Segundo parcial
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Contenidos Artículos Primer momento de área
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Tensión cortante
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Segundo momento de área
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Primer momento de área
Primer momento de área El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.
Primer momento de área Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de área de el área respecto a un eje de ecuación viene dado por la integral sobre el área de la distancia al eje fijado:
Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de área respecto a los ejes coordenados, por la propia definición de centro de masas:
Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección se tiene:
El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:
Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el primer momento de área. Primer momento de área parcial
Área parcial para el cálculo de la tensión cortante.
Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin embargo, si se considera un área parcial de una sección y se calcula el primer momento de área respecto al centro de gravedad de la sección completa el resultado no es cero. Designaremos a este primer momento de área parcial por la letra y su valor vendrá dado por:
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Primer momento de área
Para una sección rectangular de dimensiones 2 h x b se tiene:
El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski).
Segundo momento de área Análogamente al primer momento de área se define el segundo momento de área, o momento de inercia, como:
Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como: Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.
Momentos de área de orden superior En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo:
Donde la integral se extiende sobre sobre todo el dominio plano A de ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:
Véase también • Fibra neutra
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Tensión cortante
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Tensión cortante La tensión cortante o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele representar con la letra griega tau (Fig 1). En piezas prismáticas, las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor. [1] [2] En piezas alargadas, como vigas y pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal (i.e., uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente.
Fig 1. Esquema del esfuerzo cortante.
Tensión cortante promedio
Fig 2. Esfuerzo cortante sobre tornillos.
Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen uniformemente sobre un área, si se quiere obtener la tensión media es usada la fórmula:
donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza cortante y A representa el área de la sección sobre la cual se está aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta una pieza. En esta imagen (Fig 2.), el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al ser cortados por las piezas que unen (línea verde).
Tensión cortante
Fórmula de Collignon-Jourawski Si se requiere encontrar la tensión cortante debida fuerza cortante en un punto específico, lo cual es común en vigas, se usa la siguiente fórmula, conocida como fórmula de Collignon (1877):
donde V y representa la fuerza cortante, Q y el producto del centroide y el área que se abarca desde un extremo hasta el punto donde se quiere encontrar el esfuerzo, I z el momento de inercia de la sección total respecto a un eje perpendicular a la dirección del cortante y t z el espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la dirección del cortante. Aunque esta fórmula fue publicada por Collignon en 1877 y se conoce con su nombre, previamente había sido utilizada en 1844 por el ingeniero ruso D. J. Jourawski [3] para calcular tensiones en vigas de madera, publicando esta fórmula en 1856. Puntos importantes: • El esfuerzo cortante en el cordón superior y el inferior es cero. • El esfuerzo cortante en la línea neutra de la pieza (coincidente con el centro de gravedad) es máximo. • El momento de inercia y el centroide de las figuras es con respecto al eje neutro de la pieza. Deducción de la fórmula de Collignon-Jourawski La fórmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensión tangencial, sino sólo el promedio a lo largo de una línea que divida en dos la sección transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar la deducción de la misma. Para la deducción partiremos de las ecuaciones de equilibrio elástico cuando no existen fuerzas másicas, la primera de ellas para la componente X es igual a: (1)
Si se presupone que sólo el esfuerzo cortante está dirigido según el eje Y (y que esta dirección coincide con una de las direcciones principales de inercia), y que el eje X coincide con el eje de la pieza y, además, que las tensiones están provocadas únicamente por un esfuerzo normal constante y un momento flector y un esfuerzo cortante variables, tenemos:
Substituyendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación de equilibrio (1), se tiene la relación entre la tensión tangencial y el esfuerzo cortante: (1')
Integrando directamente esa última ecuación se llega a:
La anterior ecuación resulta incómoda porque depende de la coordenada C ( z) situada sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la coordenada de un punto sobre el contorno de la sección, usando las condiciones de contorno que acompañan a las ecuaciones de equilibrio elástico). Sin embargo, se puede
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Tensión cortante
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definir la tensión cortante media como:
Esta última coincide (salvo signo) con la fórmula de Collignon usada para calcular la distribución media de tensiones cortantes a lo largo de la sección que se mencionaba en el apartado anterior. Cabe señalar que hemos introducido el llamado primer momento de área parcial definido como:
Tensión cortante máxima La anterior ecuación puede usarse para calcular la tensión tangencial máxima para diferentes tipos de sección y comparar su valor con el de la tensión promedio. Puede probarse que para cualquier tipo de sección transversal se cumple que:
Sección rectangular Para una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas vienen dadas por:
Donde
es la altura del punto donde se calculan las tensiones respecto al centro de la sección.
Eso significa que para las secciones rectangulares
.
Sección circular Para una sección circular maciza de radio R sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas son: Eso significa que para las secciones circulares .
Referencia [1] Ortiz Berrocal, pp. 196-202 y pp. 553-555 [2] Monleón Cremades, S. pp. 400 [3] A veces transcrito también, D. J. Zhuravski
Bibliografía • Hibbeler, R. C. (2005): Mechanics of materials , sexta edición. Prentice Hall. • Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas , Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6. • Ortiz Berrocal, L., Elasticidad , McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.
Véase también • • • •
Esfuerzo interno Esfuerzo cortante centro de cortante y torsión Tensión mecánica
Segundo momento de área
Segundo momento de área En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo.
Definición Dada una sección plana transversal Σ de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección Σ mediante la siguiente fórmula:
Donde: • I eje, es el segundo momento de inercia alrededor del eje escogido. • dA, es el diferencial de área, de la sección Σ. • r , es la mínima distancia del elemento dA al eje escogido.
Momentos de inercia principales Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadas rectangulares ( x, y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Y además del momento de inercia mediante:
Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si I xy = 0, y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión esviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como:
Siendo M x y M y las componentes del momento flector total sobre la sección Σ. Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica la mayoría de secciones de uso en ingeniería se dan en (cm 4).
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Segundo momento de área
Teorema de ejes paralelos El teorema de Steiner o de ejes paralelos permite, conocidos los momentos respecto a ejes que pasen por el centro de gravedad, calcular muy fácilmente los momentos de inercia respecto a ejes paralelos que no pasen por el centro de gravedad. Este "traslado" del segundo momento de inercia, se hace mediante la fórmula:
Donde: • • • •
I - Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa. eje (CM ) I - Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de gravedad. eje
A - Área de la sección transversal. d - Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.
Momentos de inercia de figuras planas [1] • Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad:
• Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad:
• Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad:
• Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad:
• Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano):
• Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad:
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Segundo momento de área
Referencias [1] Estática y Estructuras Isostáticas (http://libreriacompas.com/Estática-y-estructuras-isostáticas_84-95434-23-7.html), de Vicente Viana
Véase también • primer momento de área • Radio de giro • Momento flector
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Fuentes y contribuyentes del artículo
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Fuentes y contribuyentes del artículo Primer momento de área Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40581468 Contribuyentes: Davius, Humberto, Tano4595, 8 ediciones Tensión cortante Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47532805 Contribuyentes: C.lingg, Daniel De Leon
anónimas
Martinez, Davius, Feministo, Fluxor, Hispa, Ignacio Icke, JMCC1,
Kved, Lampsako, Numbo3, Taka 470, Tano4595, 18 ediciones anónimas Segundo momento de área Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38294697 Contribuyentes: 3coma14, Daniel De Leon Martinez, Davius, Ecron, GermanX, Muro de Aguas,
Tano4595, 22 ediciones anónimas
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