UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS
Estadística y probabilidades
REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN INTEGRANTES: -
COMPLETALOS WEXD
1. REGRESIÓN LINEAL En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un modelo matemático usado para aproximar la relación de dependencia entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:
+ + + ⋯ + + Donde: Yt: Variable dependiente, explicada o regresando. X1, X2, …, Xp: Variables explicativas, independientes o regresores. Β0, β1, β2, …, βp: Parámetros, miden la influencia que las variables
explicativas tienen sobre el regrediendo. Donde β0 es la intersección o término constante, las β i (i>0) son los
parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada en la regresión no lineal.
2. HISTORIA La primera forma de regresión lineal documentada fue el método de los mínimos cuadrados que fue publicada por Legendre en 1805, Gauss publicó un trabajo en donde desarrollaba de manera más profunda p rofunda el método de los mínimos cuadrados, y en dónde se incluía una versión del teorema del teorema de Gauss-Márkov. El
término regresión se
utilizó
por
primera
vez
en
el
estudio
de variables de variables antropométricas: antropométricas: al al comparar la estatura de padres e hijos, donde resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor al valor medio, tendían medio, tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura
media;
es
decir,
"regresaban"
al promedio. al promedio.
La
constatación empírica constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágiles y con un soporte teórico mucho más extenso por parte de la matemática y la estadística. Pero bien, como se ha dicho, se puede usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.
3. SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL Para poder crear un modelo de regresión lineal es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos: -
Que la relación entre las variables sea lineal.
-
Que los errores en la medición de las variables explicativas sean independientes entre sí.
-
Que los errores tengan varianza constante.
-
Que los errores tengan una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).
-
Que el error total sea la suma de todos los errores.
4. APLICACIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL 4.1.
Líneas de tendencia: Una línea de tendencia representa una tendencia en una serie de datos obtenidos a través de un largo periodo. Este tipo de líneas puede decirnos si un conjunto de datos en particular (como por ejemplo, el PIB, el precio del petróleo o el valor de las acciones) han aumentado o no en un determinado periodo. Se puede dibujar una línea de tendencia a simple vista fácilmente a partir de un grupo de puntos, pero su posición y pendiente se calcula de manera más precisa utilizando técnicas estadísticas como las regresiones lineales. Las líneas de tendencia son generalmente
líneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la línea. 4.2.
Medicina: En medicina, las primeras evidencias relacionando la mortalidad con el fumar tabaco vinieron de estudios que utilizaban la regresión lineal. Los investigadores incluyen una gran cantidad de variables en su análisis de regresión en un esfuerzo por eliminar factores que pudieran producir correlaciones espurias. En el caso del tabaquismo, los investigadores incluyeron el estado socioeconómico para asegurarse que los efectos de mortalidad por tabaquismo no sean un efecto de su educación o posición económica. No obstante, es imposible incluir todas las variables posibles en un estudio de regresión. En el ejemplo del tabaquismo, un hipotético gen podría aumentar la mortalidad y aumentar la propensión a adquirir enfermedades relacionadas con el consumo de tabaco. Por esta razón en la actualidad las pruebas controladas aleatorias son consideradas mucho más confiables que los análisis de regresión.
PROBLEMAS REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Problema 1: Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42, 44 kilos. A) hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso. B) ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años? xi
yi
xi2
yi2
xi · yi
2
14
4
196
28
3
20
9
400
60
5
32
25
1 024
160
7
42
49
1 764
294
8
44
64
1 936
352
25
152
151
5 320
894
. . −. . − −∗.. −.(−) .−. −..( − ) .+. .∗+. .
