“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”
Integrantes:
Curso: Docente: Tema:
Alcas Andrade, Alexa Ipanaque, Bruno Fox Zapata, Keyla Gutiérrez Laban, Thays ara!illo "astillo, Karen #uiz "astillo, $irella %in&!ica In'( Brenda )&nchez *ibraciones $ec&nicas
+iura -./0
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Introducción 1l au!ento per!anente de las potencias en !&quinas, 2unto con una dis!inuci3n si!ult&nea de 'asto de !ateriales, y la alta exi'encia de calidad y producti4idad indu indust stri rial, al, hacen hacen que que el an&li an&lisi siss din& din&!i !ico co de las las 4ibr 4ibrac acio ione ness !ec& !ec&ni nica cass en !&quinas e instalaciones industriales sea cada 4ez !&s exacto( 1l estudio de las 4ibraciones !ec&nicas se ha con4ertido en al'o esencial para el estudiante de in'enier5a !ec&nica ya que el buen 6unciona!iento de !aquinaria !ec&nica est& relacionado en !uchos casos con su co!porta!iento 4ibratorio( 1s i!portante conocer la clasi6icaci3n de las 4ibraciones !ec&nicas ya que nos presentan un panora!a de los di6erentes estudios( 7tra herra!ienta i!portante en el estudio de las 4ibraciones !ec&nicas es el !odelo !ate!&tico( 1ste procedi!iento debe ser preciso ya que los errores producen in6or!aci3n err3nea( 1l estu estudi dio o de las las 4ibr 4ibraci acione oness !ec& !ec&ni nicas cas ta!b ta!bié ién n lla! lla!ad ado, o, !ec& !ec&ni nica ca de las las 4ibraciones, es una ra!a de la !ec&nica, o !&s 'eneral!ente de la ciencia, estudia los !o4i!ientos oscilatorios de los cuerpos o siste!as y de las 6uerzas asociadas con ella(
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Objetivos Objetivo general: •
Aprender y conocer los conceptos co nceptos acerca sobre las 4ibraciones !ec&nicas y analizar el co!porta!iento de un cuerpo r5'ido su2eto a 4ibraciones(
Objetivos específicos: •
•
•
"onocer los conceptos de a!orti'uaciones Aprender sobre las 63r!ulas para poder realizar los e2ercicio ( +oder aplicar los conceptos y las 6or!ulas en la 4ida cotidiana y en la In'enier5a "i4il(
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Marco Teórico
1.
Vibraciones
)e deno deno!i !ina na 4ibr 4ibrac aci3 i3n n a la prop propa' a'ac aci3 i3n n de onda ondass el&s el&stitica cass prod produc ucie iend ndo o de6or!acione de6or!acioness y tensiones tensiones sobre un !edio continuo( continuo( A6ecta a !ateriales !ateriales s3lidos, l5quidos y 'aseosos( La 4ibraci3n es la causa de 'eneraci3n de todo tipo de ondas( Toda 6uerza que se aplique sobre un ob2eto 'enera perturbaci3n(
1.1. Diferencia entre oscilación y vibración )e debe tener en claro la di6erencia entre estos dos conceptos( 1n las oscilaciones hay con4ersi3n de ener'5as cinética en potencial 'ra4itatoria y 4ice4ersa, !ientras que en las 4ibraciones hay interca!bio entre ener'5a cinética y ener'5a potencial el&stica(
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%ebida a la peque8ez relati4a de las de6or!aciones locales respecto a los despla desplaza! za!ien ientos tos del cuerpo, cuerpo, las 4ibraci 4ibraciones ones 'enera 'eneran n !o4i!i !o4i!ient entos os de !enor !enor !a'nitud que las oscilaciones en torno a un punto de equilibrio( Ade!&s las 4ibraciones al ser de !o4i!ientos peri3dicos 9o cuasiperi3dicos: de !ayor 6recuencia que las oscilaciones suelen 'enerar ondas sonoras lo cual constituye un proceso disipati4o que consu!e ener'5a( Ade!&s las 4ibraciones pueden ocasionar 6ati'a de !ateriales(
1. !onceptos b"sicos #longación: 1s el desplaza!iento desde la posici3n de equilibrio de un siste!a(
$%plitud: 1s el desplaza!iento !&xi!o desde la posici3n de equilibrio(
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&eríodo: 1s el inter4alo de tie!po necesario para realizar un ciclo co!pleto( 'recuencia: 1s el n;!ero de ciclos por unidad de tie!po(
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1.( Tipos de fuer)as *ue intervienen en un %ovi%iento vibratorio 1)<=1$A %1 F=1#ZA)
'uer)a Inercial +'i,: %ada por la !asa >!? del siste!a 'uer)a -estauradora +'s,: 1s la 6uerza que e2erce el resorte sobre la !asa en su posici3n ori'inal(
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%onde es el coe6iciente de de6or!aci3n del resorte
'uer)a $%ortiguadora +'d,: 1s la 6uerza que o6rece resistencia al !o4i!iento(
'uer)a &eriódica +'t,: 1s la 6uerza que ocasiona el !o4i!iento del siste!a(
+or la - ley de @eton, hace!os su!atoria de 6uerzas
∑ F =m x´
.
