Primer momento de área El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas de vigas en en ingeniería ingeniería estructural, estructural, en particular la tensión la tensión cortante cortante media dada por la fórmula la fórmula de Collignon, Collignon, que es proporcional proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección la sección transversal de transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide al centroide del del área.
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Prime Primerr mome momento nto de área área
Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o o Q . Dado un eje o recta se define el primer mome momento nto de área área del del área área A resp respec ecto to a un eje de ecuac ecuació iónn Área parcial para el cálculo de la tensión cortante. (cos(α)x + sin(α)y ) + c = 0 viene dado por la integral sobre el área de la distancia al eje fijado: 1.1 Primer Primer mome momento nto de área área parcial parcial
∫
S eje eje = A d(x, y ) dxdy = sin(α)y + c) dxdy
∫ (cos(α)x +
Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin embargo, si se consiSi consideramos coordenadas x e e y centradas en el centro el centro dera un área parcial de una sección y se calcula calcula el primer de masas y masas y se calculan los primeros momentos de área momento de área respecto al centro de gravedad de la respecto a los ejes coordenados, por la propia definición sección completa el resultado no es cero. Designaremos de centro de masas: a este primer momento de área parcial por la letra Q y y su valor vendrá dado por: S xCM = A y dxdy = yG A = S yCM = A x dxdy = x G A = 0 0 Qy (y) = A y¯dx ¯dy¯ = h G A p
∫ ∫
A
∫
·
·
Para una sección rectangular de dimensiones 2 h x b se tiene:
Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección sección se tiene:
∫
Qy ( y ) =
CM S eje = (cos(α)x + A sin(α)y ) dxdy = A (cos(α)xG +sin(α)yG ) = A(0 + 0) = 0
2
∫
2
b(h −y )
∫ d x¯ ∫ y¯dy¯ = b b
0
h h y
h+y
2
A p =
2
El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski).
El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que: S eje = A eje c) dxdy = A · c
·
p
(cos(α)x + sin(α)y +
2
Segund Segundo o mome momento nto de área área
Donde resulta que c coincide coincide con la distancia de ese eje al centr centroo de graved gravedad ad y el resu resulta ltado do anteri anterior or es eleq el equi uiva vale lente nte Análogamente al primer momento de área se define el sedel teorema del teorema de Steiner para Steiner para el primer momento de área. gundo momento de área, o momento de inercia, inercia, como: 1
4 VÉASE TAMBIÉN
2
∫
∫
d2 (x, y ) dxdy = A (cos(α)x + sin(α)y + c)2 dxdy
I eje
A
=
Donde c es la distancia entre el eje considerado y el centro de gravedad del área. Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como: CM I eje = I eje + Ac2 CM Donde I eje sería el sengundo momento de área según eje paralelo al considerado, pero que psara por en centro de gravedad del área. Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.
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Momentos de área de orden superior
En general se definen los n -ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo: (n)
meje (A) =
∫ d (x, y) dxdy n
A
Donde la integral se extiende sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:
(n)
mx (A) = m(yn) (A) =
4
� �
y n dxdy
A
xn dxdy
A
Véase también •
Fibra neutra
3
5
Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
5.1 •
Texto Primer momento de área Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Primer_momento_de_%C3%A1rea?oldid=87873937 Colaboradores:
Tano4595, Chlewbot, CEM-bot, Davius, Humberto, VolkovBot, Muro Bot, DorganBot, Alexbot, MastiBot, Luckas-bot, MystBot, ZéroBot, ChuispastonBot, WikitanvirBot, KLBot2 y Anónimos: 10
5.2 •
Imágenes Archivo:FirsMomAr.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/FirsMomAr.pngLicencia: CC-BY-SA-3.0 Co-
laboradores: Trabajo propio Artista original: Davius
5.3 •
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