Problema 2: Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:
N.º de Clientes (X) Distancia (Y) 8 7 6 4 2 1
15 19 25 23 34 40
a) Calcular el coeficiente de correlación lineal b) Si el centro comercial se situá a 2km, ¿Cuántos clientes puede esperar? c) Si desea recibir a 5 clientes, ¿a que distancia del núcleo de población debe situarse?
xi
yi
8 15 7 19 6 25 4 23 2 34 1 40 28 156
xi ·yi
xi2
yi2
120 133 150 92 68 40 603
64 225 49 361 36 625 16 529 4 1 156 1 1 600 170 4 496
286 4.67 156 6 26 6.53 4496 − 26 73.33 170 −4.67 6 6 √6.532.55 √ 7 3.338.56 603 6 −4.677∗26−20.92 20.92 −0.96 − 2.55∗8.56 Correlación Negativa muy Fuerte:
−4.67− 20.92 −0.29+12.09 73.33 (−26) −0.29∗2+12.0911.51 ≅ 12 −26 − 20.92 −3.2+40.96 6.53 (−4.67) −3.2∗5+40.96 24.96
Problema 3: Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Químicas son:
Matemáticas Química 6 4 8 5 3.5
6.5 4.5 7 5 4
Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.
xi
yi
xi ·yi
6 6. 5 4 4. 5 8 7 5 5 3. 5 4 26. 5 27
xi2
yi2
36 42. 25 39 16 20. 25 18 64 49 56 25 25 25 12. 25 16 14 153. 25 152. 5 152
26.5 5 5.3 153.25 5 −5.3 2.56 152 5 −5.3∗5.41.78 −5.40.7(−5.3) −5.31.33(−5.4) 0.7∗7.5+1.69 6.94
275 5.4 152.5 5 −5.4 1.3 0.7+1.69 1.33−1.882
Problema 4: Un conjunto de datos bidimensionales (X, Y) tiene coeficiente de correlación r = , . Se sabe −0.9, siendo las medias de las distribuciones marginales que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de Y sobre X:
1 2
y = -x + 2
3x - y = 1
2x + y = 4 y = x + 1
Seleccionar razonadamente esta recta. Como el coeficiente de correlación lineal es negativo, la pendiente de la recta también será negativa, por tanto, descartamos la 2ª y 4ª. Un punto de la recta ha de ser (media de X., media de), es decir, (1, 2). 2≠-1+2
2*1+2=4 La recta pedida es: 2x + y = 4.
Problema 5: Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:
Estatura (X) Pesos (Y) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205
85 85 86 90 87 91 93 103 100 101
Calcular: a) La Recta de regresión de Y sobre X b) El Coeficiente de Correlación. c) El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.
xi
yi
xi2
yi2
xi ·yi
186 189 190 192 193 193 198 201 203 205 1 950
85 85 86 90 87 91 93 103 100 101 921
34 596 35 721 36 100 36 864 37 249 37 249 39 204 40 401 41 209 42 025 380 618
7 225 7 225 7 396 8 100 7 569 8 281 8 649 10 609 10 000 10 201 85 255
15 810 16 065 16 340 17 280 16 791 17563 18 414 20 703 20 300 20 705 179 971
1950 10 195 380618 10 −195 36.8 √ 3 6.86.07 179971 10 −195∗92.1 37.6 −92.11.02(−195) 37.61 0.94 6.07∗6.56
921 10 92.1 85255 10 −92.1 43.09 √ 4 3.096.56 1.02−106.8
ó 1.02∗208−106.8 105.36 Problema 6: Un trabajo estadístico asignado a un grupo de estudio consiste en obtener un modelo de regresión lineal a nivel descriptivo para predecir las ventas semanales de un producto específico en función de la publicidad de 10 semanas y el respectivo número de unidades vendidas del producto. Los datos se dan en la tabla que sigue: Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Publicidad X
20
30
30
40
50
60
60
60
70
80
Ventas Y
50
73
69
87
108
128
135
132
148
140
Grafique los datos y describa su tendencia Observamos que tiene una relación lineal positiva entre el número de artículos vendidos y el tiempo de publicidad por la radio semanalmente.
Obtenga la recta de regresión lineal simple de mínimos cuadrados Se tiene que:
10 ∑500 ∑500 ∑59400
∑ 28400 ̅ 500 100 5
∑ 125360 1070 100 107
Una manera de calcular “b” es:
nΣXY−ΣXΣY 10×59400−900×1070 59000 1.7353 b ss nΣX − (ΣX) 10×8400−(500) 34000 − ̅ 107 − 1.7353 × 50 20.235 Por lo tanto, la recta de regresión de la muestra es: .+. Por otro lado
El coeficiente de correlación:
590 18.439×32.9697 0.9705
Donde son las desviaciones estándar de X e Y respectivamente
Aplique la regresión para predecir la venta de una semana donde se harían 100 minutos de propaganda. ¿Es confiable su predicción?