TI&O D# VI/-$!IO0#
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.1 VI/-$!IO0# I0 $MO-TI2$MI#0TO . 1.1 VI/-$!IO0# 3I/-# D# &$-T4!23$. MOVIMI#0TO $-M50I!O IM&3#. *ea!os la si'uiente situaci3n
"uando se a're'a una !asa $ en un resorte, sabe!os que este tendera a un alar'a!iento
δ est
y después quedando nue4a!ente en equilibrio( 1n este
!o!ento y se';n el dia'ra!a est&tico W = T = k ∗ δ est
)uponiendo ahora que la part5cula se desplaza una distancia
x m
desde su
posici3n de equilibrio y se suelta sin 4elocidad inicial( To!ando co!o positi4a la distancia aba2o del punto de equilibrio y ne'ati4o desde el punto de equilibrio hacia arriba(
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%espués de esta acci3n, se 4a a 'enerar una a!plitud 6%( +ara el an&lisis, se estudiara cuando la !asa se encuentre por la posici3n 6, en ese !o!ento y se';n el dia'ra!a de equilibrio ma=W −T =W −k ( δ est + x )=W −k δ est −kx peroW =k δ est → ma=mx´´ =−k ∗ x
( )
→ x ´ ´= −
k k 2 x ,llamaremos p = m m
2
→x´´+ p x =0
1l !o4i!iento que de6ine la ecuaci3n anterior se lla!a Movi%iento $r%ónico
i%ple( )e caracteriza por que la aceleraci3n es proporcional al desplaza!iento y 2
de sentido opuesto( La soluci3n 'eneral para la ecuaci3n x ´ ´ + p x =0 7 es x = A sen pt + B cos pt
V = Ap cos pt − Bp sen pt
2
a =− A p senpt − B p
2
cos pt
Los 4alores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del !o4i!iento( )e obtiene que A =
V O p
B = x 0
%espués de an&lisis 4ectoriales x = x m sen ( pt + Φ )
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V = x ´ = x m p cos ( pt + Φ ) a =V ´ = x ´ ´ =− x m p sen ( pt + Φ ) 2
p se le lla!a 4elocidad an'ularC 6% es el desplaza!iento !&xi!o o a!plitud y 8 &n'ulo 6ase( +or otro lado tene!os que +eriodo D E D - p Frecuencia D 6 D / E D p - Los 4alores !&xi!os de las !a'nitudes de la 4elocidad y la aceleraci3n son V m= x m p am = xm p
2
&90D23O IM&3# +O32!I50 $&-OIM$D$, La !ayor parte de las 4ibraciones encontradas en aplicaciones de in'enier5a se representan !ediante un !o4i!iento ar!3nico si!ple( $uchas otras, aunque de un tipo di6erente, se apro!iman por !edio de un !o4i!iento si!ple, sie!pre que su a!plitud per!anezca peque8a( "onsidera, por e2e!plo, un p"ndulo simple, consistente en una plo!ada de !asa m unida a una cuerda de lon'itud l , que tiene la posibilidad de oscilar en un plano 4ertical 96i'( /(- H /a:( 1n un tie!po dado t , la cuerda 6or!a un &n'ulo con la 4ertical( Las 6uerzas que act;an sobre la plo!ada con su peso # y la 6uerza T e2ercida por la cuerda 96i'( /(- H /b:( Al desco!pensar al 4ector ma de las co!ponentes tan'encial y nor!al, con ! at diri'ida hacia la derecha, esto es, en la direcci3n que corresponde a 4alores ´ crecientes de , y obser4ar que at $ l% $ l θ , se escribe
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'igura 1. ; 1
∑ F = ma :−W senθ= ml θ´ t
t
)i se obser4a que # $ mg y se di4ide entre ml , se obtiene g θ´ + senθ =0 …………………ecuacion 1.2−1 l
+ara oscilaciones de a!plitud peque8a, puede sustituirse sen & por & , expresado en radianes, y se escribe g θ´ + θ =0 …………………ecuacion 1.2 −2 l
La co!paraci3n con la ecuaci3n
x´ + wn x =0 2
!uestra que la ecuaci3n di6erencial /(- H - es la de un !o4i!iento ar!3nico si!ple con una 6recuencia circular natural ' n i'ual a
g ( ) l
1/ 2
( La soluci3n 'eneral
de la ecuaci3n /(- H - puede, por consi'uiente( 1xpresarse co!o θ=θ m sen ( wn t + Φ )
donde ( m es la a!plitud de las oscilaciones y ( es el &n'ulo de paso( Al sustituir
en la ecuaci3n
erio!o=" n =
2 #
wn
el 4alor obtenido por ' n, se obtiene la si'uiente
expresi3n por el periodo de las oscilaciones peque8as de un péndulo de lon'itud l " n =
2 #
wn
=2 #
√
l ………………………ecuacion 1.2 −3 g
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&90D23O IM&3# +O32!I50 #$!T$, La ecuaci3n /(- H J es solo aproxi!ada( +ara obtener una expresi3n exacta relati4a al periodo de las oscilaciones de un péndulo si!ple, se debe 4ol4er a la ecuaci3n /(- H /( $ultiplicando a!bos tér!inos por
´
2θ
e inte'rando desde una
posici3n inicial correspondiente a la !&xi!a des4iaci3n, esto es
θ= θ m
´ y θ= 0 ,
se escribe
( )
2
!θ 2g = ( cos θ −cos θm ) !t l
θ
)i se sustituye cos
por 1 ; sen + θ <, y cos
θ
por una expresi3n
%
si!ilar, resol4iendo para dt , y se inte'ra sobre un cuarto de periodo desde t = >, θ
