Laboratorio de Control
Práctica 2 Nombre: Franklin Mayaguari Tema: El péndulo simple Procedimiento: 1. nali!ar nali!ar en "ué lugares lugares se presenta presenta #ricci$n #ricci$n en el péndulo péndulo y su e#ecto. En un sistema de péndulo simple hay dos lugares en los que se presenta fricción y estos son: Fricción ocasionada por la resistencia del aire. Fricción interna del sistema, la misma que se disipa en forma de calor. Esto ocasiona que el sistema vaya perdiendo energa y por consiguiente consigui ente este se detenga. • •
2. %btener el modelo matemático considerando el amortiguamiento.
del
péndulo
simple
!e la "gura # tenemos: L . θ =¿ !istancia desde & a m $% L.
v=
dθ = veloc velocida idad d dela de la masa masa dt
Energa cinética:
( )
2
( )
2
ds dθ 1 = m L2 (1 ) T = m v = m dt dt 2 2 2 1
2
1
'ltura vertical: Figura 1. Péndulo &imple
h = L ( 1− cos θ )
Energa potencial: V =m∗g∗ L ( 1−cos ( θ ) ) ( 2 )
$umamos la ecuación # y ( y obtenemos una constante:
Laboratorio de Control
( )
2
dθ + m∗g∗ L ( 1−cos (θ ) )= c ( 3 ) mL 2 dt 1
2
!erivando la ecuación ) se obtiene:
( )( ) .
dθ m∗ L dt 2
( )
2
2
d θ dθ d θ g ( ) + ∗ ∗ ∗ = + sin ( θ )= 0 m g L θ sin 0 2 2 dt d t d t L
$e a*ade una constante c la misma que representa la fricción del sistema 2
d θ C ∗dθ g + + k ∗θ =u ( t ) donde k = 2 dt L d t
'. (alcular la aceleraci$n de la gra)edad mediante la #$rmula del per*odo. +(oincide la aceleraci$n de la gra)edad con la "ue se debe obtener en el ecuador, +Por "ué, El periodo para un sistema de péndulo simple viene dado por:
√
T =2 π ∗
L g
!e la ecuación para el periodo del péndulo simple se despe+a la gravedad y se tiene: 2
g= 4
π ∗ L 2
T
!ónde: T =1.2 seg L= 0.345 m 2
∴g
=4
π ∗0.345 2
(1.2 )
=9.47 m 2
s
El valor obtenido de la gravedad no concuerda con el valor de gravedad del Ecuador debido a que los instrumentos de medición no son tan precisos, adems se debe de considerar que e-isten fallas al medir. El clculo tiene una apro-imación del /0, los errores se deben a los tiempos de medición.
Laboratorio de Control -. nali!ar c$mo puedo trans#ormar las oscilaci$n mecánicas en seales eléctricas para su manipulaci$n /describa "ué componentes #*sicos usar*a y por "ué0. 1ara esta prctica usaramos un transductor ya que este dispositivo nos permite transformar una determinada energa de entrada en otra diferente a la salida. 2n transductor electromagnético nos permite transformar las oscilaciones mecnicas en se*ales eléctricas. 3. asado en el modelo obtenido simular en MT3 respuesta de este sistema en el tiempo y gra4carla . La ecuación caracterstica del sistema es:
la
2
d θ + 1.4∗10−5 dθ + 28.40 θ =u (t ) 2 dt d t
la función detransferenciaes H ( s ) =
U ( S ) 2
−5
S + 1.4∗10 ∗S + 28.40
5. %bser)ar y gra4car la respuesta natural del péndulo simple en el tiempo a tra)és del osciloscopio y compararla con la obtenida en MT3. +&on iguales, +Por "ué,
Figura 2. %scilaciones del péndulo simple Matlab
Laboratorio de Control
Figura '. %scilaciones del péndulo simple %sciloscopio.
En la "gura ) y 4 se observa las oscilaciones tanto en 5atlab como en el osciloscopio, en ellas se nota que los tiempos de estabili6ación son diferentes debido que se asumió como constante de amortiguamiento el valor de la viscosidad del aire para el e-perimento real y no se sabe con e-actitud que parmetros usa el programa para su modelación. 6. %btener la #recuencia y el per*odo del sistema en base a la respuesta en el tiempo obser)ada en el osciloscopio. %btener además estos mismos datos de #orma práctica y comparar los dos. +&on iguales, +Por "ué,
Figura -. %scilaciones péndulo simple
En la "gura 4 se observa que cada división del osciloscopio equivale a 3&&ms. 'pro-imadamente cada oscilación del sistema se est cumpliendo en (.3 divisiones, por lo tanto el valor del periodo que nos brinda es
Laboratorio de Control T osc=1.25 s eg
osciloscopio es de: prctica es de:
, el valor del periodo obtenido en la
T prac =1.2 s eg
El valor de las frecuencias es: f osc= 0.8 Hz f prac=0.833 Hz
7. %btener el coe4ciente de amortiguamiento en base a la respuesta en el tiempo obser)ada en el osciloscopio m*nimo 8 )eces.
Figura 8. %scilaciones del péndulo simple obtenidas del osciloscopio
El coe"ciente de amortiguamiento es igual a: 1ara un tiempo t%& se tiene un valor de 1ara un tiempo t%/&seg se tiene
(
∴ f 60
−!t
f ( t )= 0 e
0=1.75
f ( 60 ) =1 apro"imadamente
)=1.75 e−! =1 = 0.009327 60
∝
9. %btener las conclusiones de la práctica. 2na ve6 culminada la prctica se pueden e-traer las siguientes conclusiones:
Laboratorio de Control Los modelos matemticos y e-perimentales di"eren en sus resultados, sin embargo ambos son necesarios, el primero nos brinda una idea de lo que se espera o va a suceder y el segundo nos muestra lo que ocurre en la vida real, las variaciones entre estos se deben a factores como la precisión de los instrumentos de medición, fallas en la obtención de medidas entre otros factores. La mayora de las oscilaciones que se presentan son del tipo mecnico mientras que instrumentos de medición requieren de se*ales eléctricas para su operación, es por ello que se usa un transductor, este dispositivo permite reali6ar dicha conversión. 1.
ibliogra#*a.
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