100 , 20.235 + 1.7353 × 100 193.765
Si . El valor de r es un primer criterio para concluir que este pronóstico es confiable, pero, la bondad de ajuste de la recta a los datos se mide con .
Según la regresión obtenida si la publicidad de una semana cualquiera se incrementara en 5 minutos, ¿Cuánto seria el incremento de las ventas? Si la publicidad de una semana se incrementara en 5 minutos, entonces, las ventas en promedio se incrementarían 5x2=10 unidades
Los ingresos (X) y los gastos (Y) mensuales en dólares de una muestra de 100 familias han dado los siguientes resultados:
x 210, y200,s 2.56, s 2.56,0.96 Determine la recta de regresión de mínimos cuadrados de Y en X y pronostique el gasto de una familia si en un mes cualquiera tiene $250 de ingresos
resultando =3.6864 entonces, 0.96 .×. . 0.64 Por otro lado, . Dado que,
La recta de regresión de mínimos cuadrados de Y en función X es:
− ( − ̅ )
−2000.64(−210) 65.6+0.64
Si en un mes cualquiera una familia tiene un ingreso de $250, entonces, se predice que su gasto sería
̂ 65.6 + 0.64 × 250 $225.6
Si para el siguiente mes se predice el gasto de una familia en $257.6. ¿A cuánto asciende su ingreso del mes?
̂ 257.6 , entonces, , por lo tanto su ingreso seria x=$300
Si
Problema 7: En una muestra de 5 obreros de una fábrica se han observado sus años de experiencia (X) y el tiempo que tardan en realizar una determinada tarea (Y). Los datos se muestran en la tabla que sigue: X
1
2
3
4
5
Y
8
9
4
3
3
Compruebe que la variación total es igual a la variación no explicada más la variación explicada por la regresión de Y en X. Luego, exprese la partición de la varianza de Y en porcentajes de las varianzas que componen De los datos de la muestra se obtiene la siguiente ecuación lineal de regresión (por mínimos cuadrados)
8 9 4 3 3 27
̂
8.6 7.0 5.4 3.8 2.2
− +2.6 +3.6 -1.4 -2.4 -2.4 0.0
−̂ ̂ − ( − ) ( −̂ ) (̂ − ) -0.6 +2.0 -1.4 -0.8 +0.8 0.0
+3.2 +1.6 0.0 -1.6 -3.2 0.0
6.76 12.96 1.96 5.76 5.76 33.20
0.36 4.00 1.96 0.64 0.64 7.60
10.24 2.56 0.00 2.56 10.24 25.60
Por otro lado, el cuadro, resulta la siguiente partición de la varianza Y
+ ( − ) ( −̂) + ( − ) = ̇= ̇= 33.207.60+25.60
La varianza de Y expresada en porcentajes de sus varianzas componentes. (varianzas relativas), se obtiene la identidad de suma de cuadrados entre SCT. Esto es:
33.20 7.60 + 25.60 33.20 33.20 33.20 10.23+0.77
La lectura de la partición de la varianza de Y es como sigue: El 100% de la varianza (total) de Y se particiona en 23% de varianza no explicada más 77% de varianza explicada por la ecuación de regresión de Y en X obtenida.
Problema 8: El ingreso anual disponible y los gastos de consumo (en dólares) de una muestra de 10 familias de un barrio residencial de Lima fueron tabulados en el cuadro que sigue. Halle la recta de regresión del consumo (Y) con respecto al ingreso (X), utilizando la transformación.