= > hasta t = " n < ?,
" n =2
√
θm
l g
∫ 0
θ
= θ
, se tiene
%
!θ
√ sen ( θm / 2 ) −sen ( θ /2 ) 2
2
La inte'ral en el !ie!bro del lado derecho se conoce co!o una inte'ral el5pticaC ésta no puede expresarse en tér!inos de las 6unciones al'ebraicas o tri'ono!étricas usuales( )in e!bar'o, sen (θ / 2 )= sen ( θm / 2 ) senΦ
se puede escribir " n =4
√
l g
# / 2
∫ 0
!Φ
√ −sen ( θ m / 2 ) sen Φ 1
2
2
…………………ecuacion1.3 −1
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%onde la inte'ral que se obtiene, denotada co!;n!ente por ) , puede calcularse utilizando !étodos de inte'raci3n nu!érica( Ta!bién puede encontrase en tablas de inte'rales el5pticas para di4ersos 4alores de
θ
% < ( +ara co!parar el
resultado que acaba de obtenerse con el de la secci3n anterior, se escribe la ecuaci3n /(J H / en la 6or!a " n =
2 $
#
( √) 2 #
l …… …… …… …ecuacion 1.3− 2 g
VI/-$!IO0# 3I/-# D# !2#-&O -4IDO =n cuerpo r5'ido que oscile en torno a un e2e 6i2o 96i'( /(0 H /a: y una rueda que oscile sobre una super6icie plana 96i'( /(0 H /b: constituyen siste!as 4ibrantes de un solo 'rado de libertad( 1l an&lisis de estos siste!as de cuerpos r5'idos es i'ual, en esencia al de un punto !aterial( +ri!ero, se dibu2a el dia'ra!a de cuerpo libre correspondiente a una posici3n arbitraria del cuerpo r5'ido( %espués, se escriben las ecuaciones del !o4i!iento( +or ;lti!o, se utilizan los principios de la cine!&tica para reducir las ecuaciones del !o4i!iento a una sola ecuaci3n di6erencial que conten'a una sola 4ariable que describa la posici3n y !o4i!iento del cuerpo r5'ido(
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'igura 1.? ; 1a y 1.? ; 1b
1l an&lisis de las 4ibraciones de un cuerpo r5'ido o de un siste!a de cuerpos r5'idos que posee un solo 'rado de libertad es si!ilar al de las 4ibraciones de una sola part5cula( =na 4ariable apropiada, co!o una distancia a un &n'ulo
θ
, se
eli'e para de6inir la posici3n del cuerpo o siste!a de cuerpos, y se escribe una ecuaci3n que relacione esta 4ariable y su se'unda deri4ada con respecto a t( )i la ecuaci3n que se obtiene es de la !is!a 6or!a que la ecuaci3n /(- H /, esto es, si se tiene x´ + wn x =0 o θ´ + w n θ= 0 ……………ecuacion 1.4 −1 2
2
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La 4ibraci3n considerada es un !o4i!iento ar!3nico si!ple( 1l periodo y la 6recuencia natural de la 4ibraci3n pueden obtenerse entonces identi6icando n y
sustituyendo
su
4alor
Frecuencianatural =% n =
1
" n
=
en
w n 2 #
las
ecuaciones
erio!o=" n =
2 #
y
wn
(
1n 'eneral, una 6or!a si!ple de obtener una de las ecuaciones /(J H / consiste en expresar que el siste!a de las 6uerzas externas es equi4alente al siste!a de las 6uerzas e6ecti4as dibu2ando una ecuaci3n de dia'ra!as de cuerpo libre para un 4alor arbitrario de la 4ariable y escribiendo la ecuaci3n de !o4i!iento apropiada( #ecordando que el ob2eti4o debe ser la determinación del coeficiente de la 4ariable x o
θ , no la deter!inaci3n de la 4ariable !is!a o de la deri4ada
x´
´ o θ ( Al i'ualar este coe6iciente a w n , se obtiene la 6recuencia circular natural 2
wn
de la cual es posible deter!inar a
" n
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y % n (
$&3I!$!I50 D#3 &-I0!I&IO D# 3$ !O0#-V$!I50 D# 3$ #0#-4$ La ley de la conservación de la energía constituye el pri!er principio de la ter!odin&!ica y a6ir!a que la cantidad total de ener'5a en cualquier siste!a aislado 9sin interacci3n con nin';n otro siste!a: per!anece in4ariable con el tie!po, aunque dicha ener'5a puede trans6or!arse en otra 6or!a de ener'5a( 1n resu!en, la ley de la conser4aci3n de la ener'5a a6ir!a que la ener'5a no puede crearse ni destruirse, s3lo se puede ca!biar de una 6or!a a otra, por e2e!plo, cuando la ener'5a eléctrica se trans6or!a en ener'5a calor56ica en un cale6actor( 1l principio de conser4aci3n de la ener'5a proporciona una 6or!a con4eniente de deter!inar el periodo de 4ibraci3n de un cuerpo r5'ido o de un siste!a de cuerpos r5'idos que poseen un solo 'rado de libertad, una 4ez que se ha establecido que el !o4i!iento del siste!a es un !o4i!iento ar!3nico si!ple o que puede aproxi!arse !ediante un !o4i!iento ar!3nico si!ple( Al ele'ir una 4ariable apropiada, co!o la distancia x o el &n'ulo
θ , se consideran dos posiciones
particulares del siste!a
'igura 1.@ ; 1a y 1.@ ; 1b
