PENDULO FISICO O COMPUESTO
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PENDULO FÍSICO O COMPUESTO I.
II.
OBJETIVO(S)
1.1. Estudiar el movimiento de un péndulo compuesto 1.2. Medir la aceleración aceleración de la gravedad gravedad local utilizando un péndulo péndulo compuesto 1.3. Determinar el radio de giro de un cuerpo cuerpo rígido y a partir de este el momento de inercia del del mismo 1.4. Verificar la reversibilidad reversibilidad del péndulo péndulo compuesto compuesto MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL 2.1. INTRODUCCION
La propiedad fundamental de un cuerpo la cual determina determi na como es su comportamiento comportami ento cuando sufre un movimiento de rotación es su momento de inercia (I). Para cualquier cuerpo dado esta cantidad puede determinarse a partir de su distribución de masa, pero su cálculo es muy complicado a excepción de aquellos cuerpos que poseen un alto grado de simetría. Así por ejemplo, el momento de inercia para una esfera con una densidad de masa uniforme que tiene ti ene una masa m y un radio R está dada por .
= 2⁄5
A veces es mucho más fácil determinar el momento de inercia experimentalmente. Uno de estos experimentos involucra la determinación del momento de inercia de barras de secciones transversales rectangulares aplicando un método que puede ser aplicado a cuerpos de formas irregulares. En este experimento Ud. podrá determinar el radio de giro el cual es una cantidad relacionada con el momento de inercia. Por otro lado, a veces es necesario necesario determinar la aceleración de la gravedad gravedad del lugar en donde se desarrolla los experimentos. Por lo tanto, este experimento nos permite determinar dicha aceleración de la gravedad simplemente suspendiendo un cuerpo de un punto de oscilación y evaluando el período de las pequeñas oscilaciones para los diferentes puntos de oscilación. 2.2. CARACTERÍSICAS DEL PENDULO COMPUESTO
Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son pequeñas en comparación con la distancia del eje de suspensión al centro de gravedad, el péndulo se denomina péndulo compuesto o péndulo físico. Un péndulo físico es un cuerpo rígido de masa m instalado de tal manera que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa, bajo la acción de la gravedad, tal como se muestra en la figura 3.1. Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es I O, se separa de su posición de equilibrio, un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador asociado a la fuerza gravitacional le producirá un movimiento oscilatorio. Aplicando la ecuación de la dinámica rotacional se tiene
⃗
⃗ =
⃗
M
0
I 0
(3.1)
Dónde: es el momento o torque alrededor de O, I O es el momento de inercia del cuerpo respecto al punto O y , es la aceleración angular
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Figura 3.1. Cuerpo rígido de forma irregular suspendido de un ponto O desplazado un ángulo θ de la vertical, (b) pé ndul nd ul o fí f ísico u ti l i zado en el l abor ator i o de física de l a UN A SA M
Para deducir las ecuaciones que gobiernan al péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra de sección rectangular AB de masa m, suspendida de un eje transversal tr ansversal que pasa por el punto S, tal tal como se muestra muestra en la figura 3.2a.
(a) (b) Figura 3.3 Pé ndu l o util uti l i zado para par a determ determii nar l as caracterí car acterísticas de del movimi movim i ento pendu pendu l ar. ar .
