UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA LABORATORIO DE FISICA SEMESTRE U2014
Estudio de los periodos de un péndulo simple influenciados por la aceleración de la gravedad.
ELABORADO POR: ARELLANO, YONDER YONDER C.I V-25004364 V-25004364
MÉRIDA, 30/10/2014
Introducción: El fin de esta práctica es analizar la aceleración de la gravedad, mediante el comportamiento de un péndulo simple, teniendo en cuenta la variación del largo de la cuerda inextensible que sujeta la masa (en este caso usaremos una esfera metálica). Para ello se miden el período (T), que viene dado por la longitud de la cuerda y la aceleración de la gravedad. Expresada en la siguiente ecuación:
( Ec. 1)
Midiendo de esta manera T y l podemos determinar g:
(Ec. 2)
Estos cálculos se realizaran variando dichos parámetros por separado, es decir, en el desarrollo de la práctica se llevaran a cabo una cierta cantidad de mediciones (10) donde se variara la longitud de la cuerda del péndulo, pero siempre manteniendo la masa constante. Posteriormente con los datos recaudados se realizara un análisis gráfico de los resultados obtenidos. El mismo se utilizara para averiguar la expresión analítica que relaciona dichos parámetros y el período de oscilación que realizara el péndulo influenciado por la aceleración de la gravedad.
Marco Teórico:
El péndulo simple está formado por una masa “m”, suspendida de un punto fijo “O” por medio de un hilo inextensible de masa despreciable y longitud “l”, que oscila alrededor de otro punto fijo en la misma vertical que “O”. Se trata de un
sistema que transforma la energía potencial en energía cinética y viceversa, debido a la acción de la fuerza gravitatoria “mg” que ejerce la Tierra sobre la masa m (más concretamente, a la componente de esta fuerza perpendicular al hilo, también llamada “restauradora” porque se dirige hacia la posición de equilibrio del
péndulo; la otra componente, en la dirección del hilo, tiene igual módulo pero con sentido opuesto a la tensión que el hilo produce sobre la masa, por lo que no interviene en el movimiento del péndulo). El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los siguientes parámetros:
Oscilación completa o ciclo:
Es el desplazamiento de la esfera desde uno de sus extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico.
Periodo:
Es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa.
Frecuencia:
Es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo.
Amplitud:
Es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio, que depende del ángulo α entre la vertical y el hilo. Para pequeñas amplitudes (sen (α) ≅ α), el movimiento oscilatorio del péndulo es armónico simple, y el periodo de oscilación T viene dado por la (Ec.1) Es decir, el tiempo de oscilación no depende ni de la masa “m” ni (para amplitudes
pequeñas) de la amplitud inicial, por lo que puede calcularse g a partir de medidas de Tiempos (“T”) y longitudes (“l”) ver (Ec. 2). El péndulo simple, además de servir para calcular el valor de g con una considerable precisión, tiene muchas otras aplicaciones. Se utiliza generalmente en la fabricación de relojes para la medición del tiempo. Pero también sirve,
puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes. Método experimental:
Materiales utilizados:
Péndulo simple. Cuerda inextensible. Esfera metálica. Cinta métrica: apreciación (0.1 cm). Cronometro: apreciación (0.01s).
Método:
Mide la longitud longitud l del péndulo, esto es, desde el extremo fijo O al centro de masa de la esfera.
Separa el péndulo de su posición de equilibrio y se deja oscilar libremente, procura que el movimiento movimiento se produzca en un plano. Cuando la oscilación sea de amplitud pequeña.
Cronometra la duración T 10 oscilaciones completas (ida y vuelta). El periodo experimental T vendrá dado por: Γ = t / 10 (Ec.3).
Sobre la precisión de los aparatos de que dispones, establece el error de tu medida personal para cronometrar tiempos y precisar la longitud del péndulo. (Recuerda que solo debes usar una cifra significativa para el valor de la incertidumbre).
Se realizarán 10 medidas de t para otras tantas longitudes diferentes, modificando la longitud l del péndulo.
En la tabla, adjunta las medidas obtenidas, expresa los valores de T y de l que mides de forma concordante a las incertidumbres Δt y Δl establecidas para las correspondientes medidas directas.
Para cada par de valores de longitud y periodo, calcula los correspondientes valores de t1 y t2 y, utilizando la ecuación (Ec.3) y el respectivo valor de g. Los valores de las diferentes incertidumbres indirectas
.
Posteriormente en el papel milimetrado adjunta una gráfica de en función de la longitud del péndulo l, en la que se reflejen los resultados experimentales.
Utiliza en la gráfica una escala conveniente y unidades adecuadas en sus ejes.
Comprueba que tus datos datos experimentales guardan una relación lineal, lineal, ya que Teóricamente
.
Observa si algún punto se desvía de esa tendencia, o si su valor calculado para g difiere considerablemente del resto. Si es así prueba a repetir el experimento para la longitud correspondiente.
Esquema del experimento:
Figura 1.1: Péndulo simple.
Figura 1.2. Movimiento de un péndulo simple
Medidas
Tabla # 1. Dependencia del periodo con el ángulo. Θ(°)
(Sg)
(Sg)
t (Sg)
Г(s)
5 10 15
9,75 9,68 9,82
9,64 9,75 9,91
9,96 9,71 9,86
0.96 0.97 0.98
Valores fijos: Longitud:
(cm)
Diámetro de la esfera: d(cm)
Masa de la esfera: M (grs)
(2,53 ± 0,05)
(87,83 ± 0.01)
(22,76 ± 0,1)
Tabla #2. Dependencia del periodo con la masa de la esfera.
