Cap´ıtulo 22
El Teorema de la Convergencia Dominada Los dos teoremas de convergencia b´asicos asicos en la integraci´on on Lebesgue son el teorema de la convergencia mon´otona otona (Lema 19.10), que vimos el cap´ cap´ıtulo y el de la convergencia convergencia dominada, dominada , que veremos ahora. En ambos se establecen condiciones sobre una sucesi´on on de funciones medibles para que se puedan permutar permuta r los l os s´ımbolos ımbolo s “ ” y “ l´ım ”, es decir para que (22.1)
l´ım
E
f k =
E
l´ım f k .
El de la convergencia mon´otona otona es para funciones no negativas y el de la convergencia dominada para funciones integrables. Es f´acil acil encontrar ejemplos de sucesiones de funciones integrables sobre un conjunto E que conver converjan jan puntualmen puntualmente te (e incluso incluso uniformemen uniformemente) te) a una funci´on, on, pero que las sucesiones de integrales sean no convergentes o no converjan a la integral del l´ımite: Ejemplos 22.1 (1) Consideremos la sucesi´on on f p definidas en en [0, [0, 1] por
{ }
f p (x) =
p sen( px) px) si 0 0 si x
≤ x ≤ π/p ≥ π/p.
Es f´ acil acil ver que la sucesi´on on converge puntualmente a 0 en [0, [0 , 1] y que π/p px) 0 = 2, ∀ p. Lueg Lu egoo l´ım ım p→∞ − cos( px) p→∞
1 0 f p
1 ım f p ). 0 (l´
229
=
1 0 f p
=
230
El Teorema de la Convergencia Dominada
22.1
(2) Sea ahora
p2 sen( p2 x) si 0 f p (x) = 0 si x
≤ x ≤ 1/p ≥ 1/p.
De nuevo esta sucesi´on converge puntualmente a 0 en [0, 1], pero ahora la 1/p 1 sucesi´ on de integrales no converge, pues 0 f p = cos( p2 x) 0 = 1 cos p.
−
(3) La sucesi´on f p de funciones definidas en
{ }
f p (x) =
R
por
−
1/p si x 0 si x
| | ≤p | | ≥ p,
converge uniformemente a 0 en R y para cada p, f p = 2. Luego tampoco ahora la integral del l´ımite y el l´ımite de las integrales coincide mientras que la integral Como es bien conocido, en integraci´on Riemann, la convergencia uniforme de una sucesi´on de funciones integrables sobre un intervalo compacto es una condici´on suficiente para la convergencia de la sucesi´on de integrales hacia la integral del l´ımite de la sucesi´on. Esto tambi´ en es cierto para funciones integrables Lebesgue, de hecho lo que pone de manifiesto el tercero de los ejemplos anteriores es que el resultado puede no ser cierto cuando se trabaja en intervalos no compactos: Antes de establecer los resultados de este tema, veremos otra buena propiedad de las funciones medibles: Lema 22.2 Si f p es una sucesi´on de funciones medibles que converge en cada punto del conjunto medible E a la funci´ on f , entonces f es medible sobre E .
{ }
Demostraci´ on.
Basta tener en cuenta si f ( x)
} → f (x) para cada x ∈ E ,
{
entonces
{x ∈ E : f (x) > α } = ∪r ∪k ∩ p≥k {x ∈ E : f p(x) > α + 1/r}. Proposici´ on 22.3 Sea E un conjunto medible y de medida finita, y sea f p una sucesi´ on de funciones en L 1 (E ), que converge uniformemente sobre E a una funci´on f , entonces f L 1 (E ) y E f = l´ım p→∞ E f p .
{ }
∈
22.4
El Teorema de la Convergencia Dominada
Demostraci´ on.
