MOMENTO DE INERCIA PARA UN AREA POR INTEGRACION Cuando las fronteras de un área plana son expresadas mediante funciones matemáticas, las ecuaciones 10-1 pueden ser integradas para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área elegido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones como se muestra en la figura 10-2, debe efectuarse una integración doble para evaluar el momento de inercia. Sin embargo, a menudo es más fácil efectuar una integración simple eligiendo un elemento ue tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección. !"ibeller, 200#$
PROCEDIMIENTO DE ANALISIS •
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Si se efect%a una integración simple para determinar el momento de inercia de un área con respecto a un e&e, será necesario especificar el elemento diferencial d'. (a ma)or parte de las veces este elemento será rectangular, de tal manera ue tendrá una longitud finita ) anc"o diferencial. *l elemento deberá estar ubicado de manera ue interseue la frontera del área en el punto arbitrario !x,)$. +a) dos maneras posibles de orientar el elemento con respecto al e&e para el cual se desea determinar el momento de inercia . !"ibeller, 200#$
Caso 1 •
(a longitud del elemento puede ser orientada paralelamente al e&e. *sta situación ocurr oc urre e cu cuan ando do el ele elemen mento to rec rectan tangu gular lar mo mostr strad ado o en la fig figura ura 10 10-# -# se usa al determinar ) para el área. *n este caso puede efectuarse una aplicación directa de la ecuación 10-1, 10-1, esto es, ) ʃ x2d', )a ue el elemento elemento tiene un espesor espesor dx infinitesimal ), por tanto, todas las partes del elemento se encuentra a la misma distancia x de brao de momento desde el e&e ). !"ibeller, 200#$
Caso 2 •
(a longitud del elemento puede estar orientada perpendicularmente al e&e. 'u/ no es ap apli lica cabl ble e la ec ecua uaci ción ón 10 10-1 -1 )a u ue e to toda das s la las s pa part rtes es de dell el elem emen ento to no se encuentran a la misma distancia de brao de momento desde el e&e. or e&emplo, si el elemento rectangular de la figura 10-# se usa al determinar x para el área, será necesario calcular primero el momento de inercia del elemento con respecto a un e&e "oriontal ue pase por el centroide del elemento,) luego determinar el momento de inercia del elemento con respecto al e&e x usando el teorema de los e&es paralelos. (a integración de este resultado dará x. !"ibeller, 200#$
MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA RECTANGULAR Como un e&emplo, se procederá a determinar determinar el momento de inercia de un rectángulo con respecto respecto a su base !figura !figura .#$. ividiendo ividiendo el rectáng rectángulo ulo en tiras paralela paralelas s al e&e x , se obtiene3
CALCULO DE Ix E Iy CONEL USO DE LAS MISMAS TIRAS ELEMENTALES (a fórmula ue se acaba de derivar se puede utiliar para determinar el momento de inercia dIx con respecto al e&e x de una tira rectangular ue es paralela al e&e y , como la tira mostrada en la !figura .4$.*stableciendo b dx ) h y en la fórmula !.2$, se escribe
or otra parte, se tiene ue
or tanto, se puede utiliar el mismo elemento para calcular calcular los momentos momentos de inercia Ix e Iy de un área dada !figura .5$. !bedford, 2006$
EJEMPLOS
!"ibeller, 200#$
!"ibeller, 200#$
!"ibeller, 200#$
