UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS B ÁSICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS LABORATORIO DE FISICA I
PENDULO SIMPLE
Prof. Iskandar Arneodo.
Bachilleres: Rodriguez Adela C.I: 17.900.320
Sección: 13
Puerto La Cruz, 17 de Julio de 2012
TABLA DE CONTENIDO Pág. Introducción Objetivos Marco teórico Materiales Procedimiento Experimental Tabla de datos y Resultados Discusión de Resultados Conclusión Bibliografía Anexos
INTRODUCCIÓN
Un péndulo es un objeto suspendido de un punto, de modo que puede oscilar. Es muy fácil construir un péndulo y con él se puede estudiar las propiedades que le pertenecen. Lo que se leerá más adelante consiste en un trabajo de física, el cual, da a conocer el estudio de las relaciones que existen entre el período de un péndulo: -
Su masa
-
Su amplitud
-
Su largo
OBJETIVOS
Estudiar el comportamiento del periodo en función: o
La longitud del péndulo
o
La masa de oscilación
o
El ángulo de oscilación
Obtener el valor de la aceleración de gravedad en forma experimental
MARCO TEÓRICO 1.
Péndulo simple.- El péndulo es un sistema masa-hilo: una masa suspendida por un hilo desde un punto fijo. Cuando se desplaza de su posición de equilibrio un ángulo empieza a oscilar según la ecuación: (t ) A cos( t )
donde: T 2
L g
entonces
g
4
T
2
2
L
Periodo de movimiento: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Oscilaciones. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). L
T 2
g
Frecuencia de movimiento: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N° de Oscilaciones. / T ( número de oscilaciones dividido del tiempo) f
1
T
1
g
2 L
Amplitud: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura. Ciclo: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto.
Oscilación: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo Pasemos ahora al análisis del péndulo simple, un modelo abstracto estrechamente relacionado con el anterior. Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo suspendido de un hilo y que puede realizar oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable. El péndulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes características: 1. El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y sin peso. 2. La masa del sistema se considera concentrada en el cuerpo (puntual) que oscila. 3. No existen agentes que provoquen efectos disipativos. Teniendo en cuenta estas características veamos ahora cómo obtener el modelo simbólico (ecuación matemática) que se utiliza para describir el movimiento del sistema. En la siguiente figura se han trazado los ejes coordenados: el eje x en la dirección tangente a la trayectoria descrita por el cuerpo y el eje y según el radio de esta trayectoria. Es obvio que esta trayectoria es un arco de circunferencia. Se representan, además, las componentes de la fuerza de gravedad en estos ejes quedando claro que su componente en la dirección x tomada es el agente restaurador para el caso que nos ocupa.
Apliquemos ahora la segunda ley de Newton al eje x. Así:
F x m a x Se toma el ángulo
como variable para describir la separación del
sistema de la posición de equilibrio estable. Entonces:
mgsen ma 2
mgsen m
d S 2
dt
donde S es la longitud del arco de circunferencia que describe la partícula y si expresamos el ángulo
en radianes podemos escribir: S l
Entonces:
gsen
d (l ) 2
dt
Acomodando la expresión anterior y dividiendo por l nos queda: 2
d 2
dt
g l
sen 0
Comparando la ecuación anterior con la ecuación (1) nos damos cuenta que esta, realmente, no se corresponde con el modelo del oscilador armónico simple pues el agente restaurador no es proporcional a la separación ( ) del sistema de la posición de equilibrio estable sino a sen lo cual no coincide con las características del modelo. Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de oscilación del sistema sea lo suficientemente pequeña como para considerar que sen y entonces la ecuación anterior podrá ser escrita como:
2
d 2
dt
g l
0
(2)
Que sí es similar a la ecuación (1) y, bajo estas condiciones se puede afirmar que el péndulo simple realiza oscilaciones armónicas simples. Por los procedimientos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo podemos obtener como solución para (2) la siguiente:
m sen( 0t 0 ) donde:
es la elongación.
m
0
es la amplitud de las oscilaciones.
g l
es la frecuencia propia de las oscilaciones libres del
sistema.
Y 0 es la Fase inicial (estado en que se encuentra el sistema cuando se comienza a medir el tiempo).
MATERIALES Escala semicircular. Cuerpos de diferentes masas. Hilo inextensible. Cinta métrica. Cronometro.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Período en función de la longitud: Construir un péndulo simple Medir la longitud del péndulo o
o
o
Seleccionar un ángulo de oscilación
o
Medir el tiempo empleado por la masa en completar 10 oscilaciones
o
Determinar el periodo (T = tiempo/nº de oscilaciones)
o
Repetir el procedimiento para 10 longitudes diferentes, manteniendo
entre 5 y 45 grados
el ángulo de oscilación y la masa constante o
Se construyó la gráfica T vs. L
o
Con los valores obtenidos, graficar T 2 vs L, ajustando a una recta mínimos cuadrados la ecuación del periodo de oscilaciones de un péndulo simple T 2
o
L g
de manera que la pendiente de la recta sea: m=4 π2/g.
partiendo de esta expresión y el valor de la pendiente obtenida mediante el método de mínimos cuadrados , determinar el valor de la gravedad y % de error.
Período en función de la masa de oscilación: o
Cambiar la masa obteniendo el ángulo de oscilación y la longitud constante
o
Medir el tiempo para 10 oscilaciones
o
Repetir el procedimiento para cada masa distintos
o
Se determinó el período de cada uno.
o
Se construyó la gráfica T vs M.