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación al péndulo se tiene
M |
S
I S
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3
(3.2) Dónde: m es la masa del péndulo, h es la distancia del centro de gravedad al punto de suspensión, I S es el momento de inercia del péndulo con respecto al punto de suspensión S y θ es el ángulo respecto a la vertical. La ecuación (3.2) puede escribirse en la forma
mghsen
I S
mgh sen 0 I S
(3.3)
Esta ecuación diferencial es no lineal , por lo que no corresponde a una ecuación diferencial de un movimiento armónico. Para desplazamientos angulares θ pequeños, la función trigonométrica
expresa en radianes. Por tanto la ecuación diferencial (3.3) se escribe
mgh
I S
0
≈
, donde θ se
(3.4)
La ecuación (3.4), es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, movimiento en el cual la aceleración angular es directamente proporcional al desplazamiento angular y de dirección opuesta. La solución de dicha ecuación diferencial es de la forma t
max
sen
t
(3.5)
n
Donde las constante θ max y φ se determinan de las condiciones iniciales y natural circular expresada por
n
2
T
mgh
I S
es la frecuencia
(3.6)
El período del péndulo físico, es T
I S
2
mgh
(3.7)
A veces es conveniente expresar I S en términos del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de gravedad I G, para ello se usa el teorema de los ejes paralelos, esto es (3.8) Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por otro lado, el momento de inercia también puede expresarse en función del radio de giro K G, en la forma I S
IG
I G
mK G
mh
2
2
(3.9)
Al remplazar la ecuación (3.9) en (3.8), resulta 2
2
2
I S mKG mh m KG h
2
(3.10)
Es decir el período del péndulo puede expresarse en la forma |
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(3.11) La ecuación (3.11)* expresa el período del péndulo físico en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, el período es independiente de la masa, dependiendo sólo de la distribución de masa K G. Por otro lado, debido a que el radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el período del péndulo en función sólo de h. La comparación de la ecuación (3.11)* con el período de un péndulo simple muestra que el período de un péndulo físico suspendido de un eje a una distancia h de su centro de gravedad es igual al período de un péndulo simple de longitud dada por
=2√ / 2
L
KG
h
h
2
2
K G
h
h
(3.12)
El péndulo simple cuyo período es el mismo que el del péndulo físico dado, se le denomina péndulo simple equivalente.
Algunas veces es conveniente especificar la localización del eje de suspensión S en términos de la distancia d medida desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia h medida desde el centro de masa. Si las distancia d 1 , d 2 y D (figura 3.3b) son medidas desde el extremo superior, la distancia h1 debe ser considerada negativa ya que h es medida desde el centro de gravedad. De esta forma, si D es la distancia fija desde el extremos superior A de la barra al centro de gravedad G, d1
D h1
d1
D h2
(3.13)
Y en general d
Dh
(3.14)
La sustitución de estas relaciones en la ecuación que define el período, ecuación (3.11)*, se obtiene T 2
KG2
2
d D g d D
(3.15)
La relación entre T y d expresada por la ecuación (3.15), puede mostrarse mejor gráficamente.
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Figura 3.4.
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Período en fun ción de la distancia al centr o gravedad
Cuando el período T es trazado como función de d , son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y S’P’Q’ como se muestra en la figura 3.4. El análisis de estas curvas revela varias propiedades interesantes y observables del péndulo físico. Empezando en el extremo superior A cuando el eje es desplazado desde A hacia B, el período disminuye, encontrándose un valor mínimo en P, después del cual se incrementa cuando d se aproxima al centro de gravedad. Las dos curvas son asintóticas a una línea perpendicular que pasa por el centro de gravedad G indicando que cerca de ahí el período tiene un valor significativamente grande. Cuando el eje de suspensión es desplazado todavía aún más desde A (al otro lado de G), el período T nuevamente d isminuye hasta alcanzar el mismo valor mínimo en el segundo punto P’, después del cual nuevamente se incrementa. Una línea horizontal AA’ correspondiente a valores escogidos del período, intersecta la
gráfica en cuatro puntos indicando que hay cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del centro de gravedad para los cuales el período es el mismo. Estas posiciones son simétricamente localizadas con respecto a G. Existe por lo tanto, dos valores numéricos de h para los cuales el período es el mismo, representados por h 1 y h2 (figura 3.3). Así para cualquier eje de suspensión escogido S hay un punto conjugado O al lado opuesto de G tal que el período alrededor de un eje paralelo que pasa por S y O son iguales. El punto O es llamado Centr o de oscil acion es con respecto al eje de suspensión que pasa por el punto S. Consecuentemente si el centro de oscilación para cualquier péndulo físico es localizado, el péndulo puede ser invertido y soportado de O sin alterar su período. Esta r eversibilidad es una de las propiedades únicas del péndulo físico y ha sido la base de un método muy preciso para medir la aceleración de la gravedad g (Péndulo Reversible de Káter). Puede mostrarse que la distancia entre S y O es igual a L, la longitud del péndulo simple equivalente Alrededor de S KG h T g h 2
