“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”
‘‘Universidad Csar Va!!e"#$$
ASIGNATURA ASIGNATURA
: RESISTENCIA RESISTENCIA DE MATERIAL MATERIALES ES
TEMA: RESUMENES
“MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN% RADIO DE GIRO% MOMENTO POLAR DE INERCIA% E&ES Y MOMENTO DE INERCIA PRINCIPALES”%
DOCENTE
: Ing° Luis Fernando Gómez C!"ez#
ESTUDIANTE
:$esse% R# Ru&z Saa"edra
ESCUELA
: Ingenier&a Ci"i%
SEMESTRE
:
'()*+II
TARA,OTO - ,ERU '()*
MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN: 1
MOMENTO DE INERCIA
El Momento de Inercia o Momento de Segundo Orden, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máimas !ue aparecen por fleión en un elemento estructural y, por tanto, "unto con las propiedades del material determina la resistencia máima de un elemento estructural #a"o fleión.
DEFINICIÓN $ada una sección plana transversal % de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define para cada e"e de coordenadas contenido en el plano de la sección % mediante la siguiente fórmula&
$onde& • • •
Ie"e, es el segundo momento de inercia alrededor del e"e escogido. d', es el diferencial de área, de la sección %. r, es la mínima distancia del elemento d' al e"e escogido.
MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES Si consideramos nuevamente una sección transversal plana % y la parametri(amos mediante coordenadas rectangulares ) x , y *, entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la fleión seg+n o seg+n - además del momento de inercia mediante&
Estos momentos definen las componentes de un tensor de segundo orden&
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os e"es se dice !ue son e"es principales de inercia si I xy / 0, y en ese caso podemos escri#ir la tensión perpendicular asociada a la fleión esviada simple del elemento estructural so#re cada punto de la sección % estudiada como&
Siendo M x y M y las componentes del momento flector total so#re la sección %. as unidades en el Sistema Internacional de 1nidades para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica la mayoría de secciones de uso en ingeniería se dan en )cm 2*. Si los e"es de referencia empleados no necesariamente son e"es principales la epresión completa de la tensión en cual!uier punto genérico viene dada por&
EJES PRINCIPALES DE INERCIA 3omo es sa#ido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracteri(ada por un tensor llamado tensor de inercia, !ue en una #ase ortogonal se epresa mediante una matri( simétrica. os e"es principales de inercia son precisamente las rectas o e"es formados por vectores propios del tensor de inercia. 4ienen la propiedad interesante de !ue un sólido !ue gira li#remente alrededor de uno de estos e"es no varía su orientación en el espacio. En cam#io, si el cuerpo gira alrededor de un e"e ar#itrario !ue no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cam#ios de orientación en forma de precesión y nutación.
El 5ec5o de !ue el giro alrededor de un e"e principal sea tan simple se de#e a !ue, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus e"es principales, el momento angular y la velocidad angular 6 son vectores paralelos por estar am#os alineados con una dirección principal&
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$onde 7 es una magnitud escalar !ue coincide con el momento de inercia correspondiente a dic5o e"e. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. 8uede pro#arse además !ue si dos e"es principales se corresponden a momentos principales de inercia
diferentes,
dic5os
e"es
son
perpendiculares.
4odo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres e"es de inercia principales )el tensor de inercia siempre se puede diagonali(ar aun!ue, en particular, el n+mero sistemas de e"es de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría aial o esférica. En el caso de la simetría aial dos de los momentos de inercia relativos a sendos e"es tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. os sólidos rígidos !ue tienen simetría esférica se denominan peon(as esféricas y, los !ue sólo tienen simetría aial, peon(as simétricas.
MOMENTO POLAR DE INERCIA Es una cantidad utili(ada para predecir el o#"eto 5a#ilidad para resistir la torsión, en los o#"etos )o segmentos de los o#"etos* con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. El momento de inercia de un área en relación a un e"e perpendicular a su plano se lo llama momento polar de inercia, y se representa por 9.
Limitaciones El momento polar de inercia no se puede utili(ar para anali(ar los e"es de sección circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los o#"etos con una variación significativa de cortes transversales )a lo largo del e"e del par aplicado*,!ue no puede ser anali(ado en segmentos, un enfo!ue más comple"o !ue tenga !ue ser utili(ado. Sin em#argo, el momento polar de inercia puede ser utili(ado para calcular el momento de inercia de un o#"eto con sección transversal ar#itraria.
DESCRIPCIÓN 1n es!uema !ue muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una forma ar#itraria o so#re un e"e 8 es la distancia radial al elemento d'.
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9(/:p;d' 9( / Momento 8olar de Inercia da / 1n área elemental p / a distancia radial al elemento d' del e"e (. Momento 8olar de Inercia
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RADIO DE GIRO El radio de giro descri#e la forma en la cual el área transversal o una distri#ución de masa se distri#uye alrededor de su e"e centroidal. 3oncretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distri#ución de masa respecto a un e"e !ue pasa por el centro de la misma.
RADIO DE GIRO DE ÁREA El radio de giro de un área con respecto a un e"e particular es igual a la raí( cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área&
$onde& i g= es el radio de giro Ieje/ es el segundo momento de área o Momento de Inercia de la sección A= es el área de la sección transversal.
Es una medida del ale"amiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de menor radio de giro presentará menor rigide( torsional y tam#ién un peor comportamiento frente a pandeo. El radio de giro para diversas secciones transversales es& •
Sección cuadrada de lado &
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Sección circular de radio &
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RADIO DE GIRO DE MASA El radio de giro de una masa es similar ecepto !ue se usara el momento de inercia de la masa. El valor numérico es dado por la siguiente fórmula&
$onde d g es el radio de giro, I es el momento de inercia y m es la masa del o#"eto.
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