UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE
Facultad de Ciencias Básicas Laboratorio de Física II Periodo Intermedio
PENDULO SIMPLE 1
2
2
3
Diana María Castañeda, Juan Pablo Castellanos Liliana García Carlos Andrés Valdés Sánchez.
1
Programa de Ingeniería Eléctrica, Facultad de ingenierías, Universidad Autónoma de Occidente, Cl 25 # 115 - 85, Cali Colombia 2 Programa de Ingeniería Industrial, Facultad de ingenierías, Universidad Autónoma de Occidente, Cl 25 # 115 - 85, Cali Colombia 3 Programa de Ingeniería Mecánica, Facultad de ingenierías, Universidad Autónoma de Occidente, Cl 25 # 115 - 85, Cali Colombia
Recibido: 21 de Junio de 2014
Resumen:
En el presente trabajo se estudió en el laboratorio MAS es entender como las bases teóricas son el fundamento para llegar a comprender el funcionamiento de un péndulo, el cual incluye un análisis del MAS y el principio de la cinemática. En el desarrollo experimental se analizó el sistema péndulo simple con esferas de dos diferentes materias, atadas a un hilo las cuales se desplazaban de su posición de equilibrio con ángulos pequeños, al realizar este desplazamiento se observó que las esferas empezaban a oscilar. Con el dispositivo que registró cada una de estas acciones, (sensor de movimiento), nos permitió comprender la relación entre el periodo, la longitud, la frecuencia y poder plasmar su comportamiento por medio de gráficas. Introducción:
Los sistemas como el péndulo simple, tienen ciertas características generales que pueden ser utilizadas para analizar el problema físico sin necesidad de obtener una solución exacta o numérica, es decir, estos sistemas pueden ser estudiados de forma cualitativa. Esto nos da una visión general del problema abordado y nos ayuda a comprender su dinámica. En este informe se muestran los resultados obtenidos de un sistema formado por un péndulo simple: una barra rígida que tiene atado en uno de sus extremos una cuerda ligera a la cual se le atan esferas de diferentes tamaños y materia. Modelo Teórico:
Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un cordón sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posición de equilibrio (vertical), oscilará alrededor de dicha posición. Situaciones
Péndulo Simple
ordinarias, como una bola de demolición en el cable de una grúa o un niño en un columpio pueden modelarse como péndulos simples. La trayectoria de la masa puntual (llamada en ocasiones pesa o lenteja) no es una recta, sino el arco de un círculo de radio L igual a la longitud del cordón. Usamos como coordenada la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento es armónico simple, la fuerza de restitución debe ser directamente proporcional a x .
Figura 1. Diagrama de cuerpo libre de un Péndulo Simple En la figura 1 se representan las fuerzas que actúan sobre la masa en términos de componentes tangencial y radial. Donde se observa además, que la Fuerza de Restitución FR es la componente tangencial de la fuerza neta, es decir:
Esta fuerza de restitución es debida a la gravedad; la Tensión T sólo actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza de restitución es, según la Ecuación 1, directamente proporcional NO a θ sino a Senθ. Pero se sabe que para ángulos pequeños (regularmente menores de 10°) el Senθ es aproximadamente igual a θ (medido en radianes), y conociendo que (arco descrito por la masa puntual), la Ecuacion.1 se convierte en:
Por tanto, bajo esta condición la fuerza de restitución es entonces proporcional a la coordenada, y la Constante de Fuerza es:
~2~
Péndulo Simple
(Ec.3) (No confundir con la constante elástica k de un resorte). La frecuencia angular ω de un péndulo simple con amplitud pequeña es entonces:
Pero también:
Donde T, es el periodo de oscilación. Podemos encontrar una fórmula que nos permita determinar el Período igualando la Ec.4 y Ec.5:
Figura 2. Relación de frecuencia y periodo
Resultados y Análisis.
Para realizar el análisis de las gráficas obtenidas en los ensayos se procedió con el montaje del péndulo y la programación del programa (Pasco) este procedimiento se repitió para cada una de las esferas y en las diferentes longitudes. A continuación se registran las Gráficas obtenidas:
~3~
Péndulo Simple
Tabla 1. Calculo de T y
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
:
Longitud L (m)
Masa 1: Periodo T (s)
0.120
0.71
0.50
0.165
0.83
0.70
0.220
0.95
0.91
0.263
1.04
1.09
0.310
1.11
1.23
0.355
1.32
1.74
0.430
1.48
2.19
Longitud L (m)
Masa 2: Periodo T (s)
0.178
0.86
0.75
0.215
0.95
0.90
0.267
1.05
1.10
0.310
1.13
1.28
0.385
1.26
1.59
0.510
1.45
2.10
0.530
1.47
2.18
1. Ensayo Masa pequeña 0,008 kg.
Gráfica 1. Posición vs tiempo L de 0,12 m.