4
2
2
2
1
(3.16)
1
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6
Alrededor de O, es KG h T g h 2
2
2
4
2
2
(3.17)
2
Igualando estas ecuaciones se obtiene 2
K G
h1h2
(3.18)
Por lo tanto el período del péndulo físico se escribe en la forma h1 h2
T 2
g
(3.19)
De donde se obtiene la longitud del péndulo simpe equivalente a L
h1 h2
(3.20)
Es decir, la longitud del péndulo simple equivalente es igual a la distancia SO en las figuras 3.3 y 3.4. De dichas figuras se observa además que S’ y O’ son un segundo par de puntos conjugados, ubicados simétricamente con respecto a S y O respectivamente, teniendo los mismos valores de h1 y h2. La figura 3.4, muestra además que el período de vibración de un cuerpo dado no puede ser menos que cierto valor mínimo T mi n , para el cual los cuatro puntos de igual período se reduce a dos, S y O’ se combinan en P y S’ y O se combinan en P’, mientras que h1 llega a ser numéricamente igual a h2. El valor de h’ correspondiente al período mínimo
se encuentra resolviendo las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.20), obteniéndose 2
K G
h1h2
Y establece que h'
h1
h2
Es decir h'
2
K G
Remplazando este valor en la ecuación (3.12), resulta L '
2
2 K G
Sí el péndulo simple más pequeño cuyo período es el mismo que el péndulo compuesto tiene una longitud L’, igual a dos veces el radio de giro del cuerpo respecto al centro de gravedad. Esto es indicado en la figura 3.4, para la línea PP’.
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III.
MATERIAL A UTILIZAR
Un péndulo físico - Dos prensas con tornillo - Una prensa con tornillo y cuchilla Un soporte de madera
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Una regla graduada en mm
Un cronómetro
Una balanza
Un vernier
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IV.
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METODOLOGÍA
El péndulo físico a utilizar en esta práctica consta de una varilla rígida de acero de forma prismática, de sección transversal rectangular, que posee orificios equidistantes con relación al centro de gravedad, con un sistema de suspensión adecuado para que la varilla pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal (eje de suspensión), con rodamientos para minimizar la fricción como se muestra en la figura 3.5
F igur a 3.5.
Pé ndu lo físico util izado en el laborator io de física de la UNA SA M
Para cumplir con los objetivos planteados siga el siguiente procedimiento:
1) Usando la balanza determinamos la masa de la barra. 2) Medimos las dimensiones de la barra (el largo con la cinta métrica y el ancho así como el espesor con el vernier). Registramos sus valores con sus respectivos errores en la Tabla I. Tabla I. Datos de l a geometr ía y f orma de la bar ra usada como pé ndul o físico Masa (kg)
Largo (m)
Ancho (m)
Espesor (m)
1.8968 1.8966 1.8967
1.104 1.108 1.105
0.047 0.048 0.046
0.00065 0.000654 0.00065
3) Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor sujetamos el soporte de madera con las mordazas simples. 4) Sobre la base menor del soporte de madera, sujetamos la mordaza con cuchilla. 5) Ubicamos el centro de gravedad G de la barra, suspendiendo ésta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad de la barra. 6) Suspendemos la barra verticalmente en el orificio más cercano a uno de los extremos (punto A) en el borde de la cuchilla. 7) Desplazamos lateralmente a la barra un ángulo no mayor a 10°, a partir de su posición de equilibrio vertical y suéltela desde el reposo permitiendo que la barra oscile en un plano vertical. 8) Medimos por triplicado el tiempo transcurrido para diez (10) oscilaciones ( mientras más oscilaciones tome menor será la incertidumbre en el período . Por qué?. Deducimos de estos datos el período de oscilación de la barra para el primer punto de oscilación. Registramos sus valores en la Tabla II. |
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9) Repetimos los pasos (6), (7) y (8) para todos los orificios equidistantes que posee la barra. Registramos los valores obtenidos en la tabla correspondiente. 10) Retiramos el péndulo del soporte y con una cinta métrica medimos por triplicado las distancias d1, d 2, d 3,………, para cada uno de los puntos de suspensión desde uno de los extremos de la barra, anotamos estos datos con sus correspondientes períodos en la Tabla II. Tabla II. Datos y cálculos obtenidos experimentalmente en la práctica “Péndulo Físico”.
