TEOREMA AREA - MOMENTO
Este método fue desarrollo desarrollo por Otto Mohr y revisado por Charles E. Green en 1872, se le conoce conoce también como Teorema Teorema de Mohr o Teorema de Green. El método se basa en dos teoremas del Área de Momento, que relaciona la configuración geométrica geométrica de la curva elástica de una viga con su diagrama M/EI, el cual se construye construye al dividir el diagrama del momento flexionante flexionante M entre la rigidez y la flexión EI. Este método método resulta más convenient convenientee para ser usado usado en vigas vigas con discontin discontinuidad uidades es en la carga y la EI variable; variable; en comparación con el método integración directa. .- Consideremos una viga simplemente apoyada con un sistema cualquiera de carga:
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Recordando que: dθ = M/EI. dx ……………(1)
M/EI: es el área del diagrama del momento flexionant dividido entre EI. dx: es un ancho diferencial.
Para determinar el cambio en la pendiente entre dos puntos arbitrarios A y B de la viga, integramos la ecuación (1) B
∫
d θ =
A
B
∫ a
M EI
dx.......... .........( 2)
La ecuación (3) es la representación Primer Teorema Momento –Area o θ B / A Mohr.:
= θ B −
θ A
B
= ∫ A
M EI
matemática del Primer Teorema de dx................( 3)
……“ La diferencia de pendiente entre dos puntos cualesquiera (A) y (B) de una viga elástica; es igual al área del diagrama (M/EI ) entre dichos puntos, siempre que la curva elástica sea continua”… donde: θA, θB : son las pendientes de la curva elástica en los puntos A y B con relación al eje no deformado de la viga (horizontal) θB/A.: ángulo entre las tangentes a la curva elástica en A y B. :
B
M
A
EI
∫
representa el área debajo del diagrama M/EI entre los puntos A y B.
dx
SI tomamos nuevamente la figura y trazamos las tangentes en los extremos del elemento d∆ = dt , se observa que dt es la desviación tangencial entre dichas dt = x (dθ) …………………………..(4) x: distancia desde B al centroide del elemento dx. dt = x ( M/EI.dx)……………………….(5) el segundo miembro denota el primer momento del área diferencial correspondiente a dx respecto a B. integrando la ecuación (5) entre dos puntos cualesquiera; A y B de la viga: B
∫ A
dt =
t B / A
B
M
∫ A EI x~.dx
= t B −
t A
=
M ~ x .dx..........................(6) A EI B
∫
La ecuación (6) representa la expresión matemática del segundo Teorema del Momento –Area o segundo Teorema de Mohr: ….” La distancia entre un punto cualquiera de la curva elástica y la tangente trazada por otro punto, es igual al momento de primer orden del área del diagrama M/EI respecto del primer punto”…
Donde… tB/A : (área del diagrama M/EI ). x: distancia del centroide del diagrama M/EI al punto B.
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DIAGRAMAS M/EI:
Si la sección es constante, EI también lo es, y el diagrama M/EI tomará la misma forma del diagrama del momento flexionante; en cambio, si se presentan variaciones de sección en intervalos definidos, deben tomarse en cuenta antes de aplicar los Teorema de Mohr.
CONVENCION DE SIGNOS:
Un diagrama de momento flexionante positivo (+) entre los puntos A y B, produce un giro positivo (+) (antihorario)al pasar de la tangente en A a la tangente en B ( θ B/A ); entonces t B/A, es positivo (+) y el primer punto (B) se encuentre arriba de la tangente a la curva elástica del punto A y viceversa NOTACION:
[ t B/A, t A/B El primer denota le donde se la desviación donde se momento de orden, en el segundo denota el donde traza la tangente a la curva elástica.
]: subíndice punto en determina y el punto toma el primer tanto que subíndice punto
…….”siempre se toma el momento de primer orden respecto al primer punto, (primer subíndice)….” NOTA: Los dos teoremas anteriores , no proporcionan directamente la rotación respecto a la posición original de la viga y la deflexión, sino la rotación entre dos puntos de la curva elástica y la distancia de un punto a la tangente trazada por otro punto. Sin embargo, a partir de estas cantidades, pueden calcularse la rotación o la deflexión, AREA Y CENTROIDES :
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Ya que al aplicar los teorema de Mohr, es necesario calcular áreas y distancias centroidales, se muestran a continuación los diagramas de momentos flexionantes que con más frecuencia se encuentran en la practica.
W: carga uniforme
PROCEDIMIENTO: i). Dibujar el diagrama de momento flexionante (M), dividirlo entre la rigidez (EI) de la sección respectiva, para obtener el
diagrama M/EI ii). Dibujar en forma aproximada la
curva elástica de deformación de acuerdo al tipo de cargas y condiciones d apoyo.
iii). Para obtener las variaciones relativas , fijar un punto de referencia, , este punto puede ser: •
• •
a).-
El empotramiento para vigas en voladizo, donde la pendiente coincide con la posición original, además m A = θA = 0. b).- En el centro del claro, para vigas simplemente apoyadas (con carga simétrica), ya que ahí. m c = θc = 0. c). Si no hay pendientes conocidas, normalmente se trazan arbitrariamente a partir de los apoyo, y se verifica por medio de cálculos , la ubicación correcta.
iv).
Aplicar los teorema de Mohr en un intervalo determinado, generalmente definidos por los apoyos y se calculan la diferencia de pendientes y desviación tangencial. v). Si no
se pueden obtener resultados con la aplicación directa de los Teoremas de Mohr, establecer relaciones geométricas para deducir en forma indirecta, las variaciones en cualquier punto intermedio . Tipos de aplicación : vigas en voladizo:
La desviación tangencial de cualquier punto de un viga en voladizo con respecto al empotramiento, coincide con la flecha en ese punto. Vigas simplemente apoyadas:
Generalmente en este tipo de vigas, se presenta momentos (+) y (-) en el mismo tramo, que dificultan el dibujo aproximado de la curva elástica, en tal situación, se fija cualquiera de los apoyos como punto de referencia, ya que ahí se sabe que ambas flechas son nulas.
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Vigas con simetría de cargas :.
Para vigas simplemente apoyadas con carga simétrica, la curva elástica también es simétrica, y la tangente de regencia puede establecerse en el centro del claro, donde m CL = 0 y la flecha es máxima. Vigas con Asimetría de cargas :.
Cuando hay variaciones de carga en toda la viga, no es posible establecer el sitio exacto donde se produce la flecha máxima, por lo tanto conviene analizar un intervalo de referencia, que se sugiere sea el intervalo entre los apoyos, y mediante relación Geométrica, calcular la pendiente o flecha en cualquier punto intermedio. DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES:
En muchos casos, se simplifica la determinación del ángulo θ D/C y la desviación tangencial t D/C si el efecto de cada carga se evalúa en forma independiente. Se dibuja un diagrama (M/EI) distinto para cada carga, y se obtiene el ángulo θ D/C sumando algebraicamente las áreas bajo los distintos diagramas, en forma similar, la desviación tangencial t D/C se obtiene con la suma de los primeros momentos de estas áreas respecto a un eje vertical que pasa por D (primer subíndice). Consiste en elegir un apoyo fijo o empotramiento en cualquier parte de la viga, suponiendo que el resto funcione como voladizo, por lo que el momento flexionante en una sección cualquiera, es igual a la suma de los momentos flexionantes provocados en esa misma sección por las cargas consideradas actuando independientemente.
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