Escuela de ingeniería industrial UPTC
Péndulo simple Simple pendulum
M. Colmenares M., T. León L., C. C. parra J., R. Roberto Roberto M. a UNIVERSIDAD PEDAGOGICA TECNOLOGICA DE COLOMBIA 201210581. b UNIVERSIDAD PEDAGOGICA TECNOLOGICA DE COLOMBIA 201221884. c UNIVERSIDAD PEDAGOGICA TECNOLOGICA DE COLOMBIA 201220701. d UNIVERSIDAD PEDAGOGICA TECNOLOGICA DE COLOMBIA 201211121
Resumen
El péndulo simple o péndulo ideal, es un sistema físico que puede oscilar por la acción de la gravedad u otra característica física, está constituido por una masa m, que está suspendida de un punto fijo por medio de un hilo o cordón de longitud L que no presenta alargamiento y con un peso despreciable, el péndulo oscila libremente en un plano vertical fijo con un ángulo θ que se mide desde el reposo del sistema, al solta rlo se toma el tiempo que tarda en una oscilación es decir el periodo. Palabras claves: masa, longitud, gravedad, ángulo, hilo, oscilación, periodo. Abstract.
The simple pendulum or ideal pendulum, is a physical system, which may oscillate by the action of gravity, or other physical characteristic, is constituted by a mass m, which is suspended from a fixed point by means of a thread or cord of a length L having no elongation and with negligible weight, the pendulum swings freely in a fixed vertical plane with an angle θ measured from the rest of the system, when released takes the time it takes for one oscillation period. Keywords: mass, length, gravity, angle, thread, oscillation, period
1. Introducción
2. objetivos
En este informe se da a conocer el estudio de movimiento periódico de un cuerpo suspendido y los efectos de oscilación que presenta, además analizar analizar el comportamiento del péndulo simple, variando su longitud y su masa. Para esto se toma el periodo de la oscilación en distintas ocasiones independientes es decir variando una característica a la vez, longitud o masa. Con los datos obtenidos se realiza un análisis para corroborar lo visto en teoría, llevarlo a la experimentación y ver las aplicaciones a la vida cotidiana.
Objetivo general Comprender, aprender y conocer el funcionamiento de un péndulo simple y del m.a.s. Objetivos especifico *Reconocer las fuerzas que actúan sobre el péndulo simple y cómo influyen en su funcionamiento *conocer los datos experimentales y su interpretación para definir el movimiento. * Elaborar graficas basadas en los datos obtenidos.
El movimiento del péndulo es periódico y por lo tanto son aplicables a él elementos tales como: Oscilación completa (n): un recorrido del péndulo hasta llegar nuevamente al punto de partida. Periodo (T): tiempo empleado para una oscilación completa. Frecuencia (f): número de oscilaciones completas logradas por el péndulo en una unidad de tiempo. Elongación (x): distancia de separación del cuerpo respecto a su punto de equilibrio. Amplitud (A): máxima elongación.
4. Marco teorico
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensi ble de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
Es importante tener en cuenta que si θ es medido en radianes es pequeño, se puede establecer que senθ≈θ
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe man= T-mg·cosθ
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo.
Fig. 1. Oscilación péndulo simple
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv 2/l Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosθ0
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
el peso mg La tensión T del hilo
Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial. El péndulo simple fue utilizado durante mucho tiempo para medición del tiempo y con él se fabricaron los primeros relojes, aun hoy en día se siguen construyendo relojes utilizando este mismo principio. 2
Autor principal et al.: Título
La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r. La intensidad del campo gravitatorio g , o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.
Fig. 2. Variación energia péndulo simple
Su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
4. Procedimiento experimental
En la posición extrema θ=θ0 , la energía es solamente potencial.
EQUIPOS Y MATERIALES A UTILIZAR
E=mg(l -l·cosθ0)
Porta pesas de plano inclinado Hilo Juego de pesas de plano inclinado Prensa de mesa Varilla de 70 cm Nuez con gancho Cronometro
En la posición θ , la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equili brio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Asegure la prensa de mesa y ensamble el de varilla y nuez con gancho; construya un péndulo atándolo a un extremo del hilo al gancho y el otro al porta pesas; construya el péndulo de tal manera que el largo sea de 100 cm.
