METODO DEL TRAPECIO Objetivo •
Interpretar como por medio del método numérico del trapecio se logra determinar el área total bajo una curva.
•
Resolver problemas de cálculo de áreas bajo la curva entre dos límites conocidos dividiendo en n subárea para calcular su valor asumiendo su subárea como un pequeño trapecio.
Marco teórico En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral deinida !a regla se basa en aproximar el valor de la integral de "x# por el de la unción lineal que pasa a través de los puntos "a, "a## $ "b, "b##. !a integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráica de la unción lineal. %e sigue que&
' el error es& %iendo
un n(mero entre a $ b.
)onsidérese la unción * en el intervalo + a, b, con los puntos " a, *"a## $ "b, *"b## se constru$e el polinomio de !agrange de grado uno. *" x # - P " x # / E , donde
01ora,
es E es
el error en la aproximación
!a expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P " x # $ la igura que resulta es un trapecio. El método de los trapecios es mu$ simple $ se puede explicar ácilmente a partir de la siguiente igura.
Regla del trapecio compuesta !a regla del trapecio compuesta compuesta o regla de los trapecios trapecios es una orma de aproximar aproximar una integral deinida deinida utili2ando n trapecios. En la ormulación de este método se supone que es continua $ positiva en el intervalo +a,b. 3e tal modo la integral deinida representa el área de la región delimitada por la gráica de $ el eje x. 3esde x-a 1asta x-b. 4rimero se divide el intervalo +a,b en n subintervalos, cada uno de anc1o
3espués de reali2ar todo el proceso matemático se llega a la siguiente órmula&
3onde
$ n es el n(mero de divisiones.
En la siguiente graica se observa como el área bajo la curva se divide en subáreas dentro de dos límites $a establecidos.
Sistema a resolver Regla del trapecio simple )on la ecuación de la regla del trapecio integre numéricamente f ( x )=0.2 + 25 x −200 x
2
+
675 x
3
"a#-"5#-5.< "b#-"5.6#-5.<;< I =( b−a )
f ( b ) −f ( a )
I =( 0.8− 0 )
2
0.2 −0.232 2
=0.1728
−
900 x
4
−
400 x
5
desde a-5 1asta b-5.67 solución analítica I-.895:;;
Et =1.640533 −0.1728 =1.467733
|
ε t =
1.640533 − 0.1728 1.640533
|
X 100 =89.46
0.8
∫ −400 +4050 x −10800 x + 8000 x 2
( )
f prom 2 ( x ) =
3
dx
0
=−60
0.8−0
0.8
¿ ¿ 1 Ea = (−60)¿ 12
Regla del trapecio m(ltiple )on la ecuación de la regla del trapecio integre numéricamente f ( x )=0.2 + 25 x −200 x
2
+
675 x
3
−
900 x
4
−
400 x
5
desde a-5 1asta b-5.67 solución analítica I-.895:;;
n-= h=
( 0.8− 0) 7
= 0.114286
"a#-"5#-5.< "b#-"5.6#-5.<;< x
"x#
5.9<68
.;58=9 .;6>< 6 .><9:9 9 <.>>6;6 9 ;.:;=6> : <.:>>5 <
5.<<6:= 5.;9<6: = 5.9:=9 ; 5.:=9< > 5.86:= 9
∑ x 1+ ∑ x 2 + ∑ x 3+ ∑ x 4 + ∑ x 5+ ∑ x6 ¿ ∑ x 7 f ( x 0 ) I = 2¿ 2n I =
0.114286 2 ( 7)
2 ( 0.114286 + 0.228571 + 0.342857 + 0.457143 + 0.571429 ) 0.685714
I =1.588743 Et =1.640533 −1.588743 =0.051790
|
ε t =
1.640533 −1.588743 1.640533
|
X 100=3.15
0.8
∫ −400 +4050 x −10800 x + 8000 x 2
( 2)
f prom ( x ) =
3
dx
0
0.8−0
=−60
0.8
¿ ¿ 1 Ea = (−60)¿ 12