~4~
Kg=0.00810 Periodo T^2(s)
kg=0.10766 Periodo T^2(s)
Péndulo Simple
Gráfica 2. Posición vs tiempo L de 0,165 m.
Gráfica 3. Posición vs tiempo L de 0,22 m.
Gráfica 4. Posición vs tiempo L de 0,263 m.
~5~
Péndulo Simple
Gráfica 5. Posición vs tiempo L de 0,31 m.
Gráfica 6. Posición vs tiempo L de 0,355 m.
Gráfica 7. Posición vs tiempo L de 0,43 m.
~6~
Péndulo Simple
2. Ensayo Masa Grande 0,10766 kg. Gráfica 8. Posición vs tiempo L de 0,178 m.
Gráfica 9. Posición vs tiempo L de 0,215 m.
Gráfica 10. Posición vs tiempo L de 0,267 m.
~7~
Péndulo Simple
Gráfica 11. Posición vs tiempo L de 0,31 m.
Gráfica 12. Posición vs tiempo L de 0,385 m.
Gráfica 13. Posición vs tiempo L de 0,51 m.
~8~
Péndulo Simple
Gráfica 14. T vs L Masa pequeña 0,008 kg
Gráfica 15. T vs L Masa Grande 0,10766 kg.
Gráfica 16.
vs L Masa pequeña 0,008 kg
~9~
Péndulo Simple
Gráfica 17.
vs L Masa Grande 0,10766 kg.
En la gráfica T vs L podemos observar que el periodo en el péndulo simple está determinado por la longitud de la cuerda ya que a mayor longitud es mayor el periodo. Como se realizó el experimento con diferentes masas podemos concluir también que el periodo es independiente de la masa y esto lo pudimos comprobar en los siguientes datos en donde la longitud es la misma pero las masas diferentes y aún así el periodo de oscilación es el mismo o muy parecido:
5
4
Longitud L (m)
Masa 1: Periodo T (s)
0.310
1.11
Longitud L (m)
Masa 2: Periodo T (s)
0.310
1.13
Kg=0.00810 Periodo T^2(s) 1.23
kg=0.10766 Periodo T^2(s) 1.28
Para el Análisis de la gráfica T^2 vs L los valores de la longitud frente a los valores correspondientes del cuadrado del periodo nos indican que para oscilaciones de amplitud pequeña, el periodo y la raíz cuadrada de la longitud del péndulo simple son proporcionales.
~ 10 ~
Péndulo Simple
Calculo g con gráfica T^2 vs L (con datos tomados de gráfica masa grande 0,10766 kg)
Calculo Promedio Longitud
Datos tomados con masa: 0,10766 kg
Incertidumbre absoluta de la longitud:
Determinación de la Incertidumbre absoluta de la gravedad:
√ ~ 11 ~
Péndulo Simple
Derivada parcial
Porcentaje de Error
¿Si las oscilaciones no son pequeñas, que expresión se debe utilizar para calcular el periodo del péndulo?
El periodo para amplitudes grandes puede calcularse a partir de una ecuación mucho más complicada: Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:
Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:
¿Qué se entiende por masa inercial y masa gravitacional? .Se puede afirmar que en este experimento se demuestra su igualdad, si es así por qué?
La masa gravitatoria (Mg) es la propiedad que tiene un cuerpo de atraer a otro mediante la fuerza gravitatoria. La masa inercial (Mi) mide la resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su estado de movimiento cuando se aplica una fuerza. Es decir, se resiste a acelerarse, a mayor masa menor aceleración. Y esta masa podría depender de la
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Péndulo Simple
composición química del cuerpo, de su temperatura o otra variable desconocida. Pues bien, aunque en principio parecen propiedades distintas, experimentalmente la masa gravitatoria y inercial de un cuerpo son iguales. Este resultado se conoce como principio de equivalencia débil. En el experimento si se puede demostrar ya que a pesar de haber realizado el experimento con diferentes masas el periodo fue el mismo por lo que se confirma que el período de un péndulo depende de la longitud del péndulo, de la aceleración de la gravedad y del cociente entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Siendo la ecuación del periodo la siguiente:
¿Cuál es la aceleración de la gravedad en Cali?
Es
Conclusiones:
1. De acuerdo con el análisis realizado podemos observar que el periodo en el péndulo simple está determinado por la longitud de la cuerda ya que a mayor longitud es mayor el periodo. 2. Se puedo comprobar que T es el mismo para masas diferentes ya que este solo depende de longitud y la aceleración de la gravedad. 3. Se comprobó que con ángulos pequeños menor a 10º el péndulo se comporta con un movimiento armónico simple. Causas de error.
1. La no configuración correcta del programa al inicio de la toma de datos. 2. El no precisar correctamente el ángulo con el cual se realiza la toma de los datos. 3. Tomar inadecuadamente la longitud. Referencias:
F.W. Sears, M. w. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman. Física Universitaria, volumen 1. Décimo segunda edición, Pearson Educación, México, 2009.
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