier de x(t) contiene s´ olo t´erminos coseno: ∞
a0 + x(t) = an cos nωt 2 n=1
(1.77)
donde las ecuaciones (1.65) y (1.66) dan a 0 y a n , respectivamente. Una funci´ on impar satisface la relaci´on: x(−t) = −x(t)
(1.78)
En este caso, la expansi´on de la serie de Fourier de x(t) contiene s´ olo t´erminos seno: ∞
b sin nωt x(t) = n
(1.79)
n=1
donde la ecuaci´ o n (1.67) da bn. En algunos casos, una funci´on dada puede considerarse como par o impar dependiendo de la ubicaci´ o n de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, el desplazamiento del eje vertical de (a) a (b) o (c) en la figura 1.34(i) producir´a una funci´ on impar o par. Esto significa que s´ olo tenemos que calcular los coeficientes bn o an . Asimismo, un desplazamiento en el eje del tiempo de (d) a (e) equivale a agregar una constante igual a la
32
cantidad de desplazamiento. En el caso de la figura 1.34(ii), cuando se considera que la funci´ on es funci´on impar, la expansi´on de la serie de Fourier se vuelve: 4A x1 (t) = π
∞
n=1
1 (2n − 1)
sin
2π(2n − 1)t
τ
(1.80)
En cambio, si la funci´on se considera una funci´ on par, como se muestra en la figura 1.34(iii), su expansi´on de la serie de Fourier se vuelve: 4A x2 (t) = π
n+1
∞
(−1) n=1
(2n − 1)
cos
2π(2n − 1)t
τ
(1.81)
Figura 1.34: Funciones par e impar. Como las funciones x1 (t) y x2(t) representan la misma onda, excepto por la ubicaci´ on del origen, existe tambi´ en una relaci´ on entre su expansi´on de la serie de Fourier. Si observamos que: τ x1 (t + ) = x 2(t) 4 de la ecuaci´on (1.80) encontramos que: ∞
x1 (t +
τ ) 4
∞
=
4A π
n=1
=
4A π
n=1
1 sin (2n−1)
1 sin (2n−1)
2π(2n−1)t τ
2π(2n−1)t τ
+
(1.82)
(t +
2π(2n−1) 4
τ ) 4
=
(1.83)
Utilizando la relaci´on sin A + B = sin A cos B + cos A sin B, la ecuaci´on (1.83) se expresa como:
33
∞
x t + = +cos sin τ 4
1
4A π
n=1
2π(2n−1)t τ
1 sin (2n−1)
2π(2n−1) 4
2π(2n−1)t τ
cos
2π(2n−1) + 4
(1.84)
Como cos2φ2n − 1/4 = 0 para n = 1, 2, 3, ..., y sin2φ2n − 1/4 = (−1)n+1 para n = 1, 2, 3,..., la ecuaci´on (1.84) se reduce a: ∞
τ 4A (−1) = x t + 1
4
π
n=1
n+1
(2n − 1)
cos
2π(2n − 1)t τ
(1.85)
la cual puede identificarse como la ecuaci´ on (1.81).
1.11.6.
Expanciones de medio rango
En algunas aplicaciones pr´ acticas, la funci´on x(t) se define s´olo en el intervalo de 0 a τ como se muestra en la figura 1.35(a). En tal caso no hay condici´on alguna de periodicidad de la funci´on, ya que la funci´on no est´ a definida fuera del intervalo 0 a t. Sin embargo, podemos ampliar arbitrariamente la funci´ on para incluir el intervalo −τ a 0 como se muestra en la figura 1.35(b) o en la figura 1.35(c). La extensi´ on de la funci´on indicada en la figura1.35(b) produce una funci´ on impar x1 (t), mientras que la extensi´ on de la funci´on que se muestra en la figura 1.35(c) produce una funci´ on par, x 2 (t). Por lo tanto, la expansi´on de la serie de Fourier de x 1 (t) produce s´ olo t´erminos seno y la de x 2(t) implica s´olo t´erminos coseno. Estas expansiones de la serie de Fourier de x1 (t) y x2 (t) se conocen como expansiones de medio rango. Cualquiera de estas expansiones de medio rango puede utilizarse para determinar x(t) en el intervalo de 0 a τ .
Figura 1.35: Extensi´on de una funci´ on para expansiones de medio rango.
34
1.11.7.