Ingreso
Consumo
20.000.000 14.000.000 35.000.000 23.000.000 12.000.000 5.000.000 7.000.000 14.000.000 30.000.000 25.000.000
18.000.000 15.000.000 30.000.000 16.000.000 9.000.000 7.000.000 7.000.000 15.000.000 26.000.000 23.000.000
⁄1000000 , ⁄1000000 se obtienen los siguientes ∑′185 ∑′166 ∑′′3745 ∑′ 4289 ∑ ′ 3314 ̅ 18.5, 16.6 nΣX′Y′−ΣX′ΣY′ 10×3745−185×166 0.778 b ss 10×4289−(185) nΣX′ − (ΣX′)
Realizando la codificación resultados:
La recta de regresión de Y en X es:
− ( − ̅ ) 18.5, 16.6 Donde 0.778,
Resultando:
.+.
Problema 9: Al estudiar la relación entre los costos (X) y las ventas (Y) en dólares de ciertos productos, se obtuvo la siguiente información de la muestra:
15, 5, 4,̅ 50, 100 ,62+0.76
Si los costos se incrementaran en $3 y las ventas correspondientes se incrementarán en 6$. ¿Cómo cambia la ecuación de regresión dada? Si , , la ecuación de regresión de en es:
+ 3 + 6
′−′ ′(′−̅′) o − ′( − ̅ ) + 6 106, ′ ̅ +353 .Esto es: Donde, 0.76, ′ ′−1060.76(′−53) −1000.76( − 50) ¿Qué porcentajes de la varianza de las ventas es explicada por la regresión de ventas sobre costos? ,se obtiene , =0.95 De , ,entonces, de ,
19 Si se hace la transformación + 3, + 6,el coeficiente de correlación r=0.95 no cambia.Por lo tanto, el porcentaje de la varianza de Y(o de Y’) explicada por la regresión de Y en X( o de Y’ en X’) es la misma:
0.95 0.9025
PROBLEMA 10: Un gerente de recursos humanos desea determinar el salario que debe pagar a cierta categoría de obreros. Para determinar dicho salario que debe pagar a cierta categoría de obreros. Para determinar dicho salario se realiza un estudio en el que intervienen las variables Salario Mensual (en miles de ptas.), Nivel de Producción Anual en la Empresa (en millones de ptas.) y Ni vel de especialización Media del Trabajador (de 0 a 10). El gerente obtiene esta serie de resultados:
Se pide: 1. Calcular el plano de regresión lineal mínimo cuadrático que explica el salario en función de la producción y del nivel de especialización. 2. Estudia la validez de la función obtenida en el apartado anterior por medio de una medida descriptiva. ¿Cuánto vale la varianza residual? 3. Calcula el coeficiente de correlación parcial para dos variables explicativas. 4. Comenta los resultados. ¿Qué salario se debería pagar si el nivel de producción fuese de 315 millones de ptas. y el nivel medio de especialización de 6.6?
SOLUCIÓN:
1. Variable Y=Salario Xi=Producción X2=Nivel de especialización. La tabla de cálculos es:
La recta a construir tendrá la forma y*= a+b1x1+b2x2 y para calcular los coeficientes de la recta aparece un Sistema de Ecuaciones Come éste:
Con estos datos el sistema de ecuaciones a resolver es: 1221.3 = 10a +2831.3b1 +57.6b2 350112.2 =2831.3a +822889.6 b1 +16570.0b2 7141.8 =57.6a +16570.0b1 +349.7b2 Que tiene por solución a=56198 b1=0.158 b2=3.664. Por tanto, el plano de regresión es: y*=56.198+0.158x1+3.664x2
Las medidas descriptivas que vamos a utilizar son el coeficiente de determinación y el de correlación. Y definidas serían así:
El coeficiente de determinación múltiple viene expresado como:
Donde s2 es la variable residual. Una expresión de la varianza residual que simplifique el cálculo es:
En este caso R2 =0.438 R=0.661 s2 =138.506 El coeficiente de correlación parcial entre la variable dependiente y una variable explicativa mide la fuerza de la relación lineal entre ambas cuando eliminamos el efecto lineal de las otras variables explicativas. Su resultado es:
Donde SCE (xi) es la variación no explicada. Observando esta expresión vemos que el coeficiente de determinación parcial nos da el incremento relativo de la variable aplicada. El coeficiente de correlación parcial se consigue de la raíz cuadrada del coeficiente de determinación. En este caso: SCE(x1)=1582.51 SCE(x2)=1643.06 SCE(x1, x2)=1385.06
r 2 =0.157 y r 2 =0.124
y*=56.198+0.158*315+3.664*6.6=130.15
Problema 11: Un banco estatal de cierto país está estudiando la posibilidad de bajar los tipos de interés para incentivar la inversión privada, y así abrir la posibilidad de creación de puestos de trabajo. Para ello contrasta los tipos de interés real de diferentes países con la inversión privada en los mismos, todo ello durante el último período. Obteniéndose los resultados que aparecen reflejados en la siguiente tabla:
Tipos de Interés (en tantos por uno)
a) ¿Existe relación lineal entre ambas variables? Razona la respuesta. b) Construye la recta de regresión que explica la inversión en fluencia de los tipos de interés real. c) ¿Cómo variaría la inversión si se produce un incremento de una unidad en los tipos de interés real? Razónalo sin necesidad de hacer ningún cálculo. d) Si el tipo de interés real baja de 0.18 a 0.09, ¿cómo variaría la inversión?