N° Distancia medida desde el extremo de la Tiempo para diez oscilaciones barra al punto de oscilación d (cm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
V.
t (s)
Período (s)
di1
di2
di3
di,promedio
ti1
ti2
ti3
ti, promedio
t1/n
4.5 9.5 14.5 19.5 24.5 29.5 34.4 39.5 44.4 49.5 54.3 60.8 65.8 70.9 75.9 80.8 85.9 90.9 95.8 100.9 105.8
4.7 9.4 14.3 19.4 24.6 29.7 34.5 39.3 44.2 49.6 54.2 60.9 65.9 71 75.7 80.7 85.6 91.1 95.6 100.6 105.8
4.4 9.6 14.6 19.7 24.3 29.6 34.2 39.4 44.5 49.8 54.5 60.7 65.7 70.8 75.8 81 85.8 91 95.7 100.9 105.7
4.53 9.50 14.47 19.53 24.47 29.60 34.37 39.40 44.37 49.63 54.33 60.80 65.80 70.90 75.80 80.83 85.77 91.00 95.70 100.80 105.77
16.91 16.46 16.22 16.16 15.95 16.1 16.98 17.99 20.3 24.56
16.86 16.41 16 15.22 15.53 16.28 16.42 17.65 19.94 24.4
16.8 16.48 16.5 16.5 15.7 16.2 16.6 16.85 20.5 24.6
16.86 16.45 16.24 15.96 15.73 16.19 16.67 17.50 20.25 24.52
1.69 1.65 1.62 1.60 1.57 1.62 1.67 1.75 2.02 2.45
25.2 20.56 17.82 16.54 15.9 16 15.81 15.92 16.5 16.67
23.64 20.41 18.22 16.61 16.07 15.78 15.84 15.98 16.25 16.55
24.5 20.7 17.95 16.72 15.82 15.92 15.79 15.82 16.15 16.7
24.45 20.56 18.00 16.62 15.93 15.90 15.81 15.91 16.30 16.64
2.44 2.06 1.80 1.66 1.59 1.59 1.58 1.59 1.63 1.66
CÁLCULOS Y RESULTADOS 5.1.
Con los datos de la Tabla II, trace un gráfica similar a la mostrada en la figura 3.4, colocando el período T , en el eje de las ordenadas y d en el eje de las abscisas. Trace cualquier recta horizontal SS’ paralela al eje de las abscisas para un período mayor que el período mínimo. ¿Qué representa los cuatro puntos de intersección de la recta con las curvas?.
3.00
t1/n
t
2.50 2.00 1.50 1.00 0.50
d
0.00 0.00
|
50.00
100.00
150.00
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T
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Los cuatro puntos de intersección de la recta con las curvas indican que hay cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del centro de gravedad para los cuales el periodo es el mismo. 5.2.
Utilizando la gráfica obtenida en el paso anterior, determine el período T mediante la obtención del valor de la ordenada de la recta horizontal trazada. Así mismo, mediante el promedio de los valores de SO y SO’ determine la longitud del péndulo simple equivalente y .A partir de estos valores obtenidos y utilizando la ecuación (3.19), determine la aceleración de la gravedad g de la ciudad de Huaraz con su respectivo error absoluto y porcentual.