C´ alculo num´ erico de coeficientes
Para formas muy simples de la funci´on x(t), las integrales de las ecuaciones (1.65) a (1.67) son f´aciles de evaluar. Sin embargo, la integraci´ on se complica si x(t) no tiene una forma simple. En algunas aplicaciones pr´ a cticas, como en el caso de la determinaci´on experimental de la amplitud de vibraci´on mediante un transductor de vibraci´ on, la funci´on x(t) no est´a disponible en la forma de una expresi´ on matem´ atica; u ´ nicamente los valores de x(t) en varios puntos t1 , t2 ,...,tN est´an disponibles, como se muestra en la figura 1.36. En estos casos, los coeficientes an y bn de las ecuaci´ones (1.65) a (1.67) se pueden evaluar por medio de un procedimiento de integraci´ on num´erica como la regla trapezoidal o de Simpson. Supongamos que t1 , t2 ,...,tN son un n´ u mero par de puntos equidistantes a lo largo del periodo τ (N = par) con los valores correspondientes de x(t) dados por x1 = x(t1 ), x2 = x(t2 ),...,xN = x(tN ), respectivamente; entonces la aplicaci´ o n de la regla trapezoidal da por resultado los coeficientes an y bn (al establecer τ = N ∆t) como: 2 a0 = N
N
x
i
(1.86)
i=1
N
2 an = N
x cos 2nπt
2 bn = N
x sin 2nπt
i
i=1
i
(1.87)
i
(1.88)
τ
N
i
i=1
τ
Figura 1.36: Valores de la funci´on peri´odica x(t) en puntos discretos t1 , t2 ,...,tN .
1.12.
Momento de Inercia
1.12.1.
Momentos de inercia de ´ areas
Si las fuerzas elementales involucradas est´ an distribuidas sobre un a´rea A y var´ıan linealmente con la distancia y al eje x, se demostrar´ a que mientras que la magnitud de su resultante 35
R depende del primer momento Q x = ydA del ´area A, la ubicaci´on del punto donde se aplica R depende del segundo momento, o momento de inercia , I x = y2 dA de la misma ´area con respecto al eje x. Por ejemplo, consid´erese una viga de secci´ on transversal uniforme, la cual est´a sometida a dos pares iguales y opuestos que est´an aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en estas condiciones est´ a en flexi´on pura y en la mec´ anica de materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier secci´ on de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes ∆F = ky∆A var´ıan linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de ´area ∆A y un eje que pasa a trav´es del centroide de la secci´ on. Dicho eje, representado por el eje x en la figura 1.37, se conoce como el eje neutro de la secci´ on. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresi´ on, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensi´on; sobre el propio eje neutro las fuerzas son iguales a cero.
Figura 1.37: Secci´ on transversal de una viga. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales ∆F que act´ u an sobre toda la secci´on es: R =
kydA = k
ydA
(1.89)
La u´ltima integral obtenida se conoce como el primer momento Q x de la secci´on con respecto al eje x; ´esta es igual a y¯A y, por tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la secci´on est´a ubicado sobre el eje x. Por consiguiente, el sistema de fuerzas ∆F se reduce a un par. La magnitud M de dicho par (momento flector) debe ser igual a la suma de los momentos ∆M x = y∆F = ky 2 ∆A de las fuerzas elementales. Al integrar sobre toda la secci´on se obtiene: M =
ky 2 dA = k
y2 dA
(1.90)
La u´ltima integral se conoce como el segundo momento, o momento de inercia , de la secci´on de la viga con respecto al eje x y se representa con lx . Este se obtiene con la multiplicaci´ on de cada elemento de a´rea dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integr´ andolo sobre la secci´on de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero (si y es cero), la integral I x siempre ser´ a positiva. 36
Determinaci´ on del momento de inercia de un a ´rea por integraci´ on Se defini´ o el segundo momento o momento de inercia de un a´rea A con respecto al eje x. Definiendo de forma similar el momento de inercia I y del a´rea A con respecto al eje y, se escribe (figura 1.38a): I x =
2
y dA;
I y =
x2 dA
(1.91)
Estas integrales, conocidas como los momentos rectangulares de inercia del ´area A, se pueden evaluar con facilidad si se selecciona a dA como una tira delgada paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular I x , la tira se selecciona paralela al eje x, de manera que todos los puntos de dicha tira est´en a la misma distancia y del eje x (figura 1.38b)- entonces, se obtiene el momento de inercia dI x de la tira multiplicando su a´rea dA por y2 . Para calcular I y , la tira se selecciona paralela al eje y de forma que todos los puntos de dicha tira est´en a la misma distancia x del eje y (figura 1.38c); as´ı, el momento de inercia dI y de la tira es x2dA.