Medida de la aceleración de la gravedad
Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, sen ≈θ , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es
Retire la masa 30 cm de la posición de equilibrio y suéltela para que el péndulo oscile libremente; ubique un punto de referencia y con el cronometro determine el tiempo para 10 oscilaciones completas,( es necesario realizar las mediciones varias veces y promediar).
θ=θ0·sen(w t+φ )
de frecuencia angular w2=g/l , o de periodo
Repita el procedimiento anterior separando el péndulo 25 cm, 20 cm, 15 cm y 10 cm. Consigne los valores en la tabla.
3
Luego coloque el porta pesas de la masa de 20 cm y manteniendo la amplitud en 20 cm repita el procedimiento anterior; luego agregue primero una luego otra masa y repita nuevamente el procedimiento. Recorte la longitud del péndulo progresivamente de a 25 cm dejando una masa constante y repita el procedimiento anterior.
4
Autor principal et al.: Título
5
6
Autor principal et al.: Título
Tabla No. 2: Aceleracion de gravedad
5. Toma de datos y análisis de resultados Periodo. (T)
Sabiendo que: Periodo de oscilación del péndulo T:
1,214
=42,85903 m/
O también:
Frecuencia de oscilación del péndulo F:
Masa (gr)
Angulo
n Tiem po (s)
periodo
Frecuencia
49,3 99,2 158,2 207,7 257,6
40 40 40 40 40
5 5 5 5 5
1,214 1,21 1,21 1,218 1,208
0,8237 0,8264 0,8264 0,8210 0,8278
6,07 6,05 6,05 6,09 6,04
= 43,14286 m/
1,21
= 43,14286 m/
1,218
= 42,57798m/
1,208
= 43,28584 m/
Tabla para cambios de Angulo, donde la masa, longitud y número de oscilaciones son constantes.
Tabla No. 1: Cambio de masa, con igual lonfitud y angulo
Longitud (cm) 40 40 40 40 40
1,21
Tabla No. 3: Cambio de angulo, con igual lonfitud y masa
Como se puede observar el periodo del péndulo no depende de la masa, ya que todas las mediciones dan aproximadamente 1,21 En general la masa de el pendulo es variable indepensiente de su periodo.
Longitud (m)
Masa (kg)
A ng ul o
n
Tiem po (s)
Periodo (s)
Frecuencia
0,40 0,40 0,40 0,40 0,40
0,0493 0,0493 0,0493 0,0493 0,0493
40 35 30 25 20
5 5 5 5 5
6,41 6,22 6,03 6 5,8
1,28 1,24 1,20 1,18 1,16
0,78 0,8 0,82 0,84 0,86
Grafica frecuencia vs angulo longitud constante
0,87
Equat ion
y = a + b*
Adj. R-Squar
1 Value
Calculando la aceleracion de la gravedad tenemos:
0,84
F re cu en ci a
I nt er ce pt
Fr ecuencia
Sl ope
Standard Err
0 ,9 4
1 ,6 00 46 E- 16
- 0,00
5, 19259E-18
) z H ( a i c n e u 0,81 c e r F
Reemplazando nuestros valores para una longitud que permanece constante y la masa que varía, veamos:
0,78
Frecuencia Linear Fit of Frecuencia 20
30
Angulo (grados)
7
40
Tabla No. 4: Aceleracion de gravedad
Periodo. (T) 1,214 =42,85903 m/ Grafica periodo vs angulo longitud constante 1,30 Model
Polynomia
Adj. R-Squar
= 43,14286 m/
1,21
= 43,14286 m/
0,9999 V al ue
1,25
1,21
Periodo
Intercept
Periodo Periodo
S tan dar d E rr
1,15749
0,00444
B1
-0,00283
3,08148E-4
B2
1,48571E-
5,11101E-6
) s ( o d o i r e P
1,20
1,218
= 42,57798m/
1,208
= 43,28584 m/
Periodo Polynomial Fit of Periodo
1,15 20
30
40
Grafica frecuencia vs longitud masa constante
Angulo (Grados)
Model Adj. R -Squa
Polynomi 0,996 94
1,0
V al ue
) z H ( a i 0,8 c n e u c e r F
0,6
1 ,45 22
0,0 272 9
Frecuencia B1
-2,2252
0,12197
Frecuencia B2
1,4453
0,12727
Frecuencia Polynomial Fit of Frecuencia
Calcule la aceleración de la gravedad. 0,2
0,4
0,6
Longitud (m)
De la ecuación:
tenemos:
Reemplazando nuestros valores para una longitud que permanece constante y un periodo que varía, veamos: 8
S ta nd ar d E rr
Frecue ncia In terce pt
0,8
Autor principal et al.: Título
decir que es directamente proporcional, pues como vemos en la formula tanto T (periodo), como l (longitud) están en el denominador, así que ambas van a tender a aumentar. Así mismo si en vez de ir aumentando la longitud, la fuéramos disminuyendo ambas tenderían a disminuir generando una gráfica decreciente tanto de la longitud como del periodo.