= + =′ +′
El periodo para la recta trazada es: para la recta n°01 T= 1,70 s para la recta n°02 T= 1,65 s La longitud del segmento SO = L1 = h 1+h2 = 51.1 + 18.5 = 69.6 cm y T= 1,70 s La longitud del segmento SO’ = L2 = h3+h4 = 44.5 + 21.5 = 66 cm y T= 1,65 s
Calculo de la aceleración: Utilizando la fórmula: T 2
h1 h2 g T
Li
2
g
l 4 2
g
i
T 2
Reemprendo valores obtenemos: la aceleración de la gravedad L1 = 69.6 cm y T= 1,70 s g 1
0.696(4 2 )
1, 7
2
9.51 m
s
2
L2 = 66 cm y T= 1,65 s
g 2
0.66(4 2 )
1,65
2
9.57 m
s
2
Como tenemos dos valores con variaciones mínimas sacamos promedio y obtenemos la gravedad mas aproximada.
|
g p
g p
g p
g1
g 2
2 9.51 9.57 2 9.54 m s
gravedad de Huaraz (conocida)=9.78 m/s2:
Cálculo del error absoluto: (9.78 – 9.54)/2 = 0,12
Error relativo: 0,03 /9.54 = 0.01242
Error relativo = 1.2422%
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5.3. A partir de la gráfica T v s d obtenida en (5.1), determine el radio de giro K G de la barra. Del grafico se observa que el valor de K G =0.30 m cuyo valor representa la distancia del centro de gravedad a la ubicación mínima del periodo. 5.4. Utilizando el valor de la masa de la barra y el radio de giro obtenido en el paso anterior, determine el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad I usando la ecuación (3.9). G La masa de la barra es: 1.8967 kg El radio de giro obtenido anteriormente es K G =0.30 m Usando la ecuación (3.9) calculo el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG.
=0.=1.1870703 9670.30 I G
2
mK G
5.5. Utilice el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia I S con respecto al primer punto de suspensión que pasa por S. La distancia del primer punto de suspensión al centro de gravedad es: 54.33 - 4.53 = 49.8 cm = 0.498m La masa de la barra es igual a 1.8967 kg El momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG es 0.172 Kgm2 Utilizando la ecuación (3.10) calculo el momento de inercia I S
+1.89670.5 =0.170703 =0.644878 I S
IG
mh
2
5.6. ¿Con respecto a qué línea son simétricas las curvas? ¿Cuál es el período cuando = 0 ?
Las curvas son simétricas respecto a una línea asintótica perpendicular que pasa por el centro de gravedad G indicando que cerca de ahí el periodo tiene un valor significativamente grande. El periodo resulta ser cero cuando h = 0
5.7. ¿Cuál es el período mínimo con el cual el péndulo físico puede oscilar? ¿Cuál es la l ongitud del péndulo simple que tiene el mismo período?
Según el grafico T vs d el periodo mínimo con el cual el péndulo físico puede oscilar es 1.600s. La longitud del péndulo simple que tiene el mismo periodo es 60 cm.
5.8. ¿Por qué se obtiene el mejor valor de la aceleración de la gravedad, cuando se utiliza un valor de h correspondiente al período mínimo?. Porque en el punto de inflexión mínimo para ambas curvas obtenemos que SO y SO tienen la misma distancia de 60 cm, para un periodo mínimo de 1.6 s de estas se obtendrá el mejor valor de la aceleración de la gravedad sin necesidad de hacer correcciones y con una probabilidad mínima de cometer errores (solo para este punto).