Figura 1.38: Ejemplo (Calculo del momento de inercia)
Momento polar de inercia Una integral muy importante en los problemas relacionados con la torsi´on de flechas cilindricas y en los problemas relacionados con la rotaci´ on de placas es la siguiente: J O =
r 2dA
(1.92)
donde r es la distancia desde O hasta el a´rea elemental dA (figura 1.39). Esta integral es el area A con respecto al “polo” O. momento polar de inercia del ´
37
Figura 1.39: Ejemplo (momento polar). El momento polar de inercia de un a´rea dada puede calcularse a partir de los momentos rectangulares de inercia I x e I y del a´rea, si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, si se observa que r 2 = x 2 + y 2 , se puede escribir: J O =
J O =
2
r dA = J O =
esto es:
1.12.2.
2
r dA = J O =
x + y dA = x dA + y dA
2
2
2
2
x + y dA = x dA + y dA 2
2
2
2
(1.93)
(1.94)
Momento de inercia de una masa
Considere una peque˜ na masa ∆m que est´ a montada sobre una barra de masa insignificante, la cual puede rotar libremente alrededor de un eje AA (figura 1.40a). Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa, las cuales se supone que estaban en reposo, comienzan a girar alrededor de AA . Se desea indicar que el tiempo requerido para que el sistema alcance una velocidad de rotaci´ on dada es proporcional a la masa ∆m y al cuadrado de la distancia r. Por tanto, el producto r 2 ∆m proporciona una medida de la inercia del sistema, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. Por esta raz´ on, 2 el producto r ∆m es llamado el momento de inercia de la masa Ara con respecto al eje AA [8].
Figura 1.40: ejemplos (momento de inercia de la masa). 38
Ahora considere un cuerpo de masa m, el cual se har´a girar alrededor de un eje AA (figura 1.40b). Si se divide el cuerpo en elementos de masa ∆m1 , ∆m2 , etc., se encuentra que la resistencia que ofrece el cuerpo al movimiento de rotaci´ o n se mide por la suma r12 ∆m1 + r22 ∆m2 + . . .. Por tanto, esta suma define el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje AA . Al incrementar el n´umero de elementos se encuentra que, en el l´ımite, el momento de inercia es igual a la integral:
I =
r 2dm
(1.95)
El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en t´erminos de las coordenadas x, y y z del elemento de masa dm (figura 1.41).
Figura 1.41: Momento de inercia de un cuerpo, respecto a un eje coordenado. Los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z , Se escriben: I x = I y = I z =
2
2
2
2
2
2
(y + z ) dm (z + x ) dm (x + y ) dm
1.13.
Teorema de los ejes paralelos
1.13.1.
Teorema de los ejes paralelos en un ´ area
(1.96)
Considere el momento de inercia I de un a´rea A con respecto a un eje AA’ (figura 1.42). Si se representa con y la distancia desde un elemento de a´rea dA hasta AA , se escribe [8]:
I =
y2 dA
39
(1.97)
Figura 1.42: momento de inercia I de un a´rea A con respecto a un eje AA .
Ahora, se dibuja a trav´es del centroide C del ´area un eje BB que es paralelo a AA , dicho eje es llamado eje centroidal . Representando con y la distancia desde el elemento dA hasta BB , se escribe y = y + d, donde d es la distancia entre los ejes AA y BB . Sustituyendo por y en la integral anterior, se escribe:
I =
y2 dA =
2
(y + d) dA =
2
y dA + 2d
y dA + d2
dA
(1.98)
¯ del ´area con respecto al eje centroidal La primera integral representa el momento de inercia I BB . La segunda integral representa el primer momento del a´rea con respecto a BB ; como el centroide C del a´rea est´ a localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la u ´ltima integral es igual al a´rea total A. Por tanto, se tiene:
¯ + Ad2 I = I
(1.99)
Esta f´ormula expresa que el momento de inercia I de un ´area con respecto a cualquier eje ¯ dado AA es igual al momento de inercia I del a´rea con respecto a un eje centroidal BB que es paralelo a AA m´as el producto del a´rea A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes. Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner . Se puede utilizar un teorema similar para relacionar el momento polar de inercia J O de un ´area, con respecto a un punto O, con el momento polar de inercia J ¯C , de la misma a´rea con respecto a su centroide C . Denotando con d la distancia entre O y C , se escribe
¯C + Ad2 J O = J
1.13.2.