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/( 1l desplaza!iento del siste!a es !&xi!oC se tiene T1 D ., y V1 puede expresarse en tér!inos de la a!plitud ! m o
θ
m
9al ele'ir V D . en la
posici3n de equilibrio:( -( 1l siste!a pasa por su posici3n de equilibrioC se tiene V D ., y T puede expresarse en tér!inos de la 4elocidad !&xi!a
x´ m
o la 4elocidad
´ an'ular !&xi!a θm ( )e expresa entonces que la ener'5a total del siste!a se conser4a y se escribe T1 2
A V1 = T A V( )i 4iendo la ecuaci3n & m = x m wn am = x m wn que para un !o4i!iento ar!3nico si!ple la 4elocidad !&xi!a es i'ual al producto de la a!plitud y de la 6recuencia circular nor!al ' n, se encuentra que se obtiene puede resol4erse para ' n(
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.1. Vibraciones for)adas sin a%ortigua%iento "onsidere!os el siste!a !ec&nico A!orti'uador H $asa H #esorte
Fi'ura /( H /
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=tilizando la se'unda Ley de @eton de !o4i!iento translacional La aceleraci3n de cualquier cuerpo r5'ido es directa!ente proporcional a la 6uerza que act;e sobre él e in4ersa!ente proporcional a la !asa del cuerpo, es decir F D !a( aciendo el dia'ra!a de cuerpo libre de la !asa en el !odelo
Fi'ura /( H nos da!os cuenta de que sobre dicha !asa act;an tres 6uerzas la 6uerza del resorte 9F#:, la 6uerza del a!orti'uador 9F#: y posible!ente al'una 6uerza externa 9peso, 6ricci3n, etc(:( +ode!os establecer las si'uientes relaciones para !odelar las 6uerzas tanto del resorte co!o del a!orti'uador
donde k es la constante del resorte y b es la constante de a!orti'ua!iento(
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1l !odelo !ec&nico !&s si!ple de un solo 'rado de libertad con excitaci3n externa, es el !asaresortea!orti'uador, identi6icado !ediante sus constantes caracter5sticas equi4alentes mEQ, cEQ, kEQ y la 6uerza F(t), el cual se ilustra en la si'uiente 6i'ura /( H J
Fi'ura /( H J Lue'o, para este tipo de siste!as, la ecuaci3n di6erencial que ri'e su !o4i!iento est& representada por m '( ∗ x´ + c '(∗ x´ + k '( ∗ x = F ( t )
+ara los siste!as de un 'rado de libertad, cuando la 6recuencia de excitaci3n coincide con la 6recuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando / D r( +ara este caso se tendr&n co!o consecuencia oscilaciones de 'randes !a'nitudes, !&s all& de los l5!ites tolerables( "on respecto a la excitaci3n, los siste!as desbalanceados representan una excitaci3n de tipo oscilatorio, la cual depende del !o!ento de desbalance 9!Me: y de la 6recuencia de la excitaci3n 9N:(
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Ade!&s de las de6iniciones e6ectuadas para los siste!as 4ibrantes sin excitaci3n externa 9libres:, en los siste!as 6orzados se hace necesario de6inir otras 4ariables para el an&lisis de los !is!os( La relaci3n de 6recuencias asocia la 6recuencia natural del siste!a con la 6recuencia de excitaci3n( )e desi'na con el s5!bolo r, es adi!ensional y se expresa se';n la ecuaci3n r=
) wn
1l 6actor de a!pli6icaci3n din&!ico se desi'na con el s5!bolo Κ y es adi!ensional y se expresa por $ =
1
√ ( 1−r ) +( 2∗* ∗r ) 2
2
1l retraso de 6ase se desi'na con el s5!bolo O y se expresa en 'rados o radianes y se expresa se';n la ecuaci3n
(
∗* ∗r 1−r
−1 2
Φ =tg
2
)
1n el estudio de 4ibraciones 6orzadas son !uy ;tiles los 'r&6icos de 6actor de a!pli6icaci3n din&!ico y retraso de 6ase contra la relaci3n de 6recuencias( +ara el caso de siste!as que presentan desbalance, es ;til 'ra6icar r 2 * K contra r debido a que la excitaci3n depende de la 6recuencia de operaci3n del siste!a(
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Fi'ura /( H 0 'actor de a%plificación vs -elación de frecuencias para diferentes constantes de a%ortiguación
Fi'ura /( #etraso de 6ase 4s #elaci3n de 6recuencias para di6erentes constantes de a!orti'uaci3n( =n cuerpo experi!enta un !o4i!iento 4ibratorio u ondulatorio cuando se desplaza 4arias 4eces a uno y otro lado de la posici3n 6i2a que tenia inicial!ente( *ibraci3n !ec&nica, oscilaci3n, !o4i!iento peri3dico, etc( son conceptos utilizados para
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describir el !o4i!iento de un ele!ento, siste!a o en si de una !&quina( =na 6or!a si!ple de de6inir 4ibraci3n(
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.