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5.9. Con los datos de la Tabla II y utilizando la ecuación (3.11)*, construya la Tabla III y a partir de ella elabore una gráfica h 2 vs hT 2 de esta gráfica determine el valor de la aceleración de la gravedad g y compárela con la reportada para la Ciudad de Huaraz. Asimismo, determine el radio de giro del péndulo físico con respecto al centro de gravedad. Compárelo con los obtenidos en los acápites (5.2) y (5.3). En cuál de los casos se obtiene un mejor resultado: en el obtenido de la gráfica T vs d o en ésta gráfica?. Use el ajuste de mínimos cuadrados. PARA EL LADO “A”
N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sea la ecuación
h1
T 1.663 1.644 1.65 1.619 1.6 1.623 1.677 1.809 2.091 2.727
0.5005 0.4508 0.4 0.3507 0.3002 0.25 0.2005 0.1507 0.1001 0.0498
=+
2.765569 2.702736 2.7225 2.621161 2.56 2.634129 2.812329 3.272481 4.372281 7.436529
T2*h = Y
0.25050025 0.20322064 0.16 0.12299049 0.09012004 0.0625 0.04020025 0.02271049 0.01002001 0.00248004
∑ ∑ = ∑∑ ∑ =̅ ̅
h2 = X
=
Sobre el lado A T2 h2 = X
1.384167285 1.218393389 1.089 0.919241163 0.768512 0.65853225 0.563871965 0.493162887 0.437665328 0.370339144
T2*h = Y
X*Y
X2
0.25050025
1.38416729
0.34673425
0.06275038
0.20322064
1.21839339
0.24760268
0.04129863
0.16
1.089
0.17424
0.0256
0.12299049
0.91924116
0.11305792
0.01512666
0.09012004
0.768512
0.06925833
0.00812162
0.0625
0.65853225
0.04115827
0.00390625
0.04020025
0.56387197
0.02266779
0.00161606
0.02271049
0.49316289
0.01119997
0.00051577
0.01002001
0.43766533
0.00438541
0.0001004
0.00248004
0.37033914
0.00091846
6.1506E-06
0.96474221
7.90288541
1.03122309
0.15904191
= . =. |
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= . = .
=10 −. =. = ∗.∗.−.
EN LA FORMULA TENEMOS
̅ ̅ = ̅ =. ̅ =. =..∗. =.
=. +.
Luego la recta por mínimos cuadrados será:
.
Y = T2*h 1.6
y = 4.0746x + 0.3972 R² = 0.9958
1.4 1.2 1 0.8
HT2
0.6
Lineal (HT2)
0.4 0.2 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
X = h2
De la ecuación (3.11) se tiene:
T 2
KG2
h2
gh
hT 2
|
T 2 4 2
4 2 g
KG 2
KG h gh 2
4 2 g
h2
2
(** *)
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DE DONDE POR COMPARACION
=+
hT
2
4
2
KG
g
=
2
4
2
g
h2
4 = == 2 4 4 = 1 = 4.07462 =9.6889 /2
= Calculo de radio de giro:
4
2
g
k g 2
int ercepto
2
4
9.6889 m / s
2
k g 2
0.3972
K g = 0.3170m PARA EL LADO “B”
N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sea la ecuación
|
h1
T
0.0493
2.665 2.035 1.779 1.678 1.624 1.604 1.611 1.635 1.668 1.679
0.1 0.1488 0.1992 0.2495 0.299 0.348 0.3987 0.4477 0.5102
=+
Sobre el lado B T2 h2 = X
T2*h = Y
7.102225 0.00243049 0.350139693 4.141225
0.01
0.4141225
3.164841 0.02214144 0.470928341 2.815684 0.03968064 0.560884253 2.637376 0.06225025 0.658025312 2.572816
0.089401 0.769271984
2.595321
0.121104 0.903171708
2.673225 0.15896169 1.065814808 2.782224 0.20043529 1.245601685 2.819041 0.26030404 1.438274718
= ∑∑∑ ∑ ∑ =̅ ̅ CORNELIO REYES JHONATAN
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=
h2 = X
T2*h = Y
X*Y
X2
0.00243049
0.350139693
0.000851011
5.90728E-06
0.01 0.02214144 0.03968064 0.06225025 0.089401 0.121104 0.15896169 0.20043529 0.26030404 0.96670884
0.4141225 0.470928341 0.560884253 0.658025312 0.769271984 0.903171708 1.065814808 1.245601685 1.438274718 7.876235002
0.004141225 0.010427032 0.022256246 0.04096224 0.068773685 0.109377707 0.169423723 0.249662535 0.37438872 1.050264123
0.0001 0.000490243 0.001574553 0.003875094 0.007992539 0.014666179 0.025268819 0.040174305 0.067758193 0.161905833
=.3 =. = . =. EN LA FORMULA TENEMOS
=10 −. = ∗. ∗.−.