Algoritmo Integra aproximadamente "x# en el intervalo +a, b ′ aplicando la órmula del trapecio con n subintervalos. 3ividimos el intervalo a,b en n subintervalos de igual . !ongitud. 0proximamos en cada subintervalo, la unción "x# por <. una recta Entonces aproximamos el área que 1a$ entre a $ b por ;. la suma de las áreas de los trapecios. "?er igura # Evaluamos la unción en los extremos de los 9. subintervalos 0plicar la regla de los trapecios
Diagrama de flujo
Código fuete @include Astdio.1B @include Astdlib.1B @include Amat1.1B int main "# C int i,n,op,op<7 loat a,b,1,D,D<,3,3<,+55555,%-5,Dn,I,E,2,vr-.895:;;7 doC s$stem"FclsF#7 print"FGtGtIntegracion numerica& Hetodo del trapecioF#7 print"FGnGnHetodo a utili2ar&Gn.Jrapecio linealGn<.Jrapecio multiple& F#7 scan"FKdF, Lop<#7 sMitc1"op<#C case & NO4roceso del trapecio linealON s$stem"FclsF#7 print"FGnIngrese el intervalo +a,b&Gna& F#7 scan"FKF, La#7 print"FGnb& F#7 scan"FKF, Lb#7 NOEvaluacion de las unciones en los intervalosON D-5.55OpoM"a,9#/955OpoM"a,:#7 D<-5.55OpoM"b,9#/955OpoM"b,:#7 3-955Oa/<5<:OpoM"a,<#;855OpoM"a,;#/<555OpoM"a,9#7 3<-955Ob/<5<:OpoM"b,<#;855OpoM"b,;#/<555OpoM"b,9#7 NO)alculo de el error $ de la integralON E-"poM"ba,;#O""3<3##N"ba##N"<#7 I-"ba#O"D/D<#N<7 s$stem"FclsF#7 print"FGnRango ingresado& +K,KF, a,b#7 print"FGnGnEl valor aproximado de la integral deinida es I- KGnGn)on un error de E- KGnGnF,I,OE#7 s$stem"FpauseF#7 breaP7 case <& NO4roceso del trapecio multiuncionalON s$stem"FclsF#7 print"FGtGtIntegracion numerica& Hetodo del trapecioF#7 print"FGnIngrese el numero de rectangulos& F#7 scan"FKdF, Ln#7
print"FGnIngrese el intervalo +a,b&Gna& F#7 scan"FKF, La#7 print"FGnb& F#7 scan"FKF, Lb#7 NO)alculo del anc1o intervalo, evaluacion de la uncionON 1-"ba#Nn7 D-5.55OpoM"a,9#/955OpoM"a,:#7 D<-5.55OpoM"b,9#/955OpoM"b,:#7 2-a7 print"FGtGt'F#7 or"i-7 iA-n7 i//#C
puts"FF#7 +i-2/17
2-+i7 Dn-5.55OpoM"+i,9#/955OpoM"+i,:#7 print"FKGtKF,+i,Dn#7 %-%/Dn7 Q puts"FF#7 s$stem"FpauseF#7 NO)0!)!S 3E !0 ITJEUR0! ' ERRSRON I-"ba#O"D/
print"FGn"x#-5.55"xV9#/955"xV:#F#7 print"FGnRango ingresado& +K,KGnGnTumero de rectangulos n-KdGnGnTorma de las particiones 1 -
KF, a,b,n,1#7 print"FGnEt-KGnet-KKKF,vrI,"vrI#O55Nvr#7 print"FGnGnEl valor aproximado de la integral deinida es I- KGnGn)on un error de E- KGnGnF,I,E#7 s$stem"FpauseF#7 breaP7 Q s$stem"FclsF#7 print"F3esea repetir el procesoWGn.%iGn<.To& F#7 scan"FKdF, Lop#7 Q M1ile"op--#7 return 57 Q
Im!resioes de !atalla Ca!tura de !atalla "# Hen( para escoger la regla del trapecio que se desee apretando la tecla del n(mero o < seg(n sea el caso.
Ca!tura de !atalla $# %e escogió el numero < trapecio m(ltiple $ el programa pide el n(mero de rectángulos bajo la curva $ el intervalo, después despliega una tabla con las xXs $ las xXs evaluadas en la unción original.
Ca!tura de !atalla %# %e imprime la unción original, el intervalo en que se eval(a la unción $ el n(mero de rectángulos, así como los errores $ el valor aproximado de la integral
Coclusioes Por Leal Aceves Brandon Gustavo
%e videncia que por medio de la regla o método del trapecio se logra dar una solución a una integral deinida, $a sea por medio de la regla sencilla utili2ando solamente dos puntos o por medio de la regala compuesta utili2ando n puntos o trapecios bajo la curva. Jambién se evidencia que entre más grande se la n, el valor aproximado de área bajo la curva será más exacto si no es que 1asta exacto en algunos casos.