ν tal que si p
231
De la hip´otesis se deduce que, dado ε > 0, existe un ´ındice ν entonces f p (x) f (x) ε, para todo x E . Luego
≥ | − |≤ ∈ 1. |f (x)| ≤ |f p (x) − f (x)| + |f p (x)| ≤ ε + |f p (x)| en E ⇒ E |f | ≤ 1 E (ε + |f p |) = εm(E ) + E |f p | < ∞. Luego f ∈ L (E ). 2. Si p ≥ ν , | E f p − E f | ≤ E |f p − f | ≤ εm(E ) . Es decir E f =
l´ım p→∞
E f p .
Convergencia dominada Teorema 22.4 Sea f p una sucesi´ on de funciones medibles sobre E que converge puntualmente a la funci´ on f y supongamos que existe una funci´ on F integrable sobre E tal que f p F para todo p, entonces
{ }
| |≤
(a) f es integrable sobre E . (b)
f = l´ım
E
f p .
E
De la condici´on f p F y la convergencia puntual de la sucesi´ on f p hacia la funci´ on f , se deduce trivialmente que f F en E , lo que implica (por ser F integrable sobre E ) que cada funci´on f p y f son funciones de L 1 (E ). Consideremos la sucesi´on
| |≤
Demostraci´ on.
{ }
| |≤
g p (x) = sup f k (x) k≥ p
|
− f (x)|.
Es f´acil ver que g p es una sucesi´on decreciente de funciones medibles sobre E que converge puntualmente 0 en E . Adem´as estas funciones son integrables sobre E , ya que 0 g p 2F . Aplicando entonces el teorema de la convergencia mon´otona a la sucesi´on
{ }
≤
0 se tiene que
E g p
≤
≤ g1 − g2 ≤ g1 − g3 ≤ . . . → g1,
→ 0. Finalmente, teniendo en cuenta que
− ≤ | f p
E
se deduce que l´ım p→∞
f
E
E f p
=
f p
E
E f.
− |≤ f
E
g p ,
232
El Teorema de la Convergencia Dominada
22.5
Corolario 22.5 Sea f p una sucesi´ on de funciones medibles sobre un con junto medible E de medida finita, que converge puntualmente a la funci´ on f . Supongamos que existe una constante M tal que f p (x) M , para cada x E , entonces,
{ }
|
∈
l´ım
p→∞ E
Demostraci´ on.
f p =
|≤
f.
E
La condici´ on significa que
|f pX E | ≤ M X E . Puesto que la funci´on F = M X E es integrable ( M X E = M ·m(B) < ∞), basta aplicar el teorema de la convergencia dominada a la sucesi´on {f pX E }.
Conjuntos de medida nula en la integraci´ on Vamos a comenzar esta secci´on volviendo a una terminolog´ıa, ya usada alguna vez, y que es habitual en la integraci´on Lebesgue: Definici´ on 22.6 Se dice que una propiedad o definici´on P es v´alida en casi todo punto (de un conjunto E ), o casi siempre (en E ), si el conjunto N de los puntos (de E ) donde P no es v´alida es de medida nula. Emplearemos las notaci´ on c.s. para referirnos abreviadamente a la expresi´on casi siempre . c.s
De este modo, f = g en E , significa que si N = x E : f (x) = g(x) , entonces m(N ) = 0. Una funci´on es continua en casi todo punto de E , si el subconjunto de E donde la funci´on no es continua es de medida nula. Una sucesi´ on f k de funciones converge c.s en E hacia la funci´on f , abreviac.s. damente f k f en E , si converge puntualmente en E a f , salvo en un conjunto de medida nula (que puede ser el vac´ıo), es decir si
{ ∈
}
{ } →
m( x
{ ∈ E : f k (x) → f (x)}) = 0.
El porqu´e del uso del t´ermino c.s. hay que buscarlo en el papel que, como consecuencia de la siguiente propiedad, juegan los conjuntos de medida cero en la integraci´on: Proposici´ on 22.7 (a) Si N es un conjunto de medida nula, entonces toda funci´ on f es medible sobre N y se tiene que N f = 0. (b) Si f es una funci´ on medible y no negativa sobre E y E f = 0 entonces c.s. f = 0 en E .