Vibraciones con a%ortigua%iento
..1. Vibraciones libres a%ortiguadas( 1n las situaciones anteriores se notaban que las 4ibraciones estaban libres de a!orti'ua!ientos( La realidad es que todas las 4ibraciones son a!orti'uadas, especial!ente por las 6uerzas de roza!iento( =n tipo de a!orti'ua!iento de especial interés es el a!orti'ua!iento 4iscoso causado por la 6ricci3n 6luida a 4elocidades ba2as y !oderadas( 1ste tipo de a!orti'ua!iento est& caracterizado por el hecho de que la 6uerza de 6ricci3n o roza!iento es directa!ente proporcional a la 4elocidad del cuerpo en !o4i!iento( +ara el an&lisis supondre!os que un cuerpo est& unido al é!bolo de un a!orti'uador( )e dice que un siste!a tiene a!orti'ua!iento cuando posee ele!entos que disipan ener'5a( 1xisten 4arios tipos de a!orti'ua!iento a!orti'ua!iento 4iscoso, lo experi!entan los cuerpos que se !ue4en con una 4elocidad !oderada en el interior de 6luidosC a!orti'ua!iento de "oulo!b, producido por el !o4i!iento relati4o de super6icies secasC y el a!orti'ua!iento estructural, es producido por la 6ricci3n interna del !aterial el&stico( 1n esta secci3n nos dedicare!os ;nica!ente al estudio del a!orti'ua!iento 4iscoso(
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.(.1 $%ortiguador viscoso lineal. 1ste tipo de a!orti'ua!iento se presenta en 6or!a natural cuando siste!as !ec&nicos oscilan en el interior de un !edio 6luido( Ta!bién aparece en siste!as !ec&nicos utilizados para re'ular la 4ibraci3n( =na 6or!a de representarlo es la !ostrada en la 6i'ura ( 1ste tipo de a!orti'uador est& 6or!ado por un pist3n el cual se !ue4e en el interior de un cilindro el cual contiene un 6luido 4iscoso co!o el aceite( Al !o4erse el é!bolo se opone el 6luido el cual debe atra4esar peque8os ori6icios practicados en el é!bolo(
+ara nuestro estudio 4a!os a utilizar los a!orti'uadores lineales, en este caso la 6uerza de 6ricci3n debido al
a!orti'ua!iento
es directa!ente proporcional
a la 4elocidad
lineal siendo la constante de
proporcionalidad
el lla!ado coe6iciente de
a!orti'ua!iento
9c:( 1sta 6uerza se expresa 9/:
-(J *ibraciones libres con a!orti'ua!iento 4iscoso(
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+ara deter!inar las ecuaciones que 'obiernan a este !o4i!iento considere!os un siste!a !asa, resorte y a!orti'uador co!o el !ostrado en la 6i'ura
Fi'ura %ia'ra!a de cuerpo libre de una part5cula de !asa ! con a!orti'ua!iento(
Aplicando la se'unda ley de @eton al bloque se tiene
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#ecordando que en el caso de equilibrio est&tico, , la ecuaci3n anterior se escribe 9J:
La ecuaci3n 9J: es una ecuaci3n di6erencial ho!o'énea de se'undo orden con coe6icientes constantes( La teor5a de las ecuaciones di6erenciales nos dice que la
soluci3n
es
de
la
6or!a
#e!plazando la ecuaci3n 9J : con2unta!ente con sus deri4adas en la ecuaci3n 9-: se obtiene la ecuaci3n caracter5stica expresada por
La soluci3n 'eneral de la ecuaci3n se escribe
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Las constantes B y " se deter!inan a partir de las condiciones in5ciales, !ientras que P/ y P- se deter!inan de la ecuaci3n caracter5stica( %ebe obser4arse ade!&s que el co!porta!iento del siste!a depende de la cantidad subradical, ésta puede ser positi4a, nula o ne'ati4a( "oe6iciente de a!orti'ua!iento cr5tico ( 1s el 4alor del coe6iciente de a!orti'ua!iento para el cual se hace cero la
cantidad subradical de
la ecuaci3n 9J:, en consecuencia
1l coe6iciente de a!orti'ua!iento cr5tico representa la cantidad !5ni!a de a!orti'ua!iento requerida para que el !o4i!iento no sea 4ibratorio( La soluci3n de la ecuaci3n di6erencial 9J : tiene tres 6or!as( A( $o4i!iento sobre a!orti'uado( 1n este caso c Q ccr, entonces las dos ra5ces de la ecuaci3n caracter5stica son reales y di6erentes( +or tanto la soluci3n puede escribirse
B( $o4i!iento cr5tica!ente a!orti'uado( Aqu5 c D
ccr, en este
caso las
"( $o4i!iento suba!orti'uado( Las ra5ces de la ecuaci3n 9J: son VIBRACIONES Pág. 31
%onde R Dc-! y Sd es la 6recuencia circular a!orti'uada dada por
90: #e!plazando la ecuaci3n 90 : en 9J : resulta
1l !o4i!iento de la ecuaci3n 90: se dice que es peri3dico en el tie!po de a!plitud decreciente tal co!o se !uestra en la 6i'ura ( 1n donde se obser4a que el >per5odo? es el tie!po entre dos 4alles o picos
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#az3n de a!orti'ua!iento( Ta!bién conocido co!o 6actor de a!orti'ua!iento, es una cantidad de6inida co!o la raz3n entre el coe6iciente de a!orti'ua!iento 9c: y el coe6iciente de a!orti'ua!iento c5trico 9ccr:, esto es