M(grs)
(Sg)
(Sg)
t (sg)
Г(s)
d (cm)
(cm)
87,83 8,41 6,26
9,70 9,30 9,56
9,65 9,17 9,40
9,67 9,23 9,48
0,96 0,96 0,94
2,54 2,46 2,20
22,76 22,83 22,31
Valores fijos: Longitud: (cm)
Angulo: Θ(°)
(20 ± 0,1)
10
Tabla # 3. Dependencia del periodo con la longitud del péndulo
Lp (cm)
(Sg)
(Sg)
(Sg)
Γ (sg)
60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
15,62 16,92 17,00 17,51 18,19 18,45 19,12 19,34 20,50 21,53
15,59 16,96 17,06 17,62 18,22 18,49 19,18 19,40 20,52 21,55
15,4 6,64 17,03 17,56 18,20 18,47 19,15 19,37 20,52 2155
1,54 1, 54 1, 69 1,69 1,70 1,75 1,82 1,84 1,91 1,93 2,05 2,15
(
)
2,39 2, 39 2, 86 2,86 2,90 3,08 3,31 3,41 3,60 3,75 4,21 4,64
Valores fijos: Angulo: Θ(°)
Diámetro de la esfera: d(cm)
Diámetro de la esfera: d(cm)
5°
(2,53 ± 0,05)
(2,53 ± 0,05)
Calculo de la pendiente y su error relativo: Gráficamente:
Lh (cm.) Γ (S)
60
65 65
70 70
75
80
85
90 90
95
100
105
2,39
2,86
2,90
3,08
3,31
3,41
3,60
3,75
4,21
4,64
Grafica N° 1: Dependencia del periodo ( Γ2(S)2) con la longitud del péndulo ( L) Calculo del centróide para la grafica Γ2(S) vs. L 10 L =
Li / 10 = 82,5 cm
i=1 10
2
Γ =
2
Γi / 10 = 3,43 s
2
i=1
Por Mínimos cuadrados:
L (cm)
Γ2 (seg2)
L2 (cm2)
L* Γ2
d = (Γ2 – b – b – –pL) pL)
(Γ2 – b – b – – pL) pL)2
60 65 70
2,39 2,86 2,90
3600 4225 4900
143,4 185.9 203
1,003 1,206 1,380
1,006 1,454 1,904
75 80 85 90 95 100 105 Σ 82,5
3,08 3,31 3,41 3,60 3,75 4,21 4,64 Σ 3,43 s2 2
5625 6400 7225 8100 9025 10000 11025 Σ 7012
231 264,8 289.8 324 356.2 421 487.2 Σ 290.6
2
m = p = (n (n Σ L i * Γ i – Σ L i Σ Γ i ) 2 2 n Σ L i – ( Σ L i ) 2 m=0,05 s /m
1,585 1,742 1,956 2,132 2,284 2,585 2,589
2,512 3,035 3,826 4,545 5,217 6,275 7,231 Σ 37,005 2
2
2
Σ Γ i – Σ Li * Γ i ) ( Σ L i * Σ Γ 2 (nΣLi 2 – ( Σ Σ L i ) ) 2 b = -0,6 -0 ,6 s
b =
Determinación De La Aceleración De Gravedad
Por comparación de las expresiones para el periodo de oscilación: Teoría: Γ2 = (4π2 / g) * L Grafico: Γ2 = p*L Se obtiene que: p = (4π2 / g ) => g = (4π2 / p ) => g = 962,89 cm / seg 2 Eg= Δg / g = Δp / p =0,001 / 0,041= 0,024 Δg = Eg * g => Δg = (0,024)*(962,89cm /seg2) Δg = 23,11 cm /seg2 g%= Eg * 100 = 2,4% g= (9,6 0,2) m/s 2
Discusión y Conclusiones: Se concluye que el período en función del largo de la cuerda sigue la siguiente relación:
Donde cada constante tiene un error de 0.07. Debido al instrumento utilizado para hacer las mediciones (del período y del largo de la cuerda) y a la inelasticidad del hilo utilizado se puede concluir que esta relación es suficientemente aceptable. Una posible fuente de error que se puede haber suscitado mediante el desarrollo de la practica es que la masa del hilo eleve la posición del centro de masas del conjunto bola-hilo y disminuya la longitud efectiva L. Para hacer un tratamiento riguroso de este efe cto debemos considerar la teoría del “péndulo físico” (ver por ejemplo Robert Resnik and Halliday).
También se observa que al haber haber utilizado utilizado una cantidad de volumen considerable de largos de hilo distintos la relación se vuelve más Fidedigna. Al revisar los resultados obtenidos podemos concluir con cierta veracidad que el péndulo utilizado se comporta prácticamente como un péndulo simple, caracterizado fundamentalmente por su movimiento armónico simple, ya que la longitud de la oscilación fue muy pequeña (ángulo de 10ª)
Referencias.
Chourio Myriam, Myriam, Rueda Fulgencio, y Sagredo Vicente. Fundamentos para el laboratorio de física.
Avellán Antonio. Szarvas Joaquín. Técnicas para el estudio de datos experimentales. Primera Edición 1995. Impreso en Valencia Venezuela.