Período en función del ángulo de oscilación: o
Cambiar el ángulo de oscilación, manteniendo la longitud y la masa contante
o
Medir el tiempo para 10 oscilaciones.
o
Repetir el procedimiento para ángulos distintos
o
Se determinó el período de cada uno.
o
Se construyó la gráfica T vs.
TABLA DE DATOS Y RESULTADOS TABLA DE DATOS
Periodo en función de la longitud TABLA N° 1. Angulo y masa del cuerpo para la prueba de periodo en función de la longitud
Angulo
45°
Masa del cuerpo
9/12gr
TABLA N° 2. Datos utilizados para determinar la aceleración de la gravedad
LONGITUD(m) Nº LONGITUD(cm) (L) (L)
TIEMPO (T)(Seg.)
PERIODO (T/Nº DE OSCILACIONES)
T2(seg)=Y
1
22,3
0,223
5,26
0,6575
0,4323
2
29,5
0,295
6,12
0,765
0,5852
3
26,3
0,263
5,62
0,7025
0,5374
4
32,3
0,323
6,35
0,7937
0,6299
5
43,4
0,434
7,00
0,875
0,7656
6
40,9
0,409
7,14
0,8925
0,7965
7
39,2
0,392
6,99
0,8737
0,7633
8
37,9
0,379
6,82
0,8525
0,7267
Periodo en función de la masa de oscilación
TABLA N° 3. Datos de longitud y ángulo constante para determinar el periodo en función de la masa de oscilación
Longitud
35,9 cm
Angulo
45°
TABLA N° 4. Periodo en función de la masa de oscilación LONGITUD(m) Nº LONGITUD(cm) (L) (L)
TIEMPO (T)(Seg.)
PERIODO(T/Nº DE OSCILACIONES)
masa(gr)
1
35,9
0,359
6,60
0,825
22,89
2
35,9
0,359
6,38
0,7975
49,005
3
35,9
0,359
6,44
0,805
73,041
4
35,9
0,359
6,36
0,795
97,083
5
35,9
0,359
6,41
0,80125
115
6
35,9
0,359
6,51
0,81375
143
7
35,9
0,359
6,42
0,8025
145,096
8
35,9
0,359
6,24
0,78
154
Periodo en función del ángulo de oscilación TABLA N° 5. Datos de longitud y masa constante para determinar el periodo en función del ángulo de oscilación
Longitud Masa
35,6 cm 22,89 gr
TABLA N° 6 Periodo en función del ángulo de oscilación LONGITUD(m) Nº LONGITUD(cm) (L) (L) 1 2 3 4 5 6 7 8
35,6 35,6 35,6 35,6 35,6 35,6 35,6 35,6
0,356 0,356 0,356 0,356 0,356 0,356 0,356 0,356
TIEMPO (T)(seg.)
PERIODO(T/Nº DE OSCILACIONES)
Angulo
6,22 6,32 6,36 6,48 6,51 6,56 6,69 6,76
0,7775 0,79 0,795 0,81 0,81375 0,82 0,83625 0,845
15 20 30 40 50 60 70 80
TABLA DE RESULTADOS TABLA N° 7. Datos para aplicar mínimos cuadrados en la obtención de la aceleración de la gravedad
Nº
LONGITUD(m) (L)=x
T2(seg)=Y
L2=X2
T2*L
1
0,223
0,4323
0,0497
0,0964029
2
0,295
0,5852
0,0870
0,172634
3
0,263
0,5374
0,0691
0,1413362
4
0,323
0,6299
0,1043
0,2034577
5
0,434
0,7656
0,1883
0,3322704
6
0,409
0,7965
0,1672
0,3257685
7
0,392
0,7633
0,1536
0,2992136
8
0,379
0,7267
0,1436
0,2754193
∑=
2,72
5,2369
0,9628
1,84650260
TABLA N° 8. Resultados de la aplicación del método mínimos cuadrados en la obtención de la aceleración de la gravedad
M
4.95
b
o
g
7.96 m/s2
% Error g
19%
DISCUSION DE RESULTADOS Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado que debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período, además para el cálculo de la gravedad después de realizar los mínimos cuadrados nos dio cercana al parámetro de la gravedad experimental con errores medios, estos debidos a la toma del tiempo que es común en esta práctica por su imprecisión.
CONCLUSIONES
Desarrollando la experiencia del movimiento pendular hemos podido verificar las leyes que rigen este movimiento. Realizando nosotros mismos las experiencias necesarias. Estas leyes que fueron establecidas hace muchos años, aun siguen vigentes como los primeros tiempos en que fueron escritas.
Los datos tienen que tener mucha exactitud ya que puede no dar los datos experimentales iguales a los tabulados.
La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio.
La aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa a partir del equilibrio y está en la dirección opuesta. La aceleración es variable. Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, su aceleración se hace cero y su velocidad es máxima puesto que la masa oscila entre dos puntos de retorno.
BIBLIOGRAFÍA JOSEPH W. KANE, MORTON M. STERNHEIM, JOSÉ CASAS VÁZQUEZ. Física. Edición 2. Editorial Reverté. Año 1996. Guía Practica de Laboratorio de Física I
FIGURA DE LA PRÁCTICA
Figura N° 1: péndulo utilizado en la práctica
