Introducción Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, esta tiende a cambiar de forma y el tamaño del cuerpo, a estos cambios que se experimentan bajo una fuerza determinada se conoce como deformación, la cual puede variar en el grado de percepción (Muy visible o imperceptible). En un sentido general, la deformación de un cuerpo no será uniforme en todo su volumen, por lo que el cambio en la geometría de cualquier segmento de línea dentro del cuerpo puede variar de forma considerable a lo largo de su longitud. El diseño de una Viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia, y una de las más importantes aplicaciones del estudio de las deformaciones de los cuerpos (vigas) es la obtención de la ecuación de la deformación que junto con las condiciones de equilibrio estático permiten resolver las vigas estáticamente indeterminadas. En general, un elemento de cualquier tipo se clasifica como estáticamente indeterminado si el número de reacciones desconocidas excede el número disponible de ecuaciones de equilibrio. Las reacciones adicionales en los soportes de la viga o eje que no son necesarios para mantenerlo en equilibrio estable se llaman “redundantes”. El número de estas redundantes se conoce como el
grado de indeterminación. Una vez determinadas las reacciones redundantes a través de las condiciones de geometría conocidas como las condiciones de compatibilidad, se aplican a la viga y las reacciones restantes se determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio. Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el Método del Área de Momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. Los dos teoremas que forman la base de la teoría de las deflexiones y rotaciones por el Método de las Áreas del diagrama de Momentos, fueron presentados en la Universidad de Michigan en 1872 por el profesor de estructuras Charles Greene. Ya en 1868 en Alemania, el profesor Otto Mohr presentó una teoría similar por el mismo método para la resolución de rotaciones y deflexiones sin que aparentemente Greene supiera de su existencia. La continuidad, mejoramiento y ampliación del método quedó en manos del profesor alemán Muller-Breslau, que lo aplicó a estructuras estáticamente indeterminadas. indeterminadas.
Método de Área de Momentos Como su nombre lo indica, el método de Área de Momentos utiliza los diagramas de momento flector de las vigas. El método se basa en 2 teoremas: Teorema #1: #1: Relaciona el cambio de pendiente a lo largo de la viga con el área del diagrama de momentos entre los puntos considerados. El teorema dice que la diferencia de pendiente entre dos puntos, por ejemplo C y D (Ver figura #1), es igual al área de momentos entre dichos puntos dividida por la rigidez a la flexión EI.
A
B
ɸC
C
ɸD
D
M EI
Área del Diagrama de M/EI entre CD
Figura 1. Demostración Gráfica Teorema #1
Por tanto ɸD - ɸC = Área del diagrama de M/EI entre los puntos C y D. La demostración del teorema radica en la pendiente de ɸ en una viga por ser tan pequeña es igual a la derivada:
Así tenemos que:
Por tanto:
Si igualamos las dos ecuaciones anteriores tenemos:
Finalmente llegamos a la afirmación del Teorema #1:
Gráficamente tenemos: M EI
dA
M EI
dx
Figura 2. Demostración Gráfica de la igualdad:
Teorema #2: #2: Establece que la distancia vertical desde un punto de la elástica hasta la tangente trazada por otro es igual al momento estático del área entre dichos puntos respecto al primero. El teorema establece que la distancia vertical desde un punto de la elástica hasta la tangente trazada por otro es igual al momento estático del área entre dichos puntos respecto al primero. (Ver Figura#3)
A
B
C
ɸC
D D/C
M EI
X Figura 3. Enunciado Gráfico Teorema #2
Por tanto el Teorema #2 se rige por: D/C
= X A
A
B
C
D dɸ
D/C
dx X d
= xd ɸ
Figura 4. Demostración Gráfica Teorema #2
Tenemos:
Pero:
⁄ ∫∫ Por tanto:
⁄ La convención de signos en la desviación tangencial, en un punto cualquiera es positivo si el punto queda por encima de la tangente respecto de la cual se toma esta desviación negativa se queda por debajo de dicha tangente.
CONCLUSION Tal como se ha dicho, un elemento estructural no sólo debe ser resistente a la rotura sino que debe tener unas condiciones de rigidez adecuadas, de tal manera que, se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podrían afectar su desempeño; Y por otro lado que no se afecte la estética de la estructura con la aparición de grietas, producto de grandes deformaciones. Hoy en día es muy importante el estudio de las vigas de una estructura, por lo que es de suma importancia calcular la pendiente y deflexión que experimenta por la carga que soporta en varios puntos específicos. Para realizar dichos cálculos de los efectos de las cargas en las vigas hechas de diversos materiales, nos apoyaremos de las investigaciones que realizaron grandes personalidades con el fin de hacerlo aún más sencillo. Adicionalmente, en el caso de vigas estáticamente indeterminadas es necesario obtener ecuaciones
adicionales
basadas
en
las
deformaciones
que
permitan
resolver
las
indeterminaciones. Uno de los métodos que logra resolver estas indeterminaciones es el Método de Área de Momentos, que basado en sus dos teoremas demuestra que se pueden calcular las pendientes y deformaciones en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la viga, haciendo uso de algunas propiedades geométricas de la curva de la elástica para así poder determinar tanto la pendiente como la deflexión de la viga en un punto cualquiera. El Teorema #1, tiene como finalidad el cálculo de la pendiente en cualquier punto de una viga cuando se conoce la pendiente en otro punto distante y se conoce el diagrama de momentos. El Teorema #2, por otro lado permite determinar las deformaciones en una viga mediante relaciones de tipo geométrico y trigonométrico, conociendo como dato el valor de la distancia Δ. Este método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas y trigonométricas en que basa su método, es preciso que no se pierda el significado físico de lo que se está calculando.
