P L - MAP Y JLO, King’s College of Alicante
1
Marzo 2016
Teoría ría
1.1
Conocimie Conocimientos ntos previos previos
1. Inecuaciones de de primer grado (soluciones (soluciones gráfica y analítica) analítica) 2. Sistemas de inecuaciones inecuaciones de primer grado (soluciones gráfica y analítica) analítica) 3. Inecuaciones de segundo segundo grado con una incógnita incógnita (soluciones gráfica y analítica) analítica) 4. Inecuaciones de primer grado grado con dos incógnitas (solución (solución gráfica) 5. Sistemas de inecuaciones inecuaciones de primer grado grado (solución gráfica) gráfica)
1.2
Progra Programació mación n Lineal Lineal
Llamamos Programa Lineal o problema de programación lineal a todo problema consistente en hallar el valor óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal de dos variables, llamada función objetivo, dentro de un recinto determinado por unas restricciones en forma de inecuaciones. Al recint recinto o determ determina inado do por por las restric restriccio ciones nes lo llamar llamaremo emoss Regió Región n Facti Factible ble y al valor valor o conjun conjunto to de valor valores es que hagan a la función objetivo sea óptima lo llamaremos solución óptima.
1.3
Propied Propiedades ades de de las solucio soluciones nes de un un program programa a lineal lineal
1. La/s soluciones están siempre siempre en la frontera de la región factible factible (no en el interior) 2. Al movernos movernos de un vértice vértice a otro de la región región factible, factible, los valores valores de la función objetivo objetivo pueden pueden crecer, decrecer o mantenerse constantes. Nunca alcanza máximos ni mínimenos entre un vértice y otro. 3. Si un programa lineal tiene solución única ⇒ la solución se encuentra en uno de los vértices de la región factible 4. Si una función objetivo objetivo toma el mismo valor en dos vértices vértices ⇒ también toma ese mismo valor en todos todos los punto puntoss dle segmen segmento to que que los une. une. En consec consecuen uencia cia,, tien tienee infinit infinitas as soluci solucion ones es (los (los infinit infinitos os puntos que forman el mencionado segmento).
Programación Lineal №
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2
Cómo Cómo resol resolve verr progra programas mas lineale linealess 1. Utiliz Utilizand ando o el enunci enunciado ado plante planteare aremo moss una una serie serie de inecua inecuacio ciones nes que que consti constitui tuirán rán el progr programa ama lineal lineal.. Como hemos hecho hasta ahora, ahora, en primer lugar nombramos las variables (incógnitas). Después de ésto, planteamos la función objetivo (una función de las de "toda la vida" con la particularidad de que depende de dos variables) y las restricciones (inecuaciones). 2. Determinación de la región factible factible mediante la superposición de de soluciones de las inecuaciones. inecuaciones. 3. Hallar los vértices vértices de la región factible factible 4. Evaluar la función objetivo objetivo para cada uno de dichos vértices. vértices. 5. Determinar el valor (o valores) valores) que sean óptimo(s). óptimo(s).
3
El movim movimien iento to se demues demuestra tra andand andando o
La mejor forma de entender este método es con ejemplos, a continuación estudiaremos varios ejemplos "tipo" en los que se abarcan todas las situaciones que nos podemos encontrar.
3.1 3.1
Ejem Ejempl plo o1
Una fábrica fábrica de cajas de cartón hace dos tipos tipos de cajas. cajas. Unas Unas cajas con base cuadrada, cuadrada, que dejan un beneficio de 0,12 € la unidad, y en las que gasta 2 m de cinta adhesiva y 0,5 m de rollo de cartón, y otras de base rectangular, que dejan un beneficio de 0,08
€ la
unidad, y en las que gasta 4 m de cinta adhesiva
y 0,25 m de rollo de cartón. Si la fábrica dispone de 440 m de cinta adhesiva y 65 m de rollo de cartón, ¿cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para que el beneficio sea máximo? Nombramos las incógnitas: x: número de cajas de base cuadrada y : número de cajas de base rectangular Función objetivo: objetivo: Es aquella que nos da el beneficio en función de las unidades vendidas de cada tipo de caja: f (x, y ) = 0, 12x + 0 , 08y
(1)
Restricciones: 1. Como son variables variables no negativas: negativas: x≥0 y≥0 2. Hay 440 metros de cinta disponible:
2x + 4y
Programación Lineal №
≤
440
(2)
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3. Hay 65 metros de rollo disponible:
0, 5x + 0, 25y
≤
65
El programa lineal a resolver es, por tanto: Maximizar f (x, y ) = 0, 12x + 0 , 08y
(3)
Restricciones :
(4)
x≥0
(5)
y≥0
(6)
440
(7)
65
(8)
Maximizar f (x, y ) = 0, 12x + 0 , 08y
(9)
2x + 4y
≤
0, 5x + 0, 25y
≤
Simplificando para que sea más fácil trabajar:
Restricciones :
(10)
x≥0
(11)
y≥0
(12)
x + 2 y ≤ 220
(13)
2x + y
(14)
≤
260