(1.100)
Teorema de los ejes paralelos en una masa
Considere un cuerpo de masa m. Sea Oxyz un sistema de coordenadas rectangulares cuyo origen est´ a localizado en el punto arbitrario O y sea Gx y z un sistema de ejes centroidales paralelo, esto es, un sistema cuyo origen est´ a en el centro de gravedad G del cuerpo y cuyos ejes x , y y z son paralelos a los ejes x, y y z , respectivamente (figura 1.43). Representando con x¯, y¯ y z¯ las coordenadas de G con respecto a Oxyz , se escriben las siguientes relaciones entre las coordenadas x, y y z del elemento dm con respecto a Oxyz y las coordenadas x ,y y z de dicho elemento con respecto a los ejes centroidales Gx y z [8]:
x = x + x¯ y = y + y¯ z = z + z¯
40
(1.101)
Figura 1.43: Sistema de ejes centroidales paralelo. Con las ecuaciones (1.97) se puede expresar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje x de la siguiente forma: I x = (y 2 + z 2 ) dm = (y + y¯)2 + (z + z¯ )2 dm = = y 2 + y¯2 dm + 2 y¯ y dm + 2 z¯ z dm + ( y¯2 + z¯ 2 ) dm
(1.102)
La primera integral en la expresi´on anterior representa el momento de inercia I x del cuerpo con respecto al eje centroidal x ; la segunda y la tercera representan, respectivamente, el primer momento del cuerpo con respecto a los planos z x y x y , como ambos planos contienen al punto G, las dos integrales son iguales a cero; la ´ultima integral es igual a la masa total m del cuerpo. Por tanto, se escribe:
¯x + m y¯2 + z¯ 2 I x = I
y en forma similar:
¯y + m (¯ I y = I z 2 + x¯2 ) ¯z + m (¯ I z = I x2 + y¯2)
(1.103)
(1.104)
Con base en la figura 1.43 se puede verificar que la suma z ¯2 + x¯2 representa el cuadrado de la distancia OB entre los ejes y y y . En forma an´aloga, y¯2 + z¯ 2 y x ¯2 + y¯2 representan, respectivamente, los cuadrados de la distancia entre los ejes x y x y entre los ejes z y z . Por tanto, representando con d la distancia entre un eje arbitrario AA y un eje centroidal paralelo BB (figura 1.44) se puede escribir la siguiente relaci´on general entre el momento de inercia I ¯ del cuerpo con respecto a AA y su momento de inercia I con respecto a BB :
¯ + md2 I = I
41
(1.105)
Figura 1.44: Representaci´ on de una distancia d entre ejes arbitrarios.
1.14.
Ejercicios Resueltos
1.14.1.
Ejercicio 1
La resistencia de una viga. W14 X 30 de acero laminado se incrementa uni´endole una placa de 9X 3/4in. a su pat´ın superior, como se muestra en la figura 1.45. Determine el momento de inercia.
Figura 1.45: Viga W14 x 30 de acero laminado.
´ SOLUCION Se coloca el origen O de las coordenadas en el centroide de la forma de pat´ın ancho y se ¯ al centroide de la secci´o n compuesta. El a´rea y la coordenada y del calcula la distancia Y centroide de la placa est´ an dados por: A = (9in)(0,75in) = 6,75in2 y¯ = 21 (13,84in) + 21 (0,75in) = 7,295in 42
¯ Y A = ¯ y ¯ (15,60) = 49,24 Y ¯ = 3,156in Y
Momento de inercia. Se utiliza el teorema de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia de la forma de pat´ın ancho y de la placa con respecto al eje x . Este eje es centroidal para la secci´ on compuesta pero no para cualquiera de los elementos considerados en forma separada. Para la forma de pat´ın ancho:
¯x + AY ¯ 2 = 291 + (8,85)(3,156)2 = 379,1in4 I x = I Para la placa: ¯x + Ad = I x = I 2
1 3 12
(9)
4
3
+ (6,75) (7,295 − 3,156)2 = 116,0in4
Para el a´rea compuesta: I x = 379,1 + 116,0 = 495,1in4
1.14.2.