22.8
El Teorema de la Convergencia Dominada
233
El apartado (a), que lo prob´abamos para funciones no negativas, se extiende en la forma habitual a funciones reales. (b) Sea E p = x E : f (x) 1/p . Es obvio, pues, que f E 1/p E y que el conjunto N de los puntos de E donde f no se anula es justamente p E p . Entonces, Demostraci´ on.
{ ∈
≥
}
X ≥ p
X
p
∪
0=
≥ f
1/p
X E
E p
p
= 1/pm(E p ).
Se deduce entonces que m(E p ) = 0 para todo p y m(N )
≤
Debido a esto,:
m(E p ) = 0.
Proposici´ on 22.8 (a) Si f es una funci´ on medible sobre E y N es de medida nula, entonces E f = E \N f. (b) Si f es una funci´ on medible sobre c.s.
− −
−
E y g = f en E , entonces g es medible sobre E y (a) − + N f ) = E \N f
Demostraci´ on.
E f =
E \N
+ E f f − =
− E f
E \N f
=(
.
E f =
E g.
+ + E \N f + N f )
(
− E \N f +
Supongamos f medible y N = x Entonces
{ ∈ E : f (x) = g(x)} de medida nula.
{x ∈ E : g(x) > α} = {x ∈ E : g(x) > α} ∩ N ∪ {x ∈ E : f (x) > α} ∩ N c, de lo que resulta trivialmente que {x : g(x) > α} es medible. La igualdad de las dos integrales se obtiene de (a):
f =
E
E \N
f =
E \N
g=
g.
E
Este resultado indica que, para calcular la integral de una funci´on medible f , no importa cu´ales sean los valores que tome f sobre un conjunto de medida nula, N . La integral de esta funci´on va a depender exclusivamente de los valores que tome en N c , en otras palabras s´olo es preciso que f est´e definida en casi todo punto. Debido a esto, en los teoremas relativos a funciones medibles y a la integral de Lebesgue, es normal que las hip´otesis deban ser verificadas s´olo en casi todos los puntos. De este modo muchos de los resultados que hemos obtenido pueden enunciarse debilitando las hip´otesis en este sentido. As´ı, por ejemplo: 1. Si f, g son funciones integrables sobre E y f E f E g.
≤
c.s.
≤
g en E , entonces
234
El Teorema de la Convergencia Dominada
22.8
2. Si f p es una sucesi´on de funciones medibles que converge en casi todo punto del conjunto medible E a la funci´on f , entonces f es medible sobre E . 3. (T. de la Convergencia Dominada) Sea f p una sucesi´on de funciones medibles sobre E que converge c.s. en E a la funci´on f y supongamos
{ }
{ }
| | c.s. ≤ F para todo p,
que existe una funci´on F integrable sobre E tal que f p entonces f es integrable sobre E y E f = l´ım E f p .
Conviene recordar que tambi´ en hay resultados que no son ciertos con las hip´ otesis c.s., por ejemplo: La hip´otesis f continua c.s. en el compacto K , NO implica f integrable sobre K .
Ejercicios 22A Sea f una funci´ on integrable y B p = x : f (x)
{ |
(a) Probar que l´ım p
→∞
| ≥ p}.
p m(B p ) = 0.
(b) Probar que ∞
p m(B p+1 B p )) < + .
p=0
\
∞
(c) Probar que la condici´ on sobre f en el apartado (a) no implica f integrable. La condici´ on en el apartado (b) implica que f es integrable si x : f (x) = 0 es de medida finita.
{
}
22B Encontrar sucesiones mon´otonas f k que no satisfagan las hip´ otesis de ninguno de los teoremas de convergencia mon´otona y tales que
{ }
∞ − ∞ f k = l´ım f k = l´ım f k =
, k. l´ım f k l´ım f k
∀
22C Estudiar y calcular, cuando sea posible, los siguientes l´ımites ∞
l´ım
k→∞
0
∞
l´ım
k→∞
0
k , kx2 + x x , 3 x + k cos2 x
√
∞
l´ım
k→∞
0
l´ım
k→∞
k (x + k)2 + kx2 sen2 kx x2 + k2 sen2 x 0 ∞
22K
El Teorema de la Convergencia Dominada
235
22D Probar que si Bk y B son conjuntos medibles tales que m(Bk ∆B) entonces l´ım f = f k →∞
para toda f integrable.