SOLUCIÓN: Para facilitar el seguimiento de los cálculos necesarios para resolver el problema construimos la siguiente tabla resumen: (variable X=tipo de interés real; variable Y=inversión).
X (media)=0.151; Y (media)=94.6; sx=0.055; sy=56.248; sxy=-2.870 1. Para estudiar la relación lineal entre las variables tipo de interés e inversión utilizaremos el coeficiente de determinación como medida descriptiva de este hecho. 2. y* =237.863-948.760x 3. El incremento en una unidad de la variable independiente coincide con el valor de la pendiente de la recta; en este caso el incremento será de 948.760(observamos que en este problema el incremento es ficticio pues 1 se sale del recorrido de la variable independiente). 4. El incremento será el producto entre la pendiente y la diferencia entre el tipo de interés en los dos estados, es decir, aumenta en -948.760*(0.09-0.18) =85.388miles de millones.
Problema 12: La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centímetro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:
a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por cm3 en función del tiempo. b) ¿Qué cantidad de gérmenes por cm3 es predecible encontrar cuando hayan transcurrido 6 horas? ¿Es buena esa predicción?
SOLUCIÓN: a) Y = 19.81 + 6.74X, donde: X número de horas, Y número de gérmenes b) Ŷ (6)
= 60.25 = 60 gérmenes. Es una buena predicción, puesto que (y 6
está cercano al intervalo de valores considerado.
Problema 13: Se seleccionó una muestra de 12 casas vendidas la semana pasada en una ciudad de EUA. ¿Puede concluirse que a medida que aumenta la extensión del inmueble (indicada en miles de pies cuadrados), el precio de venta (en miles de dólares) aumenta también?
Problema 14 A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller (X), y a unidades producidas (Y), determinar la recta de regresión de Y sobre X, el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. xi
yi
x i ·y i
x i2
y i2
80
300
6 400
90 000
24 000
79
302
6 241
91 204
23 858
83
315
6 889
99 225
26 145
84
330
7 056
108 900
27 720
78
300
6 084
90 000
23 400
60
250
3 600
62 500
15 000
82
300
6 724
90 000
24 600
85
340
7 225
115 600
28 900
79
315
6 241
99 225
24 885
84
330
7 056
108 900
27 720
80
310
6 400
96 100
24 800
62
240
3 844
57 600
14 880
936
3 632
73 760
1 109 254
285 908
Correlación positiva muy fuerte
Problema 15: Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos inf ormación sobre el número de horas que dedican diariamente a dorm ir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla. x
6
7
8
9
10
y
4
3
3
2
1
(f i)
3
16
20
10
1
Se pide: - Calcular el coeficiente de correlación. - Determinar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. - Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?