Reso Resollvemos emos cada cada una una de la inec inecua uaci cion ones es por por sepa separa rado do y la solu soluci ción ón es dond dondee se supe superpo rpone nen n las las solu soluci cion ones es de cada una de ellas. Evaluamos los vértices en la función objetivo:
Figure 1: Los vértices son A(0,0),B(0,110),C(100,60) y D(130,0)
f (0, 0) = 0
(15)
f (0, 110) = 8, 80
(16)
f (100, 60) = 16, 80 (mximo)
(17)
f (130, 0) = 15, 60
(18)
Solución: para maximizar beneficios se deben fabricar 100 cajas de base cuadrada y 60 de base rectangular, obteniendo un beneficio de 16,80 euros con su fabricación. Programación Lineal №
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3.2 3.2
Ejem Ejempl plo o2
“Desde “Desde dos almacenes, almacenes, A y B se tiene que distribuir distribuir fruta a tres mercados mercados de la ciudad. ciudad. El almacén A dispone dispone de 10 toneladas toneladas de fruta diarias diarias y el B de 15 toneladas toneladas que se reparten en su totalidad. totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas toneladas diarias. diarias. El coste del transporte transporte desde cada almacén a cada mercado viene viene dado por la tabla adjunta. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo. Nombrar incógnitas:
"x" es la cantidad de mercancía (en toneladas) que abastece el almacén A al mercado 1, e "y" cantidad de mercancía (en toneladas) que abastece al almacén A al mercado 2, así tendremos: Función objetivo (se
obtiene sumando todos los costes): f (x, y ) = 10x + 15 y + 20(10 − x − y ) + 15(8 − x) + 10(8 − y ) + 10(x + y − 1) f (x, y ) = −15x − 5y + 390 Restricciones (todas las mercancías han de ser cantidades): Mnimo : f (x, y ) = −15x − 5y + 390 x≥0 y≥0
10 − x − y
≥
0 ⇒ x + y
≤
10
x≤8 y≤8
10 − x − y
Programación Lineal №
≤
9 ⇒ x + y
≥
1
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Resolvemos cada una de la inecuaciones por separado y la solución es donde se superponen las soluciones de cada una de ellas. Evaluamos los vértices en la función objetivo:
Figure 2: Los vértices son A(0,1),B(0,8),C(2,8), D(8,2), E(8,0) y F(1,0)
f (0, 1) = 385
(19)
f (0, 8) = 350
(20)
f (2, 8) = 320
(21)
f (8, 2) = 260(mnimo)
(22)
f (8, 0) = 270
(23)
f (1, 0) = 375
(24)
Solución: x = 8 e y = 2. Por tanto, tanto, el coste mínimo mínimo se obtiene obtiene transportando transportando 8 toneladas toneladas desde el almacén A al mercado 1, 2 toneladas desde el almacén A al mercado 2 y 0 toneladas desde el almacén A al mercado 3. Desde el almacén almacén B, 0 toneladas toneladas al mercado mercado 1, 6 toneladas toneladas al mercado mercado 2 y 9 toneladas toneladas al mercado 3.
3.3 3.3
Ejem Ejempl plo o3
Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan 300
€ y los del
tipo F2, 500 €. Solo dispone dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 € para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30% del precio de compra? Nombramos las incógnitas: x: número de frigoríficos del tipo F1 y: número de frigoríficos del tipo F2 Nos piden los valores de x e y que hagan máximo el beneficio, así, la función objetivo es: f (x, y ) = 90x + 150y
(25)
Hemos obtenido 90 y 150 al hacer el 30% de los precios de coste. Restricciones:
Programación Lineal №
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1. Tanto x como y han de ser enteros no negativos: x≥0 y≥0 2. Solo hay hay 20 frigoríficos: frigoríficos: x + y ≤ 20 3. Solo hay 7000 euros disponibles:
300x + 500y
≤
7000
El programa lineal a resolver es: Mximizar : f (x, y) = 90x + 150y Restricciones : x≥0 y≥0 x + y ≤ 20
300x500y
≤
7000
Podemos simplificar: Mximizar : f (x, y) = 90x + 150y Restricciones : x≥0 y≥0 x + y ≤ 20
3x5y
≤
70
Resolvemos gráficamente: Evaluamos los puntos:
Figure 3: Los vértices son A(0,0),B(0,14),C(15,5) y D(20,0)
Programación Lineal №
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f (0, 0) = 0 f (0, 14) = 70 f (15, 5) = 70 f (20, 0) = 60 La solución no es única ya que hay dos vértices que dan el mismo valor máximo. Teniendo en cuenta que, en este caso, los valores han de ser enteros, las soluciones son los puntos: (0,14),(5,11),(10,8) y (15,5). Así que maximizamos beneficios vendiendo 0 de F1 y 14 de F2, o 5 de F1 y 11 de F2, o 10 de F1 y 8 de F2, o 15 de F1 y 5 de F2.
4
Ejerci Ejercicios cios propu propuesto estoss
Ejercicio 1 Representar la región factible dada por las siguientes inecuaciones: x + y ≤ 5 x≤3 x + 2 y ≤ 0 x ≥ −2 ¿Puede esta región factible corresponder a las restricciones que tiene una empresa productoras de coches (x) y motos (y)? Razona Razona tu respuest respuesta. a. Obténgase Obténgase el máximo máximo de la función función Z = 2x + 3y en la región dada. Solución: No; El máximo se alcanza en (-2,7) Ejercicio 2 Representar la región factible dada por las siguiente inecuaciones: x + y ≤ 5 x + 2 y ≥ 0 Y obténgase el mínimo de la función objetivo: Z = = 2x + 3 y Solución: No existe un mínimo.
Programación Lineal №
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