Ejercicio 2 a
a) Determine el momento polar centroidal de inercia de un a´rea circular (figura ??) por integraci´ on directa; b) utilice el resultado del inciso a) y determine el momento de inercia de un a´rea circular con respecto a uno de sus di´ ametros.
´ SOLUCION a) Momento polar de inercia. Se selecciona dA como un elemento anular diferencial de ´area. Como todas las porciones del a´rea diferencial est´ an a la misma distancia desde el origen, se escribe: 43
dJ O = u 2dA dA = 2πudu J O = dJ O =
r 0
r 0
2
3
u (2πudu) = 2π u du =
π 4 r 2
b) Momento de inercia con respecto a un di´ ametro. Debido a la simetr´ıa del a´rea circular, se tiene que I x = I y . Entonces, se escribe: J O = I x + I y = 2I x π 4 r = 2I x 2 I φ = I x = π2 r4
1.14.3.
Ejercicio 2 b
Como una aplicaci´on del teorema de los ejes paralelos, se proceder´ a a determinar el momento de inercia I T de un a´rea circular con respecto a una l´ınea tangente al c´ırculo (figura 1.46). Anteriormente se encontr´ o que el momento de inercia de un a´rea circular con respecto a un eje π 4 ¯ centroidal es I = 2 r . Por tanto se puede escribir: ¯ + Ad2 = 1 πr 4 + πr 2 r 2 = 5 πr 4 I T = I 4 4
Figura 1.46:
1.15.
Centro instant´ aneo de rotaci´ on en el movimiento plano
Considere el movimiento plano general de una placa. Se intenta demostrar que, en cualquier instante dado, la velocidad de las diversas part´ıculas de la placa es la misma como si la placa girara alrededor de cierto eje perpendicular a su plano, el cual se conoce como eje de rotaci´ on instant´ aneo. Este eje interseca el plano de la placa en el punto C , denominado centro instant´ aneo de rotaci´ on de la placa. En primer lugar, el movimiento plano de una placa siempre puede sustituirse mediante una traslaci´ on definida por el movimiento de un punto de referencia arbitrario A y mediante una rotaci´on en torno a A. En cuanto a las velocidades, la traslaci´on se caracteriza por la velocidad vA del punto de referencia A, y la rotaci´on se caracteriza por la velocidad angular ω de la placa (que es independiente de la elecci´o n de A). De este modo, la velocidad vA del punto A y la velocidad angular ω de la placa definen por completo las velocidades de todas las dem´ as part´ıculas de la placa (figura 1.47a).
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Figura 1.47: (Si vA = 0, el mismo punto A es el centro instant´ aneo de rotaci´ o n y si ω = 0, todas las part´ıculas tienen la misma velocidad vA .) Estas velocidades podr´ıan obtenerse dejando que la placa gire con la velocidad angular ω alrededor del punto C ubicado sobre la perpendicular a vA a una distancia r = v A /ω de A, como se indica en la figura 1.47b. Se verifica que la velocidad de A ser´ıa perpendicular a AC y que su magnitud ser´ıa rω = (vA /ω)ω = v A . De esta manera, las velocidades de todas las dem´ as part´ıculas de la placa ser´ıan las mismas que se definieron originalmente. Por lo tanto, en cuanto a lo que se refiere a las velocidades, la placa parece girar alrededor del centro instant´ aneo C en el instante considerado. La posici´on del centro instant´ aneo puede definirse de otras dos formas. Si se conocen las direcciones de las velocidades de las dos part´ıculas A y B de la placa y si ´estas son diferentes, el centro instant´ aneo C se obtiene dibujando la perpendicular a vA a trav´es de A y la perpendicular a vB a trav´es de B y determinando el punto en el cual se intersecan estas dos l´ıneas (figura 1.48a). Si las velocidades vA y vB de las dos part´ıculas A y B son perpendiculares a la l´ınea AB y si se conocen sus magnitudes, el centro instant´aneo puede encontrarse intersecando la l´ınea AB con la l´ınea que une los extremos de los vectores vA y vB (figura 1.48b). Si vA y vB fueran paralelas en la figura 1.48a o si vA y vB tuvieran la misma magnitud en la figura 1.48b, el centro instant´ aneo C estar´ıa a una distancia infinita y ω ser´ıa cero. Todos los puntos de la placa tendr´ıan la misma velocidad [9]
Figura 1.48:
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