6
4
3
18
xi2 · f i 108
7
3
16
112
784
48
144
336
8
3
20
160
1280
60
180
480
9
2
10
90
810
20
40
180
10
1
1
10
100
1
1
10
50
390
3082
141
413
1078
xi
yi
f i
xi · f i
Es una correlación negativa y fuerte .
xi · yi · f i
12
yi2 · f i 48
yi · f i
72
Problema 16: La tabla siguiente nos da las notas del test de apt itud (X) dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba (Y) en cientos de euros . X
25
42
33
54
29
36
Y
42
72
50
90
45
48
Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido. Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test. xi
yi
xi ·yi
x i2
y i2
25
42
625
1 764
1 050
42
72
1 764
5 184
3 024
33
50
1 089
2 500
1 650
54
90
2 916
8 100
4 860
29
45
841
2 025
1 305
36
48
1 296
2 304
1 728
209
347
8 531
21 877
13 617
Problema 17: Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para investigar la rela ción cuenta con los siguientes datos: X
Y
189
402
190
404
208
412
227
425
239
429
252
436
257
440
274
447
293
458
308
469
316
469
X representa la renta nacional en millo nes de euros e Y representa las ventas de la compañía en miles de euros en el periodo que va desde 1990 hasta 2000 (ambos inclusive). Calcular: La recta de regresión de Y sobre X. El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. Si en 2001 la renta nacional del país fue de 325 mil lones de euros. ¿Cuál será la predicción para las ventas de la compañía en este año?
189
402
35 721
xi2 161 604
190
404
36 100
163 216
76 760
208
412
43 264
169 744
85 696
227
425
51 529
180 625
96 475
239
429
57 121
184 041
102 531
252
436
63 504
190 096
109 872
257
440
66 049
193 600
113 080
274
447
75 076
199 809
122 478
293
458
85 849
209 764
134 194
308
469
94 864
219 961
144 452
316
469
99 856
219 961
148 204
2 753
4 791
708 933
2 092 421
1 209 720
xi
yi
xi ·yi
y i2 75 978
Problema 18: La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en cientos de miles de euros para explotaciones agrícolas, se muestra en el siguiente cuadro: Inversión (X) 11 14
Rendimiento (Y) 2 3
16 15 16
5 6 5
18 20 21
3 7 10
14
6
20 19 11
10 5 6
Calcular: La recta de regresión del rendimiento respecto de la inversión. La previsión de inversión que se obtendrá con un rendim iento de 1 250 000 €. xi
yi
xi2
xi ·y i
y i2
11
2
121
4
22
14
3
196
9
42
16
5
256
25
80
15
6
225
36
90
16
5
256
25
80
18
3
324
9
54
20
7
400
49
140
21
10
441
100
210
14
6
196
36
84
20
10
400
100
200
19
5
361
25
95
11
6
121
36
66
195
68
3 297
454
1 163
MI PARTE MODIFIQUENLA PLIZ Ejercicio 19 El número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, de ocho personas es:
X 20 16 34 23 27 32 18 22
Y 6.5 6 8.5 7 9 9.5 7.5 8
Se pide: 1- Recta de regresión de Y sobre X. 2- Calificación estimada para una persona que hubiese estudiado 28 horas.
16 18 20 22 23 27 32 34 192
6 7.5 6.5 8 7 9 9.5 8.5 62
∗ 256 324 400 484 529 729 1024 1156 4902
36 56.25 42.25 64 49 81 90.25 72.25 491
96 135 130 176 161 243 304 289 1534
Ejercicio 20 En la tabla siguiente se indica la edad (en años) y la conducta agresiva (medida en una escala de cero a 10) de 10 años. Edad 6 6.4 6.7 7 7.4 7.9 8 8.2 8.5 8.9
Conducta agresiva 9 6 7 8 7 4 2 3 2 1
1- Obtener la recta de regresión de la conducta agresiva en función de la edad. 2- A partir de dicha recta, obtener el valor de la conducta agresiva que correspondería a un niño de 7,2 años.
6
6.4 6.7 7 7.4 7.9 8 8.2 8.5 8.9 75
9 6 7 8 7 4 2 3 2 1 49
∗
36 40.96 44.89 49 54.76 62.41 64 67.24 72.25 79.21 570.72
81 36 49 64 49 16 4 9 4 1 313
54 38.4 46.9 56 51.8 31.6 16 24.6 17 8.9 345.2