1n 6unci3n de esta cantidad se pueden obtener las si'uientes relaciones
1n 6unci3n de la raz3n de a!orti'ua!iento se puede decir que un !o4i!iento es sobre a!orti'uado si 9 Q /:, es cr5tica!ente a!orti'uado si 9 D.: y suba!orti'uado s5 9 U /:( +ara el caso de un !o4i!iento suba!orti'uado, la pulsaci3n propia a!orti'uada, el per5odo a!orti'uado y el decre!ento lo'ar5t!ico se escriben
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.. VI/-$!IO0# 'O-B$D$ $MO-TI2$D$ )i el siste!a considerado en la secci3n anterior est& su2eto a una 6uerza peri3dica + de !a'nitud P = Pm sen wt , la ecuaci3n de !o4i!iento se trans6or!a en m x´ + c ´ x + kx = m sen w% t
La soluci3n 'eneral se obtiene su!ando una soluci3n particular a la 6unci3n co!ple!entaria m x´ + c ´ x + kx =0 La 6unci3n co!ple!entaria est& dada por los tres casos 4istos anterior!enteC el interés est& centrado en la 4ibraci3n estacionaria representada por la soluci3n particular + part = x m sen ( wt − )
%espués de 4arios c&lculos
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tan
+ m =
=-w / ( k −m w ) 2
m
√ ( k − m w ) + ( c w ) 2 2
%
2
%
#ecordando que p2 = k / m , donde p es la 6recuencia circular de la 4ibraci3n libre no a!orti'uada y de c = 2 mp, escribi!os
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La 63r!ula anterior expresa el 6actor de a!pli6icaci3n en tér!inos de la raz3n de 6recuencia w / p y el 6actor de a!orti'ua!iento / c( +uede utilizarse para deter!inar la a!plitud de la 4ibraci3n estacionaria producida por una 6uerza aplicada de !a'nitud P m sen wt o por un !o4i!iento producido por el soporte ! m sen t ( La 63r!ula de la tan'ente de6ine en tér!inos de los !is!os par&!etros la !
di6erencia de 6ase " entre la 6uerza aplicada o el !o4i!iento producido por el soporte y la 4ibraci3n estacionaria resultante del siste!a a!orti'uado(
'igura . ; 1
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( . $plicaciones de las vibraciones en la Ingenieria !ivil 1l estudio de las 4ibraciones es i!portante dentro de la In'enier5a "i4il porque es una 6or!a de describir el co!porta!iento de las estructuras ante al'unas car'as a!bientales( 1stas car'as a!bientales son principal!ente las que el sis!o ocasiona en las estructuras(
Vibraciones en siste%as estructurales: Las estructuras, sean éstas los !uros de !a!poster5a de una 4i4ienda, los p3rticos de un edi6icio en altura o los tableros y pilas de un puente, son siste!as cuyo ob2eti4o es 'arantizar la realizaci3n de la acti4idad que se desarrolla en la !is!a, resistiendo car'as propias y externas co!o el peso, el e!pu2e del 4iento o las acciones producidas por terre!otos( @os re6eri!os a éstas ;lti!as co!o car'as o acciones din&!icas porque éstas 4ar5an relati4a!ente r&pida!ente en el tie!po y co!o consecuencia, producen !o4i!ientos oscilatorios en las estructuras( 1stos !o4i!ientos co!;n!ente se deno!inan 4ibraciones( +robable!ente, el !o4i!iento 4ertical de un 4eh5culo sobre una calzada ru'osa es nuestra experiencia !&s 6recuente de un 6en3!eno 4ibratorio( 1n in'enier5a ci4il por e2e!plo, una estructura 4ibra a cierta 6recuencia natural 9todos los !ateriales 4ibran:( )i coincide con la 6recuencia del 4iento, por e2e!plo, entra en resonancia y se destruye literal!ente( =n e2e!plo es el puente lla!ado TaVo!a @arro , que colaps3 por resonancia 9se !o45a co!o si 6uera de 'o!a literal!ente: otro e2e!plo de puente es el del !illeniu! brid'e, que 4ibraba !ucho apenas inau'urado 9cuando la 'ente ca!inaba por enci!a:, hubo que repararlo( Las caracter5sticas principales de un siste!a 4ibratorio son su per5odo de 4ibraci3n, tie!po que tarda el siste!a en realizar una oscilaci3n co!pleta cuando el siste!a 4ibra libre!ente y su coe6iciente de a!orti'ua!iento, una !edida de la 4elocidad de reducci3n de la a!plitud del !o4i!iento que se produce en ausencia de car'as externas( 1l !o4i!iento o 4ibraci3n de una estructura de in'enier5a ci4il puede resultar per2udicial e incluso ries'oso para la 4ida hu!ana y en la !ayor5a de los casos, al'o que atenta contra el con6ort de los ocupantes( 1n in'enier5a ci4il por e2e!plo, una estructura 4ibra a cierta 6recuencia natural 9todos los !ateriales 4ibran:( )i coinciude con la 6recuencia del 4iento, por e2e!plo, entra en resonancia y se destruye literal!ente( =n e2e!plo es el puente VIBRACIONES Pág. 37