Grafica periodo vs longitud masa constante 1,8
Periodo Linear Fit of Periodo 1,5 ) s ( o d o i r e P
Para la gravedad que influyó en el movimiento del péndulo se tiene que . Así que
Equatio y = a
1,2
Adj. R-S 0,994 Valu Standard Pe ri odo I nt erc
0 ,6 5 0 ,01 85 4
Pe ri odo S lo pe
1 ,4 8 0 ,03 73 5
T (s) T= 1,6792
L(m)
L= 0,70
T= 1,6181
L= 0,65
T= 1,5546
L= 0,60
T= 1,4884
L= 0,55
T= 1,4192
L= 0,50
G(m/s2)
0,9 0,2
0,4
0,6
0,8
Longitud (m)
Longitud (m)
Masa (kg)
Angulo
n
Tiempo (s)
Periodo (s)
Frecuencia
0,70
0,0493
40°
5
8,1833
1,6792
0,5955
0,65
0,0493
40°
5
8,0066
1,6181
0,6180
T= 1,3463
L= 0,45
0,60
0,0493
40°
5
7,5366
1,5546
0,6432
T= 1,2693
L= 0,40
0,55
0,0493
40°
5
7,33
1,4884
0,6718
0,50
0,0493
40°
5
7,09
1,4192
0,7046
T= 1,1874
L= 0,35
0,45
0,0493
40°
5
6,52
1,3463
0,7427
T= 1,0993
L= 0,30
0,40
0,0493
40°
5
6,1333
1,2693
0,7878
T= 1,0035
L= 0,25
0,35
0,0493
40°
5
5,88
1,1874
0,8421
0,30
0,0493
40°
5
5,2133
1,0993
0,9096
0,25
0,0493
40°
5
4,94
1,0035
0,9965
6. Conclusiones
-De esta forma tenemos que la variación que experimento el periodo al variar la amplitud de oscilación, De acuerdo con la fórmula es posible determinar qué tanto es la variación de periodo al aumentar la amplitud del Angulo, además estas son directamente proporcionales. -La relación entre la longitud y el periodo de oscilación del péndulo simples tal que el periodo T del péndulo no depende de la masa que cuelga ni de la amplitud de la oscilación, Únicamente depende de la longitud del hilo l y del valor de la aceleración de la gravedad g, Por tanto, a través de la medida del período de oscilación del péndulo simple es posible comprobar la aceleración de la gravedad en el lugar en que se encuentra situado.
Mientras aumenta la longitud del hilo más tardará el péndulo en pasar por su punto de equilibrio, por tanto su período aumentará. Si el hilo es corto se tardará menos y el periodo será menor. Para nuestro ejercicio como cada vez fuimos alargando la longitud del hilo en cada uno de los casos, el comportamiento del periodo fue aumentando casi directamente proporcional a cada longitud del hilo. La relación del periodo con la longitud en un péndulo simple como lo planteábamos anteriormente se puede 9
-No se puede asegurar que el movimiento horizontal y vertical del proyectil son independientes dado que La componente horizontal de la tensión del hilo proporciona la aceleración centrípeta , , asociada con el movimiento circular. La componente vertical de la tensión se compensa exactamente con el peso de la masa m, y por ello La aplicación de la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical. 7. Manejo de referencias
.Pendulo simple , publicación en línea, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pe ndulo/pendulo.htm
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