Referecias "& 'tt!())***#sc#e'u#es)sb*eb)fisica)curso+ava)umerico)itegracio)tra!ecio)tra!ecio#'tm $& 'tt!())!ortales#!uj#edu#co)objetosdea!redi,aje)Olie)OA"-)ca!itulo.)ca!itulo./$#'tm
%& 'tt!s())fjarabo#*ebs#ull#es)0irtualDoc)Curso1$-$-""2$-"$)Igeier1C%1ADa1$-3u 1C%1ADmica)$/Teoria)Tema/4/Igeieria/de/la/Reaccio/3uimica)A4-)4-%/Itegracio/ grafica/!or/Tra!ecios#!df
METODO DE R567E285TTA Objetivo El objetivo de lo método numérico de RungeYutta, es el análisis $ solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones dierenciales ordinarias.
Marco teórico En esencia, los métodos de RungeYutta son generali2aciones de la órmula básica de Euler $ i/ - $ i / 1 "ti, $ i# en los que el valor de la unción se reempla2a por un promedio ponderado de valores de en el intervalo t i Z t Z ti/, es decir,
[[[[[[[[. "# En esta expresión las ponderaciones M i, i - ,..., m son constantes para las que en general se pide que su suma sea igual a , es decir, M / M< /... / Mm - , $ cada P j es la unción evaluada en un punto seleccionado "t, $# para el cual t i Z t Z ti/. %e mostrará que los P j se deinen en orma recursiva.
%e deine como orden del método al n(mero m, es decir, a la cantidad de términos que se usan en el promedio ponderado. Ruge28utta de cuarto orde
%i a1ora m - 9, se obtiene, con un desarrollo del tipo del anterior, la siguiente órmula, para i desde 5 1asta T&
%i bien con acilidad se pueden deducir otras órmulas, el algoritmo expresado en las ecuaciones de arriba, se denomina método de RungeYutta de cuarto orden, o método clásico de RungeYutta, abreviado como RY9. Este algoritmo es de uso extendido, $ reconocido como una valiosa 1erramienta de cálculo, por la buena aproximación que produce. Esta órmula tiene un error de truncamiento local de S "1 :#, $ un error global de S "1 9#. 3e nuevo, el precio que se debe pagar por la mejora en el error, es una ma$or cantidad de evaluaciones de la unción, resultando en un ma$or tiempo de cálculo si la unción es complicada. Jiene la ventaja, sobre el método de Ja$lor de orden 9 "cu$o error global es también S "1 9#, que no requiere el cálculo de las derivadas de .
Sistema a resolver Integre
y = f ( x , y )=−2 x '
3
+
12 x
2
−
20 x + 8.5
1-5.: $- en x-5 +$"5#- desde x-5 1asta x-.: I9 y 1= y 0 +
1 6
( k + 2 k + 2 k + k ) h 1
2
3
4
k 1= f ( x 0 , y 0 ) =f ( 0,1 )= 8.5
(
1
1
2
2
)
k 2= f x 0 + h , y 0 + k 1 h =f ( 0 + ( 0.5 ) ( 0.5 ) , 1 + ( 0.5 ) ( 8.5 ) ( 0.5 ) ) =4.21875
(
1
1
2
2
)
k 3 =f x 0 + h , y 0 + k 2 h = f ( 0 + ( 0.5 ) ( 0.5 ) .1+ ( 0.5 ) ( 4.2875 ) ( 0.5 ) )= 4.21875
k 4= f ( x0 + h , y 0 + k 3 h )= f ( 0 + 0.5,1 + 4.21875 ( 0.5 ) ) =1.25
y 1=1 +
1 6
( 8.5 + 2 ( 4.21875 ) + 2 ( 4.21875 ) +1.25 ) ( 0.5 )=3.21875
I9" y 1= y 0 +
1 6
( k + 2 k + 2 k + k ) h 1
2
3
4
k 1= f ( x 0 , y 0 ) =f ( 0.5,3.21875 )= 1.25
(
1
1
2
2
(
1
1
2
2
)
k 2= f x 0 + h , y 0 + k 1 h =f ( 0.5+ ( 0.5 ) ( 0.5 ) , 1 + ( 0.5 ) ( 1.25 ) ( 0.5 ) )=−0.59375
)
k 3 =f x 0 + h , y 0 + k 2 h = f ( 0.5 + ( 0.5 ) ( 0.5 ) .1 + ( 0.5 ) ( −0.59375 ) ( 0.5 ) )=−0.59375
k 4= f ( x0 + h , y 0 + k 3 h )= f ( 0.5 + 0.5,1−0.59375 ( 0.5 )) =−1.5