lla!ado TaVo!a @arro , que colaps3 por resonancia 9se !o45a co!o si 6uera de 'o!a literal!ente: otro e2e!plo de puente es el del !illeniu! brid'e, que 4ibraba !ucho apenas inau'urado 9cuando la 'ente ca!inaba por enci!a:, hubo que repararlo( To!e!os por e2e!plo la situaci3n de una estructura so!etida a !o4i!iento de su 6undaci3n durante un te!blor o sis!o( 1l !o4i!iento del suelo producido por la liberaci3n de ener'5a del terre!oto i!pone !o4i!ientos en la 6undaci3n de un edi6icio, los que a su 4ez producen de6or!aciones en el !is!o( 1stas pueden producir da8os en el siste!a estructural, da8os en ele!entos no estructurales co!o 4entanas, !uros de cerra!iento, instalaciones de a'ua, 'as u otros ser4icios, pérdida de 6uncionalidad e incluso el colapso de la !is!a, con la consi'uiente alta probabilidad de pérdida de 4idas hu!anas •
siste!a !asaresorte se utilizan para !oderar ci!entaciones de !aquinaria, respuesta din&!ica de pilotes, !uros de retenci3n, an&lisis de la respuesta din&!ica de edi6icios, entre otros( +ara !ostrar la aplicaci3n de los siste!as de ecuaciones di6erenciales to!are!os el caso del an&lisis din&!ico de un edi6icio
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@ue4os siste!as de protecci3n de estructuras so!etidas a 4ibraciones es la si'uiente I( Aisla!iento s5s!ico, II( %isipadores de ener'5a o a!ortu'uadores, III( )iste!a acti4os de reducci3n de 4ibraciones
co%pactación por vibración: Al'unos suelos 'ranulares se pueden co!pactar 6&cil!ente !ediante 4ibraciones( Los edi6icios que descansan sobre tales suelos pueden su6rir asenta!ientos i!portantes, debido a la 4ibraci3n de la !aquinaria que se instale en ellos, tales co!o 'randes co!presores y turbinas( Los e6ectos de la 4ibraci3n pueden ser !uy 'ra4es, cuando la 6recuencia de la 4ibraci3n coincide con la 6recuencia natural del terreno( Al ad4ertir que las 4ibraciones pueden causar asenta!ientos per2udiciales en una estructura particular,, el in'eniero puede ele'ir entre 4arios !étodos para e4itarlas( +uede au!entar la !asa de la ci!entaci3n, 4ariando as5 su 6recuencia, o co!pactar e inyectar el suelo, alterando de este !odo su 6recuencia natural yo su co!presibilidad( 1xisten rodillos 4ibratorios,!aquinaria que co!pactan el relleno(
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? . #C#-!I!IO $&3I!$TIVO
/( =na 4i'a de acero puesta en 4oladizo tiene una lon'itud de /. pul'adas y una 1
secci3n trans4ersal cuadrada de
4
1
x
pul( =na !asa de /. lb se ata al
4
extre!o libre de la 4i'a, co!o se !uestra en a 6i'ura ///( %eter!ine la 6recuencia natural del siste!a( )i la !asa se desplaza li'era!ente y lue'o se de2a en libertad( )uponer que la !asa de la 4i'a es peque8a, de a resistencia de !ateriales, la de6lexi3n en el extre!o libre de la 4i'a en 4oladizo debida a la !asa ! es ȢD+L /J 1I( 1l !o!ento de inercia de la 4i'a es ID .
3
/
(
12
4
D/J.W- pul y el !étodo
n ( 10 ) de elasticidad del acero es 1DJ. lb pul ( 2
La ecuaci3n de !o4i!iento para la 4ibraci3n libre sin a!orti'ua!iento es ! ẍ XVx D., y 10
¿ ¿
¿ 4 ( 32.2)( 12) ¿ 3 ( 30 )¿ ¿ 0n =
√
k =√ ¿ m
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-( =na 4i'a si!ple!ente apoyada con una car'a concentrada que act;a en su punto !edio, se !uestra en la 6i'ura /Y( )i la !asa de la 4i'a es despreciable co!parada con la !asa que act;a, encuentre la 6recuencia natural del siste!a( %e la resistencia de !ateriales, la 6lexi3n en el punto !edio de una 4i'a si!ple!ente apoyada, debido a la car'a concentrada + en el centro de la 4i'a, est& dada por ȢD+L/01I, donde 1 e I tienen los si'ni6icados usuales( 3
+ara de6lexiones peque8as, VD+ Ȣ D 0 1I 1 C por tanto la ecuaci3n de !o4i!iento para esta 4ibraci3n libre sin a!orti'ua!iento es !ẍ XVx D. 0 n=
√
k =√ 48 '2 / m 13 ra! / seg m
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J( 1l instru!ento que se !uestra en la 6i'ura esta r5'ida!ente !ontado en una plata6or!a +,la cual a su 4ez esta sostenida por cuatro resorte, cada uno con una ri'idez KD.. @!()i el piso se so!ete a un desplaza!iento 4ertical [ D/. sen9t:!!,de donde t esta en se'undos( %eter!ine a: la a!plitud de la 4ibraci3n de estado continuo( b: \"u&l es la 6recuencia de la 4ibraci3n del piso requerida para pro4ocar resonancia]( 1l instru!ento y la plata6or!a tienen una !asa total de -. V'(
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olución: La 6recuencia natural es SD
√
$ m D
√
4
(
800 3
m 20 kg
)
D/-(^ rads
La a!plitud de la 4ibracion de estado continuo se deter!ina con la si'uiente ecuacion
Al ree!plezar V δ en F 0
0
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¿ x
δ 0 2
00 1 −( ) 0n
=
10 2
/ s ) D1.E%% -pta 1−( 12 ra! / s 8 ra!