=. =̅ ̅
̅ = . ̅ = . = . .∗ . =.
=.+.
Luego la recta por mínimos cuadrados será:
|
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1.6
Y = T2*h
1.4 y = 4.2198x + 0.3797 R² = 0.9962
1.2 1
Series1
0.8
Lineal (Series1)
0.6 0.4 0.2 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
X = h2
De la ecuación (3.11) se tiene:
T 2
T 4 2
hT
2
4 2 g
2
KG
2
KG2 h 2 gh
KG h gh 2
4 2 g
2
h2
(** *)
DE DONDE POR COMPARACION
=+
= hT
(
2
4
g
2
2
KG
2
4
g
= = 4 == 4 = 4 = 4.205229 =9.6166 / |
h2
)
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Calculo de radio de giro:
17
=.+. 2
4
k g 2
g
4
int ercepto
2
9.6889 m /
s
k g 2
2
0.3811
K g = 0.3058m 5.10. Demuestre que el período de un aro delgado colgado de una espiga, es el mismo que el de un péndulo simple cuya longitud es igual al diámetro.
(a) (b) Figura 2.1. (a) Representación de un pé ndu lo simpl e, (b) diagr ama de cuerpo l ibre de
F ma t
mgsen
m
d 2 L dt 2
(2.1)
t
mL
m
d 2s dt 2
d 2 dt 2
(2.2) (2.3)
mgsen
g sen 0 L
(2.4)
Esta es ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. Sin embargo, si las oscilaciones son pequeñas, es decir el ángulo θ es pequeño, se puede utilizar la aproximación , donde el ángulo θ se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuación diferencial (2.4) se escribe
≅
g L
0
(2.5)
Ecuación (2.3) es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple, es decir, m describe un M.A.S. y la solución de la ecuación (2.5) es de la forma
0 sen t
(2.6)
Donde θ0 es el máximo desplazamiento angular, φ es el desfasaje y ω es la frecuencia natural
circular, la misma que queda expresada como
2
T
|
g
L
(2.7)
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El período del movimiento pendular está dado por T
2
L g
(2.8)*
5.11. Muestre algunas aplicaciones del péndulo físico. a). Mediciones de tiempo. Debido a la igualdad de duración de todas las oscilaciones, el péndulo es de gran aplicación en la construcción de relojes, que son mecanismos destinados a contar las oscilaciones, de un péndulo, traduciendo después el resultado de ese recuento a segundos, minutos y horas.
b) Determinación de la aceleración de la gravedad. Sabemos que:
Elevando al cuadrado miembro a miembro es:
y despejando g, es: en esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible fácilmente, T: se determina con un buen cronómetro. Por lo que esta ultima expresión nos permite calcular con relativa facilidad la aceleración de la gravedad en un lugar determinado. Esto constituye la aplicación científica de mayor importancia del péndulo. Para estas determinaciones se emplean péndulos reversibles, es decir, péndulos que pueden oscilar primero alrededor de un eje y después alrededor de otro. Colocado de tal modo que en cada una de esas posiciones el péndulo posea la misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son isócronas (igual tiempo de oscilación). Así se logran valores de gran precisión. Se debe tener en cuenta en estas determinaciones la temperatura, amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento del aire y del soporte del péndulo. El método de medición de g, con el péndulo, lo imaginó y expresó Huygens, y fue aplicado por el físico matemático Borda.
c) Determinación del movimiento de rotación de la Tierra. Si disponemos de un péndulo suspendido de un alambre como indica la figura, y procedemos a sacarlo de su posición de equilibrio, observaremos que el plano de oscilación del péndulo no varía al girar el alambre sostén. |
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Por tanto: El plano de oscilación de un péndulo se mantiene invariable al modificarse la posición del “plano sostén”.
Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la existencia del movimiento de rotación de la Tierra. Empleó un péndulo que constaba de una esfera de cobre de 25 kilogramos provista de un fiel y suspendida de la cúpula del Panteón (París) por medio de un alambre de acero de 79 m de largo. En el suelo dispuso una capa de arena húmeda en la cual el fiel de la esfera pendular marcaba los trazos de sus oscilaciones. Así se pudo ver que, a medida que transcurría el tiempo, esas marcas se iban modificando. Como el plano de oscilación es constante, significaba ello que lo variable era el plano del soporte, es decir, el Panteón o, lo que es igual, la Tierra. En realidad, este experimento puede realizarse en una sala ordinaria con péndulo más corto. J. BI. Foucault: Físico francès, nacido y muerto en París (1819-68). Entre sus trabajos recordamos la invención del giroscopio, con el que puede determinarse la dirección del meridiano del lugar sin necesidad de la observación astronc5mica, el método para calcular la velocidad de la luz en el aire y en el agua, así como la demostración del movimiento de rotaciòn de la Tierra valiendose del pendulo.
d) Medición del tiempo: Huygens fue quien ideó un mecanismo para poder medir el tiempo. Sabemos que, para determinada longitud, el péndulo cumple una oscilación simple en un segundo. Por tanto, dando a un péndulo esa longitud, nos indicará, para cada oscilación, un tiempo igual a un segundo. En otras palabras, si construimos un péndulo que efectúe en un día solar medio 86.400 oscilaciones, cada una de éstas nos indica un segundo. Un péndulo que reúna estas condiciones, aplicado a un mecanismo motor (cuerda o pesas, que harán mover el péndulo) y a un sistema destinado a contar las oscilaciones, o sea, los segundos, constituye un reloj de péndulo.(figura izquierda) En los relojes portátiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el péndulo está reemplazado por el volante (rueda) que produce el movimiento oscilatorio del péndulo.
Cristian Huygens: Matemático y astrónomo holandés (1629-1695). Fue un verdadero genio de su siglo. Inventa el reloj de pèndulo, y luego, el resorte espiral, para los de bolsillo. Enuncióò la teoría ondulatoria de la luz, esbozó’ lo que hoy llamamos teorema de las fuerzas vivas; haciendo girar una esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no podía ser esférica.
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VI.
20
CONCLUSIONES: 6.1. Se estudió satisfactoriamente el movimiento de un péndulo compuesto o físico 6.2. Se logró Medir y demostrar la aceleración de la gravedad local utilizando un péndulo compuesto 6.3. satisfactoriamente Se logró determinar el radio de giro de un cuerpo rígido y a partir de este se calculó el momento de inercia del mismo 6.4. durante la práctica se resaltó algunas aplicaciones del péndulo compuesto. 6.5. SE Verifico la reversibilidad del péndulo compuesto
VII. BBLIOGRAFÍA 1. GOLDEMBERG, J. F ísica General y Experi mental . Vol. I. Edit. Interamericana. México 1972. 2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de F ísica . Edit. Limusa. México 1980 3. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG. F ísica Uni ver sitar ia. Vol. I. Edit. Addison – Wesley Ibe. USA – 2005 4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. F undamentos de F ísica Vol. I. Edit. CECSA. México2006 5. SERWAY RAYMOND. F ísica. Vol. II. Edit. Mc Graw - Hill México – 2005. 6. TIPLER A. PAUL. F ísica par a l a Ci encia y l a T ecnología . Vol. I. Edit. Reverte, S.A. España – 2000.
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