Pendulo Simple

PÉNDULO SIMPLE 1.- OBJETIVOS 1) Estudio experimental de la ecuación de movimiento del péndulo simple. 2) Cálculo de la aceleración de la gravedad terrestre.

2.- FUNDAMENTO TEÓRICO Una masa m cuelga verticalmente a una distancia L distancia L de un punto fijo O. En situación de reposo la masa se encuentra en una posición de equilibrio estable. Si separamos la masa m de dicha posición de equilibrio en un ángulo θ  actuará sobre el mismo una fuerza recuperadora  F = -mg senθ   que lleva la masa hacia el equilibrio, haciéndola oscilar alrededor de la misma. Cuando el ángulo es pequeño, sen θ ∼ θ y la fuerza recuperadora es lineal en θ  F ~ mg θ  θ 

(1)

 por lo que qu e la l a ecuación ecua ción del movimiento del péndulo, p éndulo, considerando que esta sea la única ún ica fuerza que actúa en la dirección del movimiento, será (pequeñas oscilaciones) d

2

θ 

dt 2

≈ −m

g  L

θ   

(2)

cuya solución se escribe

(

  θ (t ) = θ 0 sen ω0 t + δ

)   

 

(3)

y el péndulo realizará oscilaciones armónicas simples (MAS) de período τ = 2π 

 L  g 

 

(4)

La ecuación (4) permite determinar la aceleración de la gravedad  g   en el laboratorio.

3.- MÉTODO EXPERIMENTAL Material •

Cuerdas de diferente longitud

•

Masas diferentes

•

Cronómetros

1

3.1.- Validez de la aproximación pequeñas oscilaciones. Calcular el error relativo

ε (θ ) =

sin θ  − θ  θ 

que se comete bajo la aproximación de

 pequeñas oscilaciones (ecuación 1) en el cálculo de la fuerza recuperadora para los siguientes valores: θ  = 5º, 10º, 20º, 30º, 40º y 50º.

3.2.- Cálculo de la aceleración de la gravedad A. Medida única. Mediante la ecuación (4) calcular la aceleración de la gravedad utilizando una única cuerda: a) Separar la masa m de la posición de equilibrio un ángulo de aproximadamente 15º.  b) Soltar la masa con cuidado, dejándola caer sin velocidad inicial. De esta forma la masa m se moverá en un plano. c) Medir el tiempo que transcurre en 20 oscilaciones, y a partir de ese resultado, encontrar el periodo. d) Repetir el proceso 5 veces. Calcular el valor medio del período y la desviación  N 

∑ (  x estándar

S  =

− xi

)

2

i =1

, que se tomará como el error en el periodo, ∆τ . Calcular

 N  − 1

el valor de g . e) Calcular el error cometido en la determinación de g, ∆ g  suponiendo que no se comete error en la medida de la longitud L del péndulo y que todo el error se debe a la medida del período (desviación estándar).

 g  =

4π  2 L τ 

2

∆ g  =

dg  d τ 

τ 0

⋅ ∆τ  =

dg  d τ 

τ 0

⋅ S  =

8π  L2 3

τ 0

S 

B. Medida con varias cuerdas Repetir el proceso efectuado en 3.2A utilizando esta vez cuatro

cuerdas   de diferente

longitud. a) Calcular el período (valor medio) resultante para cada cuerda como en 3.2A.  b) Representar en un gráfico el valor del período de oscilación al cuadrado frente a la longitud de la cuerda.

2

c) Trazar a ojo la línea recta que aproxime los cuatro puntos y obtener su pendiente. A  partir de la pendiente, obtener el valor de g .

3.3.- Acción de la masa del péndulo Utilizando una masa distinta m, repetir la experiencia descrita en el apartado 3.2.A (teniendo cuidado de utilizar una cuerda la misma longitud) y comprobar que el periodo es independiente del valor de la masa m.

4.- CUESTIONES (véase hoja del informe)

3

4

INFORME DE LA PRÁCTICA: PÉNDULO SIMPLE. Nombres:

Grupo: Fecha:

RESULTADOS 3.1.- Validez de la aproximación pequeñas oscilaciones: Rellenar la siguiente tabla θ 

sin θ  ε 

3.2.- Cálculo de la aceleración de la gravedad a. Medida única. Longitud de la cuerda: Medida del periodo: 20 τ  τ 

Valor medio de

τ  :

Desviación estándar (S): Valor de g:

Calcular el error derivado y el error relativo en g:  g  =

4π  2 L τ 

∆ g  =

2

dg  d τ 

τ 0

⋅ ∆τ  =

dg  d τ 

∆ g  =

Error relativo:

ε  =

∆ g 

 g 

5

τ 0

⋅ S  =

8π  L2 3

τ 0

S 

b. Medida con cuerdas de diferentes longitudes. Cuerda 1: Longitud de la cuerda: 20 τ  τ  τ  =

τ 

2

=

τ 

2

=

τ 

2

=

τ 

2

=

Cuerda 2: Longitud de la cuerda: 20 τ  τ  τ  =

Cuerda 3: Longitud de la cuerda: 20 τ  τ  τ  =

Cuerda 4: Longitud de la cuerda: 20 τ  τ  τ  =

Representar en papel milimetrado el cuadrado del periodo en función de la longitud de la cuerda. Ajustar a ojo los valores obtenidos a una recta coeficientes a y b: Valor de a: Valor de b: Obtener a partir de estos coeficientes el valor de g. Valor de g:

6

τ 

2

= aL + b   y encontrar los

3.3.- Acción de la masa del péndulo Longitud de la cuerda: Cálculo del periodo con la nueva masa: 20 τ  τ  τ  =

Comparar este valor con el obtenido anteriormente para un péndulo de la misma longitud y distinta masa.

4.- CUESTIONES 1) Comente cual de los dos métodos (3.2A y 3.2B) le parece más apropiado para medir la aceleración de la gravedad.

2) Compare el valor de  g medido en la práctica con el valor teórico de g   deducido a 24

 partir de la ley de la gravitación universal de Newton. Datos: M (Tierra) = 5,98x10 Kg, G = 6,67x10-11 Nm2Kg-2, R = 6.378 kms.

3) Calcular el periodo teórico de oscilación de un péndulo simple en el planeta Júpiter ( τ  J  ) relativo al que tendría en la tierra (τ T  ) si  g  J  =26m/s2. τ  J  τ T 

=

7