7currira resonancia cuando la ao!plitud de 4ibracion _ pro4ocada por el desplza!iento del piso tienda a in6inito(1sto requiere( 0 =0 n D1.@ rad
0( 1l !otor eléctrico de J. V' que se ilustra en la 6i'ura esta sostenido por cuatro resortes,cada uno con una ri'idez de -.. @!()i el rotor se desbalancea de !odo que su e6ecto equi4al'a a una !asa de 0 V' situada a .!! del e2e de rotacion,deter!ine a: la a!plitud de la 4ibracion cuando el rotor 'ira a 0 D/. rads(1l 0
6actor de a!orti'uacion es c c c D.(/^(
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olución: La 6uerza periodica que hace que el !otor 4ibre es la 6uerza centri6u'a a consecuencia del rotor desbalanceado(1sta 6uerza tiene una !a'nitud constante de 2
F 0 =man=mr00 =4 V'9.(.:9
10 ra!
2
/ s :D-0@
"o!o FD F sen 0 t,!on!e0 D/. rads,entonces 0
0
0
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'=? sen 10 t La ri'idez de todo el siste!a de cuatro resortes es V D09-..@!: KD..@! +or consi'uiente,la 6recuencia natural de 4ibraci3n es 800 3 / m k 0n D m D D^(/0 rads 30 kg
√
√
"o!o se reconoce el 6actor de a!orti'uaci3n,la a!plitud de estados continuio se deter!ina con la si'uiente ecuaci3n
00 0n
¿ −¿ 1 ¿ c )¿ 2(
2
#$ D
cc
¿ ¿ ¿ √ ¿ F / k ¿ 0
10 5.164
¿ 1−¿ ¿ 2 ( 0.15 )¿ #$ D ¿ ¿ ¿ √ ¿ 24 / 800 ¿
2
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*+$>.>1>E%=1>.E%%
-pta
^( =n edi6icio de !asa ! esta soportado uni6or!e!ente por cuatro resortes, cada uno con una ri'idez V deter!ine el periodo natural de 4ibraci3n 4ertical T + & = const 4
5
¿ ¿
1
T = m ¿ 2
6 s − 5
¿ ¿ 1 & =mg5 + ( 4 k ) ¿ 2
5
¿ ¿ 6 s − 5 ¿ ¿ 1 T + & = m ¿ 2
m 5 5 + mg 5 −4 k ( 6 s − 5 ) 5 =0 7
7 7
7
7 7
m 5 + mg+ 4 k5 − 4 k 6 s =0
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7
6 s=
ms 4 k
7 7
m 5 + 4 k5 =0 7 7
5 +
4 k
wn=
T =
m
√
5=0
4 k
m
2 #
wn
= #
√
m k
( La 4i'a esta soportada en sus extre!os !ediante dos resortes A y B cada uno con la !is!a ri'idez V( cuando la 4i'a no tiene car'a, presenta un periodo de 4ibraci3n 4ertical de .(Js, si se coloca una !asa de ^.V' en su centro, el periodo de 4ibraci3n 4ertical es de /(^-s( calcule la ri'idez de cada resorte y la !asa de la 4i'a(
√
T =2 #
m k 0.83
¿ ¿ ¿2 ¿ 2 #
¿ ¿ ¿2 ¿
2
T
2
(2 # )
m k
= →¿
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1.52
¿ ¿ ¿2 ¿ 2 #
¿ ¿ ¿2 ¿ ¿
( 1 ) en (2 ) mB =0.03490 k mB + 50= 0.1170 k mB =21.2 kg
k =609
3 m
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!onclusiones Las 4ibraciones !ec&nicas pueden clasi6icarse desde di6erentes puntos de 4istas dependiendo de a: la excitaci3n, b: la disipaci3n de ener'5a, c: la linealidad de los ele!entos y las caracter5sticas de la se8al(
Dependiendo de la excitaci3n • •
*ibraci3n Forzada *ibraci3n libre
=na *ibraci3n libre es cuando un siste!a 4ibra debido a una excitaci3n del tipo instant&nea, !ientras que la 4ibraci3n 6orzada se debe a una excitaci3n del tipo per!anente( 1sta i!portante clasi6icaci3n nos dice que un siste!a 4ibra libre!ente si solo existen condiciones iniciales del !o4i!iento, ya sea que su!inistre!os la ener'5a por !edio de un i!pulso 9ener'5a cinética: o debido a que posee ener'5a potencial, por e2e!plo de6or!aci3n inicial de un resorte( Dependiendo de la disipaci3n de ener'5a • •
@o a!orti'uada A!orti'uada
1l a!orti'ua!iento es un sin3ni!o de la perdida de ener'5a de siste!as 4ibratorios y se !ani6iesta con la dis!inuci3n del desplaza!iento de 4ibraci3n( VIBRACIONES Pág. 51