→ 0,
Bk
B
22E Demostrar que si f es una funci´ on integrable entonces ∞
l´ım
m→∞
e
m sen2 x
−
0
· f (x) = 0.
22F Consideremos la sucesi´on de funciones f p (x, y) =
px2 1 cos . px y px y
−
−
(a) Probar que se trata de una sucesi´on de funciones medibles que converge c.s. ¿hacia qu´e funci´on? (b) ¿Se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada en B = (x, y) : 0 < y
{
}
22G Probar que si f es una funci´on medible sobre el intervalo [a, b] y para cada c.s. x x [a, b] se tiene que a f = 0, entonces f = 0. ´ n. Observar que f = 0 para cada semintervalo contenido en [a, b] y indicacio I utilizar la continuidad absoluta de la integral.
∈
22H Sea f L 1 (R) derivable en 0 y tal que f (0) = 0. Probar que la funci´on g(x) = f (x)/x es integrable en R.
∈
22I Sea f k una sucesi´on mon´ otona de funciones reales e integrables que converge puntualmente a una funci´on f . ¿Es cierto entonces que l´ım k f f k = 0? →∞
| − | | | ≤
22J Sea f k una sucesi´on de funciones medibles que converge puntualmente a una funci´ on f . Probar que si existe M > 0 tal que f k M entonces f M .
|
|≤
22K Sea f k una sucesi´on de funciones medibles “no negativas”que converge puntualmente a una funci´on integrable f y sea para cada k, Bk = x : f (x) f k (x) .
{
(a) Probar que
− −
l´ım
k→∞
(b) Probar que
| − f
f k =
|
(f
f k ) = 0.
Bk
(f
f k ) + 2
Bk
(f
− f ). k
≥
}
236
El Teorema de la Convergencia Dominada
22K
(c) Deducir de los apartados anteriores que si, adem´ as de las hip´ otesis iniciales sobre f k y f , se tiene que l´ım f k = f , entonces l´ım f f k = 0. ¿Puede suprimirse la hip´ otesis f k 0 para cada k? y la hip´otesis f integrable?
{ }
≥
| −
|
22L Una funci´ on f : Rn x : f (x) > α es un Borel.
{
}
→ R se dice Borel-medible si para cada α ∈ R el conjunto
(b) Probar que el l´ımite de una sucesi´on de funciones Borel-medibles es una funci´ on Borel-medible. (c) Probar que si f es una funci´on medible existe una funci´on g Borel-medible c.s. tal que f = g.(Ver Ejercicio 19A(b)). 22M Probar que una funci´on f es medible si y s´olo si existe una sucesi´o n de funciones escalonadas que converge c.s hacia f . 22N Probar que dos funciones continuas que son iguales c.s. son iguales en todo punto. ˜ Sea f una funci´ 22N on con dominio en Rn . Se dice que un abierto Ω es un abierto de anulaci´on de la funci´on f si f es igual a 0 en casi todo punto de Ω. Probar que si Ωf es la uni´ on de todos los abiertos de anulaci´on de f entonces f = 0 c.s. en Ωf . 22O Sea f una funci´ on medible. (a) Probar que si f es continua y no negativa, entonces
f = 0
⇒
f = 0.
(b) Probar que si para todo conjunto medible B,
B
c.s.
f = 0 entonces f = 0.
22P Probar que si una funci´ on g : A Rn [0, ] es integrable sobre E A, entonces g es finita c.s. en E i.e., el conjunto N = x E : g(x) = tiene medida nula.
⊂
→ ∞ { ∈
∞}
⊂