y 1=3.21875 +
1 6
( 1.25 + 2 (−0.59375 ) +2 (−0.59375 )−1.5 ) ( 0.5 )=3
I9$ k 1= f ( x 0 , y 0 ) =f ( 1,3 )=−1.5
(
1
1
2
2
(
1
1
2
2
)
k 2= f x 0 + h , y 0 + k 1 h =f ( 1 + ( 0.5 ) ( 0.5 ) , 1 + ( 0.5 ) (−1.5 ) ( 0.5 ) ) =−1.65625
)
k 3 =f x 0 + h , y 0 + k 2 h = f (1 + ( 0.5 ) ( 0.5 ) .1 + ( 0.5 ) (−1.65625 ) ( 0.5 ) )=−1.65625
k 4= f ( x0 + h , y 0 + k 3 h )= f ( 1+ 0.5,1− 1.65625 ( 0.5 ) )=−1.25
y 1=3 +
1 6
( −1.5 + 2 (−1.65625 )+ 2 ( 1.65625 ) −1.25 ) ( 0.5 )=2.21875
7r:fica
Algoritmo %e presenta a continuación el pseudocódigo del método RY9, para ser implementado en cualquier lenguaje de programación, o sotMare simbólico.
Diagrama de flujo
Código fuete @include Astdio.1B @include Astdlib.1B @include Amat1.1B void rP"loat#7 int main"# C loat 17 int op7 doC s$stem"FclsF#7 puts"FHEJS3S 3E RTUEYJJ0Gn"x#-
print"FGnb& F#7 scan"FKF, Lb#7 print"F'o- F#7 scan"FKF, L$+5#7 print"FGno& F#7 scan"FKF, Lx+5#7 s$stem"FclsF#7 NO0%IUT0)IST 3E !0 ).I 0! 4RIHER ?0!SR 3E !0 DT)IST SRIUIT0!ON +5-$+57 NO4RS)E%S 3E JS30% !0% IJER0)ISTE%ON or"i-57 iA"ba#N1<7 i//#C P-
Im!resioes de !atalla Ca!tura de !atalla "# En la pantalla se imprime la unción donde se eval(an las x]s aquí nos pide que introdu2camos la anc1ura de $ el intervalo a evaluar asi como las condiciones iniciales
Ca!tura de !atalla $# Tos presenta una tabla con las x]s o n(mero de interacciones $ con la "x# de Euler $ la "x# de RunggeYutta
Coclusioes Por Leal Aceves Brandon Gustavo
RungeYutta no solo es un método sino una importante amilia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones dierenciales ordinarias. Este método
extiende una idea geométrica al utili2ar varias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la unción desconocida. Jambién este método mejora la aproximación del método de Euler para resolver de modo aproximado sin necesidad de calcular derivadas de orden superior.
Referecias "& 'tt!())***#frs#ut#edu#ar)gie)a)medo)%./R8#'tml
$& 'tt!())***#uac#edu#!e)documetos)orgai,acio)vr i)cdcitra)Iformes/;iales/Ivestigacio)+uio/$-"")I;/COLLA6TE/<5A6TO/;IME#!df
%& 'tt!())es#slides'are#et)DesireO)trabajo2rage2=utta2com!utacio
Coclusió SIMPSO6
Janto la regla de %impson de N; $ ;N6 es más exacta que otros ormas numéricas de aproximar la integral como la regla del trapecio. !a regla de %impson de N; $ la de ;N6 se pueden aplicar juntas sobre una misma curva para obtener exactitudes de tercer orden sobre todo un intervalo. )on el método de %impson se logra convertir matemáticas superiores en aritméticas básicas. Coclusió E5LER
!a convergencia lenta del método de Euler $ lo restringido de su región de la estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia ma$or. no de los aspectos resaltantes del método es que a medida que dividimos el tamaño del paso 1, los errores también se disminu$en en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo de implementar pero
de orden bajo por lo que dependiendo del grado de precisión que desees el 1 puede ser mu$ pequeño na orma de mejorar el método Euler es utili2ar una mejor aproximación a la integral
